Análise Numérica das Vibraç˜oes de uma Corda Elástica ... - UFRJ

Análise Numérica das Vibrações de umaCorda Elástica com Densidade eSeção Transversal VariáveisporBianca de Souza dos SantosIM/NCE - UFRJ2009

Análise Numérica das Vibrações de uma Corda Elástica comDensidade e Seção Transversal VariáveisBianca de Souza dos SantosTese de Mestrado apresentada aoInstituto de Matemática, Núcleode Computação Eletrônica daUniversidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do títulode Mestre em MatemáticaOrientador: Mauro Antônio RinconRio de JaneiroJaneiro de 2009

Análise Numérica das Vibrações de uma Corda Elásticacom Densidade e Seção Transversal VariáveisporBianca de Souza dos SantosDissertação submetida ao Corpo Docente do Núcleo de Computação Eletrônica -Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dosrequisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre.Aprovada por:Mauro Antônio Rincon, D.Sc. - IM/UFRJ(Orientador)Luis Adauto da Justa Medeiros, D.Sc. - IM/UFRJTânia Nunes Rabello, D.Sc. - IM/ITAMarcello Goulart Teixeira, D.Sc. - IM/IMEGladson Octaviano Antunes, D.Sc. - IM/UERJRio de Janeiro, RJ - Brasil2009

dos Santos, Bianca de Souza.Análise Numérica das Vibrações de uma Corda Elástica com Densidade e SeçãoTransversal Variáveis / Bianca de Souza dos Santos. - Rio de Janeiro, 2009.74 f.; il.Dissertação (Mestrado em Informática) - Universidade Federal do Rio de Janeiro,Instituto de Matemática, Núcleo de Computação Eletrônica, 2009.Orientador: Mauro Antônio Rincon1. Introdução - Teses. 2. Resultados Básicos - Teses. 3. Método dos Elementos Finitos- Teses - 5. Simulações Numéricas -I. Mauro Antônio Rincon (Orientador).II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. Núcleode Computação Eletrônica. III. Título.

Aos meus pais Aurélio e Orcériaa minha irmã Beatriziii

AgradecimentosÀ Deus, que é tudo em minha vida, sem Ele, nada sou.Ao professor e orientador Mauro Antonio Rincon por toda a ajuda, paciência e conhecimentostransmitidos durante o desenvolvimento deste trabalho.Aos professores Juan Bautista Limaco Ferrel e Marcello Goulart Teixeira, pelo grandeapoio e incentivo.Aos meus pais Aurélio e Orcéria e a minha irmã Beatriz pelo incentivo em todos osmomentos e apoio incondicional.Aos colegas de mestrado Cristina, Renata e em especial a Josemeri e Alessandro, queme mostraram o verdadeiro significado da amizade.À CAPES pelo apoio financeiro.À banca pela disposição de tempo e colaboração para a finalização deste projeto.À todos que de alguma forma fazem parte dessa vitória.iv

ResumoNeste trabalho, foi feita a Análise Numérica do modelo de Kirchhoff para pequenas vibraçõesde cordas elásticas com densidade e seção transversal variáveis, além da AnáliseNumérica do Problema de Carrier. Para resolver numericamente os problemas citados,usamos o Método de Elementos Finitos no espaço e o Método de β-Newmark notempo. Programas computacionais foram desenvolvidos usando a linguagem C e exemplosnuméricos, com tabelas de erro e gráficos serão apresentados.v

AbstractIn this work, there was done the Numerical Analysis of the model of Kirchhoff for smallvibrations of elastic ropes with density and cross section you were varying, besides theNumerical Analysis of the Problem of Carrier. To resolve numerically the problemsquoted above, we use the Method of Finite Elements in the space and the Method ofβ-Newmark in the time. Computational programs were developed using the language Cand numerical examples, with charts of mistake and printers will be introduced.vi

Sumário1 Introdução 11.1 Biografia de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Notações e Conceitos Preliminares 32.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Formulação e Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Vibrações de cordas elásticas com extremidades fixas 73.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Função de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Cálculo das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Matrizes Locais A e ab ,Be ab ,Ce ab e De ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.3 Matriz Local Cab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.4 Matriz Local Dab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Matrizes Globais A, B, C e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.3 Matriz Global C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7.4 Matriz Global D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8 Método de β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26vii

3.9 Cálculo do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Simulações Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.10.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Vibração de Cordas Elásticas 424.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Função de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Cálculo das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Matrizes Locais A e ab , Be ab e De ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.3 Matriz Local Dab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Matrizes Globais A, B e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.3 Matriz Global D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7 Método de β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Simulações Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.8.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 Análise Numérica para o Modelo de Carrier 585.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Função de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Cálculo das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Matrizes Locais A e ab e Be ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61viii

5.5.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Matrizes Globais A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7 Método de β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8 Simulações Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.8.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.9 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Bibliografia 73ix

Lista de Figuras3.1 Função base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Função base local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.11 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6 Gráfico de u(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Grafico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Grafico de u m (0.5, t) e u(0.5, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Gráfico de u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71x

Capítulo 1IntroduçãoO estudo de modelos de cordas elásticas abrange muitos campos da ciência comaplicações que vão da Engenharia à Biologia. O chamado modelo de Kirchhoff tem sidomuito utilizado no estudo do comportamento elástico de cordas longas, finas e inextensíveis.Este trabalho, tem por objetivo, encontrar as soluções numéricas através da aplicaçãode métodos numéricos, tais como, o Método de Elementos Finitos e o Método de DiferençasFinitas, Método de β-Newmark, de três modelos matemáticos, sendo dois delesuma extensão do modelo de Kirchhoff e o outro, refere-se ao Modelo de Carrier.1.1 Biografia de KirchhoffKirchhoff nasceu em Königsberg, Prússia em 12 de março de 1824 e faleceu em Berlim,Alemanha, em 17 de outubro de 1887. Foi um físico alemão com contribuições científicasprincipalmente no campo dos circuitos elétricos, na espectroscopia, na emissão de radiaçãodos corpos negros e na teoria da elasticidade (modelo de placas de Kirchhoff),além de propor o nome de ”radiação do corpo negro”em 1862.Foi o autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos elétricos e daemissão térmica. Kirchhoff formulou as leis dos nós e das malhas na análise de circuitoselétricos (Leis de Kirchhoff) em 1845, quando ainda era um estudante. Propôs a lei daemissão de radiação térmica em 1859, comprovando-a em 1861. Em 1954 transferiu-separa a Universidade de Heidelberg , onde colaborou em trabalhos sobre espectroscopia1

com Robert Bunsen, descobrindo juntamente com este os elementos césio e rubídio em1861, estudando a composição química do Sol através do seu espectro.Posteriormente propôs as três leis que descrevem a emissão de luz por objetos incandescentes:1. Um objeto sólido aquecido produz luz com espectro contínuo.2. Um gás tênue produz luz com linhas espectrais em comprimentos de onda discretosque dependem da composição química do gás.3. Um objeto sólido a alta temperatura rodeado de um gás tênue a temperaturasinferiores produz luz num espectro contínuo com vazios em comprimentos de ondadiscretos cujas posições dependem da composição química do gás.A existência destas leis foi explicada mais tarde por Niels Bohr, contribuindo decisivamentepara o nascimento da mecânica quântica.2

Capítulo 2Notações e Conceitos Preliminares2.1 NotaçõesSeja Ω = (0, 1) um intervalo limitado do R. Denotemos por L 2 (Ω) o espaço de Hilbertdas funções quadrado integráveis de Lebesgue em Ω, H s (Ω) o espaço de Sobolev de ordems. Empregamos esses espaços para s=1 ou s=2.O produto escalar e norma em L 2 (Ω) são representados por(u, v) =para u,v ∈ L 2 (Ω).∫ 1u(x)v(x)dx ; |u| 2 =∫ 100|u(x)| 2 RdxNote que |u| é a norma em L 2 (Ω) e |u(x)| Ré o valor absoluto do número real u(x).As funções u ∈ H 1 (0, 1) são contínuas. Então definimos H 1 0(0, 1) = {u ∈ H 1 (0, 1); u(0) =u(1) = 0}. O produto escalar e norma em H0(0, 1 1) são definidos por:∫ 1∂ 2 ∫u v1∣((u, v)) =∂x 2 (x)∂2 ∂x (x)dx ; 2 ||u||2 =∂u ∣∣∣2∣∂x (x) dx0Consideremos o espaço V = H 1 0(0, 1) ∩ H 2 (0, 1) equipado com o produto escalar enorma dados por:para todo u ∈ V .(u, v) V =∫ 10∂ 2 u v∂x 2 (x)∂2 ∂x (x)dx ; 2 |u|2 V =0∫ 10R∣ ∂ 2 u ∣∣∣2∣∂x (x) dx2Para T > 0, consideremos o cilindro Q = (0, 1) × (0, T ) do plano cartesiano R 2 . Asfunções a,b,c,d são definidas em Q com valores nos números positivos R + . Representamoso intervalo (0, 1) por Ω.3R

Por L ∞ (Q) representamos o espaço de Banach das funções limitadas mensuráveis emQ com valores reais, equipado com a norma:||u|| L ∞ (Q) = sup ess (x,t)∈Q |u(x, t)| R .2.2 HipótesesH1) c ∈ C 1 ( ¯Q) com c(1, t) ≥ 0, c(0, t) ≤ 0 para todo t ≥ 0. [ ¯Q é o fecho de Q e C 1 ( ¯Q)o espaço das funções continuamente diferenciáveis u : ¯Q → R].H2) a, ∂a∂t∂b ∂d, b, , d,∂t ∂t pertencem a L∞ (Q).H3) b(x, t) > 0, a(x) ≥ a 0 > 0 em Q.A não-linearidade no modelo[∂ 2 ∫u1∂t − a(x) + b(x, t)2é do tipo ||u(t)|| 2 =∫ 100( ∂u∂x) 2 ] [ ∂ 2 udx∂x − c(x, t)2∫ 10( ) 2 ] ∂u ∂udx + d(x, t)∂u∂x ∂x ∂t = 0(2.2.1)∣ ∂u ∣∣∣2∣∂x (x, t) dx e cujos coeficientes são definidos da seguinte forma:Ra(x) = τ 0γ 0 ρ(x); b(x, t) =Eσ(x, t)γ 2 0ρ(x); c(x, t) = E ∂σ (x, t)∂xsendo ρ a densidade de massa, σ a seção transversal da corda, τ a tensão, E o módulodo modelo de Young do material e d(x, t) o termo de viscosidade.Vamos considerar a não linearidade mais geral do tipo M(||u(t)|| 2 ), com M = M(λ), λ ≥0, satisfazendo certas condições.H4) M é continuamente derivável com M ′ em L ∞ (0, K) para todo K > 0 e 0 < m 0 ≤M(λ) ≤ λ, M ′ (λ) ≥ 0.4

2.3 Formulação e Resultado PrincipalMotivados pelo modelo perturbado de Kirchhoff (2.2.1), formulamos o seguinte problemade valor inicial e de fronteira: dados u 0 e u 1 achar a função u : Q → R solução doproblema de valor inicial e de fronteira:[] ∂ 2 u∂ ∂t (x, t) − a(x) + b(x, t)M(||u(t)|| 2 2 u)2 ∂x (x, t) − c(x, 2 t)M(||u(t)||2 ) ∂u (x, t)∂x + d(x, t) ∂u (x, t) = 0 em Q∂t u(0, t) = u(1, t) para todo t ≥ 0∣ u(x, 0) = u 0 (x) u ′ (x, 0) = u 1 (x) em (0, 1)(2.3.1)Definição 2.1: Chamamos de solução do problema (2.3.1) uma função u : Q → R nasclasses:satisfazendo a identidade integral:∫ T0∫ T0( ∂ 2 u∂t 2 (t), v )dt −u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω))∂u∂t ∈ L∞ (0, T ; H0(Ω))1∂ 2 u∂t ∈ 2 L∞ (0, T ; L 2 (Ω))∫ T(c(t)M(||u(t)|| 2 ) ∂u∂x (t), v )dt +0(a + b(t)M(||u(t)|| 2 ) ∂2 u∫ T0)∂x (t), v dt −2(d(t) ∂u )∂t , v dt = 0,para todo v ∈ L 2 (0, T ; L 2 (0, 1)) e satisfaz as condições iniciais em (2.3.1).Teorema 2.1: Suponha u 0 ∈ H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω) e u 1 ∈ H 1 0(Ω), satisfazendo a restrição∣ ∂ 2 u 0 ∣∣∣2∣ + ||u∂x 2 1 || 2 < δ , δ > 0onde δ é uma constante que depende de a(x, t), b(x, t), c(x, t), d(x, t) e de suas derivadasem x e t. Então, existe uma única solução de (2.3.1).5

Observação: Seja (w i ) i∈N uma base de H0(0, 1 1) solução do problema espectral.− w ixx = λ i w i em (0, 1)∣ w i (0) = w i (1) = 0A demonstração será feita pelo método das aproximações sucessivas.De fato, representamospor V 0 = {0} e por V m = [w 1 , w 2 , . . . , w m ], para m ≥ 1, o subespaço deV = H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1) gerado por w 1 , w 2 , . . . , w m . Definimos u 0 (t) para todo t ∈ [0, T ]m∑e definimos u m (t) = g jm (t)w j ∈ V m a função definida em [0, T m ] com valores em V m ,j=1solução do seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:( ) ([] ) (∂ 2 u∂ ∂t (t), w − a + b(t)M(||u 2 m−1 (t)|| 2 2 u m)∂x (t), w − c(t)M(||u 2 m−1 (t)|| 2 ) ∂u )m∂x (t), w (+ d(t) ∂u )∂t (t), w = 0 para todo w ∈ V mu m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)∂u m∣∂t (0) = u 1m → u 1 em H0(0, 1 1)(2.3.2)As estimativas e a passagem ao limite são provados em [11].6

Capítulo 3Vibrações de cordas elásticas comextremidades fixas3.1 Formulação do ProblemaO modelo proposto nesta tese é uma extensão do modelo de Kirchhoff para pequenasvibrações de cordas elásticas com extremidades móveis dado por[ ∂ 2 u∂t − τ02 m + k ∫γ(t) − L 0 k β(t)( ) 2 ] ∂u ∂ 2 u+dx = 0 , (x, t) ∈ ˆQm L 0 2mγ(t) α(t) ∂x ∂x2 u(x, t) = 0 , (x, t) ∈ Ê(3.1.1)∂u∣ u(x, 0) = u 0 (x) ,∂t (x, 0) = u 1(x) α 0 < x < β 0ondeˆQ = {(x, t) ∈ R 2 ; α(t) < x < β(t), ∀t ≥ 0}e sua fronteira definida comoÊ =⋃{α(t), β(t)} × {t}0

• k o módulo de Young do material vezes a seção transversal da corda;• u(x, t) o deslocamento vertical do ponto x da corda no tempo t;• α(t) e β(t) funções que dão o movimento dos extremos da corda durante a vibraçãosendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).Neste trabalho, iremos supor que as extremidades são fixas, ou seja, α(t) = 0 eβ(t) = 1 e ele é dado por[∂ 2 u∂t − a(x) + b(x, t)2∫ 1e cujos coeficientes definidos por0( ) 2 ] [∂u ∂ 2 udx∂x ∂x − c(x, t)2∫ 10( ) 2 ] ∂u ∂udx + d(x, t)∂u∂x ∂x ∂t = 0(3.1.2)a(x) = τ 0γ 0 ρ(x) , (3.1.3)b(x, t) =E σ(x, t)γ 2 0ρ(x)(3.1.4)c(x, t) = E ∂σ (x, t) (3.1.5)∂xO problema que estudaremos será o de determinar uma função u = u(x, t), no espaçodas soluções H0(Ω) 1 ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧ [∂ 2 ∫u1( ) 2 ] [∂u ∂ 2 ∫∂t − u1a(x) + b(x, t) dx2 0 ∂x ∂x − c(x, t)2 0⎪⎨ + d(x, t) ∂u = 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂t⎪⎩u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1( ∂u∂x) 2 ] ∂udx∂x(3.1.6)8

3.2 Método dos Elementos Finitos3.2.1 Formulação VariacionalAo Problema (3.1.6), o Método dos Elementos Finitos não é diretamente aplicável.Primeiramente, faz-se necessário expressar o problema numa forma mais adequada, fórmulaesta chamada de Formulação Variacional, para que assim, possamos aplicar o Método deGalerkin, que será visto mais adiante.Seja D(Ω) o espaço das funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação em (3.1.6) por w e integrandoem Ω = (0, 1), tem-se:∫ 10onde∂ 2 ∫u1∂t w dx + 20∂u ∂∂x ∂x (M 1(x, t)w) dx −∫ 1M 1 (x, t) = a(x) + b(x, t)0M 2 (x, t) ∂u ∫ 1∂x w dx +∫ 100M 3 (x, t) ∂u∂t w dx = 0(3.2.1)( ) 2 ∂udx (3.2.2)∂xM 2 (x, t) = c(x, t)∫ 10( ) 2 ∂udx (3.2.3)∂xM 3 (x, t) = d(x, t) (3.2.4)3.2.2 Método de GalerkinO Método de Galerkin consiste em aproximar o espaço das soluções H0(Ω) 1 por umsubespaço de dimensão finita. Para isto, definimos um subespaço V m gerado pelos mprimeiros elementos da base do espaço de Hilbert H0(Ω), 1 isto é,V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (3.2.5)onde [ϕ i ] i∈N é uma base de H0(Ω).1Buscamos, então, uma solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (3.1.6), nosubespaço V m .9

Solução AproximadaAproximamos o Problema (3.1.6) pelo problema de determinar no espaço das soluçõesV m , uma função u m = u m (x, t), tal que,⎧ ( ) ( ) (∂ 2 u m∂t ⎪⎨, w ∂um+2 ∂x , ∂∂x (M 1(x, t)w) − M 2 (x, t) ∂u )m∂x , w +u m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)(M 3 (x, t) ∂u m∂t , w )= 0 ∀w ∈ V m⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) em (3.2.1), temos:(3.2.6)∫ 10∂ 2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂x∂∂x (M 1(x, t)w) dx −Como u m (x, t) ∈ V m , podemos escrever∫ 10M 2 (x, t) ∂u ∫ 1m∂x w dx +0M 3 (x, t) ∂u m∂t w dx = 0(3.2.7)u m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m , (3.2.8)i=1e assim, obtemos∂u m∂t=m∑d ′ i(t)ϕ i (x), (3.2.9)i=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (3.2.10)d ′′i (t)ϕ i (x), (3.2.11)Substituindo de (3.2.9) à (3.2.11) em (3.2.7) e tendo w ∈ V m , podemos tomar emparticular, w = ϕ j , j = 1, · · · , m.10

Logo, temos então:m∑i=1d ′′i (t)m∑d i (t)i=1∫ 10∫ 10ϕ i (x)ϕ j (x) dx +M 2 (x, t) ∂ϕ i(x)∂xm∑∫ 1∂ϕ i (x)d i (t)i=1 0 ∂xm∑ϕ j (x) dx + d ′ i(t)i=1∂∂x (M 1(x, t)ϕ j (x)) dx −∫ 10M 3 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x)dx = 0(3.2.12)3.3 Função de InterpolaçãoComo já visto anteriormente, V m é um subespaço de H 1 0(0, 1), ondeV m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ]As funções base ϕ i escolhidas são funções de interpolação linear por partes satisfazendoa seguinte condição:ϕ i (x j ) ={1, se i = j0, se i ≠ j(3.3.1)onde x j ∈ [0, 1] é denominado ponto nodal ou simplesmente nó. Os nós são pontosdiscretos do intervalo [0,1], distribuídos de forma equidistante ou não.divisões em [0,1] definimos o passoNo caso dos nós serem equidistantes, h i = h = 1/m.Tomando mh i = x i+1 − x i , i = 1, · · · , m (3.3.2)Em cada intervalo, definimos a função ϕ i (x) linear por partes satisfazendo a condição(3.3.1). Então, ϕ i (x) é definida por⎧⎪⎨ϕ i (x) =x − x i−1= x − x i−1,x i − x i−1 h i−1∀ x ∈ [x i−1 , x i ]x − x i+1= x i+1 − x,x i − x i+1 h i∀ x ∈ [x i , x i+1 ](3.3.3)⎪⎩0, ∀ x ∉ [x i−1 , x i+1 ]11

cuja derivada é dada por1, ∀ x ∈ (x i−1 , x i )h i−1⎧⎪∂ϕ ⎨i∂x (x) = − 1 , ∀ x ∈ (x i , x i+1 )h i⎪ ⎩(3.3.4)0, ∀ x ∉ (x i−1 , x i+1 )A função ϕ i está definida para i = 1, . . . , m + 1.Podemos representar geometricamente as funções ϕ i , como mostrado na Figura 3.1.❆❆ ϕ i (x)❆1 ❆❆✁ ✁✁✁✁✁✁✁❆h❆i−1 h i ❆x 1 x i−1 x i x i+1 x m+1Figura 3.1: Função baseConsideraremos neste trabalho, uma malha uniforme com passo constante h i = h =1/m e os pontos nodais dados por(x i = (i − 1) 1 ), i = 1, 2, . . . , m + 1mObservamos que com a definição da função em (3.3.3) e (3.3.4), temos:Assimϕ i (x)ϕ j (x) = 0e∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)∂x ∂x= 0 se | i − j |≥ 2e∫ 10∫ 10ϕ i (x)ϕ j (x) dx =∫ xi+1∫∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)xi+1dx =∂x ∂xx i−1x i−1ϕ i (x)ϕ j (x) dx para j = i − 1, i, i + 1 (3.3.5)∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)dx se | i − j |≥ 2 (3.3.6)∂x ∂x12

Problema LocalUma forma mais apropriada de determinar a solução aproximada do Problema (3.2.6),é através de soluções locais. Para obtermos tais soluções locais precisamos considerar umapartição do domínio Ω em subregiões Ω e , tal que,m⋃Ω = Ω e , Ω e ∩ Ω s = ∅, e ≠ se=1Considere Ω = (0, 1) e uma discretização não necessariamente uniforme dada porx i+1 = x i + h i ,i = 2, · · · , monde x 1 = 0 e x m+1 = 1 devido as condições de fronteira.Para cada intervalo [x i , x i+1 ], considere um elemento e denominado elemento finito eas coordenadas locais [x e 1, x e 2] = [x i , x i+1 ]. Geometricamente os m elementos podem serrepresentados como na Figura 3.2.x 1 1e = 1✁ ✁✁✁✁✁✁✁ e − 1x e−11ϕ e−12❆❆❆❆ϕ e 1❆❆e ❆❆x e−12 = x e 1x e 2e = mx m 2Figura 3.2: Função base localporEntão, temos m intervalos chamados de elementos finitos, [x e 1, x e 2], e = 1, · · · , m.Definimos a função de interpolação local ϕ e a(x) para cada intervalo local [x e 1, x e 2] dada⎧⎪⎨ϕ e a(x) =ϕ e 1(x) = xe 2 − xh e, ∀ x ∈ [x e 1, x e 2]ϕ e 2(x) = x − xe 1h e, ∀ x ∈ [x e 1, x e 2](3.3.7)⎪⎩0, ∀ x ∉ [x e 1, x e 2]onde h e = x e 2 − x e 1.13

A função de interpolação ϕ i (x) apresentada em (3.3.3) é a junção das funções deinterpolação local ϕ e−12 (x) e ϕ e 1(x), ou seja,⎧ϕ⎪⎨e−12 (x), ∀ x ∈ [x e−11 , x e−12 ] = [x i−1 , x i ]ϕ i (x) =ϕ e 1(x), ∀ x ∈ [x e 1, x e 2] = [x i , x i+1 ]⎪⎩ 0, ∀ x ∉ [x i−1 , x i+1 ](3.3.8)Usando a notação acima, definimos (3.2.12) em termos de cada elemento, ou seja,constantes em cada elemento finito e, assim temos:2∑a=12∑a=1∫ x ed ′′ 2ea (t) ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=1∫ x ed e 2a(t) M 2 (x, t) ∂ϕe a(x)x e ∂x ϕe b dx +1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x ed e 2a(t)x e 12∑a=1d ′ ea (t)∂ϕ e a(x) ∂∂x ∂x (M 1(x, t)ϕ e b(x))dx −∫ x e2x e 1M 3 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0(3.3.9)Devido a existência das funções M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) nas integrais, a equaçãoé de difícil solução. Considerando o conceito local apresentado anteriormente e tomandoque o tamanho h ede cada elemento é suficientemente pequeno, passaremos então aconsiderar as funções contínuas M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) constantes em cada elementofinito e.Logo, linearizando no tempo, tomamos M 1 (x, t) = M e 1(t), M 2 (x, t) = M e 2(t) e M 3 (x, t) =M e 3(t) e considerando x constante em cada elemento finito e, obtemos:2∑a=12∑a=1∫ x ed ′′ 2ea (t) ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=1∫ x ed e a(t)M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx +1∫ x ed e a(t)M1(t)e 2x e 12∑a=1d ′ ea (t)M e 3(t)∂ϕ e a(x)∂x∫ x e2x e 1∂ϕ e b (x)∂xdx −ϕ e a(x)ϕ e b(x)dx = 0(3.3.10)onde 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.14

3.4 Cálculo das MatrizesDenotando porA =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e , C =e=1m∑Cab e e D =e=1m∑e=1D e abRestringindo as matrizes A, B, C, D a cada elemento e temos:A e ab =∫ x e2x e 1∫ x eBab e = M1(t)e 2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (3.4.1)∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (3.4.2)∫ x eCab e = M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx (3.4.3)1∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (3.4.4)x e 1As matrizes locais A e ab , Be ab , Ce ab e De ab são de ordem (2×2) onde veremos mais adiantena Seção 3.6. Essas matrizes locais de ordem (2 × 2) foram introduzidas devido ao fatodelas terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) = 0, se |a − b| ≥ 2.3.5 Integração NuméricaUtilizaremos um método de integração numérica chamado de Quadratura Gaussianacom dois pontos ζ 1 e ζ 2 , que são exatos para polinômio de grau ≤ 3, com o intuito detornar mais flexível a montagem das matrizes locais apresentadas em (3.4.1), (3.4.2) ,(3.4.3) e (3.4.4).A quadratura Gaussiana no caso unidimensional é dada por∫ 1−1q(ζ l ) dζ =N∑q(ζ l )w ll=115

onde N é o número de pontos de integração, √ ζ l é a coordenada e w l é o peso associado a3ζ 1 . Quando N = 2, então, ζ 1 = −3 = −ζ 2 e w 1 = w 2 = 1. Nestas condições o erro deintegração é dado porE G = 1 d 4 q(ζ)135 dζ 4e a integral é calculada por∫ 1−1( √ ) (√ )3 3q(ζ) dζ = q − + q3 3Desde que o intervalo de integração da função q é o intervalo fechado [-1,1] então,para calcular as matrizes locais do elemento e, cujas coordenadas são dadas por [x e 1, x e 2],precisamos fazer a seguinte transformação isoparamétrica:ξ : [x e 1, x e 2] → [−1, 1]onde h e = x e 2 − x e 1. A função inversa ξ −1 de ξ é dada porx ↦−→ ξ(x) = 1 h e(2x − x e 1 − x e 2) (3.5.1)x e : [−1, 1] → [x e 1, x e 2]ξ ↦−→ x e (ξ) = 1 2 (xe 1 + x e 2 + h e ξ) (3.5.2)Além disso,dx edξ = h e2(3.5.3)Agora, iremos calcular as matrizes locais.3.6 Matrizes Locais A e ab ,Be ab ,Ce ab e De abTemos m elementos para os (m + 1) nós da discretiza¸aão de Ω = (0, 1), onde temosque:m∑m∑m∑A = A e ab , B = Bab e , C = Cab e e D =e=1e=1e=1e=1m∑D e abAs funções ϕ e 1 e ϕ e 2 são as únicas funções de interpolação não nulas no intervalo [x e 1, x e 2]em (3.3.7). Logo, a matriz local A e ab , já vista anteriormente em (3.4.1), foi definida como16

sendo de ordem (2 × 2), pois os elementos A e 11, A e 12, A e 21 e A e 22 que pertencem a e-ésimae (e + 1)-ésima linhas e colunas são os únicos não necessariamente nulos. Assim temos:⎡⎤0 0A e ab =A e 11 A e 12← eA e 21 A e 22← e + 1⎢⎥⎣⎦0 0Logo, podemos representar os elementos A e 11, A e 12, A e 21 e A e 22 respectivamente porA e ee, A e e,e+1, A e e+1,e e A e e+1,e+1. Faremos o mesmo com as matrizes Bab e , Ce ab e De ab , dondeobtemos:[ ] [ ] [ ]AeA e ab = 11 A e 12Be, B eA e 21 A e ab = 11 B12e Ce, C e22B21 e B22e ab = 11 C12e ,C21 e C22e[ ]DeDab e = 11 D12eD21 e D22ecuja ordem das submatrizes é (2 × 2) formados pelos coeficientes de coordenadas nãonulas.3.6.1 Matriz Local A e abTemos que a matriz local A e abem (3.4.1) é dada porA e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.4.1), temos:∫ 1A e ab = ϕ e a(ξ)ϕ e b(ξ) h ∫ 1( √ ) (√ )e3 32 dξ = q(ξ) dξ = q − + q3 3−1−1(3.6.1)ondeq(ξ) = h e2 ϕe a(ξ)ϕ e b(ξ)17

Antes de explicitarmos a função q(ξ), é preciso, primeiramente, definir a função deinterpolação ϕ e a(ξ) no intervalo [-1, 1]. Por exemplo, usando polinômio de grau 1, temos:⎧ϕ e (1 − ξ)1(ξ) = , ∀ ξ ∈ [−1, 1]⎪⎨2ϕ e a(ξ) = ϕ e (1 + ξ)2(ξ) = , ∀ ξ ∈ [−1, 1](3.6.2)2⎪⎩ 0, ∀ ξ ∉ [−1, 1]Temos que, a função ϕ e a(x) definida em (3.3.7) para x ∈ [x e 1, x e 2] é equivalente à funçãoϕ e a(ξ) definida em (3.6.2) para ξ ∈ [−1, 1].Utilizando a função (3.6.2) em (3.6.1), obtemos os elementos da matriz local A e ab dadapor[ ]AeA e ab = 11 A e 12A e 21 A e 22A e 11 =A e 12 =∫ 1= h e8q(ξ) dξ = h e2−1∫ 1∫ 1= h e8−1−1∫ 1∫ 1−1( ) 1 − 2ξ + ξ2dξ = h e3q(ξ) dξ = h e2−1∫ 1−1( ) 1 − ξ2dξ = h e6ϕ e 1(ξ)ϕ e 1(ξ) dξ = h e2ϕ e 1(ξ)ϕ e 2(ξ) dξ = h e2∫ 1−1∫ 1−1(1 − ξ) (1 − ξ)2 2(1 − ξ) (1 + ξ)2 2dξdξ(3.6.3)(3.6.4)Por se tratar de uma matriz simétrica temos que, A e 21 = A e 12.A e 22 =∫ 1−1q(ξ) dξ = h e2∫ 1−1ϕ e 2(ξ)ϕ e 2(ξ) dξ = h e2∫ 1−1(1 + ξ) (1 + ξ)2 2dξ= h e8∫ 1−1( ) 1 + 2ξ + ξ2dξ = h e3(3.6.5)Como a malha é uniforme, temos h = h e e de (3.6.3), (3.6.4) e (3.6.5) temos que amatriz local A e ab é da seguinte forma:[ ]A e ab = h 2 1(3.6.6)6 1 218

3.6.2 Matriz Local B e abTemos que a matriz local Bab e , vista anteriormente em (3.4.2), é dada por∫ x eBab e = M1(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxpara 1 ≤ a, b ≤ 2. Podemos reescrever B e ab comoB e ab = M e 1(t) ˆB e ab (3.6.7)ondeˆB e ab =∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (3.6.8)Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.6.8), temos:ˆB e ab =∫ 1−12 ∂ϕ e a(ξ) 2 ∂ϕ e b (ξ)h e ∂ξ h e ∂ξh e2 dξ = ∫ 1−1(q(ξ) dξ = q −√ ) (√ )3 3+ q3 3(3.6.9)ondeq(ξ) = 2 h e( ∂ϕea (ξ)dξ∂ϕ e b (ξ) )dξAntes de explicitarmos a função q(ξ), é preciso primeiramente definir a função deinterpolação ϕ a (ξ) no intervalo [-1, 1]. Derivando (3.6.2), obtemos:⎧∂ϕ e 1(ξ)= − 1 ∀ ξ ∈ [−1, 1]∂ξ 2∂ϕ⎪⎨e ∂ϕa(ξ)e 2(ξ)= = 1 ∀ ξ ∈ [−1, 1]∂ξ ∂ξ 2(3.6.10)⎪⎩0 ∀ ξ ∉ [−1, 1]Utilizando a função (3.6.10) em (3.6.9), obteremos os elementos da matriz local ˆBe ab ,dada por[ ˆBeˆB ab e = 11ˆBe 12ˆB 21e ˆB 22e]ˆB e 11 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 1(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 1(ξ)∂ξdξ =∫ 1−12(− 1 )(− 1 )dξh e 2 219

∫ 11= dξ = 1 (3.6.11)−1 2h e h eˆB e 12 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 1(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 2(ξ)∂ξdξ =∫ 1−12(− 1 ) 1dξh e 2)(2=∫ 1−1− 12h edξ = − 1 h e(3.6.12)Por se tratar de uma matriz simétrica temos que, ˆBe 21 = ˆB e 12.ˆB e 22 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 2(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 2(ξ)∂ξdξ =∫ 1−1( )2 1 1dξh e 2)(2=∫ 1−112h edξ = 1 h e(3.6.13)Como h = h e e de (3.6.11) a (3.6.13), temos que a matriz local ˆBe ab é dada porˆB e ab = 1 h[1 −1−1 1](3.6.14)Logo, substituindo (3.6.14) em (3.6.7), temos a matriz local Bab e[ ]Bab e = M 1(t)e 1 −1h −1 1é da seguinte forma:(3.6.15)3.6.3 Matriz Local C e abTemos que a matriz local Cab e , vista anteriormente em (3.4.3) é dada poronde∫ x eCab e = M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx = M 2(t)Ĉe e ab (3.6.16)1Ĉ e ab =∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x)∂x ϕe b(x) dx (3.6.17)para 1 ≤ a, b ≤ 2.20

Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.6.17), temos:poisĈ e ab =∫ 1−12 ∂ϕ e a(ξ)ϕ eh e ∂ξb(ξ) h ∫ 1e2 dξ =−1∂ϕ e a∂x = ∂ϕe a dξ∂ξ dx = 2 ∂ϕ e ah e ∂ξ∂ϕ e a(ξ)ϕ e∂ξb(ξ) dξ (3.6.18)Logo, utilizando a função (3.6.2) e (3.6.10) em (3.6.18), obteremos cada elemento damatriz local Ĉ e ab dada por Ĉ e ab =[Ĉe 11 Ĉ e 12]ondeĈ e 11 ==Ĉ e 12 ==Ĉ e 21 ==Ĉ e 22 ==∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−1( ) ξ − 1dξ = − 1 42q(ξ) dξ =∫ 1−1( ) −ξ − 1dξ = − 1 42Ĉ e 21Ĉ e 22∂ϕ e 1(ξ)ϕ e∂ξ1(ξ) dξ =∂ϕ e 1(ξ)ϕ e∂ξ2(ξ) dξ =∫ 1−1∫ 1−1(− 1 )( ) 1 − ξdξ2 2(− 1 )( ) 1 + ξdξ2 2∫ 1∂ϕ e ∫ 1)( )q(ξ) dξ =2(ξ)1 1 − ξϕ e−1 ∂ξ1(ξ) dξ =dξ−1(2 2( ) 1 − ξdξ = 1 4 2∫ 1∂ϕ e ∫ 1)( )q(ξ) dξ =2(ξ)1 1 + ξϕ e−1 ∂ξ2(ξ) dξ =dξ−1(2 2( ) 1 + ξdξ = 1 4 2(3.6.19)(3.6.20)(3.6.21)(3.6.22)porDe (3.6.19) a (3.6.22) temos que a matriz local Ĉe ab é uma matriz anti-simétrica dadaĈ e ab =⎡⎢⎣− 1 2 −1 21 12 221⎤⎥⎦ (3.6.23)

Logo, substituindo (3.6.23) em (3.6.16), temos a matriz local Cab e é da seguinte forma:⎡Cab e = M 2(t)Ĉe e ab = M2(t)e ⎢⎣− 1 2 −1 21 12 2⎤⎥⎦ = 1 2⎡⎣ −M e 2(t)M e 2(t)−M e 2(t)M e 2(t)⎤⎦ (3.6.24)3.6.4 Matriz Local D e abTemos que a matriz D e abvista anteriormente em (3.4.4) é dada por∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (3.6.25)x e 1ondepara 1 ≤ a, b ≤ 2.A e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (3.6.26)De (3.6.6), temos:⎡A e ab = h ⎣ 2 161 2⎤⎦ (3.6.27)Logo, substituindo (3.6.27) em (3.6.25), temos a matriz local Dab e dada porD e ab = hM e 3(t)6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (3.6.28)3.7 Matrizes Globais A, B, C e DNesta Seção, faremos a montagem das matrizes globais a partir das matrizes locais,uma vez que:A =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e , C =e=1m∑Cab e e D =e=1m∑e=1D e ab22

3.7.1 Matriz Global AConsideraremos a matriz local definida em (3.4.1) e a função ϕ e a(x) definida em (3.3.7)onde [x e 1, x e 2] = [x e , x e+1 ]. Consideraremos também i = j = e, no cálculo do coeficienteda matriz A ee . Temos:A ee =∫ 10Donde obtemosϕ e (x)ϕ e (x) dx =A ee =∫ xe−12x e−11∫ xex e−1ϕ e (x)ϕ e (x) dx +∫ xe+1∫ x eϕ e−12 (x)ϕ e−122 (x) dx + ϕ e 1(x)ϕ e 1(x) dxx e 1x eϕ e (x)ϕ e (x) dx (3.7.1)A ee = A e−122 + A e 11 (3.7.2)para e = 2, 3, · · · , m. Temos então que A e−122 e A e 11 são os coeficientes das matrizes locaisM e−1 e M e de ordem (2 × 2).Da mesma forma, obtemos:A e,e+1 =A e+1,e =global:onde∫ 10∫ 10ϕ e (x)ϕ e+1 (x) dx =ϕ e+1 (x)ϕ e (x) dx =∫ xe+1x eϕ e (x)ϕ e+1 (x) dx =∫ xe+1x eϕ e+1 (x)ϕ e (x) dx =∫ x e2x e 1∫ x e2x e 1ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) dx = A 12(3.7.3)ϕ 2 (x)ϕ 1 (x) dx = A 21(3.7.4)Generalizando, temos o seguinte algoritmo na composição dos coeficientes da matrizA 11 =∫ 10ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx =Analogamente, temos:Para e = 2, 3, · · · , m, temosA ee = A e−122 + A e 11A e,e+1 = A e 12 (3.7.5)A e+1,e = A e 21∫ x 12x 1 1ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx =∫ x e2x e 1ϕ 1 1(x)ϕ 1 1(x) dx = A 1 11 (3.7.6)A m+1,m+1 =∫ x m2x m 1ϕ m 2 (x)ϕ m 2 (x) dx = A m 22 (3.7.7)23

De (3.7.5) a (3.7.7), obtemos a matriz global A dada pelo algoritmo:A 11 = A 1 11A ee = A e−122 + A e 11 e = 2, 3, · · · , mA e,e+1 = A e 12 e = 1, 2, · · · , m (3.7.8)A e+1,e = A e 21A m+1,m+1 = A m 22e = 1, 2, · · · , mSendo A e aba matriz local dada em (3.6.6) por⎡A e ab = h ⎣ 2 16 1 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz A e ab e sendo ela simétrica e tridiagonal, achamosmais conveniente colocá-la na forma de coluna, ou seja, como a matriz é tridiagonal,os outros elementos são nulos, logo colocamos as 3 diagonais em forma de coluna, ondeteremos:⎡ ⎤0 4 1A = h 1 4 1(3.7.9)6 ⎢ ⎥⎣ . . . ⎦1 4 03.7.2 Matriz Global BSendo B e aba matriz local dada em (3.6.15) por[Bab e = M 1(t)e 1 −1h −1 1]Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, achamosmais conveniente colocá-la na forma de coluna, onde teremos:⎡B = 1 h ⎢⎣0 M 1 1 (t) + M 2 1 (t) −M 1 1 (t)−M 1 1 (t) M 2 1 (t) + M 3 1 (t) −M 2 1 (t).−M m−21 (t) M m−11 (t) + M m 1 (t) 0..⎤⎥⎦(3.7.10)24

3.7.3 Matriz Global CSendo Cab e , a matriz local dada em (3.6.24) por⎡Cab e = 1 ⎣ −M 2(t)e2M2(t)e−M e 2(t)M e 2(t)⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Cab e e sendo ela tridiagonal, achamos maisconveniente colocá-la na forma de coluna, onde teremos:⎡C =⎢⎣0M 1 2 (t)2.− M m−22 (t)2M2 1 (t)2M2 2 (t)2− M 2 2 (t)2− M 3 2 (t)2.M2 m−1 (t)− M 2 m (t)2 2− M 2 1 (t)2− M 2 2 (t)2.0⎤⎥⎦(3.7.11)3.7.4 Matriz Global DSendo Dab e , a matriz local dada em (3.6.28) por⎡Dab e = hM 3(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8), na matriz Dabe e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la na forma de coluna, onde teremos:⎡D = h⎢⎣0M3 1 (t)3.M3 m−2 (t)3M3 1 (t) + M3 2 (t)3M3 2 (t) + M3 3 (t)3.M3 m−1 (t) + M3 m (t)3M3 1 ⎤(t)3M3 2 (t)3.⎥⎦0(3.7.12)Substituindo de (3.7.9) a (3.7.12) em (3.3.10) podemos escrever (3.3.10) no seguintesistema de equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + (B − C)d(t) + Dd ′ (t) = 025

onde denotamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (3.7.13)3.8 Método de β-NewmarkMatematicamente, a equação Ad ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = 0 representa umsistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e, em particular, a soluçãodas equações não são tão triviais. Logo, o Método escolhido para resolver o sistema deequações diferencias de segunda ordem foi o Método de β-Newmark, que consiste em umMétodo de Diferenças Finitas que estudaremos a seguir.Seja o intervalo de tempo fixo [0, T ].tempos iguais de tamanho ∆t, ondeDividiremos esse intervalo em N passos de∆t = T Ne os tempos discretos no intervalo [0, T ] denotaremos port n = n∆t, n = 0, 1, · · · , N.Assim, para qualquer função tempo-dependente, denotaremos d n = d(t n ) e consideremosas seguintes interpolações de Newmark com parâmetro β ≥ 1 4d n = βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1 (3.8.1)onde β é usado para estabilizar o sistema aproximado e as aproximações de diferençaspara a primeira e segunda derivadas dadas por(d ′ ) n = dn+1 − d n−12∆t(d ′′ ) n = dn+1 − 2d n + d n−1∆t 2 (3.8.2)A aproximação da primeira derivada (d ′ ) n pode ser obtida seguindo as Fórmulas deTaylor, dada pord(t + ∆t) = d(t) + ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) + ∆t33! d′′′ (t) (3.8.3)26

e de forma análogad(t − ∆t) = d(t) − ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) − ∆t33! d′′′ (t) (3.8.4)Subtraindo (3.8.3)-(3.8.4), obtemos:Logo,d(t + ∆t) − d(t − ∆t) = 2∆td ′ (t) + ∆t33 d′′′ (t)d ′ (t) =d(t + ∆t) − d(t − ∆t)2∆t− ∆t26 d′′′ (t)Então, tem-se:d ′ (t) ∼ = 1 ()d(t + ∆t) − d(t − ∆t) ,2∆tcom erro O(∆t 2 ) (3.8.5)Assim, no tempo discreto, temos:(d ′ ) n ∼ =d n+1 − d n−12∆t(3.8.6)E a aproximação da segunda derivada (d ′′ ) n também é obtida seguindo as Fórmulasde Taylor, dada pord(t + ∆t) = d(t) + ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) + ∆t33! d′′′ (t) + ∆t44! div (t) (3.8.7)d(t − ∆t) = d(t) − ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) − ∆t33! d′′′ (t) + ∆t44! div (t) (3.8.8)Somando (3.8.7) e (3.8.8), obtemos:d(t + ∆t) + d(t − ∆t) = 2d(t) + ∆t 2 d ′′ (t) + ∆t412 div (t)Logo,Então, tem-se:d ′′ (t) =d(t + ∆t) + d(t − ∆t) − 2d(t)∆t 2− ∆t212 div (t)d ′′ (t) ∼ =d(t + ∆t) − 2d(t) + d(t − ∆t)∆t 2 , com erro O(∆t 2 ) (3.8.9)Assim, no tempo discreto, temos:(d ′′ ) n ∼ =d n+1 − 2d n + d n−1∆t 2 (3.8.10)27

Usando as aproximações, a discretização no tempo do sistemaé dada porondeAd ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = 0( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) −∆t 2C ( ( )βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) d n+1 − d n−1+ D= 02∆tEntão obtemos:( AD+ β(B − C) +∆t2 2∆t) ( 2Ad n+1 =Reescreveremos o sistema acima como• G = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC + ∆t D 2∆t 2 − (1 − 2β)(B − C) )d n( A−• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B + ∆t 2 (1 − 2β)CD+ β(B − C) −∆t2 2∆t(3.8.11))d n−1 (3.8.12)G(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (3.8.13)• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC − ∆t D 2Quando considerarmos n=0, precisaremos calcular d −1 . O cálculo de d −1 será feitopela diferença central dada por:d −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)O sistema visto anteriormente é resolvido de forma recursiva para n.n = 0, temos o sistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −1Logo, paraLogo, podemos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através das condições iniciais e d −1 pela diferença central.Como já conhecemos os valores de d 0 e d 1 , podemos então calcular o valor de d 2 , paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método de Eliminação de Gauss.28

3.9 Cálculo do ErroO conhecimento da solução possibilitará o cálculo do erro definido porE(x) = u(x) − u m (x) (3.9.1)A norma em L 2 (0, 1) do erro E é definida por(∫ 11/2‖E‖ 0 = |E| dx) 2 (3.9.2)e pode ser calculada, usando o método do ponto médio quadrático0Logo, obtemos:∫ 10(f(x)) 2 dx =‖E‖ 0 =m∑( ) 2 f(xi ) + f(x i+1 )· h i (3.9.3)i=2( m∑i=22(E i+1 + E i ) 2 h i4) 1/2(3.9.4)Como trabalhamos com uma malha uniforme de comprimento h i = h = 1 m , temos:‖E‖ 0 =( m∑E, a norma em H0(0, 1 1) do erro E é definida por∫ (1‖E‖ 2 1 = |E| 2 +dE) ∫ 1∣∣ dx = |E|∣2 2 dx +dxTemos que,0i=2)(E i+1 + E i ) 2 11/2(3.9.5)4m0∫ 10dE∣ dx ∣2dx (3.9.6)Portanto,∫ 10dE∣ dx ∣2‖E‖ 2 1 =dx =m∑i=2m∑i=2∫ 10|E| 2 dx = ‖E‖ 2 0( ) 2 dEdx (x i) · h i =(E i+1 + E i ) 2 h i4 + m∑i=2em∑i=2(Ei+1 − E ih i) 2· h i(3.9.7)( ) 2 Ei+1 − E i· h i(∑ m=⇒ ‖E‖ 1 = (E i+1 + E i ) 2 h m) (3.9.8)i4 + ∑(E i+1 − E i ) 2 1 1/2h ii=2i=2h i29

Como trabalhamos com h i = h = 1 m , temos:‖E‖ 1 =( m∑i=2((E i+1 + E i ) 2 1) ) 1/24m + (E i+1 − E i ) 2 m(3.9.9)Também, se E(x, t) = u(x, t) − u m (x, t), então a norma em L ∞ (0, T ; L 2 (0, 1)) do erroE é definida por‖E‖ L ∞ (0,T ;L 2 (0,1))= max |E(x i, t n )| L0≤n≤N 2 (0,1)(∑ m= max0≤n≤Ni=2[E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 h i4) 1/2 (3.9.10)Sabendo que o comprimento da malha é h i = h = 1 m , temos:‖E‖ L ∞ (0,T ;L 2 (0,1)) = max0≤n≤N( m∑E a norma em L ∞ (0, T ; H 1 0(0, 1)) do erro E é definida por‖E‖ L ∞ (0,T ;H 1 0 (0,1))i=2onde, tomando h i = h = 1 m , tem-se‖E‖ L ∞ (0,T ;H 1 0 (0,1)) = max0≤n≤Ni=2)[E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 11/2(3.9.11)4m= max ‖E(x i, t n )‖ H 10≤n≤N 0 (0,1)(∑ m= max [E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 h mi0≤n≤N4 + ∑[E(x i+1 , t n ) − E(x i , t n )] 2 1 ) 1/2h i( m∑i=2i=2([E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 14m +(3.9.12)[E(x i+1 , t n ) − E(x i , t n )] 2 )) 1/2(3.9.13)30

3.10 Simulações NuméricasSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito de ilustrar algumascaracterísticas do modelo de Kirchhoff para pequenas vibrações de cordas elásticascom densidade e seção transversal variáveis.Resolver o problema (3.2.6), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar umasolução aproximada do problema (3.1.6).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Donde teremos o problema⎧ [∂ 2 ∫u1( ) 2 ] [∂u ∂ 2 ∫∂t − u1( ) 2 ] ∂u ∂ua(x) + b(x, t) dx2 0 ∂x ∂x − c(x, t) dx2 0 ∂x ∂x⎪⎨ + d(x, t) ∂u = f(x, t) , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂t⎪⎩u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(3.10.1)No cálculo dessa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) definida apriori e respeitando as condições de fronteira, na equação definida em (3.10.1). Posteriormente,aplicamos o Método de β-Newmark no seguinte sistema de equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = FAplicando o Método de β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) − C ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1)∆t 2( )d n+1 − d n−1+ D= (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )2∆tDonde obtemos( AD+ β(B − C) +∆t2 2∆t( )2A∆t − (1 − 2β)(B − C) d n −2Reescreveremos então, o sistema acima como)d n+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( )AD+ β(B − C) − d n−1∆t2 2∆t31

G(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1onde• G = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC + ∆t D 2• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B + ∆t 2 (1 − 2β)C• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC − ∆t D 2Os exemplos que veremos adiante, mostram o movimento de uma corda que possuiseus extremos fixos.3.10.1 Exemplo 1Considere a solução exata para o problema (3.10.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 2com posição inicial da cordae velocidade inicialu(x, 0) = (x2 − x)π 2∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 2onde• a(x, t) = x + 1 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 1x + 1 e γ 0 = 1 (pois as extremidades sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x 2 + x , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x• c(x, t) = 1• d(x, t) = 132

u(x,t)0-0.01-0.02-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.3: Gráfico de u m (x, t)-0.008-0.01ExataAproximada-0.012-0.014um(x,t)-0.016-0.018-0.02-0.022-0.024-0.0260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.4: u m (25, t) e u(25, t)33

A Figura 3.3 mostra o movimento de uma corda com extremos fixos.A Figura 3.4 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 (quantidadede elementos considerados) com t ɛ [0, 1]. Verificamos que a solução aproximadaencontrada para o problema (3.10.1) está próxima da solução exata conhecida, cujo erropodemos ver na Tabela 3.1.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000123 0.00075050 50 1.0 0.5 0.000123 0.00074950 50 1.0 1.0 0.000123 0.00074950 100 1.0 0.25 0.000122 0.00074550 100 1.0 0.5 0.000122 0.00074550 100 1.0 1.0 0.000122 0.000745100 50 1.0 0.25 0.000123 0.000774100 50 1.0 0.5 0.000123 0.000773100 50 1.0 1.0 0.000123 0.000773100 100 1.0 0.25 0.000123 0.000769100 100 1.0 0.5 0.000123 0.000769100 100 1.0 1.0 0.000123 0.000769Tabela 3.1: Exemplo 1Na Tabela 3.1, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) obtiveram melhores resultadosquando tomamos Nel = 50, N = 100, T = 1.0 e β = 0.25, 0.5 e 1.0.Consideraremos agora, a força externa nula com o intuito de encontrarmos umasolução aproximada para o problema (3.1.6).A Figura 3.5 representa esta solução.34

um(x,t)0.020.010-0.01-0.02-0.030.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.5: Gráfico de u m (x, t)3.10.2 Exemplo 2Considere a solução exata para o problema (3.10.1) dada porcom posição inicial da cordae velocidade inicialondeu(x, t) = sen(πx)cos(πt)π 2u(x, 0) = sen(πx)π 2∂u(x, 0) = 0∂t• a(x, t) = x + 1 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 1x + 1 e γ 0 = 1 (pois as extremidades sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x 2 + x , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x• c(x, t) = 1• d(x, t) = 135

u(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030t4050Figura 3.6: Gráfico de u m (x, t)0.2ExataAproximada0.1um(x,t)0-0.1-0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.7: u m (25, t) e u(25, t)36

A Figura 3.7 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (3.10.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 3.2.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.005719 0.03428150 50 1.0 0.5 0.005735 0.03437350 50 1.0 1.0 0.005762 0.03464950 100 1.0 0.25 0.005731 0.03458850 100 1.0 0.5 0.005735 0.03452950 100 1.0 1.0 0.005742 0.034476100 50 1.0 0.25 0.005731 0.035643100 50 1.0 0.5 0.005747 0.035801100 50 1.0 1.0 0.005774 0.036045100 100 1.0 0.25 0.005743 0.035871100 100 1.0 0.5 0.005747 0.035835100 100 1.0 1.0 0.005754 0.035897Tabela 3.2: Exemplo 2Na Tabela 3.2, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) obtiveram melhores resultadosquando tomamos Nel = 50, N = 50, T = 1.0 e β = 0.25.Consideraremos agora a força externa nula.A Figura 3.8 representa esta solução.37

um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.10.120.10.080.060.040.020-0.02-0.04-0.06-0.0801020304050 0102030t4050Figura 3.8: Gráfico de u m (x, t)3.10.3 Exemplo 3Considere a solução exata para o problema (3.10.1) dada porcom posição inicial da cordae velocidade inicialondeu(x, t) = (x2 − x)e −tπ 4u(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 4• a(x, t) = 1 + x 10 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 10x + 10 e γ 0 = 1 (pois as extremidadessão fixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x(x + 10) , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x 10• c(x, t) = 110• d(x, t) = 138

u(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.9: Gráfico de u m (x, t)-0.0008-0.001ExataAproximada-0.0012-0.0014um(x,t)-0.0016-0.0018-0.002-0.0022-0.0024-0.00260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.10: u m (25, t) e u(25, t)39

A Figura 3.10 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (3.10.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 3.3.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000016 0.00009750 50 1.0 0.5 0.000016 0.00009750 50 1.0 1.0 0.000016 0.00009750 100 1.0 0.25 0.000016 0.00009750 100 1.0 0.5 0.000016 0.00009750 100 1.0 1.0 0.000016 0.000097100 50 1.0 0.25 0.000016 0.000100100 50 1.0 0.5 0.000016 0.000100100 50 1.0 1.0 0.000016 0.000100100 100 1.0 0.25 0.000016 0.000099100 100 1.0 0.5 0.000016 0.000099100 100 1.0 1.0 0.000016 0.000099Tabela 3.3: Exemplo 3Na Tabela 3.3, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentam bons resultados.40

um(x,t)0.0020.0010-0.001-0.002-0.0030.0020.00150.0010.00050-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.11: Gráfico de u m (x, t)Considerando agora a força externa nula, cujo objetivo é encontrarmos uma soluçãoaproximada para o problema (3.1.6), temos a Figura 3.11 que mostra o movimento deuma corda que possui seus extremos fixos.41

Capítulo 4Vibração de Cordas Elásticas4.1 Formulação do ProblemaO modelo proposto a seguir também é uma extensão do modelo de Kirchhoff parapequenas vibrações de cordas elásticas e o modelo é dado porρ(x, t) ∂2 u∂t 2 − [b(x, t)∫ β(t)α(t)( ) 2 ] ∂u ∂ 2 udx∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂t = 0 (4.1.1)ondeb(x, t) =Eσ(x, t)γ 2 oρ(x, t)u(x, t) é o deslocamento vertical do ponto x da corda no tempo t, ρ é a densidade demassa, σ é a seção transversal da corda, γ é a tensão e E o módulo do modelo de Youngdo material e α(t) e β(t) são funções que dão movimento nos extremos da corda durantea vibração, sendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).⎪⎩No nosso modelo, consideraremos as extremidades fixas, ou seja, α(t) = 0 e β(t) = 1.O problema que estudaremos será o de determinar uma função u = u(x, t), no espaçodas soluções H0(Ω) 1 ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧[ ∫ρ(x, t) ∂2 u1( ) 2 ] ∂u ∂ 2⎪⎨ ∂t − ub(x, t) dx2 0 ∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂tu(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 142= 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )(4.1.2)

4.2 Método dos Elementos Finitos4.2.1 Formulação VariacionalSeja D(Ω) o espaço das funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação do Problema (4.1.2) por w eintegrando em Ω = (0, 1), tem-se:onde∫ 10M 1 (x, t) ∂2 u∂t 2 w dx + ∫ 10∂u ∂∂x ∂x (M 2(x, t)w) dx +∫ 10M 3 (x, t) ∂u w dx = 0 (4.2.1)∂tM 1 (x, t) = ρ(x, t) (4.2.2)M 2 (x, t) = b(x, t)∫ 10( ) 2 ∂udx (4.2.3)∂xM 3 (x, t) = ρ ′ (x, t) (4.2.4)4.2.2 Método de GalerkinConsidere um subespaço V m gerado pelos m primeiros elementos da base do espaçode Hilbert H0(Ω), 1 isto é,V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (4.2.5)onde [ϕ i ] i∈N é uma base de H0(Ω).1Buscamos, então, uma solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (4.1.2), nosubespaço V m .43

Solução AproximadaAproximamos o Problema (4.1.2), pelo problema de determinar no espaço das soluçõesV m , uma função u m = u m (x, t) , tal que,⎧ () ( )M 1 (x, t) ∂2 u m∂t ⎪⎨, w ∂um+2 ∂x , ∂∂x (M 2(x, t)w) +u m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)(M 3 (x, t) ∂u m∂t , w )= 0 ∀w ∈ V m⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) na equação (4.2.1), temos:(4.2.6)∫ 10M 1 (x, t) ∂2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂xComo u m (x, t) ∈ V m , podemos escrever∂∂x (M 2(x, t)w) dx +∫ 10M 3 (x, t) ∂u mw dx = 0 (4.2.7)∂tu m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m (4.2.8)i=1e assim obtemos:∂u m∂t=m∑d ′ i(t)ϕ i (x), (4.2.9)i=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (4.2.10)d ′′i (t)ϕ i (x), (4.2.11)Substituindo de (4.2.9) à (4.2.11) em (4.2.7) e tendo w ∈ V m , podemos tomar emparticular, w = ϕ j , j = 1, · · · , m.m∑i=1d ′′i (t)∫ 10M 1 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x) dx +m∑i=1∫ 1d i (t)0∂ϕ i (x)∂x∂∂x (M 2(x, t)ϕ j (x)) dx+m∑d ′ i(t)∫ 1i=1 0M 3 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x) dx = 0 (4.2.12)44

4.3 Função de InterpolaçãoUsando a Seção 3.3 (Função de Interpolação juntamente com Problema Local) mencionadano Capítulo 3, obtemos a seguinte equação:2∑a=1+∫ x ed ′′ 2ea (t) M 1 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=12∑a=1∫ x ed ′ 2ea (t) M 3 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0x e 1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x ed e 2a(t)x e 1∂ϕ e a(x)∂x∂∂x (M 2(x, t)ϕ e b(x)) dx(4.3.1)Devido a existência das funções M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) nas integrais, consideraremosessas funções constantes em cada elemento finito e. Logo, tomando M 1 (x, t) =M e 1(t), M 2 (x, t) = M e 2(t) e M 3 (x, t) = M e 3(t) e considerando x constante em cada elementofinito e, obtemos:2∑a=1+∫ x ed ′′ ea (t)M1(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=12∑a=1∫ x ed ′ ea (t)M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0x e 1∫ x ed e a(t)M2(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x) dx∂x ∂x(4.3.2)para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.4.4 Cálculo das MatrizesDenotando porA =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e e D =e=1m∑e=1D e abRestringindo as matrizes A, B, D a cada elemento e temos:∫ x eA e ab = M1(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (4.4.1)x e 1∫ x eBab e = M2(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (4.4.2)45

para 1 ≤ a, b ≤ 2.∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (4.4.3)x e 1As matrizes locais A e ab , Be ab e De ab são de ordem (2×2). Essas matrizes locais de ordem(2 × 2) foram introduzidas devido ao fato delas terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) =0, se |a − b| ≥ 2.4.5 Matrizes Locais A e ab , Be ab e De ab4.5.1 Matriz Local A e abA matriz local simétrica A e abdada em (4.4.1) por:A e ab = M e 1(t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.1) e utilizando a função definida em (3.6.2), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local A e ab dados por⎡ ⎤A e ab = hM 1(t)e ⎣ 2 1 ⎦ (4.5.1)61 24.5.2 Matriz Local B e abA matriz local simétrica B e abdada em (4.4.2) porB e ab = M e 2(t)∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.2) e utilizando a função definida em (3.6.10), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local Bab e dados por[ ]Bab e = M 2(t)e 1 −1h −1 1(4.5.2)46

4.5.3 Matriz Local D e abA matriz local simétrica D e abdada em (4.4.3) por:com 1 ≤ a, b ≤ 2.D e ab = M e 3(t)∫ x2x 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxAplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.3) e utilizando a função definida em (3.6.2), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local Dab e dados por:D e ab = hM e 3(t)6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (4.5.3)4.6 Matrizes Globais A, B e D4.6.1 Matriz Global ASendo A e ab, a matriz local dada em (4.5.1) por⎡A e ab = hM 1(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo visto anteriormente no Capítulo 3 em (3.7.8) na matriz A e ab esendo ela simétrica e tridiagonal, optamos por colocá-la na forma de coluna, onde temos:⎡⎤0 2(M1 1 (t) + M1 2 (t)) 1A = h 1 2(M1 2 (t) + M 3 1 (t)) 16 ⎢⎥⎣ ... ⎦1 2(M1 m−1 (t) + M1 m (t)) 0(4.6.1)4.6.2 Matriz Global BSendo B e ab, a matriz local dada em (4.5.2) por[Bab e = M 2(t)e 1 −1h −1 147]

Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, optamospor colocá-la na forma de coluna, onde temos:⎡B = 1 h ⎢⎣0 M 1 2 (t) + M 2 2 (t) −M 1 2 (t)−M 1 2 (t) M 2 2 (t) + M 3 2 (t) −M 2 2 (t).−M m−22 (t) M m−12 (t) + M m 2 (t) 0..⎤⎥⎦(4.6.2)4.6.3 Matriz Global DSendo D e ab, a matriz local dada em (4.5.3) por⎡Dab e = hM 3(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Dab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, optamospor colocá-la na forma de coluna, onde temos:⎡D = h⎢⎣0M 1 3 (t)3.M3 m−2 (t)3( )M13 (t) + M3 2 (t)3( )M23 (t) + M3 3 (t)3.( Mm−1)3 (t) + M3 m (t)3M 1 3 (t)3M 2 3 (t)3.0⎤⎥⎦(4.6.3)Substituindo de (4.6.1) a (4.6.3) em (4.3.2) podemos escrever (4.3.2) no seguintesistema de equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + Bd(t) + Dd ′ (t) = 0onde denotamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (4.6.4)48

4.7 Método de β-NewmarkA equação Ad ′′ (t)+Bd(t)+Dd ′ (t) = 0 representa um sistema de equações diferenciasordinárias de segunda ordem e o método escolhido para resolver esse sistema foi o métodode β-Newmark, visto anteriormente no Capítulo 3, em (3.8).Usando as aproximações já vistas no Capítulo 3, a discretização no tempo é dada por:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) + D∆t 2onde obtemos( A∆t + βB + D ) ( )2Ad n+1 =2 2∆t ∆t − (1 − 2β)B d n2−( )d n+1 − d n−1= 02∆t(4.7.1)( A∆t + βB − D )d n−1 2 2∆t(4.7.2)Reescreveremos o sistema acima comoondeG(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (4.7.3)• G = A + ∆t 2 βB + ∆t D 2• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t D 2O sistema acima é resolvido de forma recursiva para n. Logo, para n = 0, temos osistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −1Logo, podemos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através das condições iniciais e d −1 pela diferença central, dada pord −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)Como já conhecemos os valores de d 0 , d 1 , podemos então calcular o valor de d 2 paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método de Eliminação de Gauss.49

4.8 Simulações NuméricasSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito de ilustrar algumascaracterísticas do modelo de Kirchhoff para pequenas vibrações de cordas elásticascom densidade e seção transversal variáveis.Resolver o problema (4.2.6), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar umasolução aproximada do problema (4.1.2).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Donde teremos o problema⎧[ ∫ρ(x, t) ∂2 u1( ) 2 ] ∂u ∂ 2⎪⎨ ∂t − ub(x, t) dx2 0 ∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂tu(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < T⎪⎩u(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1= f(x, t) , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )(4.8.1)No cálculo dessa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) definida apriori e respeitando as condições de fronteira, na equação definida em (4.8.1). Posteriormente,aplicamos o Método de β-Newmark no seguinte sistema de equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) + Dd ′ (t) = FAplicando o Método de β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) + D∆t 2(βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )Donde obtemos( A∆t + βB + D2 2∆t( )2A∆t − (1 − 2β)B d n −2Reescreveremos então, o sistema acima como)d n+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( A∆t + βB − D )d n−12 2∆t( )d n+1 − d n−1=2∆t50

G(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1onde• G = A + ∆t 2 βB + ∆t D 2• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t D 2Os exemplos que veremos adiante, mostram o movimento de uma corda que possuiseus extremos fixos.4.8.1 Exemplo 1Considere a solução exata para o problema (4.8.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 4com posição inicial da cordae velocidade inicialondeu(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 4• ρ(x, t) = 1 + x 10• ρ ′ (x, t) = 1 10• b(x, t) = 1, ou seja, E = 1, σ(x, t) = 1 + x 10 e γ 0 = 1 (pois as extremidades sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)A Figura 4.1 mostra o movimento de uma corda com extremos fixos.A Figura 4.2 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (4.8.1) está bempróxima da solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 4.1.51

um(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030t4050Figura 4.1: Gráfico de u m (x, t)-0.0005ExataAproximada-0.001-0.0015um(x,t)-0.002-0.0025-0.0030 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 4.2: u m (25, t) e u(25, t)52

Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000001 0.00000250 50 1.0 0.5 0.000001 0.00000250 50 1.0 1.0 0.000001 0.00000350 100 1.0 0.25 0.000001 0.00000250 100 1.0 0.5 0.000001 0.00000250 100 1.0 1.0 0.000001 0.000002100 50 1.0 0.25 0.000001 0.000001100 50 1.0 0.5 0.000001 0.000002100 50 1.0 1.0 0.000001 0.000002100 100 1.0 0.25 0.000000 0.000001100 100 1.0 0.5 0.000000 0.000001100 100 1.0 1.0 0.000000 0.000001Tabela 4.1: Exemplo 1Na Tabela 4.1, considerando Nel = N = 50, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta bonsresultados e para β = 0.25 e β = 0.5, percebemos que E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta ummelhor resultado do que para β = 1.0.Considerando agora, Nel = 50, N = 100, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H0 1(Ω))apresentam bons resultados.Considerando, Nel = 100, N = 50, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0, percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta bonsresultados e para β = 0.25, percebemos que E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta um melhorresultado do que para β = 0.5 e β = 1.0.Considerando agora, Nel = 100, N = 100, T = 1.0 e β variando, temos que:53

• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω))também apresentam bons resultados.Consideraremos agora a força externa nula com o intuito de encontrarmos uma soluçãoaproximada para o problema (4.1.2).um(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030t4050Figura 4.3: u m (25, t) e u(25, t)A Figura 4.3 representa esta solução.54

4.8.2 Exemplo 2Considere a solução exata para o problema (4.8.1) dada porcom posição inicial da cordae velocidade inicialonde• ρ(x, t) = 1 + x 2 − xu(x, t) = (x2 − x)e tπ 4u(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = (x2 − x)π 4• ρ ′ (x, t) = 2x − 1• b(x, t) = x 2 , ou seja, E = 1, σ(x, t) = x(1 + x2 − x)2são fixas α(t) = 0 e β(t) = 1)e γ 0 = 1 (pois as extremidadesum(x,t)0-0.001-0.002-0.003-0.004-0.005-0.006-0.0070-0.001-0.002-0.003-0.004-0.005-0.006-0.00701020304050 0102030405060t708090 100Figura 4.4: Gráfico de u m (x, t)A Figura 4.5 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (4.8.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 4.2.55

-0.0025-0.003ExataAproximada-0.0035-0.004um(x,t)-0.0045-0.005-0.0055-0.006-0.0065-0.0070 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 4.5: u m (25, t) e u(25, t)Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000625 0.00365350 50 1.0 0.5 0.000625 0.00365350 50 1.0 1.0 0.000625 0.00365450 100 1.0 0.25 0.000621 0.00362850 100 1.0 0.5 0.000621 0.00362850 100 1.0 1.0 0.000621 0.003628100 50 1.0 0.25 0.000624 0.003771100 50 1.0 0.5 0.000624 0.003771100 50 1.0 1.0 0.000624 0.003772100 100 1.0 0.25 0.000620 0.003746100 100 1.0 0.5 0.000620 0.003746100 100 1.0 1.0 0.000620 0.003746Tabela 4.2: Exemplo 256

Na Tabela 4.2, considerando Nel = N = 100, T = 1.0, β = 0.25, 0.5 e 1.0 percebemosque E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) obteve melhores resultados. Já para Nel = 50, N = 100, T = 1.0,β = 0.25, 0.5 e 1.0, percebemos que E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentou melhores resultados.Consideraremos agora a força externa nula.um(x,t)0-0.001-0.002-0.003-0.004-0.0050-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.003-0.0035-0.004-0.0045-0.00501020304050 0102030405060t708090 100Figura 4.6: Gráfico de u(x, t)A Figura 4.6 representa esta solução.57

Capítulo 5Análise Numérica para o Modelo deCarrier5.1 Formulação do ProblemaAlém dos modelos propostos anteriormente, apresentaremos também um modelonumérico para o Problema de Carrier, descrito a seguir:(∂ 2 u∂t − k + λ2∫ β(t)α(t)) ∂u 2 2 udx∂x = 0 (5.1.1)2u(x, t) é o deslocamento vertical do ponto x da corda no tempo t, k e λ são constantese α(t) e β(t) são funções que dão movimento nos extremos da corda durante a vibração,sendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).No nosso modelo, consideraremos as extremidades fixas, ou seja, α(t) = 0 e β(t) = 1.O problema que estudaremos será o de determinar uma função u = u(x, t), no espaçodas soluções H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧⎪⎨⎪⎩[∂ 2 u∂t − k + λ2∫ 1u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0] ∂u 2 2 udx = 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂x2 0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(5.1.2)58

5.2 Método de Elementos Finitos5.2.1 Formulação VariacionalSeja D(Ω) o espaço das funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação do Problema (5.1.2) por w eintegrando em Ω = (0, 1), tem-se:onde∫ 10∂ 2 ∫u1∂t w dx + 20M(x, t) = k + λ∂u ∂(M(x, t)w) dx = 0 (5.2.1)∂x ∂x∫ 10u 2 dx, (5.2.2)5.2.2 Método de GalerkinConsidere um subespaço V m gerado pelos m primeiros elementos da base do espaçode Hilbert H 1 0(Ω), isto é,onde [ϕ i ] i∈N é uma base de H 1 0(Ω).V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (5.2.3)Buscamos, então, uma solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (5.1.2), nosubespaço V m .Solução Aproximadau m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x) ∈ V m (5.2.4)i=1Aproximamos o Problema (5.1.2), pelo problema de determinar no espaço das soluçõesV m , uma função u m = u m (x, t), tal que,⎧⎪⎨( ) ∂ 2 u m∂t , w +2( ∂um∂x , ∂∂x (M(x, t)w) )= 0 ∀w ∈ V mu m (0) = u 0m → u 0 em H 1 0(0, 1) ∩ H 2 (0, 1)(5.2.5)⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) na equação (5.2.1), temos:∫ 10∂ 2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂x59∂(M(x, t)w) dx = 0 (5.2.6)∂x

Como u m (x, t) ∈ V m , podemos escreverm∑u m (x, t) = d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m (5.2.7)e assim obtemosi=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (5.2.8)d ′′i (t)ϕ i (x), (5.2.9)Substituindo (5.2.8) e (5.2.9) em (5.2.6) e tendo w ∈ V m , podemos tomar em particular,w = ϕ j , j = 1, · · · , m.m∑∫ 1m∑d ′′i (t) ϕ i (x)ϕ j (x) dx+i=10i=1∫ 1d i (t)0∂ϕ i (x)∂x∂∂x (M(x, t)ϕ j(x)) dx = 0(5.2.10)5.3 Função de InterpolaçãoUsando a Seção 3.3 (Função de Interpolação juntamente com o Problema Local)mencionada no Capítulo 3, obtemos a seguinte equação:2∑a=1d ′′ ea (t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +2∑d e a(t)a=1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x)∂x∂∂x (M(x, t)ϕe b(x)) dx = 0 (5.3.1)Devido a existência da função M(x, t) na integral, consideraremos essa função constanteem cada elemento finito e.constante em cada elemento finito e, obtemos:2∑a=1d ′′ ea (t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.Logo, tomando M(x, t) = M e (t) e considerando x2∑d e a(t)M e (t)a=1∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x) dx = 0 (5.3.2)∂x ∂x5.4 Cálculo das MatrizesDenotando porA =m∑A e ab, e B =e=1m∑e=1B e ab60

Restringindo as matrizes A e B a cada elemento e temos:A e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (5.4.1)para 1 ≤ a, b ≤ 2.∫ x eBab e = M e 2(t)x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (5.4.2)Agora, as matrizes A e B são de ordem (2 × 2). Essas matrizes locais de ordem(2 × 2) foram introduzidas devido ao fato delas terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) = 0se |a − b| ≥ 2.5.5 Matrizes Locais A e ab e Be ab5.5.1 Matriz Local A e abA matriz local simétrica A e abdada em (5.4.1) porA e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (5.4.1) e utilizando a função definida em (3.6.2), temos os elementos da matriz localA e ab dados por A e ab = h 6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (5.5.1)5.5.2 Matriz Local B e abA matriz local simétrica B e abdada em (5.4.2) por∫ x eBab e = M e 2(t)x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.61

Aplicando a transformação isoparamétrica em (3.5.1) em (5.4.2) e utilizando a funçãodefinida em (3.6.10), temos os elementos da matriz local Bab e dados por[ ]Bab e = M e (t) 1 −1h −1 1(5.5.2)5.6 Matrizes Globais A e B5.6.1 Matriz Global ASendo A e ab, a matriz local dada em (5.5.1) por⎡A e ab = h ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo visto em (3.7.8) na matriz A e ab e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la em forma de coluna, onde teremos:⎡ ⎤0 4 1A = h 1 4 1(5.6.1)6 ⎢ ⎥⎣ . . . ⎦1 4 05.6.2 Matriz Global BSendo B e ab, a matriz local dada em (5.5.2) por[Bab e = M e (t) 1 −1h −1 1]Aplicando o algoritmo visto em (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la em forma de coluna, onde teremos:⎡⎤0 M 1 (t) + M 2 (t) −M 1 (t)B = 1 −M 1 (t) M 2 (t) + M 3 (t) −M 2 (t)(5.6.2)h ⎢⎥⎣ ... ⎦−M m−2 (t) M m−1 (t) + M m (t) 062

Substituindo de (5.6.1) a (5.6.2) em (5.3.2) podemos escrever (5.3.2) no seguintesistema de equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + Bd(t) = 0onde denotamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (5.6.3)5.7 Método de β-NewmarkA equação Ad ′′ (t) + Bd(t) = 0 representa um sistema de equações diferencias ordináriasde segunda ordem e o método escolhido para resolver esse sistema foi o métodode β-Newmark, visto anteriormente no Capítulo 3, em (3.8).Usando as aproximações já vistas no Capítulo 3, a discretização no tempo é dada poronde obtemosonde( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) = 0 (5.7.1)∆t 2( ) ( ) ( )A2AA∆t + βB d n+1 =2 ∆t − (1 − 2β)B d n −2 ∆t + βB d n−1 (5.7.2)2Reescreveremos o sistema acima como• G = A + ∆t 2 βB• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βBG(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (5.7.3)O sistema acima é resolvido de forma recursiva para n. Logo, para n = 0, temos osistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −163

Logo, podemos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através das condições iniciais e d −1 , por aproximações de Taylor, dadas pord −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)Como já conhecemos os valores de d 0 , d 1 , podemos então calcular o valor de d 2 paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método de Eliminação de Gauss.5.8 Simulações NuméricasSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito de ilustrar algumascaracterísticas do modelo de Kirchhoff para pequenas vibrações de cordas elásticascom densidade e seção transversal variáveis.Resolver o problema (5.2.5), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar umasolução aproximada do problema (5.1.2).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Donde teremos o problema⎧ [∂ 2 ∫u1] ∂⎪⎨ ∂t − k + λ u 2 udx = f(x, t) , 2 0 ∂x2 ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < T⎪⎩u(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(5.8.1)No cálculo dessa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) definida apriori e respeitando as condições de fronteira, na equação definida em (5.8.1). Posteriormente,aplicamos o Método de β-Newmark no seguinte sistema de equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) = FAplicando o Método de β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )∆t 264

Donde obtemos( A∆t + 2 βB)dn+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( ) ( )2AA∆t − (1 − 2β)B d n −2 ∆t + βB d n−12Reescreveremos então, o sistema acima comoG(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1onde• G = A + ∆t 2 βB• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB5.8.1 Exemplo 1Considere a solução exata para o problema (5.8.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 2com posição inicial da cordae velocidade inicialu(x, 0) = (x2 − x)π 2∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 2onde• k = 1• λ = 165

u(x,t)0-0.01-0.02-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.030204060 0204060t80100Figura 5.1: Gráfico de u m (x, t)-0.008-0.01ExataAproximada-0.012-0.014u(x,t)-0.016-0.018-0.02-0.022-0.024-0.0260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 5.2: u m (25, t) e u(25, t)66

Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000051 0.00024550 50 1.0 0.5 0.000051 0.00018550 50 1.0 1.0 0.000050 0.00016150 100 1.0 0.25 0.000050 0.00016650 100 1.0 0.5 0.000050 0.00016150 100 1.0 1.0 0.000050 0.000158100 50 1.0 0.25 0.000051 0.000580100 50 1.0 0.5 0.000051 0.000245100 50 1.0 1.0 0.000050 0.000164100 100 1.0 0.25 0.000050 0.000209100 100 1.0 0.5 0.000050 0.000174100 100 1.0 1.0 0.000049 0.000161Tabela 5.1: Exemplo 1A Figura 5.1 mostra o movimento de uma corda que possui seus extremos fixos.A Figura 5.2 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 0.5 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (5.8.1) está bempróxima da solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 5.1.Na Tabela 5.1, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta um melhor resultado quando β =1.0, considerando Nel = 100, N = 100 e T = 1.0. Já E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta um melhorresultado quando β = 1.0, considerando Nel = 50, N = 100 e T = 1.0.Consideraremos agora a força externa nula com o intuito de encontrarmos uma soluçãoaproximada para o problema (5.1.2).A Figura 5.3 representa esta solução, cujos extremos são fixos.67

um(x,t)0-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.3: Gráfico de u m (x, t)5.8.2 Exemplo 2Considere a solução exata para o problema (5.8.1) dada poru(x, t) =senπx cos πtπ 2com posição inicial da cordae velocidade inicialu(x, 0) = senπxπ 2∂u(x, 0) = 0∂tonde• k = 1• λ = 1A Figura 5.5 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 0.5 com t ɛ [0, 1]. Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (5.8.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro podemos ver na Tabela 5.2.68

um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.4: Grafico de u m (x, t)0.120.1ExataAproximada0.080.060.040.02um(x,t)0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1-0.120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 5.5: Grafico de u m (0.5, t) e u(0.5, t)69

Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000247 0.00078650 50 1.0 0.5 0.000313 0.00099650 50 1.0 1.0 0.000445 0.00141550 100 1.0 0.25 0.000219 0.00069750 100 1.0 0.5 0.000235 0.00074850 100 1.0 1.0 0.000268 0.000852100 50 1.0 0.25 0.000264 0.000855100 50 1.0 0.5 0.000330 0.001069100 50 1.0 1.0 0.000462 0.001496100 100 1.0 0.25 0.000236 0.000763100 100 1.0 0.5 0.000252 0.000816100 100 1.0 1.0 0.000284 0.000921Tabela 5.2: Exemplo 2Na Tabela 5.2, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentam melhores resultadosquando β = 0.25, considerando Nel = 50, N = 100 e T = 1.0.Consideraremos agora, a força externa nula com o intuito de encontrarmos umasolução aproximada para o problema (5.1.2).70

um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.6: Gráfico de u m (x, t)A Figura 5.6 representa esta solução, cujos extremos são fixos.71

5.9 ConclusãoNeste trabalho, analisamos numericamente um modelo matemático relacionado aequação da onda, em evidência, as vibrações de uma corda elástica com densidade eseção transversal variáveis.As simulações numéricas baseadas no Método de Elementos Finitos juntamente com oMétodo de Diferenças Finitas, em especial, o Método de β-Newmark mostram a eficáciado método quando construído um modelo cuja solução exata é conhecida. Ao problema,supomos primeiramente a função sendo não-nula com o objetivo de constatarmos que asolução aproximada estava sendo obtida corretamente, posteriormente, tomamos a funçãosendo nula como propõe o problema original, cujo intuito era encontrarmos uma soluçãoaproximada para o nosso problema.Vimos três modelos que possuem em suas equações termos não-lineares, cujas funçõespresentes nas equações algumas vezes dependem tanto do tempo quanto do espaço ousimplesmente são constantes.Para cada modelo foi tomado dois exemplos numéricos, cujo erro foi calculado nasnormas L 2 (Ω) e H0(Ω), 1 tomando β igual a 0.25, 0.5 e 1.0.Sugestões para trabalhos futuros:• Considerar outros métodos numéricos para a solução dos problemas vistos.• Acréscimo de novos coeficientes à equação principal dos problemas.• Considerar os extremos sendo variáveis.72

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