Cálculo Matricial

pretendemos obter algo como⎡⎢⎣2 4 60 ? ?0 ? ?com o simétrico de metade da primeira. Ou seja,⎡ ⎤ ⎡2 4 6 −−−−−−−−−→⎢ ⎥⎣ 1 4 2 ⎦l 2 ← l 2 − 1 2 l ⎢1 ⎣−1 0 1⎤⎥⎦. Substitua-se a segunda linha, l 2 , pela sua soma2 4 60 2 −1−1 0 1Tal corresponde a multiplicar à esquerda a matriz A por E 21 (− 1 2 ) = ⎡o mesmo raciocínio para a terceira linha:⎡ ⎤ ⎡2 4 6 −−−−−−−−−→⎢ ⎥⎣ 1 4 2 ⎦ l 2 ← l 2 − 1 2 4 62 l ⎢1 ⎣ 0 2 −1−1 0 1−1 0 1⎤⎥⎦⎢⎣⎤ ⎡−−−−−−−−−→⎥⎦ l 3 ← l 3 + 1 2 l ⎢1 ⎣1 0 0− 1 21 00 0 12 4 60 2 −10 2 4⎤⎥⎦. FaçamosTal correspondeu a multiplicar o produto obtido no passo anterior, à esquerda, por E 31 ( 1 2 ).Ou seja, e até ao momento, obteve-se⎡ ⎤E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 4 62 )A = ⎢ ⎥⎣ 0 2 −1 ⎦ = B.0 2 4Todos os elementos na primeira coluna de B, à excepção de (B) 11 , são nulos. Concentremonosagora na segunda coluna, e na segunda linha. Pretendem-se ⎡ efectuar operações ⎤ elementaresnas linhas de B por forma a obter uma matriz da forma ⎣ 0 2 −1 ⎦. Para tal,2 4 6⎢ ⎥0 0 ?⎡⎢⎣2 4 60 2 −10 2 4⎤ ⎡⎥⎦ −−−−−−−−→ ⎢l 3 ← l 3 − l 2 ⎣2 4 60 2 −10 0 3⎤⎥⎦ = U.Ou seja, multiplicou-se B, à esquerda, pela matriz E 32 (−1). Como B = E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 )A eE 32 (−1)B = U podemos concluir que⎡ ⎤E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 4 62 )A = U = ⎢ ⎥⎣ 0 2 −1 ⎦0 0 3Repare que U é uma matriz triangular superior, e que neste exemplo tem elementos diagonaisnão nulos, e portanto é uma matriz invertível. Como as matrizes elementares são invertíveise (E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 ))−1 U = A, segue que a matriz A é também ela invertível. Noteainda que (E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 ))−1 = E 21 ( 1 2 )E 31(− 1 2 )E 32(1). A estratégia descrita acima⎤⎥⎦25