Cálculo Matricial

4 Determinantes4.1 Definição[ ]a bConsidere a matriz A = e assuma a ≠ 0 Aplicando Gauss, obtemos a factorizaçãoc d[ ][ ] [ ]1 0 a b a b− c =a1 c d 0 − bca + d . Ou seja, a matriz A é aquivalente por linhas à matriz[ ]a bU =0 − bc a + d , que é uma matriz triangular superior. Recorde que A é invertível see só se U for invertível. Ora, a matriz U é invertível se e só se − bca+ d ≠ 0, ou de formaequivalente, se ad − bc ≠ 0. Portanto, A é invertível se e só se ad − bc ≠ 0.Este caso simples serve de motivação para introduzir a noção de determinante de umamatriz.Na definição que se apresenta de seguida, S n indica o grupo simétrico (ver Definição 3.1).Definição 4.1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de A, denotadopor det A ou |A|, é o escalar definido por∑σ∈S nsgn(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n) .Vejamos os que resulta da fórmula, quando consideramos matrizes 2 × 2 e matrizes 3 × 3.[ ]a 11 a 12Seja A = . Neste caso, o grupo simétrico S 2 tem apenas as permutaçõesa 21 a 22σ 1 = (12) e σ 2 = (21), sendo que sgn(σ 1 ) = 1 e que sgn(σ 2 ) = −1. Recorde que σ 1 (1) =1,σ 1 (2) = 2,σ 2 (1) = 2 e σ 2 (2) = 1. Obtemos, então, |A| = a 11 a 22 − a 12 a 21 .00 1100 1100 110000000000001111111111110000000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100000000000011111111111100 110000000000000000000000001111111111111111111111110000 1100 11Figura 1: Esquema do cálculo do determinante de matrizes de ordem 2Seja agora A =⎡⎢⎣⎤a 11 a 12 a 13⎥a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33⎦. Recorde que S 3 tem 6 elementos. No quadro seguinte,indicamos, respectivamente, a permutação σ ∈ S 3 , o seu sinal, e o produto a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n) .35