Cálculo Matricial

Teorema 2.3. Dadas duas matrizes U e V de ordem n, então UV é invertível eDemonstração. Como(UV ) −1 = V −1 U −1 .(UV ) ( V −1 U −1) = U ( V V −1) U −1 = UI n U −1 = UU −1 = I ne(V −1 U −1) (UV ) = V −1 ( U −1 U ) V = V −1 I n V = V −1 V = I n ,segue que UV é invertível e a sua inversa é V −1 U −1 .Ou seja, o produto de matrizes invertíveis é de novo uma matriz invertível, e iguala oproduto das respectivas inversas por ordem inversa.Duas matrizes A e B, do mesmo tipo, dizem-se equivalentes, e denota-se por A ∼ B, seexistirem matrizes U,V invertíveis para as quais A = UBV . Repare que se A ∼ B entãoB ∼ A, já que se A = UBV , com U,V invertíveis, então também B = U −1 AV −1 . Peloteorema anterior, se A ∼ B então A é invertível se e só se B é invertível.As matrizes A e B são equivalentes por linhas se existir U invertível tal que A = UB. Éóbvio que se duas matrizes A e B são equivalentes por linhas, então são equivalentes, ou seja,A ∼ B.Se uma matriz U for invertível, então a sua transposta U T também é invertível e ( U T) −1 =(U−1 ) T . A prova é imediata, bastando para tal verificar que(U−1 ) T satisfaz as condições deinversa, seguindo o resultado pela unicidade.Segue também pela unicidade da inversa que(A−1 ) −1= A,isto é, que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz.OctaveFaçamos a verificação desta propriedade com a matriz A => B=A’;> inv(A’)==(inv(A))’ans =1 11 1[1 24 3]:15