Cálculo Matricial

2. existe uma matriz X para a qual AX = I n3. existe uma matriz Y para a qual Y A = I nNesse caso, A −1 = X = Y .Demonstração. As equivalências são imediatas, já que se AX = I n então 1 = |I n | = |AX| =|A||X| e portanto |A| ≠ 0.Para mostrar que A −1 = X, repare que como AX = I n então A é invertível, e portantoA −1 AX = A −1 , donde X = A −1 .Faça a identificação dos vectores (a,b) ∈ R 2 com as matrizes coluna[ab]. O produtointerno usual (u 1 ,u 2 ) · (v 1 ,v 2 ) em R 2 pode ser encarado como o produto matricial[ ] [ ]v 1u 1 u 2 . Ou seja, u · v = u T v. Esta identificação e noção podem ser generalizadosde forma trivial para R n . Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais, u ⊥ v, sev 2u · v = u T v = 0. A norma usual em R n é definida por ‖u‖ = √ u · u, com u ∈ R nCorolário 4.11. Seja A uma matriz real n×n com colunas c 1 ,c 2 ,... ,c n . Então A é ortogonalse e só se c i ⊥ c j = 0 se i ≠ j, e ‖c i ‖ = 1, para i,j = 1,... ,n.[Demonstração. Condição suficiente: Escrevendo A = c 1 · · · c n], temos que⎡c T 1I n = A T cA =T⎢⎣2.⎡c T 1cComo o elemento (i,j) deT⎢⎣2.c T n⎤c T n⎤[⎥⎦c 1 c 2 · · · c n].[]⎥ c 1 c 2 · · · c n é c T i⎦c j, obtemos o resultado.Condição necessária: Ora c T i c j = 0 se i ≠ j, e c T i c i = 1 é o mesmo que A T A = I n , e pelocorolário anterior implica que A é invertível com A −1 = A T , pelo que A é ortogonal.Ou seja, as colunas das matrizes ortogonais são ortogonais duas a duas. O mesmo se podedizer acerca das linhas, já que a transposta de uma matriz ortogonal é de novo uma matrizortogonal.4.3 Teorema de LaplaceDada uma matriz A, quadrada de ordem n, denota-se por A(i|j) a submatriz de A obtida porremoção da sua linha i e da sua coluna j.Definição 4.12. Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada.39