Cálculo Matricial

Para finalizar esta secção, e como motivação, considere a matriz V =[0 1−1 0]. Estamatriz é invertível, e V −1 = V T (verifique!). Este tipo de matrizes denominam-se por ortogonais.Mais claramente, uma matriz ortogonal é uma matriz (quadrada) invertível, ecuja inversa iguala a sua transposta. De forma equivalente, uma matriz A invertível diz-seortogonal se AA T = A T A = I.Teorema 2.5.1. A inversa de uma matriz ortogonal é também ela ortogonal.2. O produto de matrizes ortogonais é de novo uma matriz ortogonal.Demonstração. (1) Seja A uma matriz ortogononal, ou seja, para a qual a igualdade A T = A −1é válida. Pretende-se mostrar que A −1 é ortogonal; ou seja, que ( A −1) −1 =(A−1 ) T . Ora(A−1 ) T =(AT ) −1 =(A−1 ) −1 .(2) Sejam A,B matrizes ortogonais. Em particular são matrizes invertíveis, e logo AB éinvertível. Mais,(AB) −1 = B −1 A −1 = B T A T = (AB) T .Impõe-se aqui uma breve referência aos erros de arredondamento quando se recorre a um ]sistema computacional numérico no cálculo matricial. Considere a matriz A =Matriz é ortogonal já que AA T = A T A = I 2 .[ √22√ − 22√2√222.OctaveDefinamos a matriz A no Octave:> A=[sqrt(2)/2 sqrt(2)/2; -sqrt(2)/2 sqrt(2)]A =0.70711 0.70711-0.70711 1.41421Verifique-se se AA T = A T A:> all(all(A*A’==A’*A))ans = 0A proposição é falsa! Calcule-se, então, AA T − A T A:> A*A’-A’*Aans =0.0000e+00 -8.5327e-17-8.5327e-17 0.0000e+0017