Cálculo Matricial

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É premente alertar para o facto de erros de arredondamento provocarem afirmações falsas. Testealgo tão simples como> (sqrt(2))^2==2A transconjugada de A é a matriz A ∗ = ĀT . Ou seja, (A ∗ ) ij = (A) ji . Esta diz-se hermítica(ou hermitiana) se A ∗ = A.Sejam A,B matrizes complexas de tipo apropriado e α ∈ C. Então1. (A ∗ ) ∗ = A;2. (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ ;3. (αA) ∗ = ᾱA ∗ ;4. (AB) ∗ = B ∗ A ∗ ;5. (A n ) ∗ = (A ∗ ) n , para n ∈ N;A prova destas afirmações é análoga à que apresentámos para a transposta, e fica aocuidado do leitor.Uma matriz unitária é uma matriz (quadrada) invertível, e cuja inversa iguala a suatransconjugada. De forma equivalente, uma matriz A invertível diz-se unitária se AA ∗ =A ∗ A = I.Teorema 2.6.1. A inversa de uma matriz unitária é também ela unitária.2. O produto de matrizes unitárias é de novo uma matriz unitária.Remetemos o leitor ao que foi referido no que respeitou as matrizes ortogonais para poderelaborar uma prova destas afirmações.3 Um resultado de factorização de matrizes3.1 Matrizes elementaresNesta secção, iremos apresentar um tipo de matrizes que terão um papel relevante em resultadosvindouros: as matrizes elementares. Estas dividem-se em três tipos:18
a ≠ 0;D k (a) =⎡⎢⎣1. .. 011a0. ..1⎤⎥⎦← k↑ki ≠ j;E ij (a) =⎡⎢⎣1 0. ..1 · · · a0. .. .1. ..1⎤⎥⎦← i↑jP ij =⎡⎢⎣1. ..10 11 · · ·. ..11 01. ..1⎤⎥⎦← i← j↑i↑jOu seja, as matrizes elementares de ordem n são obtidas da matriz identidade I n fazendo:• para D k (a), substituindo a entrada (k,k) por a;• para E ij (a), substituindo a entrada (i,j) por a;• para P ij , trocando as linhas i e j (ou de outra forma, as colunas i e j).19
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