Cálculo Matricial

1 pivot. Ou seja, os elementos diagonais de U são não nulos. Como U é triangular superior,segue que U é invertível, e portanto A é invertível visto A ∼ U.Teorema 3.5. Se A é uma matriz não-singular, então existe uma matriz P permutação talque PA é factorizável, de forma única, como PA = LU, onde L é triangular inferior com 1’sna diagonal e U é uma matriz triangular superior com elementos diagonais não nulos.Demonstração. A existência de tal factorização é consequência do teorema 3.2. Repare que,sendo a matriz não singular, tal significa que os pivots estão presentes em todas as colunasde U. Assim, os elementos diagonais de U são os pivots, sendo estes não nulos. Resta-nosprovar a unicidade. Para tal, considere as matrizes L 1 ,L 2 triangulares inferiores com 1’s nadiagonal, e as matrizes U 1 ,U 2 triangulares superiores com elementos diagonais diferentes dezero, matrizes essas que satisfazem PA = L 1 U 1 = L 2 U 2 . Portanto, L 1 U 1 = L 2 U 2 , o queimplica, e porque L 1 ,U 2 são invertíveis (porquê?), que U 1 U2 −1 = L −11 L 2. Como L 1 ,U 2 são,respectivamente, triangulares inferior e superior, então L −11 e U2 −1 são também triangularesinferior e superior, respectivamente. Recorde que sendo a diagonal de L 1 constituida por 1’s,então a diagonal da sua inversa tem também apenas 1’s. Daqui segue que L −11 L 2 é triangularinferior, com 1’s na diagonal, e que U 1 U −12 é triangular superior. Sendo estes dois produtosiguais, então L −11 L 2 é uma matriz diagonal, com 1’s na diagonal; ou seja, L −11 L 2 = I, eportanto L 1 = L 2 . Tal leva a que L 1 U 1 = L 1 U 2 , o que implica, por multiplicação à esquerdapor L −11 , que U 1 = U 2 .OctaveAo se usar uma ferramenta computacional numérica é necessário algum cuidado nos erros detruncatura. Como exemplo, considere a matriz A=[1E-5 1E5; 1E5 1E-5]. Esta matriz énão-singular, [ e a única ] (porquê?) matriz escada obtida, sem quaisquer trocas de linhas, é10 −5 10 50 10 −5 − 10 15 . Usando o Octave,> format long> E=eye (2); E(2,1)=-A(2,1)/A(1,1)E =1 0-10000000000 1> E*Aans =1.00000000000000e-05 1.00000000000000e+05-1.45519152283669e-11 -1.00000000000000e+1533