Cálculo Matricial
Cálculo Matricial Cálculo Matricial
Permutação σ ∈ S 3 sgn(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n)(123) +1 a 11 a 22 a 33(231) +1 a 12 a 23 a 31(312) +1 a 13 a 21 a 32(132) −1 a 11 a 23 a 32(213) −1 a 12 a 21 a 33(321) −1 a 11 a 22 a 31Obtemos, assim,|A| = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32−a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 22 a 31Para fácil memorização, pode-se recorrer ao esquema apresentado de seguida.00000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100 1100 1100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100 1100 1100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100 11 00000000000000000000011111111111111111111100 1100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100 11 00000000000000000000011111111111111111111100 11000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100 11 000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100 110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100 11 000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100 11000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000011111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000001111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111Figura 2: Esquema do cálculo do determinante de matrizes de ordem 3, ou a Regra de Sarrus4.2 PropriedadesSão consequência da definição os resultados que de seguida apresentamos, dos quais omitimosa demonstração.Teorema 4.2. Seja A uma matriz quadrada.1. Se A tem uma linha ou uma coluna nula então |A| = 0.2. |A| = |A T |.3. Se A é triangular (inferior ou superior) então |A| = ∏4. |P ij | = −1, |D k (a)| = a, |E ij (a)| = 1, com i ≠ j.i=1,...,n(A) ii .Daqui segue que |I n | = 1. Segue também que dada uma matriz tringular (inferior ou superior)que esta é invertível se e só se tiver determinante não nulo. Mais adiante, apresentaremosum resultado que generaliza esta equivalência para matrizes quadradas não necessariamentetriangulares.Teorema 4.3. Dada uma matriz A quadrada, a ∈ K,36
1. |D i (a)A| = a|A| = |AD i (a)|;2. |P ij A| = |AP ij | = −|A|;3. |E ij (a)A| = |A| = |AE ij (a)|.Como |D i (A)| = a, |P ij | = −1 e |E ij (a)| = 1, segue que |D i (a)A| = |D i (a)||A|, |P ij A| =|P ij ||A| e que |E ij (a)A| = |E ij (a)||A|. Repare ainda que, se A é n × n, é válida a igualdade|αA| = α n |A|, já que αA = ∏ ni=1 D i(α)A. De forma análoga, dada uma matriz diagonal Dcom elementos diagonais d 1 ,d 2 ,... ,d n , tem-se |DA| = d 1 d 2 · · · d n |A| = |D||A|.Corolário 4.4. Uma matriz com duas linhas/colunas iguais tem determinante nulo.Demonstração. Se a matriz tem duas linhas iguais, digamos i e j, basta subtrair uma à outra,que corresponde a multiplicar à esquerda pela matriz E ij (−1). A matriz resultante tem umalinha nula, e portanto tem determinante zero. Para colunas iguais, basta aplicar o mesmoraciocínio a A T .O corolário anterior é passível de ser generalizado considerando não linhas iguais, mas talque uma linha se escreva como soma de múltiplos de outras linhas. O mesmo se aplica acolunas.Corolário 4.5. Tem determinante nulo uma matriz que tenha uma linha que se escreve comoa soma de múltiplos de outras das suas linhas.Demonstração. Suponha que a linha i, l i , de uma matriz A se escreve como a soma demúltiplos de outras das suas linhas, ou seja, que l i = ∑ j∈J α jl j = α j1 l j1 +α j2 l j2 +· · ·+α js l js .A linha i de E ij1 (−α j1 )A é a matriz obtida de A substituindo a sua linha i por l i − α j1 l j1 =α j2 l j2 + · · · + α js l js . Procedemos ao mesmo tipo de operações elementares por forma aobtermos uma matriz cuja linha i é nula. Como o determinante de cada uma das matrizesobtidas por operação elementar de linhas iguala o determinante de A, e como a última matriztem uma linha nula, e logo o seu determinante é zero, segue que |A| = 0.Corolário 4.6. Seja U a matriz obtida da matriz quadrada A por Gauss. Então |A| =(−1) r |U|, onde r indica o número de trocas de linhas no algoritmo.Sabendo que uma matriz é invertível se e só se a matriz escada associada (por aplicaçãode Gauss) é invertível, e que esta sendo triangular superior é invertível se e só se os seuselementos diagonais são todos nulos, segue que, e fazendo uso de resultados enunciados eprovados anteriormente,Corolário 4.7. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, as afirmações seguintes sãoequivalentes:1. A é invertível;2. |A| ≠ 0;3. car(A) = n;37
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1. |D i (a)A| = a|A| = |AD i (a)|;2. |P ij A| = |AP ij | = −|A|;3. |E ij (a)A| = |A| = |AE ij (a)|.Como |D i (A)| = a, |P ij | = −1 e |E ij (a)| = 1, segue que |D i (a)A| = |D i (a)||A|, |P ij A| =|P ij ||A| e que |E ij (a)A| = |E ij (a)||A|. Repare ainda que, se A é n × n, é válida a igualdade|αA| = α n |A|, já que αA = ∏ ni=1 D i(α)A. De forma análoga, dada uma matriz diagonal Dcom elementos diagonais d 1 ,d 2 ,... ,d n , tem-se |DA| = d 1 d 2 · · · d n |A| = |D||A|.Corolário 4.4. Uma matriz com duas linhas/colunas iguais tem determinante nulo.Demonstração. Se a matriz tem duas linhas iguais, digamos i e j, basta subtrair uma à outra,que corresponde a multiplicar à esquerda pela matriz E ij (−1). A matriz resultante tem umalinha nula, e portanto tem determinante zero. Para colunas iguais, basta aplicar o mesmoraciocínio a A T .O corolário anterior é passível de ser generalizado considerando não linhas iguais, mas talque uma linha se escreva como soma de múltiplos de outras linhas. O mesmo se aplica acolunas.Corolário 4.5. Tem determinante nulo uma matriz que tenha uma linha que se escreve comoa soma de múltiplos de outras das suas linhas.Demonstração. Suponha que a linha i, l i , de uma matriz A se escreve como a soma demúltiplos de outras das suas linhas, ou seja, que l i = ∑ j∈J α jl j = α j1 l j1 +α j2 l j2 +· · ·+α js l js .A linha i de E ij1 (−α j1 )A é a matriz obtida de A substituindo a sua linha i por l i − α j1 l j1 =α j2 l j2 + · · · + α js l js . Procedemos ao mesmo tipo de operações elementares por forma aobtermos uma matriz cuja linha i é nula. Como o determinante de cada uma das matrizesobtidas por operação elementar de linhas iguala o determinante de A, e como a última matriztem uma linha nula, e logo o seu determinante é zero, segue que |A| = 0.Corolário 4.6. Seja U a matriz obtida da matriz quadrada A por Gauss. Então |A| =(−1) r |U|, onde r indica o número de trocas de linhas no algoritmo.Sabendo que uma matriz é invertível se e só se a matriz escada associada (por aplicaçãode Gauss) é invertível, e que esta sendo triangular superior é invertível se e só se os seuselementos diagonais são todos nulos, segue que, e fazendo uso de resultados enunciados eprovados anteriormente,Corolário 4.7. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, as afirmações seguintes sãoequivalentes:1. A é invertível;2. |A| ≠ 0;3. car(A) = n;37
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