Cálculo Matricial

4. A é não-singular.Portanto, uma matriz com duas linhas/colunas iguais não é invertível. Mais, uma matrizque tenha uma linha que se escreva como soma de múltiplos de outras das suas linhas não éinvertível.Teorema 4.8. Seja A e B matrizes n × n.|AB| = |A||B|.Demonstração. Suponha que A é invertível.Existem matrizes elementares E 1 ,...,E s e uma matriz escada (de linhas) U tal queA = E 1 E 2 ...E s U. Ora existem também E s+1 ,... ,E r matrizes elementares, e U 1 matrizescada de linhas para as quais U T = E s+1 ...E r U 1 . Note que neste último caso se podeassumir que não houve trocas de linhas, já que os pivots do AEG são os elementos diagonaisde U já que U T é triangular inferior, que são não nulos por A ser invertível. OraU 1 é então uma matriz triangular superior que se pode escrever como produto de matrizestriangulares inferiores, e portanto U 1 é uma matriz diagonal. Seja D = U 1 . Resumindo,A = E 1 E 2 ...E s (E s+1 ...E r D) T = E 1 E 2 ... E s DEr T Er−1 T ...ET s+1 . Recorde que, dada umamatriz elementar E, é válida |EB| = |E||B|. Então,|AB| = |E 1 E 2 ...E s DE T r ET r−1 ...ET s+1 B|= |E 1 ||E 2 ...E s DE T r ET r−1 ...ET s+1 B|= |E 1 ||E 2 ||E 3 ...E s DE T r ET r−1 ... ET s+1 B|= · · ·= |E 1 ||E 2 ||E 3 |... |E s ||D||E T r ||E T r−1|... |E T s+1||B|= |E 1 E 2 E 3 ...E s DE T r E T r−1 ...E T s+1||B|= |A||B|.Se A não é invertível, e portanto |A| = 0, então AB não pode ser invertível, e portanto|AB| = 0.Como |I n | = 1, segue do teorema anterior a relação entre o determinante uma matrizinvertível com o da sua inversa.Corolário 4.9. Se A é uma matriz invertível então|A −1 | = 1|A| .Recorde que para que uma matriz A seja invertível exige-se a existência de uma outraX para a qual AX = I n = XA. O resultado seguinte mostra que se pode prescindir daverificação de uma das igualdades.Corolário 4.10. Seja A uma matriz n × n. São equivalentes:1. A é invertível38