Cálculo Matricial
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De uma forma mais geral, se⎡A =⎢⎣⎤ ⎡A 11 A 12 · · · A 1pA 21 A 22 · · · A 2p.. . .. ⎥ . ⎦ , B = ⎢⎣A m1 A m2 · · · A mp⎤B 11 B 12 · · · B 1nB 21 B 22 · · · B 2n.. . .. ⎥ . ⎦B pn B pn · · · B pnem que as submatrizes são tais que as operações seguintes estão bem definidas, então⎡AB =⎢⎣∑ pk=1 A ∑ p1kB k1 k=1 A ∑1kB k2 · · · pk=1 A ⎤∑1kB knpk=1 A ∑ p2kB k1 k=1 A ∑2kB k2 · · · pk=1 A 2kB kn... .. ⎥ . ⎦ .∑ pk=1 A ∑ pmkB k1 k=1 A ∑mkB k2 · · · pk=1 A mkB kn2.3 TransposiçãoA transposta de uma matriz A = [a ij ] ∈ M m×n (K), é a matriz A T = [b ij ] ∈ M n×m (K) cujaentrada (i,j) é a ji , para i = 1,... ,n,j = 1,... ,m. Ou seja, (A T ) ij = (A) ji . A matriz ésimétrica se A T = A.[ ] [ ] [ ]Como exemplo, a transposta da matriz1 23 4é a matriz1 32 4, e a matriz1 22 3é uma matriz simétrica.Repare que a coluna i de A T é a linha i de A, e que uma matriz é simétrica se e sóse for quadrada e forem iguais os elementos situados em posições simétricas relativamente àdiagonal principal.A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:1. ( A T) T = A;2. (A + B) T = A T + B T ;3. (αA) T = αA T , para α ∈ K;4. (AB) T = B T A T ;5. ( A k) T =(AT ) k , k ∈ N.A afirmação (1) é válida já que ((A T ) T ) ij = (A T ) ji = (A) ij .Para (2), ((A + B) T ) ij = (A + B) ji = (A) ji + (B) ji = (A T ) ij + (B T ) ij .Para (4), ((AB) T ) ij = (AB) ji = ∑ k (A) jk(B) ki = ∑ k (B) ki(A) jk = ∑ k (BT ) ik (A T ) kj =(B T A T ) ij .Para (5), a prova é feita por indução no expoente. Para k = 1 a afirmação é trivialmenteválida. Assumamos então que é válida para um certo k, e provemos que é válida para k + 1.Ora (A k+1 ) T = (A k A) T = (4) A T (A k ) T = A T (A T ) k = (A T ) k+1 .10
Octave[ ] [ ]1 2 0 1Considere as matrizes A = ,B = . Note que são do mesmo tipo, pelo que2 3 −1 1a soma está bem definida. Verifica-se a comutatividade destas matrizes para a soma.> A=[1 2; 2 3]; B=[0 1; -1 1];> A+Bans =1 31 4> B+Aans =1 31 4Façamos o produto de A pelo escalar 2:> 2*Aans =2 44 6Note ainda que o número de colunas de A iguala o número de linhas de B, pelo que o produtoAB está bem definido.> A*Bans =-2 3-3 5Verifique que também o produto BA está bem definido. Mas> B*Aans =2 31 111
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De uma forma mais geral, se⎡A =⎢⎣⎤ ⎡A 11 A 12 · · · A 1pA 21 A 22 · · · A 2p.. . .. ⎥ . ⎦ , B = ⎢⎣A m1 A m2 · · · A mp⎤B 11 B 12 · · · B 1nB 21 B 22 · · · B 2n.. . .. ⎥ . ⎦B pn B pn · · · B pnem que as submatrizes são tais que as operações seguintes estão bem definidas, então⎡AB =⎢⎣∑ pk=1 A ∑ p1kB k1 k=1 A ∑1kB k2 · · · pk=1 A ⎤∑1kB knpk=1 A ∑ p2kB k1 k=1 A ∑2kB k2 · · · pk=1 A 2kB kn... .. ⎥ . ⎦ .∑ pk=1 A ∑ pmkB k1 k=1 A ∑mkB k2 · · · pk=1 A mkB kn2.3 TransposiçãoA transposta de uma matriz A = [a ij ] ∈ M m×n (K), é a matriz A T = [b ij ] ∈ M n×m (K) cujaentrada (i,j) é a ji , para i = 1,... ,n,j = 1,... ,m. Ou seja, (A T ) ij = (A) ji . A matriz ésimétrica se A T = A.[ ] [ ] [ ]Como exemplo, a transposta da matriz1 23 4é a matriz1 32 4, e a matriz1 22 3é uma matriz simétrica.Repare que a coluna i de A T é a linha i de A, e que uma matriz é simétrica se e sóse for quadrada e forem iguais os elementos situados em posições simétricas relativamente àdiagonal principal.A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:1. ( A T) T = A;2. (A + B) T = A T + B T ;3. (αA) T = αA T , para α ∈ K;4. (AB) T = B T A T ;5. ( A k) T =(AT ) k , k ∈ N.A afirmação (1) é válida já que ((A T ) T ) ij = (A T ) ji = (A) ij .Para (2), ((A + B) T ) ij = (A + B) ji = (A) ji + (B) ji = (A T ) ij + (B T ) ij .Para (4), ((AB) T ) ij = (AB) ji = ∑ k (A) jk(B) ki = ∑ k (B) ki(A) jk = ∑ k (BT ) ik (A T ) kj =(B T A T ) ij .Para (5), a prova é feita por indução no expoente. Para k = 1 a afirmação é trivialmenteválida. Assumamos então que é válida para um certo k, e provemos que é válida para k + 1.Ora (A k+1 ) T = (A k A) T = (4) A T (A k ) T = A T (A T ) k = (A T ) k+1 .10
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