Cálculo Matricial
Cálculo Matricial Cálculo Matricial
Vimos, atrás, que o produto de matrizes triangulares inferiores [resp. superiores] é de novouma matriz triangular inferior [resp. superior]. O que podemos dizer em relação à inversa,caso exista?Teorema 2.4. Uma matriz quadrada triangular inferior [resp. superior] é invertível se e sóse tem elementos diagonais não nulos. Neste caso, a sua inversa é de novo triangular inferior[resp. superior].Antes de efectuarmos a demonstração, vejamos a que se reduz o resultado [ para matrizes ]a 11 0(quadradas) de ordem de 2, triangulares inferiores. Seja, então, L = , quea 21 a 22[ ]x yassumimos invertível. Portanto, existem x,y,z,w ∈ K para os quais I 2 = L , dondez wsegue, em particular, que a 11 x = 1, e portanto a 11 ≠ 0 e x = 1a 11. Assim, como a 11 y = 0 ea 11 ≠ 0 tem-se que y = 0. Ou seja, a inversa é triangular inferior. Como y = 0, o produtoda segunda linha de L com a segunda coluna da sua inversa é a 22 w, que iguala (I) 22 = 1.Portanto, a 22 ≠ 0 e w = 1a 11. O produto da segunda linha de L com a primeira coluna da sua1inversa é a 21 a 11+ a 22 z, que iguala (I) 21 = 0. Ou seja, z = − a 21a 11 a 22.Demonstração. A prova é feita por indução no número de linhas das matrizes quadradas.Para n = 1 o resultado é trivial. Assuma, agora, que as matrizes de ordem n triangularesinferiores invertíveis são exactamente aquelas que têm elementos diagonais não nulos. SejaA = [a ij ] uma matriz triangular inferior, quadrada de ordem n + 1. Particione-se a matrizpor blocos da forma seguinte:[ ]a 11 O,b Ãonde b é n × 1, O é 1 × n e à é n × n triangular [ inferior. ]x YPor um lado, se A é invertível então existe inversa de A, com x 1×1 ,Y 1×n ,Z n×1 ,Z WW n×n . Logo a 11 x = 1 e portanto a 11 ≠ 0 e x = 1a 11. Assim, como a 11 Y = 0 e a 11 ≠ 0[ tem-se que ][ Y = 0. O]bloco [ (2,2)]do produto é então ÃW, que iguala I n. Sabendo quex Y a 11 O 1 0= , tem-se que também Wà Z W b à 0 I = I n, e portanto à é invertível,nn × n, com (Ã)−1 = W. Usando a hipótese de indução aplicada a Ã, os elementos diagonaisde Ã, que são os elementos diagonais de A à excepção de a 11 (que já mostrámos ser não nulo)são não nulos.Reciprocamente, suponha que os elementos diagonais de A são não nulos, e portanto que oselementos diagonais de à [ são não nulos. A hipótese ] de indução garante-nos a invertibilidade1de Ã. Basta verificar que a 110− 1a 11à −1 b à −1 é a inversa de A.16
Para finalizar esta secção, e como motivação, considere a matriz V =[0 1−1 0]. Estamatriz é invertível, e V −1 = V T (verifique!). Este tipo de matrizes denominam-se por ortogonais.Mais claramente, uma matriz ortogonal é uma matriz (quadrada) invertível, ecuja inversa iguala a sua transposta. De forma equivalente, uma matriz A invertível diz-seortogonal se AA T = A T A = I.Teorema 2.5.1. A inversa de uma matriz ortogonal é também ela ortogonal.2. O produto de matrizes ortogonais é de novo uma matriz ortogonal.Demonstração. (1) Seja A uma matriz ortogononal, ou seja, para a qual a igualdade A T = A −1é válida. Pretende-se mostrar que A −1 é ortogonal; ou seja, que ( A −1) −1 =(A−1 ) T . Ora(A−1 ) T =(AT ) −1 =(A−1 ) −1 .(2) Sejam A,B matrizes ortogonais. Em particular são matrizes invertíveis, e logo AB éinvertível. Mais,(AB) −1 = B −1 A −1 = B T A T = (AB) T .Impõe-se aqui uma breve referência aos erros de arredondamento quando se recorre a um ]sistema computacional numérico no cálculo matricial. Considere a matriz A =Matriz é ortogonal já que AA T = A T A = I 2 .[ √22√ − 22√2√222.OctaveDefinamos a matriz A no Octave:> A=[sqrt(2)/2 sqrt(2)/2; -sqrt(2)/2 sqrt(2)]A =0.70711 0.70711-0.70711 1.41421Verifique-se se AA T = A T A:> all(all(A*A’==A’*A))ans = 0A proposição é falsa! Calcule-se, então, AA T − A T A:> A*A’-A’*Aans =0.0000e+00 -8.5327e-17-8.5327e-17 0.0000e+0017
- Page 1: Cálculo MatricialÁlgebra Linear C
- Page 4 and 5: Column 2:2.000000000000000 - 1.0000
- Page 6 and 7: 3. Uma matriz A = [a ij ] diz-se tr
- Page 8 and 9: 2.2 ProdutoResta-nos definir o prod
- Page 10 and 11: De uma forma mais geral, se⎡A =
- Page 12 and 13: BA ≠ AB, pelo que o produto de ma
- Page 14 and 15: do contexto, atribua a a e a b os v
- Page 18 and 19: É premente alertar para o facto de
- Page 20 and 21: É óbvio que D l (1) = E ij (0) =
- Page 22 and 23: 1 1 04 2 02 -1 4Qual a relação en
- Page 24 and 25: P ij , tal como definidas atrás. T
- Page 26 and 27: aplicada à matriz A é denominada
- Page 29 and 30: [ ](Ã) (A) 11 ∗11 ≠ 0. Essas o
- Page 31: inferior ⎡ com 1’s na ⎤ diago
- Page 34 and 35: Repare que a matriz não é triangu
- Page 36 and 37: Permutação σ ∈ S 3 sgn(σ) a 1
- Page 38 and 39: 4. A é não-singular.Portanto, uma
- Page 40 and 41: 1. O complemento algébrico de a ij
Vimos, atrás, que o produto de matrizes triangulares inferiores [resp. superiores] é de novouma matriz triangular inferior [resp. superior]. O que podemos dizer em relação à inversa,caso exista?Teorema 2.4. Uma matriz quadrada triangular inferior [resp. superior] é invertível se e sóse tem elementos diagonais não nulos. Neste caso, a sua inversa é de novo triangular inferior[resp. superior].Antes de efectuarmos a demonstração, vejamos a que se reduz o resultado [ para matrizes ]a 11 0(quadradas) de ordem de 2, triangulares inferiores. Seja, então, L = , quea 21 a 22[ ]x yassumimos invertível. Portanto, existem x,y,z,w ∈ K para os quais I 2 = L , dondez wsegue, em particular, que a 11 x = 1, e portanto a 11 ≠ 0 e x = 1a 11. Assim, como a 11 y = 0 ea 11 ≠ 0 tem-se que y = 0. Ou seja, a inversa é triangular inferior. Como y = 0, o produtoda segunda linha de L com a segunda coluna da sua inversa é a 22 w, que iguala (I) 22 = 1.Portanto, a 22 ≠ 0 e w = 1a 11. O produto da segunda linha de L com a primeira coluna da sua1inversa é a 21 a 11+ a 22 z, que iguala (I) 21 = 0. Ou seja, z = − a 21a 11 a 22.Demonstração. A prova é feita por indução no número de linhas das matrizes quadradas.Para n = 1 o resultado é trivial. Assuma, agora, que as matrizes de ordem n triangularesinferiores invertíveis são exactamente aquelas que têm elementos diagonais não nulos. SejaA = [a ij ] uma matriz triangular inferior, quadrada de ordem n + 1. Particione-se a matrizpor blocos da forma seguinte:[ ]a 11 O,b Ãonde b é n × 1, O é 1 × n e à é n × n triangular [ inferior. ]x YPor um lado, se A é invertível então existe inversa de A, com x 1×1 ,Y 1×n ,Z n×1 ,Z WW n×n . Logo a 11 x = 1 e portanto a 11 ≠ 0 e x = 1a 11. Assim, como a 11 Y = 0 e a 11 ≠ 0[ tem-se que ][ Y = 0. O]bloco [ (2,2)]do produto é então ÃW, que iguala I n. Sabendo quex Y a 11 O 1 0= , tem-se que também Wà Z W b à 0 I = I n, e portanto à é invertível,nn × n, com (Ã)−1 = W. Usando a hipótese de indução aplicada a Ã, os elementos diagonaisde Ã, que são os elementos diagonais de A à excepção de a 11 (que já mostrámos ser não nulo)são não nulos.Reciprocamente, suponha que os elementos diagonais de A são não nulos, e portanto que oselementos diagonais de à [ são não nulos. A hipótese ] de indução garante-nos a invertibilidade1de Ã. Basta verificar que a 110− 1a 11à −1 b à −1 é a inversa de A.16
Change language