Modelagem de Processos Espaço-temporais - UFRJ

Universidade Federal do Rio de JaneiroInstituto de MatemáticaModelagem de Processos Espaço-temporaisMarina Silva Paez(marina@im.ufrj.br)April 30, 2009Trabalho realizado em colaboração com:Dani Gamerman (UFRJ)Edna Reis (UFMG)Esther Salazar (Pos-Doc UFRJ)Flávia Landim (UFRJ)Luiz LêdoPeter Diggle (Lancaster University)Ricardo Ehlers (UFPR)Victor de Oliveira (University of Arkansas)

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.2/58ProgramaIntrodução ao problema de dados estruturados no espaço-tempo;Modelos espaço-temporais para dados contínuos;Modelos espaço-temporais para processos pontuais;Modelos espaço-temporais para dados de área.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.3/58Introdução ao problema de dados estruturados no espaço-tempoObjetivo: apresentar formas de tratamento de dados coletados no espaço e/outempo que apresentam estrutura de correlação nessas dimensõesProcessos ambientais são em sua maioria contínuos no tempo e no espaço,variando portanto de forma suave em ambas as dimensões.A percepção da correlação depende da freqüência de observação dos dadosno tempo e espaço.Em problemas reais, a análise fica limitada às observações feitas dessesprocessos em determinados períodos de tempo e locais no espaço.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.4/58Dados espaço-temporais - três formas mais usuais:Dados contínuos:Poluição atmosférica no Rio de JaneiroPoluição atmosférica nos E.U.A.Processos Pontuais:Infecçẽs gastro-intestinais na Grã-BretanhaDados de Área:Infecçẽs gastro-intestinais na Grã-BretanhaMortes por causas externas no Paraná

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.Poluição atmosférica no Rio de Janeiroíndice estação índice estação1 Bonsucesso 9 Jacarepaguá2 Botafogo 10 Maracanã3 Caxias 11 Nova Iguaçú4 Centro 12 Nilópolis5 Sumaré 13 Niterói6 Copacabana 14 São Cristóvão7 Inhaúma 15 São Gonçalo8 Itaguaí 16 São João de Meriti6/58

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.7/58Poluição atmosférica no Rio de Janeiroresposta : medições de partículas inaláveis com diâmetro menor que 10µg/m 2(PM 10 )observações feitas a cada 6 dias no ano de 1999, em 16 postos demonitoramentoGrande quantidade de dados omissos

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.8/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroConcentração de partículas inaláveis ao longo do tempo.Podemos observar correlação entre as séries ao longo do tempoDependência temporal dentro de cada série

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.9/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroMédia da concentração de partículas inaláveis por estação de monitoramento.Podemos observar uma estrutura espacial nas médias por estação

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.10/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroVariável resposta: raiz quadrada da concentração de partículas inaláveis PM 10 (emµg/m 3 )Variáveis explicativas: temperatura máxima diária (TEMP), e indicadores do dia dasemana (SEG, TER, QUA, QUI, SEX, SAB)Modelo especificado:Y t (s i ) ∼ N(µ t (s i ), σ 2 e)µ t (s i ) = θ 0 (s i ) + θ 1 (s i )TEMP t + X ′t θ + φ t,θ j (·) ind∼ PG(γ j , σ 2 j ρ j(·; λ j )), j = 0, 1 .ρ j (·; λ j ), j = 1, 2 é uma função de correlação exponencial

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.11/58Poluição atmosférica no Rio de Janeiroφ té modelado como um processo AR(1):φ t = δφ t−1 + w t ,w t | σ 2 φind∼ N(0, σ 2 φ ) ,onde δ ∈ [0, 1), σ 2 φ > 0 e t ∈ Z.prioris não informativas para θ 2 , . . . , θ 7 , σ −2φ , γ 0 e γ 1 , e δ:prioris com locação obtida por análises preliminares para σ −2e , σ −2,0 σ−2,λ 1 1 e λ 0Inferência feita via MCMC, utilizando o pacote estatístico BUGS

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.12/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroEstatísticas descritivas baseadas na amostra das distribuições a posteriori obtidaspor MCMCparâmetro 2.5% 97.5% média d.p.θ 2 -0.140 1.827 0.901 0.501θ 3 -0.959 1.261 0.157 0.583θ 4 -0.477 2.224 0.907 0.688θ 5 0.526 3.378 1.876 0.720θ 6 0.605 2.953 1.824 0.604θ 7 -0.537 1.300 0.382 0.477γ 0 1.413 9.345 5.860 2.040γ 1 0.065 0.152 0.112 0.023λ 0 0.0178 0.596 0.224 0.131λ 1 0.0111 1.468 0.318 0.409σ −2 0.0567 0.532 0.234 0.1240σ −2 109.5 1196.0 495.1 279.01δ 0.289 0.927 0.636 0.169σ −2φ0.441 1.246 0.770 0.204σ −2e 0.638 0.831 0.731 0.035

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.Poluição atmosférica no Rio de JaneiroHistogramas das posterioris dos parâmetros σ −2e , σ −20 , σ−2 1 , λ 0 e λ 113/58

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.14/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroInterpolação: grade regular 50 × 50, na região que corresponde ao retângulo dafigura abaixo:Para obter amostra na escala original:Obter uma amostra da posteriori de Y t (·)Aplicar transformação quadrática a cada valor amostrado

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.15/58Poluição atmosférica no Rio de JaneiroSuperfície interpolada das concentrações de PM 10 em t=59

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.16/58Poluição atmosférica no Nordeste dos Estados Unidosduas variáveis resposta : SO 2 e NO 324 estações de monitoramento (nesse estudo)342 períodos de tempo: medições mensais de 1992 a 2004mapa do Nordeste dos EUA com postos de monitoramento

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.17/58variáveis resposta log(SO 2 ) e log(NO 3 ) ao longo do tempo, por estação de monitoramento.Observa-se clara sazonalidade nas sériesVariáveis explicativas: ondas de seno e cosseno.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.18/58Y t (s) = X ′t (s)θ 1t(s) + v 1t (s),θ 1t (s) = θ 2t + v 2t (s), v 2t (·) ind∼ f λ (v 2t )θ 2t = θ 2,t−1 + w t , w tind∼ N(0, W)para t = 1, ..., T e s = s 1 , ..., s N .F 1t e F 2t podem incorporar covariáveis.f λ (v 2t ) define uma estrutura de correlação espacialv 1t (s) ind∼ N(0, σ 2 )

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.19/58Caso multivariadoSuponha agora q (q > 1) variáveis respostaPropomos o seguinte modelo:Y t = F 1t Θ 1t + v 1t ,Θ 1t = F 2t Θ 2t + v 2t ,Θ 2t = G t Θ 2,t−1 + w t ,v 1tind∼ N(0, V 1 , Σ)v 2tind∼ N(0, V 2 , Σ)w tind∼ N(0, W, Σ)Definimos V 1 = I N .Dependência espacial está em V 2 .Particularmente: V 2 = C ⊗ Vv 2t ∼ PG(0, Vρ(λ, ·), Σ), onde C é a matriz especificada através da função decorrelação ρ(λ, ·).O modelo é completado com a especificação de distribuições a priori nãoinformativas (priori de referencia para os parametros da funcao espacial).

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.20/58Análise MultivariadaHistograma da distribuição a posteriori dos elementos Σ[1, 1], ρ[1, 2], Σ[2, 2].

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.21/58Análise MultivariadaHistograma da distribuição a posteriori dos elementos da diagonal principal damatriz V.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.22/58Análise MultivariadaHistograma da distribuição a posteriori dos elementos da diagonal principal damatriz W.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.23/58Análise MultivariadaHistograma da distribuição a posteriori obtida para o parâmetro λ.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.24/58Análise UnivariadaQuantis de 2,5%, 50% e 97,5% da amostra da distribuição preditiva de SO2.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.25/58Análise UnivariadaQuantis de 2,5%, 50% e 97,5% da amostra da distribuição preditiva de NO3.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.26/58Análise MultivariadaQuantis de 2,5%, 50% e 97,5% da amostra da distribuição preditiva de SO2.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.27/58Análise MultivariadaQuantis de 2,5%, 50% e 97,5% da amostra da distribuição preditiva de NO3.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.28/58Análise MultivariadaMediana da distribuição a posteriori de Θ 1 .

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.29/58Análise Multivariada(a) NO 3 (b) SO 2Figure: Mediana da distribuição preditiva NO3 e SO2 para pontos da grade com t fixo.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.30/58Processos PontuaisO interesse é a informação a respeito de quando e/ou onde ocorreramdeterminados eventosTempo e local de observação não vêm associados à realização de uma variávelaleatória (variável resposta).Um exemplo típico é o da ocorrência de doenças. Outros exemplos deprocessos pontuais são registros de morte por violência e acidentes de trânsito.Objetivo: identificar padrões espaciais.(a) Processo homogêneo(b) Processo não homogêneoFigure: Exemplo de processos homogêneo e não homogêneo.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.31/58Processos PontuaisModelos tratam a variação temporal e espacial da incidência de eventosDiferentes tipos de resposta:Análise dos tempos/locais de observação de eventosAgregação no espaço:Análise dos tempos de observação de eventosContagens do número de eventos em intervalos de tempo disjuntosAgregação no tempo:Análise dos locais de observação de eventosContagens do número de eventos em intervalos áreas disjuntas

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.32/58Processos PontuaisDados agregados no espaçoAbordagem 1: respostas no tempo contínuoz é o conjunto de tempos z = (z(1), · · · , z(T)) de ocorrência do processo de Cox ZAbordagem 2: dados de contagemOs dados são observados agregados em intervalos de tempoProcesso resposta: número de casos reportados durante esses intervalosSem perda de generalidade, vamos chamar cada um desses intervalos de ”dia”Y i : número de casos da doença em questão observados no dia i, i = 1, · · · , T.A série temporal Y = {Y 1 , · · · , Y T } é uma realização do processo de Cox Z comfunção de intensidade Λ(·).

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.33/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaExemplo: Dados de doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaAnálise pode ajudar a identificar mudanças no padrão de ocorrência deinfecções gastro-intestinaisT = 6754 casos reportados de janeiro de 1992 a dezembro de 1993 dedoenças gastro-intestinais no condado de Hampshirenúmero de casos na região de interesse ao longo do tempo (em dias)

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaHistograma das contagens diáriasHistograma dos casos reportados por dia.Análise preliminar: modelo log-linear de Poisson, com coeficientes dos indicadoresde dia da semana como variáveis explicativas:Intervalos de 95% de credibilidade dos coeficientes para os indicadores no dia da semana.34/58

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.35/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaY t : número de casos observados no dia t, t = 1, ..., 730.Y = (Y 1 , Y 2 , ..., Y 730 ) segue o modelo:Y t ∼ Pois(Λ t ), t = 1, ..., 730,Λ t = ρ t Π t e Π t = exp{γ t + X ′t θ}, seja τ2 = σ 2 (1 − φ 2 )[γ t + 0.5σ 2 ] = φ[γ t−1 + 0.5σ 2 ] + e t , e t ∼ N(0, τ 2 ), t = 2, ..., 730.A intensidade populacional ρ é supostamente conhecida.variáveis explicativas: X ′t= (SEG,TER,QUA,QUI,SEX,SAB,DOM) t .prioris: σ −2 ∼ Gama e φ ∼ Uniforme

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.36/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaHistogramas das amostras da posteriori de σ 2 e φ

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.37/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaIntervalos de 95% de credibilidade da trajetória do processo Λ e número de casosobservados por dia: (A) do dia 1 a 365; (B) do dia 366 a 730.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.38/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaIntervalos de 95% de credibilidade da trajetória do processo Λ e número de casosobservados por dia: (A) do dia 1 a 365; (B) do dia 366 a 730.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.39/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaSegundo exercício: Trabalhar com uma versão desagregada de YTempos de observação z = (z(1), z(2), ..., z(730)) foram gerados supondo quedados são reportados uniformemente ao longo de cada diaHistogramas das amostras da posteriori de σ 2 e φ sob essa abordagem

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.40/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaIntervalos de 95% de credibilidade dos parâmetros θ correspondendo aosindicadores de segunda a domingo sob as abordagens 1 e 2

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.41/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaPrevisão para o número de casos nos 10 últimos dias usando as abordagens 2 (emcima) e 1 (em baixo)

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.42/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaAnálise Espaço-temporal

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.43/58Dados de ÁreaA variável de interesse é obtida pela agregação de dados contínuos, ou deprocessos pontuaisÉ observada sob a forma de contagens ou médias, e é associada a uma áreano espaço

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.44/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaO mapa é dividido em sub-áreasGrade regular com 270 células sobrepostas a regi ao de estudo.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.45/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaModelagemY t ∼ Pois(λ [i,t] ), t = 1, ..., 168, i = 1, ..., 24log(λ [i,t] ) = log(a i ) + log(ˆλ 0[i] ) + µ t + φ [i,t]A distribuição espacial de todos os casos de 2001 é usada na estimação daintensidade populacional ˆλ 0[i] em cada célula i, através deˆλ 0[i] =∑ 121 y [i,t]+ δ, i = 1, ..., 168, t = 1, ..., 24a[i]onde y [i,t] é o número de contagens de eventos no célula [i, t].A tendência temporal µ t é modelada porlog(µ t ) = β 0 + β 1 t, t = 1, ..., 24

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.46/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaDefinindo φ [·,t] = (φ [1,t] , ..., φ [N,t] ) ′ , a equação de evolução no tempo é dada por:φ [·,t] = ηφ [·,t−1] + ω [·,t] , ω [·,t] ∼ N(0; (1 − η) 2 σ 2 R θ )onde 0 < η < 1, σ 2 > 0, θ > 0, 0 é um vetor de comprimento 168 com elementosiguais a zero, ecomR θ = [R i,j ] i,j=1,...,168R i,j = exp{θ||s i − s j ||},é a matriz 168 × 168 de correlações espaciais entre as células, modeladas pelafunção de correlação exponencial.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.47/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaHistogramas das amostras geradas da posteriori dos parâmetros.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.48/58Doenças gastro-intestinais na Grã-BretanhaMapas das médias a posteriori dos efeitos espaço-temporais φ [i,t] .

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.49/58Exemplo 2: Óbitos por causas externas no Estado do ParanáEm óbitos por causas externas são agrupados: homicídios, suicídios eacidentes de trânsito.O risco relativo será utilizado como referência para calcular a periculosidade decada município.Dados foram obtidos no Banco de dados do Sistema Único de Saúde(DataSus).As observações são feitas para cada município do Estado do Paranáanualmente entre os anos de 1979 a 2004.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.50/58Óbitos por causas externas no Estado do Paraná(a) mapa esperado em 1990 (b) mapa esperado em 1996Figure: Mapas de óbitos causas externas nos anos de 1980 e 2004

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.51/58Óbitos por causas externas no Estado do ParanáNúmero de óbitos nas principais cidades do Paraná ao longo do tempo

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.52/58Óbitos por causas externas no Estado do ParanáAnálise DescritivaSupondo que o número de óbitos é proporcional ao tamanho populacional, ovalor esperado é representado pela seguinte equação:e it = p it p t ,∑i y itonde, p t = , ∑i p itp it é a população do município i no tempo t.y it é o numero de óbitos por causas externas no município i no tempo t.Quanto maior a densidade populacional, maior é a esperança do número deóbitos por causas externas.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.53/58Óbitos por causas externas no Estado do Paraná(a) mapa esperado em 1990 (b) mapa esperado em 1996Figure: Mapas do valor esperado em 1990 e 1996Grande correlação entre mapas com valores observados e esperados

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.Óbitos por causas externas no Estado do ParanáModeloAssumimos um modelo Poisson para óbitos por causas externasY it ∼ Poi(Λ it )Λ it = e it ψ itonde, ψ it é o risco relativo e e it é o valor esperado para i = 1, . . . , N t = 1, . . . , TO município será classificado como perigoso se ψ it for significativamentesuperior a 1.O efeito do tamanho populacional (representado por log(e it )) pode serseparado do log(ψ it ):log(ψ it e it ) = log(ψ it ) + log(e it )Para o logaritmo do risco relativo estabelecemos o seguinte modelo linear:log(ψ it ) = α t + β t X it + φ it54/58

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.55/58Óbitos por causas externas no Estado do ParanáModelo Condicional Autoregressivo Gaussiano Intrínseco (CAR)A priori que assumimos para φ it tem a seguinte distribuição:( ∑)φ it | φ jt , σ 2 j:j∼i w ij φ j 1t∼ N, ∑ , j i;∑j:j∼i w ij j:j∼i w ijσ 2 tPara α t foi proposto um passeio aleatório;O número de escolas por região foi testada como variável explicativa, mas nãofoi significativa.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.56/58Óbitos por causas externas no Estado do ParanáResultados de Inferência(a) σ 2 t(b) α tFigure: Intervalos de credibildade para σ 2 t e α t nos 26 anos estudados.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.57/58Óbitos por causas externas no Estado do Paraná(a) φ·,2004Figure: Mapa com as médias a posteriori do parâmetro φ it para t fixo igual a 2004.

Introdução Dados Geoestatísticos Processos Pontuais Dados de Área C. F.58/58Considerações FinaisModelos espaço-temporais precisam ser bastante flexíveis para ajustar osdados.Os objetivos principais desse tipo de análise são fazer previsão para temposfuturos e interpolação no espaçoOs métodos Bayesianos levam em consideração a incerteza a respeito dosparâmetros desconhecidos e inferência pode ser feita a partir de distribuições aposteriori.Para gerar valores de uma distribuição a posteriori podemos utilizar os métodosde MCMC.