Slides da aula 4

OperadoresO : E −→ ELinearidadeO(|u〉 + |v〉) = O|u〉 + O|v〉O(λ|u〉) = λO|u〉.Operadores positivos: o produto interno entre |ψ〉 e O|ψ〉 é semprepositivo.〈ψ |O| ψ〉 ≥ 0.

OperadoresO : E −→ ELinearidadeO(|u〉 + |v〉) = O|u〉 + O|v〉O(λ|u〉) = λO|u〉.Operadores positivos: o produto interno entre |ψ〉 e O|ψ〉 é semprepositivo.〈ψ |O| ψ〉 ≥ 0.Operadores hermitianos com autovalores maiores ou iguais a zero.

OperadoresO : E −→ ELinearidadeO(|u〉 + |v〉) = O|u〉 + O|v〉O(λ|u〉) = λO|u〉.Operadores positivos: o produto interno entre |ψ〉 e O|ψ〉 é semprepositivo.〈ψ |O| ψ〉 ≥ 0.Operadores hermitianos com autovalores maiores ou iguais a zero.Operadores de traço um: representados por matrizes de traço um.

Operadores DensidadeOperadores hermitianos agindo em E com autovalores positivos e quesomam um.

Convexidade

ConvexidadeUm conjunto C em um espaço vetorial real V é chamado convexo sedados dois vetores v, u ∈ C os pontosw = λv + (1 − λ)u , λ ∈ [0, 1],também pertencem a C.

ConvexidadeUm conjunto C em um espaço vetorial real V é chamado convexo sedados dois vetores v, u ∈ C os pontosw = λv + (1 − λ)u , λ ∈ [0, 1],também pertencem a C.O segmento de reta ligando u e v está contido em C.

ConvexidadeUm conjunto C em um espaço vetorial real V é chamado convexo sedados dois vetores v, u ∈ C os pontosw = λv + (1 − λ)u , λ ∈ [0, 1],também pertencem a C.O segmento de reta ligando u e v está contido em C.O ponto w é chamado combinação convexa de u e v.

TeoremaO conjunto D(E) de operadores densidade de um sistema físico é umconjunto convexo.

TeoremaO conjunto D(E) de operadores densidade de um sistema físico é umconjunto convexo.Tr(pρ 1 + (1 − p)ρ 2 ) = pTr(ρ 1 ) + (1 − p)Tr(ρ 2 ) = p + (1 − p) = 1

TeoremaO conjunto D(E) de operadores densidade de um sistema físico é umconjunto convexo.Tr(pρ 1 + (1 − p)ρ 2 ) = pTr(ρ 1 ) + (1 − p)Tr(ρ 2 ) = p + (1 − p) = 1〈ψ |pρ 1 + (1 − p)ρ 2 | ψ〉 = p〈ψ |ρ 1 | ψ〉 + (1 − p)〈ψ |ρ 2 | ψ〉 ≥ 0.

Pontos extremais

Pontos extremaisUm elemento de um conjunto convexo é chamado extremal se não podeser escrito como soma convexa de outros elementos de C.

TeoremaOs pontos extremais de D(E) são os projetores sobre subespaçosunidimensionais.

TeoremaOs pontos extremais de D(E) são os projetores sobre subespaçosunidimensionais.Decomposição espectral:ρ = ∑ iλ i Π i .Estados puros: pontos extremais.

TeoremaOs pontos extremais de D(E) são os projetores sobre subespaçosunidimensionais.Decomposição espectral:ρ = ∑ iλ i Π i .Estados puros: pontos extremais.Estados mistos: somas convexas de pontos extremais.

Recuperando a definição da primeira aulaCada projetor unidimensional está associado de maneira única a umadireção em E.

Recuperando a definição da primeira aulaCada projetor unidimensional está associado de maneira única a umadireção em E.Podemos identificar os estados puros de um sistema quântico com asclasses de equivalência de vetores unitários em E pela relação|ψ〉 ∼ e iφ |ψ〉, φ ∈ R.

Recuperando a definição da primeira aulaCada projetor unidimensional está associado de maneira única a umadireção em E.Podemos identificar os estados puros de um sistema quântico com asclasses de equivalência de vetores unitários em E pela relação|ψ〉 ∼ e iφ |ψ〉, φ ∈ R.|ψ〉 ←→ |ψ〉〈ψ|

TestesSejam ρ ∈ D(E) um estado e E = ⊕ i E i um teste

TestesSejam ρ ∈ D(E) um estado e E = ⊕ i E i um testeΠ i : E → E ios projetores ortogonais sobre cada E i .

TestesSejam ρ ∈ D(E) um estado e E = ⊕ i E i um testeΠ i : E → E ios projetores ortogonais sobre cada E i .A probabilidade de obter o resultado i é dada por p i = Tr(ρΠ i ).

TestesSejam ρ ∈ D(E) um estado e E = ⊕ i E i um testeΠ i : E → E ios projetores ortogonais sobre cada E i .A probabilidade de obter o resultado i é dada por p i = Tr(ρΠ i ).Se a alternativa i for obtida, após o teste o sistema será descrito peloestadoρ i =Π iρΠ iTr(Π i ρΠ i ) .

Para estados purosp i = Tr(ρΠ i ) = 〈ψ |Π i | ψ〉,eρ i = |ψ i 〉〈ψ i |,em que|ψ i 〉 = Π i|ψ〉‖Π i |ψ〉‖ .

Os estados de um bitEstados puros: 0 e 1.

Os estados de um bitEstados puros: 0 e 1.Estados mistos: probabilidade p de estar no estado 0 e probabilidade1 − p de estar no estado 1.

Os estados de um bitEstados puros: 0 e 1.Estados mistos: probabilidade p de estar no estado 0 e probabilidade1 − p de estar no estado 1.Representados por um vetor de probabilidade em R 2(p 1 − p) = p(1 0) + (1 − p)(0 1)

Matriz densidade como fruto da ignorância clássicaUm aparato prepara vários exemplares de um sistema físico cujo espaçode estados é E.

Matriz densidade como fruto da ignorância clássicaUm aparato prepara vários exemplares de um sistema físico cujo espaçode estados é E.A preparação pode ser feita em dois estados puros distintos: comprobabilidade p o sistema é preparado no estado ρ 1 = |ψ 1 〉〈ψ 1 | e comprobabilidade 1 − p o sistema é preparado no estado ρ 2 = |ψ 2 〉〈ψ 2 |.

Matriz densidade como fruto da ignorância clássicaUm aparato prepara vários exemplares de um sistema físico cujo espaçode estados é E.A preparação pode ser feita em dois estados puros distintos: comprobabilidade p o sistema é preparado no estado ρ 1 = |ψ 1 〉〈ψ 1 | e comprobabilidade 1 − p o sistema é preparado no estado ρ 2 = |ψ 2 〉〈ψ 2 |.Quando um dos exemplares é liberado pelo aparato não sabemos em qualestado ele foi preparado.

Se um sistema físico foi preparado no estado ρ 1 com probabilidade p ouno estado ρ 2 com probabilidade 1 − p então a matriz densidade que odescreve éρ = pρ 1 + (1 − p)ρ 2 .

Testes em estados mistosSe realizarmos um teste com alternativas clássicas i no sistemaconsiderado acima devemos obter a resposta i com probabilidadep i = ppi 1 + (1 − p)pi2 em que p j i é a probabilidade de obtermos i noestado ρ j , j = 1, 2.

Testes em estados mistosSe realizarmos um teste com alternativas clássicas i no sistemaconsiderado acima devemos obter a resposta i com probabilidadep i = ppi 1 + (1 − p)pi2 em que p j i é a probabilidade de obtermos i noestado ρ j , j = 1, 2.De fatop i = Tr(ρΠ i ) = pTr(ρ 1 Π i ) + (1 − p)Tr(ρ 2 Π i ) = pp 1 i + (1 − p)p 2 i .

Estados mistos de um qbitOperador densidade agindo em C 2 .

Estados mistos de um qbitOperador densidade agindo em C 2 .ρ = 1 2 (I + aσ X + bσ Y + cσ Z ).

Estados mistos de um qbitOperador densidade agindo em C 2 .ρ = 1 2 (I + aσ X + bσ Y + cσ Z ).Traço um: o coeficiente de I deve ser 1/2.

Estados mistos de um qbitOperador densidade agindo em C 2 .ρ = 1 2 (I + aσ X + bσ Y + cσ Z ).Traço um: o coeficiente de I deve ser 1/2.Devemos impor condições ao vetor ( a b c ) para que o operadorseja positivo.

Estados mistos de um qbitOperador densidade agindo em C 2 .ρ = 1 2 (I + aσ X + bσ Y + cσ Z ).Traço um: o coeficiente de I deve ser 1/2.Devemos impor condições ao vetor ( a b c ) para que o operadorseja positivo.

Em forma matricial temosρ = 1 [ 1 + c a − ib2 a + ib 1 − c].Para que ρ seja uma matriz positiva é necessário e suficiente quedet(ρ) ≥ 0, uma vez que Tr(ρ) ≥ 0. Essa condição é equivalente aa 2 + b 2 + c 2 ≤ 1.

Bola de BlochIdentificamos os estados de um qbit a pontos na Bola de raio um em R 3 .

Bola de BlochIdentificamos os estados de um qbit a pontos na Bola de raio um em R 3 .A identificação entre os pontos da esfera e os estados puros utilizando afibração de Hopf coincide com essa.

Bola de BlochIdentificamos os estados de um qbit a pontos na Bola de raio um em R 3 .A identificação entre os pontos da esfera e os estados puros utilizando afibração de Hopf coincide com essa.

Bola de BlochIdentificamos os estados de um qbit a pontos na Bola de raio um em R 3 .A identificação entre os pontos da esfera e os estados puros utilizando afibração de Hopf coincide com essa.Estado maximamente misto: a = b = c = 0ρ = I 2 .

Sistemas compostosSe o espaço de estados do sistema A é E A e o espaço de estados dosistema B é E B então os estados do sistema composto AB sãorepresentados por operadores densidade em E A ⊗ E B .

Estados fatoráveis|ψ〉 = |α〉 ⊗ |β〉

Estados fatoráveis|ψ〉 = |α〉 ⊗ |β〉◮ Podem ser preparados localmente;

Estados fatoráveis|ψ〉 = |α〉 ⊗ |β〉◮ Podem ser preparados localmente;◮ Testes locais dão resultados indenpendentes;

Estados fatoráveis|ψ〉 = |α〉 ⊗ |β〉◮ Podem ser preparados localmente;◮ Testes locais dão resultados indenpendentes;◮ O estado posterior de um qbit não é afetado por testes realizados nooutro.

Estados emaranhados|ψ〉 ≠ |α〉 ⊗ |β〉

Estados emaranhados|ψ〉 ≠ |α〉 ⊗ |β〉◮ Não podem ser preparados localmente;

Estados emaranhados|ψ〉 ≠ |α〉 ⊗ |β〉◮ Não podem ser preparados localmente;◮ Testes locais em geral apresentam resultados correlacionados;

Estados emaranhados|ψ〉 ≠ |α〉 ⊗ |β〉◮ Não podem ser preparados localmente;◮ Testes locais em geral apresentam resultados correlacionados;◮ O estado posterior de um qbit pode ser afetado por testes realizadosno outro.

Matriz densidade como fruto da ignorância quânticaSe o espaço de estados do sistema A é E A e o espaço de estados dosistema B é E B então os estados do sistema composto AB sãorepresentados por operadores densidade em E A ⊗ E B .

Matriz densidade como fruto da ignorância quânticaSe o espaço de estados do sistema A é E A e o espaço de estados dosistema B é E B então os estados do sistema composto AB sãorepresentados por operadores densidade em E A ⊗ E B .Operadores densidade em E A ⊗ E B podem ser vistos como operadorespositivos de traço um em L(E A ) ⊗ L(E B ).

Seria adequado associar um estado, e portanto um operador densidade, acada sistema simples.

Seria adequado associar um estado, e portanto um operador densidade, acada sistema simples.Traço parcial

Seria adequado associar um estado, e portanto um operador densidade, acada sistema simples.Traço parcialTr A (A ⊗ B) = Tr(A)BTr B (A ⊗ B) = Tr(B)A.Estendido por linearidade às outras matrizes.

Operadores densidade reduzidosDado o operador densidade ρ que descreve um sistema quânticocomposto AB, o operador densidade ρ A que descreve o sistema A é dadoporρ A = Tr B (ρ),e o operador ρ B que descreve o sistema B é dado porρ B = Tr A (ρ).O operador ρ A é chamado operador densidade reduzido do sistema A eρ B é chamado operador densidade reduzido do sistema B.

Matriz densidade como fruto da ignorância quântica|Ψ − 〉 =|01〉 − |10〉√2≠ |a〉 ⊗ |b〉

Matriz densidade como fruto da ignorância quântica|Ψ − 〉 =|01〉 − |10〉√2≠ |a〉 ⊗ |b〉ρ AB =|01〉〈01| − |01〉〈10| − |10〉〈01| + |10〉〈10|2

Matriz densidade como fruto da ignorância quântica|Ψ − 〉 =|01〉 − |10〉√2≠ |a〉 ⊗ |b〉ρ AB =|01〉〈01| − |01〉〈10| − |10〉〈01| + |10〉〈10|2=|0〉〈0| ⊗ |1〉〈1| − |0〉〈1| ⊗ |1〉〈0| − |1〉〈0| ⊗ |0〉〈1| + |1〉〈1| ⊗ |0〉〈0|2

Matriz densidade como fruto da ignorância quântica|Ψ − 〉 =|01〉 − |10〉√2≠ |a〉 ⊗ |b〉=|0〉〈0| ⊗ |1〉〈1| − |0〉〈1| ⊗ |1〉〈0| − |1〉〈0| ⊗ |0〉〈1| + |1〉〈1| ⊗ |0〉〈0|2ρ A =|0〉〈0| + |1〉〈1|2= I 2

Matriz densidade como fruto da ignorância quântica|Ψ − 〉 =|01〉 − |10〉√2≠ |a〉 ⊗ |b〉=|0〉〈0| ⊗ |1〉〈1| − |0〉〈1| ⊗ |1〉〈0| − |1〉〈0| ⊗ |0〉〈1| + |1〉〈1| ⊗ |0〉〈0|2ρ A =|0〉〈0| + |1〉〈1|2= I 2ρ B =|0〉〈0| + |1〉〈1|2= I 2

Não é sempre verdade queρ = ρ A ⊗ ρ B .

Não é sempre verdade queρ = ρ A ⊗ ρ B .Mesmo que ρ represente um estado puro, ρ A e ρ B podem não o ser!

Não é sempre verdade queρ = ρ A ⊗ ρ B .Mesmo que ρ represente um estado puro, ρ A e ρ B podem não o ser!“The best possible knowledge of a whole does not necessarily include thebest possible knowledge of all its parts.”