Cálculo Matricial

More documents

Recommendations

Info

P ij , tal como definidas atrás. Tal é consequência da existência de uma decomposição dapermutação em transposições. Note que as transposições se identificam com as matrizes P ij .Voltemos ao Octave e ao exemplo acima:OctaveEm primeiro lugar, definamos as matrizes associadas às transposições, e façamos o seu produto:> P1=I5([2 1 3 4 5], :);> P2=I5([1 2 5 4 3], :);> P3=I5([1 2 4 3 5], :);> P1*P2*P3ans =0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1 0O produto iguala a matriz P associada à permutação escolhida:> all(all(P==P1*P2*P3))ans = 1Operações elementares sobre as linhas de A são as que resultam pela sua multiplicaçãoà esquerda por matrizes elementares. Ou seja, são operações elementares por linhas de umamatriz• a troca de duas linhas,• a multiplicação de uma linha por um escalar não nulo,• a substituição de uma linha pela sua sua com um múltiplo de outra linha.De forma análoga se definem as operações elementares sobre as colunas de uma matriz,sendo a multiplicação por matrizes elementares feita à direita da matriz. Na prática, talresulta em substituir a palavra “linha” pela palavra “coluna” na descrição acima.Considere a matriz A =⎡⎢⎣2 4 61 4 2−1 0 1⎤⎥⎦. Em primeiro lugar, e efectuando operaçõeselementares nas linhas de A, tentaremos obter zeros por debaixo da entrada (A) 11 . Ou seja,24
pretendemos obter algo como⎡⎢⎣2 4 60 ? ?0 ? ?com o simétrico de metade da primeira. Ou seja,⎡ ⎤ ⎡2 4 6 −−−−−−−−−→⎢ ⎥⎣ 1 4 2 ⎦l 2 ← l 2 − 1 2 l ⎢1 ⎣−1 0 1⎤⎥⎦. Substitua-se a segunda linha, l 2 , pela sua soma2 4 60 2 −1−1 0 1Tal corresponde a multiplicar à esquerda a matriz A por E 21 (− 1 2 ) = ⎡o mesmo raciocínio para a terceira linha:⎡ ⎤ ⎡2 4 6 −−−−−−−−−→⎢ ⎥⎣ 1 4 2 ⎦ l 2 ← l 2 − 1 2 4 62 l ⎢1 ⎣ 0 2 −1−1 0 1−1 0 1⎤⎥⎦⎢⎣⎤ ⎡−−−−−−−−−→⎥⎦ l 3 ← l 3 + 1 2 l ⎢1 ⎣1 0 0− 1 21 00 0 12 4 60 2 −10 2 4⎤⎥⎦. FaçamosTal correspondeu a multiplicar o produto obtido no passo anterior, à esquerda, por E 31 ( 1 2 ).Ou seja, e até ao momento, obteve-se⎡ ⎤E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 4 62 )A = ⎢ ⎥⎣ 0 2 −1 ⎦ = B.0 2 4Todos os elementos na primeira coluna de B, à excepção de (B) 11 , são nulos. Concentremonosagora na segunda coluna, e na segunda linha. Pretendem-se ⎡ efectuar operações ⎤ elementaresnas linhas de B por forma a obter uma matriz da forma ⎣ 0 2 −1 ⎦. Para tal,2 4 6⎢ ⎥0 0 ?⎡⎢⎣2 4 60 2 −10 2 4⎤ ⎡⎥⎦ −−−−−−−−→ ⎢l 3 ← l 3 − l 2 ⎣2 4 60 2 −10 0 3⎤⎥⎦ = U.Ou seja, multiplicou-se B, à esquerda, pela matriz E 32 (−1). Como B = E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 )A eE 32 (−1)B = U podemos concluir que⎡ ⎤E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 4 62 )A = U = ⎢ ⎥⎣ 0 2 −1 ⎦0 0 3Repare que U é uma matriz triangular superior, e que neste exemplo tem elementos diagonaisnão nulos, e portanto é uma matriz invertível. Como as matrizes elementares são invertíveise (E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 ))−1 U = A, segue que a matriz A é também ela invertível. Noteainda que (E 32 (−1)E 31 ( 1 2 )E 21(− 1 2 ))−1 = E 21 ( 1 2 )E 31(− 1 2 )E 32(1). A estratégia descrita acima⎤⎥⎦25
Page 1: Cálculo MatricialÁlgebra Linear C
Page 4 and 5: Column 2:2.000000000000000 - 1.0000
Page 6 and 7: 3. Uma matriz A = [a ij ] diz-se tr
Page 8 and 9: 2.2 ProdutoResta-nos definir o prod
Page 10 and 11: De uma forma mais geral, se⎡A =
Page 12 and 13: BA ≠ AB, pelo que o produto de ma
Page 14 and 15: do contexto, atribua a a e a b os v
Page 16 and 17: Vimos, atrás, que o produto de mat
Page 18 and 19: É premente alertar para o facto de
Page 20 and 21: É óbvio que D l (1) = E ij (0) =
Page 22 and 23: 1 1 04 2 02 -1 4Qual a relação en
Page 26 and 27: aplicada à matriz A é denominada
Page 29 and 30: [ ](Ã) (A) 11 ∗11 ≠ 0. Essas o
Page 31: inferior ⎡ com 1’s na ⎤ diago
Page 34 and 35: Repare que a matriz não é triangu
Page 36 and 37: Permutação σ ∈ S 3 sgn(σ) a 1
Page 38 and 39: 4. A é não-singular.Portanto, uma
Page 40 and 41: 1. O complemento algébrico de a ij

Cálculo Matricial

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?