Análise Numérica das Vibraç˜oes de uma Corda Elástica ... - UFRJ
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<strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> <strong>das</strong> Vibrações <strong>de</strong> <strong>uma</strong><strong>Corda</strong> <strong>Elástica</strong> com Densida<strong>de</strong> eSeção Transversal VariáveisporBianca <strong>de</strong> Souza dos SantosIM/NCE - <strong>UFRJ</strong>2009
<strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> <strong>das</strong> Vibrações <strong>de</strong> <strong>uma</strong> <strong>Corda</strong> <strong>Elástica</strong> comDensida<strong>de</strong> e Seção Transversal VariáveisBianca <strong>de</strong> Souza dos SantosTese <strong>de</strong> Mestrado apresentada aoInstituto <strong>de</strong> Matemática, Núcleo<strong>de</strong> Computação Eletrônica daUniversida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral do Rio <strong>de</strong>Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título<strong>de</strong> Mestre em MatemáticaOrientador: Mauro Antônio RinconRio <strong>de</strong> JaneiroJaneiro <strong>de</strong> 2009
<strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> <strong>das</strong> Vibrações <strong>de</strong> <strong>uma</strong> <strong>Corda</strong> <strong>Elástica</strong>com Densida<strong>de</strong> e Seção Transversal VariáveisporBianca <strong>de</strong> Souza dos SantosDissertação submetida ao Corpo Docente do Núcleo <strong>de</strong> Computação Eletrônica -Instituto <strong>de</strong> Matemática da Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral do Rio <strong>de</strong> Janeiro, como parte dosrequisitos necessários para a obtenção do grau <strong>de</strong> Mestre.Aprovada por:Mauro Antônio Rincon, D.Sc. - IM/<strong>UFRJ</strong>(Orientador)Luis Adauto da Justa Me<strong>de</strong>iros, D.Sc. - IM/<strong>UFRJ</strong>Tânia Nunes Rabello, D.Sc. - IM/ITAMarcello Goulart Teixeira, D.Sc. - IM/IMEGladson Octaviano Antunes, D.Sc. - IM/UERJRio <strong>de</strong> Janeiro, RJ - Brasil2009
dos Santos, Bianca <strong>de</strong> Souza.<strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> <strong>das</strong> Vibrações <strong>de</strong> <strong>uma</strong> <strong>Corda</strong> <strong>Elástica</strong> com Densida<strong>de</strong> e SeçãoTransversal Variáveis / Bianca <strong>de</strong> Souza dos Santos. - Rio <strong>de</strong> Janeiro, 2009.74 f.; il.Dissertação (Mestrado em Informática) - Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral do Rio <strong>de</strong> Janeiro,Instituto <strong>de</strong> Matemática, Núcleo <strong>de</strong> Computação Eletrônica, 2009.Orientador: Mauro Antônio Rincon1. Introdução - Teses. 2. Resultados Básicos - Teses. 3. Método dos Elementos Finitos- Teses - 5. Simulações <strong>Numérica</strong>s -I. Mauro Antônio Rincon (Orientador).II. Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral do Rio <strong>de</strong> Janeiro. Instituto <strong>de</strong> Matemática. Núcleo<strong>de</strong> Computação Eletrônica. III. Título.
Aos meus pais Aurélio e Orcériaa minha irmã Beatriziii
Agra<strong>de</strong>cimentosÀ Deus, que é tudo em minha vida, sem Ele, nada sou.Ao professor e orientador Mauro Antonio Rincon por toda a ajuda, paciência e conhecimentostransmitidos durante o <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong>ste trabalho.Aos professores Juan Bautista Limaco Ferrel e Marcello Goulart Teixeira, pelo gran<strong>de</strong>apoio e incentivo.Aos meus pais Aurélio e Orcéria e a minha irmã Beatriz pelo incentivo em todos osmomentos e apoio incondicional.Aos colegas <strong>de</strong> mestrado Cristina, Renata e em especial a Josemeri e Alessandro, queme mostraram o verda<strong>de</strong>iro significado da amiza<strong>de</strong>.À CAPES pelo apoio financeiro.À banca pela disposição <strong>de</strong> tempo e colaboração para a finalização <strong>de</strong>ste projeto.À todos que <strong>de</strong> alg<strong>uma</strong> forma fazem parte <strong>de</strong>ssa vitória.iv
ResumoNeste trabalho, foi feita a <strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff para pequenas vibrações<strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e seção transversal variáveis, além da <strong>Análise</strong><strong>Numérica</strong> do Problema <strong>de</strong> Carrier. Para resolver numericamente os problemas citados,usamos o Método <strong>de</strong> Elementos Finitos no espaço e o Método <strong>de</strong> β-Newmark notempo. Programas computacionais foram <strong>de</strong>senvolvidos usando a linguagem C e exemplosnuméricos, com tabelas <strong>de</strong> erro e gráficos serão apresentados.v
AbstractIn this work, there was done the Numerical Analysis of the mo<strong>de</strong>l of Kirchhoff for smallvibrations of elastic ropes with <strong>de</strong>nsity and cross section you were varying, besi<strong>de</strong>s theNumerical Analysis of the Problem of Carrier. To resolve numerically the problemsquoted above, we use the Method of Finite Elements in the space and the Method ofβ-Newmark in the time. Computational programs were <strong>de</strong>veloped using the language Cand numerical examples, with charts of mistake and printers will be introduced.vi
Sumário1 Introdução 11.1 Biografia <strong>de</strong> Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Notações e Conceitos Preliminares 32.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Formulação e Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas com extremida<strong>de</strong>s fixas 73.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Método <strong>de</strong> Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Função <strong>de</strong> Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Cálculo <strong>das</strong> Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Integração <strong>Numérica</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Matrizes Locais A e ab ,Be ab ,Ce ab e De ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.3 Matriz Local Cab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.4 Matriz Local Dab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7 Matrizes Globais A, B, C e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.7.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.3 Matriz Global C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7.4 Matriz Global D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8 Método <strong>de</strong> β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26vii
3.9 Cálculo do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Simulações <strong>Numérica</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.10.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Vibração <strong>de</strong> Cor<strong>das</strong> <strong>Elástica</strong>s 424.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Método <strong>de</strong> Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Função <strong>de</strong> Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Cálculo <strong>das</strong> Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Matrizes Locais A e ab , Be ab e De ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.3 Matriz Local Dab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Matrizes Globais A, B e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.3 Matriz Global D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7 Método <strong>de</strong> β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Simulações <strong>Numérica</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.8.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 <strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> para o Mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Carrier 585.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Método <strong>de</strong> Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.1 Formulação Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.2 Método <strong>de</strong> Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Função <strong>de</strong> Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Cálculo <strong>das</strong> Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Matrizes Locais A e ab e Be ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.1 Matriz Local A e ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61viii
5.5.2 Matriz Local Bab e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Matrizes Globais A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.1 Matriz Global A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.2 Matriz Global B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7 Método <strong>de</strong> β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8 Simulações <strong>Numérica</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.8.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.9 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Bibliografia 73ix
Lista <strong>de</strong> Figuras3.1 Função base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Função base local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.10 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.11 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6 Gráfico <strong>de</strong> u(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 u m (25, t) e u(25, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Grafico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Grafico <strong>de</strong> u m (0.5, t) e u(0.5, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71x
Capítulo 1IntroduçãoO estudo <strong>de</strong> mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas abrange muitos campos da ciência comaplicações que vão da Engenharia à Biologia. O chamado mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff tem sidomuito utilizado no estudo do comportamento elástico <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> longas, finas e inextensíveis.Este trabalho, tem por objetivo, encontrar as soluções numéricas através da aplicação<strong>de</strong> métodos numéricos, tais como, o Método <strong>de</strong> Elementos Finitos e o Método <strong>de</strong> DiferençasFinitas, Método <strong>de</strong> β-Newmark, <strong>de</strong> três mo<strong>de</strong>los matemáticos, sendo dois <strong>de</strong>les<strong>uma</strong> extensão do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff e o outro, refere-se ao Mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Carrier.1.1 Biografia <strong>de</strong> KirchhoffKirchhoff nasceu em Königsberg, Prússia em 12 <strong>de</strong> março <strong>de</strong> 1824 e faleceu em Berlim,Alemanha, em 17 <strong>de</strong> outubro <strong>de</strong> 1887. Foi um físico alemão com contribuições científicasprincipalmente no campo dos circuitos elétricos, na espectroscopia, na emissão <strong>de</strong> radiaçãodos corpos negros e na teoria da elasticida<strong>de</strong> (mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> placas <strong>de</strong> Kirchhoff),além <strong>de</strong> propor o nome <strong>de</strong> ”radiação do corpo negro”em 1862.Foi o autor <strong>de</strong> duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos elétricos e daemissão térmica. Kirchhoff formulou as leis dos nós e <strong>das</strong> malhas na análise <strong>de</strong> circuitoselétricos (Leis <strong>de</strong> Kirchhoff) em 1845, quando ainda era um estudante. Propôs a lei daemissão <strong>de</strong> radiação térmica em 1859, comprovando-a em 1861. Em 1954 transferiu-separa a Universida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Hei<strong>de</strong>lberg , on<strong>de</strong> colaborou em trabalhos sobre espectroscopia1
com Robert Bunsen, <strong>de</strong>scobrindo juntamente com este os elementos césio e rubídio em1861, estudando a composição química do Sol através do seu espectro.Posteriormente propôs as três leis que <strong>de</strong>screvem a emissão <strong>de</strong> luz por objetos incan<strong>de</strong>scentes:1. Um objeto sólido aquecido produz luz com espectro contínuo.2. Um gás tênue produz luz com linhas espectrais em comprimentos <strong>de</strong> onda discretosque <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m da composição química do gás.3. Um objeto sólido a alta temperatura ro<strong>de</strong>ado <strong>de</strong> um gás tênue a temperaturasinferiores produz luz num espectro contínuo com vazios em comprimentos <strong>de</strong> ondadiscretos cujas posições <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m da composição química do gás.A existência <strong>de</strong>stas leis foi explicada mais tar<strong>de</strong> por Niels Bohr, contribuindo <strong>de</strong>cisivamentepara o nascimento da mecânica quântica.2
Capítulo 2Notações e Conceitos Preliminares2.1 NotaçõesSeja Ω = (0, 1) um intervalo limitado do R. Denotemos por L 2 (Ω) o espaço <strong>de</strong> Hilbert<strong>das</strong> funções quadrado integráveis <strong>de</strong> Lebesgue em Ω, H s (Ω) o espaço <strong>de</strong> Sobolev <strong>de</strong> or<strong>de</strong>ms. Empregamos esses espaços para s=1 ou s=2.O produto escalar e norma em L 2 (Ω) são representados por(u, v) =para u,v ∈ L 2 (Ω).∫ 1u(x)v(x)dx ; |u| 2 =∫ 100|u(x)| 2 RdxNote que |u| é a norma em L 2 (Ω) e |u(x)| Ré o valor absoluto do número real u(x).As funções u ∈ H 1 (0, 1) são contínuas. Então <strong>de</strong>finimos H 1 0(0, 1) = {u ∈ H 1 (0, 1); u(0) =u(1) = 0}. O produto escalar e norma em H0(0, 1 1) são <strong>de</strong>finidos por:∫ 1∂ 2 ∫u v1∣((u, v)) =∂x 2 (x)∂2 ∂x (x)dx ; 2 ||u||2 =∂u ∣∣∣2∣∂x (x) dx0Consi<strong>de</strong>remos o espaço V = H 1 0(0, 1) ∩ H 2 (0, 1) equipado com o produto escalar enorma dados por:para todo u ∈ V .(u, v) V =∫ 10∂ 2 u v∂x 2 (x)∂2 ∂x (x)dx ; 2 |u|2 V =0∫ 10R∣ ∂ 2 u ∣∣∣2∣∂x (x) dx2Para T > 0, consi<strong>de</strong>remos o cilindro Q = (0, 1) × (0, T ) do plano cartesiano R 2 . Asfunções a,b,c,d são <strong>de</strong>fini<strong>das</strong> em Q com valores nos números positivos R + . Representamoso intervalo (0, 1) por Ω.3R
Por L ∞ (Q) representamos o espaço <strong>de</strong> Banach <strong>das</strong> funções limita<strong>das</strong> mensuráveis emQ com valores reais, equipado com a norma:||u|| L ∞ (Q) = sup ess (x,t)∈Q |u(x, t)| R .2.2 HipótesesH1) c ∈ C 1 ( ¯Q) com c(1, t) ≥ 0, c(0, t) ≤ 0 para todo t ≥ 0. [ ¯Q é o fecho <strong>de</strong> Q e C 1 ( ¯Q)o espaço <strong>das</strong> funções continuamente diferenciáveis u : ¯Q → R].H2) a, ∂a∂t∂b ∂d, b, , d,∂t ∂t pertencem a L∞ (Q).H3) b(x, t) > 0, a(x) ≥ a 0 > 0 em Q.A não-linearida<strong>de</strong> no mo<strong>de</strong>lo[∂ 2 ∫u1∂t − a(x) + b(x, t)2é do tipo ||u(t)|| 2 =∫ 100( ∂u∂x) 2 ] [ ∂ 2 udx∂x − c(x, t)2∫ 10( ) 2 ] ∂u ∂udx + d(x, t)∂u∂x ∂x ∂t = 0(2.2.1)∣ ∂u ∣∣∣2∣∂x (x, t) dx e cujos coeficientes são <strong>de</strong>finidos da seguinte forma:Ra(x) = τ 0γ 0 ρ(x); b(x, t) =Eσ(x, t)γ 2 0ρ(x); c(x, t) = E ∂σ (x, t)∂xsendo ρ a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa, σ a seção transversal da corda, τ a tensão, E o módulodo mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Young do material e d(x, t) o termo <strong>de</strong> viscosida<strong>de</strong>.Vamos consi<strong>de</strong>rar a não linearida<strong>de</strong> mais geral do tipo M(||u(t)|| 2 ), com M = M(λ), λ ≥0, satisfazendo certas condições.H4) M é continuamente <strong>de</strong>rivável com M ′ em L ∞ (0, K) para todo K > 0 e 0 < m 0 ≤M(λ) ≤ λ, M ′ (λ) ≥ 0.4
2.3 Formulação e Resultado PrincipalMotivados pelo mo<strong>de</strong>lo perturbado <strong>de</strong> Kirchhoff (2.2.1), formulamos o seguinte problema<strong>de</strong> valor inicial e <strong>de</strong> fronteira: dados u 0 e u 1 achar a função u : Q → R solução doproblema <strong>de</strong> valor inicial e <strong>de</strong> fronteira:[] ∂ 2 u∂ ∂t (x, t) − a(x) + b(x, t)M(||u(t)|| 2 2 u)2 ∂x (x, t) − c(x, 2 t)M(||u(t)||2 ) ∂u (x, t)∂x + d(x, t) ∂u (x, t) = 0 em Q∂t u(0, t) = u(1, t) para todo t ≥ 0∣ u(x, 0) = u 0 (x) u ′ (x, 0) = u 1 (x) em (0, 1)(2.3.1)Definição 2.1: Chamamos <strong>de</strong> solução do problema (2.3.1) <strong>uma</strong> função u : Q → R nasclasses:satisfazendo a i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong> integral:∫ T0∫ T0( ∂ 2 u∂t 2 (t), v )dt −u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω))∂u∂t ∈ L∞ (0, T ; H0(Ω))1∂ 2 u∂t ∈ 2 L∞ (0, T ; L 2 (Ω))∫ T(c(t)M(||u(t)|| 2 ) ∂u∂x (t), v )dt +0(a + b(t)M(||u(t)|| 2 ) ∂2 u∫ T0)∂x (t), v dt −2(d(t) ∂u )∂t , v dt = 0,para todo v ∈ L 2 (0, T ; L 2 (0, 1)) e satisfaz as condições iniciais em (2.3.1).Teorema 2.1: Suponha u 0 ∈ H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω) e u 1 ∈ H 1 0(Ω), satisfazendo a restrição∣ ∂ 2 u 0 ∣∣∣2∣ + ||u∂x 2 1 || 2 < δ , δ > 0on<strong>de</strong> δ é <strong>uma</strong> constante que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> a(x, t), b(x, t), c(x, t), d(x, t) e <strong>de</strong> suas <strong>de</strong>riva<strong>das</strong>em x e t. Então, existe <strong>uma</strong> única solução <strong>de</strong> (2.3.1).5
Observação: Seja (w i ) i∈N <strong>uma</strong> base <strong>de</strong> H0(0, 1 1) solução do problema espectral.− w ixx = λ i w i em (0, 1)∣ w i (0) = w i (1) = 0A <strong>de</strong>monstração será feita pelo método <strong>das</strong> aproximações sucessivas.De fato, representamospor V 0 = {0} e por V m = [w 1 , w 2 , . . . , w m ], para m ≥ 1, o subespaço <strong>de</strong>V = H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1) gerado por w 1 , w 2 , . . . , w m . Definimos u 0 (t) para todo t ∈ [0, T ]m∑e <strong>de</strong>finimos u m (t) = g jm (t)w j ∈ V m a função <strong>de</strong>finida em [0, T m ] com valores em V m ,j=1solução do seguinte sistema <strong>de</strong> equações diferenciais ordinárias:( ) ([] ) (∂ 2 u∂ ∂t (t), w − a + b(t)M(||u 2 m−1 (t)|| 2 2 u m)∂x (t), w − c(t)M(||u 2 m−1 (t)|| 2 ) ∂u )m∂x (t), w (+ d(t) ∂u )∂t (t), w = 0 para todo w ∈ V mu m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)∂u m∣∂t (0) = u 1m → u 1 em H0(0, 1 1)(2.3.2)As estimativas e a passagem ao limite são provados em [11].6
Capítulo 3Vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas comextremida<strong>de</strong>s fixas3.1 Formulação do ProblemaO mo<strong>de</strong>lo proposto nesta tese é <strong>uma</strong> extensão do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff para pequenasvibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas com extremida<strong>de</strong>s móveis dado por[ ∂ 2 u∂t − τ02 m + k ∫γ(t) − L 0 k β(t)( ) 2 ] ∂u ∂ 2 u+dx = 0 , (x, t) ∈ ˆQm L 0 2mγ(t) α(t) ∂x ∂x2 u(x, t) = 0 , (x, t) ∈ Ê(3.1.1)∂u∣ u(x, 0) = u 0 (x) ,∂t (x, 0) = u 1(x) α 0 < x < β 0on<strong>de</strong>ˆQ = {(x, t) ∈ R 2 ; α(t) < x < β(t), ∀t ≥ 0}e sua fronteira <strong>de</strong>finida comoÊ =⋃{α(t), β(t)} × {t}0
• k o módulo <strong>de</strong> Young do material vezes a seção transversal da corda;• u(x, t) o <strong>de</strong>slocamento vertical do ponto x da corda no tempo t;• α(t) e β(t) funções que dão o movimento dos extremos da corda durante a vibraçãosendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).Neste trabalho, iremos supor que as extremida<strong>de</strong>s são fixas, ou seja, α(t) = 0 eβ(t) = 1 e ele é dado por[∂ 2 u∂t − a(x) + b(x, t)2∫ 1e cujos coeficientes <strong>de</strong>finidos por0( ) 2 ] [∂u ∂ 2 udx∂x ∂x − c(x, t)2∫ 10( ) 2 ] ∂u ∂udx + d(x, t)∂u∂x ∂x ∂t = 0(3.1.2)a(x) = τ 0γ 0 ρ(x) , (3.1.3)b(x, t) =E σ(x, t)γ 2 0ρ(x)(3.1.4)c(x, t) = E ∂σ (x, t) (3.1.5)∂xO problema que estudaremos será o <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar <strong>uma</strong> função u = u(x, t), no espaço<strong>das</strong> soluções H0(Ω) 1 ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧ [∂ 2 ∫u1( ) 2 ] [∂u ∂ 2 ∫∂t − u1a(x) + b(x, t) dx2 0 ∂x ∂x − c(x, t)2 0⎪⎨ + d(x, t) ∂u = 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂t⎪⎩u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1( ∂u∂x) 2 ] ∂udx∂x(3.1.6)8
3.2 Método dos Elementos Finitos3.2.1 Formulação VariacionalAo Problema (3.1.6), o Método dos Elementos Finitos não é diretamente aplicável.Primeiramente, faz-se necessário expressar o problema n<strong>uma</strong> forma mais a<strong>de</strong>quada, fórmulaesta chamada <strong>de</strong> Formulação Variacional, para que assim, possamos aplicar o Método <strong>de</strong>Galerkin, que será visto mais adiante.Seja D(Ω) o espaço <strong>das</strong> funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação em (3.1.6) por w e integrandoem Ω = (0, 1), tem-se:∫ 10on<strong>de</strong>∂ 2 ∫u1∂t w dx + 20∂u ∂∂x ∂x (M 1(x, t)w) dx −∫ 1M 1 (x, t) = a(x) + b(x, t)0M 2 (x, t) ∂u ∫ 1∂x w dx +∫ 100M 3 (x, t) ∂u∂t w dx = 0(3.2.1)( ) 2 ∂udx (3.2.2)∂xM 2 (x, t) = c(x, t)∫ 10( ) 2 ∂udx (3.2.3)∂xM 3 (x, t) = d(x, t) (3.2.4)3.2.2 Método <strong>de</strong> GalerkinO Método <strong>de</strong> Galerkin consiste em aproximar o espaço <strong>das</strong> soluções H0(Ω) 1 por umsubespaço <strong>de</strong> dimensão finita. Para isto, <strong>de</strong>finimos um subespaço V m gerado pelos mprimeiros elementos da base do espaço <strong>de</strong> Hilbert H0(Ω), 1 isto é,V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (3.2.5)on<strong>de</strong> [ϕ i ] i∈N é <strong>uma</strong> base <strong>de</strong> H0(Ω).1Buscamos, então, <strong>uma</strong> solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (3.1.6), nosubespaço V m .9
Solução AproximadaAproximamos o Problema (3.1.6) pelo problema <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar no espaço <strong>das</strong> soluçõesV m , <strong>uma</strong> função u m = u m (x, t), tal que,⎧ ( ) ( ) (∂ 2 u m∂t ⎪⎨, w ∂um+2 ∂x , ∂∂x (M 1(x, t)w) − M 2 (x, t) ∂u )m∂x , w +u m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)(M 3 (x, t) ∂u m∂t , w )= 0 ∀w ∈ V m⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) em (3.2.1), temos:(3.2.6)∫ 10∂ 2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂x∂∂x (M 1(x, t)w) dx −Como u m (x, t) ∈ V m , po<strong>de</strong>mos escrever∫ 10M 2 (x, t) ∂u ∫ 1m∂x w dx +0M 3 (x, t) ∂u m∂t w dx = 0(3.2.7)u m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m , (3.2.8)i=1e assim, obtemos∂u m∂t=m∑d ′ i(t)ϕ i (x), (3.2.9)i=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (3.2.10)d ′′i (t)ϕ i (x), (3.2.11)Substituindo <strong>de</strong> (3.2.9) à (3.2.11) em (3.2.7) e tendo w ∈ V m , po<strong>de</strong>mos tomar emparticular, w = ϕ j , j = 1, · · · , m.10
Logo, temos então:m∑i=1d ′′i (t)m∑d i (t)i=1∫ 10∫ 10ϕ i (x)ϕ j (x) dx +M 2 (x, t) ∂ϕ i(x)∂xm∑∫ 1∂ϕ i (x)d i (t)i=1 0 ∂xm∑ϕ j (x) dx + d ′ i(t)i=1∂∂x (M 1(x, t)ϕ j (x)) dx −∫ 10M 3 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x)dx = 0(3.2.12)3.3 Função <strong>de</strong> InterpolaçãoComo já visto anteriormente, V m é um subespaço <strong>de</strong> H 1 0(0, 1), on<strong>de</strong>V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ]As funções base ϕ i escolhi<strong>das</strong> são funções <strong>de</strong> interpolação linear por partes satisfazendoa seguinte condição:ϕ i (x j ) ={1, se i = j0, se i ≠ j(3.3.1)on<strong>de</strong> x j ∈ [0, 1] é <strong>de</strong>nominado ponto nodal ou simplesmente nó. Os nós são pontosdiscretos do intervalo [0,1], distribuídos <strong>de</strong> forma equidistante ou não.divisões em [0,1] <strong>de</strong>finimos o passoNo caso dos nós serem equidistantes, h i = h = 1/m.Tomando mh i = x i+1 − x i , i = 1, · · · , m (3.3.2)Em cada intervalo, <strong>de</strong>finimos a função ϕ i (x) linear por partes satisfazendo a condição(3.3.1). Então, ϕ i (x) é <strong>de</strong>finida por⎧⎪⎨ϕ i (x) =x − x i−1= x − x i−1,x i − x i−1 h i−1∀ x ∈ [x i−1 , x i ]x − x i+1= x i+1 − x,x i − x i+1 h i∀ x ∈ [x i , x i+1 ](3.3.3)⎪⎩0, ∀ x ∉ [x i−1 , x i+1 ]11
cuja <strong>de</strong>rivada é dada por1, ∀ x ∈ (x i−1 , x i )h i−1⎧⎪∂ϕ ⎨i∂x (x) = − 1 , ∀ x ∈ (x i , x i+1 )h i⎪ ⎩(3.3.4)0, ∀ x ∉ (x i−1 , x i+1 )A função ϕ i está <strong>de</strong>finida para i = 1, . . . , m + 1.Po<strong>de</strong>mos representar geometricamente as funções ϕ i , como mostrado na Figura 3.1.❆❆ ϕ i (x)❆1 ❆❆✁ ✁✁✁✁✁✁✁❆h❆i−1 h i ❆x 1 x i−1 x i x i+1 x m+1Figura 3.1: Função baseConsi<strong>de</strong>raremos neste trabalho, <strong>uma</strong> malha uniforme com passo constante h i = h =1/m e os pontos nodais dados por(x i = (i − 1) 1 ), i = 1, 2, . . . , m + 1mObservamos que com a <strong>de</strong>finição da função em (3.3.3) e (3.3.4), temos:Assimϕ i (x)ϕ j (x) = 0e∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)∂x ∂x= 0 se | i − j |≥ 2e∫ 10∫ 10ϕ i (x)ϕ j (x) dx =∫ xi+1∫∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)xi+1dx =∂x ∂xx i−1x i−1ϕ i (x)ϕ j (x) dx para j = i − 1, i, i + 1 (3.3.5)∂ϕ i (x) ∂ϕ j (x)dx se | i − j |≥ 2 (3.3.6)∂x ∂x12
Problema LocalUma forma mais apropriada <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar a solução aproximada do Problema (3.2.6),é através <strong>de</strong> soluções locais. Para obtermos tais soluções locais precisamos consi<strong>de</strong>rar <strong>uma</strong>partição do domínio Ω em subregiões Ω e , tal que,m⋃Ω = Ω e , Ω e ∩ Ω s = ∅, e ≠ se=1Consi<strong>de</strong>re Ω = (0, 1) e <strong>uma</strong> discretização não necessariamente uniforme dada porx i+1 = x i + h i ,i = 2, · · · , mon<strong>de</strong> x 1 = 0 e x m+1 = 1 <strong>de</strong>vido as condições <strong>de</strong> fronteira.Para cada intervalo [x i , x i+1 ], consi<strong>de</strong>re um elemento e <strong>de</strong>nominado elemento finito eas coor<strong>de</strong>na<strong>das</strong> locais [x e 1, x e 2] = [x i , x i+1 ]. Geometricamente os m elementos po<strong>de</strong>m serrepresentados como na Figura 3.2.x 1 1e = 1✁ ✁✁✁✁✁✁✁ e − 1x e−11ϕ e−12❆❆❆❆ϕ e 1❆❆e ❆❆x e−12 = x e 1x e 2e = mx m 2Figura 3.2: Função base localporEntão, temos m intervalos chamados <strong>de</strong> elementos finitos, [x e 1, x e 2], e = 1, · · · , m.Definimos a função <strong>de</strong> interpolação local ϕ e a(x) para cada intervalo local [x e 1, x e 2] dada⎧⎪⎨ϕ e a(x) =ϕ e 1(x) = xe 2 − xh e, ∀ x ∈ [x e 1, x e 2]ϕ e 2(x) = x − xe 1h e, ∀ x ∈ [x e 1, x e 2](3.3.7)⎪⎩0, ∀ x ∉ [x e 1, x e 2]on<strong>de</strong> h e = x e 2 − x e 1.13
A função <strong>de</strong> interpolação ϕ i (x) apresentada em (3.3.3) é a junção <strong>das</strong> funções <strong>de</strong>interpolação local ϕ e−12 (x) e ϕ e 1(x), ou seja,⎧ϕ⎪⎨e−12 (x), ∀ x ∈ [x e−11 , x e−12 ] = [x i−1 , x i ]ϕ i (x) =ϕ e 1(x), ∀ x ∈ [x e 1, x e 2] = [x i , x i+1 ]⎪⎩ 0, ∀ x ∉ [x i−1 , x i+1 ](3.3.8)Usando a notação acima, <strong>de</strong>finimos (3.2.12) em termos <strong>de</strong> cada elemento, ou seja,constantes em cada elemento finito e, assim temos:2∑a=12∑a=1∫ x ed ′′ 2ea (t) ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=1∫ x ed e 2a(t) M 2 (x, t) ∂ϕe a(x)x e ∂x ϕe b dx +1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x ed e 2a(t)x e 12∑a=1d ′ ea (t)∂ϕ e a(x) ∂∂x ∂x (M 1(x, t)ϕ e b(x))dx −∫ x e2x e 1M 3 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0(3.3.9)Devido a existência <strong>das</strong> funções M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) nas integrais, a equaçãoé <strong>de</strong> difícil solução. Consi<strong>de</strong>rando o conceito local apresentado anteriormente e tomandoque o tamanho h e<strong>de</strong> cada elemento é suficientemente pequeno, passaremos então aconsi<strong>de</strong>rar as funções contínuas M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) constantes em cada elementofinito e.Logo, linearizando no tempo, tomamos M 1 (x, t) = M e 1(t), M 2 (x, t) = M e 2(t) e M 3 (x, t) =M e 3(t) e consi<strong>de</strong>rando x constante em cada elemento finito e, obtemos:2∑a=12∑a=1∫ x ed ′′ 2ea (t) ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=1∫ x ed e a(t)M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx +1∫ x ed e a(t)M1(t)e 2x e 12∑a=1d ′ ea (t)M e 3(t)∂ϕ e a(x)∂x∫ x e2x e 1∂ϕ e b (x)∂xdx −ϕ e a(x)ϕ e b(x)dx = 0(3.3.10)on<strong>de</strong> 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.14
3.4 Cálculo <strong>das</strong> MatrizesDenotando porA =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e , C =e=1m∑Cab e e D =e=1m∑e=1D e abRestringindo as matrizes A, B, C, D a cada elemento e temos:A e ab =∫ x e2x e 1∫ x eBab e = M1(t)e 2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (3.4.1)∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (3.4.2)∫ x eCab e = M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx (3.4.3)1∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (3.4.4)x e 1As matrizes locais A e ab , Be ab , Ce ab e De ab são <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2×2) on<strong>de</strong> veremos mais adiantena Seção 3.6. Essas matrizes locais <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2 × 2) foram introduzi<strong>das</strong> <strong>de</strong>vido ao fato<strong>de</strong>las terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) = 0, se |a − b| ≥ 2.3.5 Integração <strong>Numérica</strong>Utilizaremos um método <strong>de</strong> integração numérica chamado <strong>de</strong> Quadratura Gaussianacom dois pontos ζ 1 e ζ 2 , que são exatos para polinômio <strong>de</strong> grau ≤ 3, com o intuito <strong>de</strong>tornar mais flexível a montagem <strong>das</strong> matrizes locais apresenta<strong>das</strong> em (3.4.1), (3.4.2) ,(3.4.3) e (3.4.4).A quadratura Gaussiana no caso unidimensional é dada por∫ 1−1q(ζ l ) dζ =N∑q(ζ l )w ll=115
on<strong>de</strong> N é o número <strong>de</strong> pontos <strong>de</strong> integração, √ ζ l é a coor<strong>de</strong>nada e w l é o peso associado a3ζ 1 . Quando N = 2, então, ζ 1 = −3 = −ζ 2 e w 1 = w 2 = 1. Nestas condições o erro <strong>de</strong>integração é dado porE G = 1 d 4 q(ζ)135 dζ 4e a integral é calculada por∫ 1−1( √ ) (√ )3 3q(ζ) dζ = q − + q3 3Des<strong>de</strong> que o intervalo <strong>de</strong> integração da função q é o intervalo fechado [-1,1] então,para calcular as matrizes locais do elemento e, cujas coor<strong>de</strong>na<strong>das</strong> são da<strong>das</strong> por [x e 1, x e 2],precisamos fazer a seguinte transformação isoparamétrica:ξ : [x e 1, x e 2] → [−1, 1]on<strong>de</strong> h e = x e 2 − x e 1. A função inversa ξ −1 <strong>de</strong> ξ é dada porx ↦−→ ξ(x) = 1 h e(2x − x e 1 − x e 2) (3.5.1)x e : [−1, 1] → [x e 1, x e 2]ξ ↦−→ x e (ξ) = 1 2 (xe 1 + x e 2 + h e ξ) (3.5.2)Além disso,dx edξ = h e2(3.5.3)Agora, iremos calcular as matrizes locais.3.6 Matrizes Locais A e ab ,Be ab ,Ce ab e De abTemos m elementos para os (m + 1) nós da discretiza¸aão <strong>de</strong> Ω = (0, 1), on<strong>de</strong> temosque:m∑m∑m∑A = A e ab , B = Bab e , C = Cab e e D =e=1e=1e=1e=1m∑D e abAs funções ϕ e 1 e ϕ e 2 são as únicas funções <strong>de</strong> interpolação não nulas no intervalo [x e 1, x e 2]em (3.3.7). Logo, a matriz local A e ab , já vista anteriormente em (3.4.1), foi <strong>de</strong>finida como16
sendo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2 × 2), pois os elementos A e 11, A e 12, A e 21 e A e 22 que pertencem a e-ésimae (e + 1)-ésima linhas e colunas são os únicos não necessariamente nulos. Assim temos:⎡⎤0 0A e ab =A e 11 A e 12← eA e 21 A e 22← e + 1⎢⎥⎣⎦0 0Logo, po<strong>de</strong>mos representar os elementos A e 11, A e 12, A e 21 e A e 22 respectivamente porA e ee, A e e,e+1, A e e+1,e e A e e+1,e+1. Faremos o mesmo com as matrizes Bab e , Ce ab e De ab , don<strong>de</strong>obtemos:[ ] [ ] [ ]AeA e ab = 11 A e 12Be, B eA e 21 A e ab = 11 B12e Ce, C e22B21 e B22e ab = 11 C12e ,C21 e C22e[ ]DeDab e = 11 D12eD21 e D22ecuja or<strong>de</strong>m <strong>das</strong> submatrizes é (2 × 2) formados pelos coeficientes <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>na<strong>das</strong> nãonulas.3.6.1 Matriz Local A e abTemos que a matriz local A e abem (3.4.1) é dada porA e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.4.1), temos:∫ 1A e ab = ϕ e a(ξ)ϕ e b(ξ) h ∫ 1( √ ) (√ )e3 32 dξ = q(ξ) dξ = q − + q3 3−1−1(3.6.1)on<strong>de</strong>q(ξ) = h e2 ϕe a(ξ)ϕ e b(ξ)17
Antes <strong>de</strong> explicitarmos a função q(ξ), é preciso, primeiramente, <strong>de</strong>finir a função <strong>de</strong>interpolação ϕ e a(ξ) no intervalo [-1, 1]. Por exemplo, usando polinômio <strong>de</strong> grau 1, temos:⎧ϕ e (1 − ξ)1(ξ) = , ∀ ξ ∈ [−1, 1]⎪⎨2ϕ e a(ξ) = ϕ e (1 + ξ)2(ξ) = , ∀ ξ ∈ [−1, 1](3.6.2)2⎪⎩ 0, ∀ ξ ∉ [−1, 1]Temos que, a função ϕ e a(x) <strong>de</strong>finida em (3.3.7) para x ∈ [x e 1, x e 2] é equivalente à funçãoϕ e a(ξ) <strong>de</strong>finida em (3.6.2) para ξ ∈ [−1, 1].Utilizando a função (3.6.2) em (3.6.1), obtemos os elementos da matriz local A e ab dadapor[ ]AeA e ab = 11 A e 12A e 21 A e 22A e 11 =A e 12 =∫ 1= h e8q(ξ) dξ = h e2−1∫ 1∫ 1= h e8−1−1∫ 1∫ 1−1( ) 1 − 2ξ + ξ2dξ = h e3q(ξ) dξ = h e2−1∫ 1−1( ) 1 − ξ2dξ = h e6ϕ e 1(ξ)ϕ e 1(ξ) dξ = h e2ϕ e 1(ξ)ϕ e 2(ξ) dξ = h e2∫ 1−1∫ 1−1(1 − ξ) (1 − ξ)2 2(1 − ξ) (1 + ξ)2 2dξdξ(3.6.3)(3.6.4)Por se tratar <strong>de</strong> <strong>uma</strong> matriz simétrica temos que, A e 21 = A e 12.A e 22 =∫ 1−1q(ξ) dξ = h e2∫ 1−1ϕ e 2(ξ)ϕ e 2(ξ) dξ = h e2∫ 1−1(1 + ξ) (1 + ξ)2 2dξ= h e8∫ 1−1( ) 1 + 2ξ + ξ2dξ = h e3(3.6.5)Como a malha é uniforme, temos h = h e e <strong>de</strong> (3.6.3), (3.6.4) e (3.6.5) temos que amatriz local A e ab é da seguinte forma:[ ]A e ab = h 2 1(3.6.6)6 1 218
3.6.2 Matriz Local B e abTemos que a matriz local Bab e , vista anteriormente em (3.4.2), é dada por∫ x eBab e = M1(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxpara 1 ≤ a, b ≤ 2. Po<strong>de</strong>mos reescrever B e ab comoB e ab = M e 1(t) ˆB e ab (3.6.7)on<strong>de</strong>ˆB e ab =∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (3.6.8)Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.6.8), temos:ˆB e ab =∫ 1−12 ∂ϕ e a(ξ) 2 ∂ϕ e b (ξ)h e ∂ξ h e ∂ξh e2 dξ = ∫ 1−1(q(ξ) dξ = q −√ ) (√ )3 3+ q3 3(3.6.9)on<strong>de</strong>q(ξ) = 2 h e( ∂ϕea (ξ)dξ∂ϕ e b (ξ) )dξAntes <strong>de</strong> explicitarmos a função q(ξ), é preciso primeiramente <strong>de</strong>finir a função <strong>de</strong>interpolação ϕ a (ξ) no intervalo [-1, 1]. Derivando (3.6.2), obtemos:⎧∂ϕ e 1(ξ)= − 1 ∀ ξ ∈ [−1, 1]∂ξ 2∂ϕ⎪⎨e ∂ϕa(ξ)e 2(ξ)= = 1 ∀ ξ ∈ [−1, 1]∂ξ ∂ξ 2(3.6.10)⎪⎩0 ∀ ξ ∉ [−1, 1]Utilizando a função (3.6.10) em (3.6.9), obteremos os elementos da matriz local ˆBe ab ,dada por[ ˆBeˆB ab e = 11ˆBe 12ˆB 21e ˆB 22e]ˆB e 11 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 1(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 1(ξ)∂ξdξ =∫ 1−12(− 1 )(− 1 )dξh e 2 219
∫ 11= dξ = 1 (3.6.11)−1 2h e h eˆB e 12 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 1(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 2(ξ)∂ξdξ =∫ 1−12(− 1 ) 1dξh e 2)(2=∫ 1−1− 12h edξ = − 1 h e(3.6.12)Por se tratar <strong>de</strong> <strong>uma</strong> matriz simétrica temos que, ˆBe 21 = ˆB e 12.ˆB e 22 =∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−12 ∂ϕ e 2(ξ)h e ∂ξ∂ϕ e 2(ξ)∂ξdξ =∫ 1−1( )2 1 1dξh e 2)(2=∫ 1−112h edξ = 1 h e(3.6.13)Como h = h e e <strong>de</strong> (3.6.11) a (3.6.13), temos que a matriz local ˆBe ab é dada porˆB e ab = 1 h[1 −1−1 1](3.6.14)Logo, substituindo (3.6.14) em (3.6.7), temos a matriz local Bab e[ ]Bab e = M 1(t)e 1 −1h −1 1é da seguinte forma:(3.6.15)3.6.3 Matriz Local C e abTemos que a matriz local Cab e , vista anteriormente em (3.4.3) é dada poron<strong>de</strong>∫ x eCab e = M2(t)e 2∂ϕ e a(x)x e ∂x ϕe b(x) dx = M 2(t)Ĉe e ab (3.6.16)1Ĉ e ab =∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x)∂x ϕe b(x) dx (3.6.17)para 1 ≤ a, b ≤ 2.20
Ao aplicar a transformação isoparamétrica (3.5.1) em (3.6.17), temos:poisĈ e ab =∫ 1−12 ∂ϕ e a(ξ)ϕ eh e ∂ξb(ξ) h ∫ 1e2 dξ =−1∂ϕ e a∂x = ∂ϕe a dξ∂ξ dx = 2 ∂ϕ e ah e ∂ξ∂ϕ e a(ξ)ϕ e∂ξb(ξ) dξ (3.6.18)Logo, utilizando a função (3.6.2) e (3.6.10) em (3.6.18), obteremos cada elemento damatriz local Ĉ e ab dada por Ĉ e ab =[Ĉe 11 Ĉ e 12]on<strong>de</strong>Ĉ e 11 ==Ĉ e 12 ==Ĉ e 21 ==Ĉ e 22 ==∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1q(ξ) dξ =∫ 1−1( ) ξ − 1dξ = − 1 42q(ξ) dξ =∫ 1−1( ) −ξ − 1dξ = − 1 42Ĉ e 21Ĉ e 22∂ϕ e 1(ξ)ϕ e∂ξ1(ξ) dξ =∂ϕ e 1(ξ)ϕ e∂ξ2(ξ) dξ =∫ 1−1∫ 1−1(− 1 )( ) 1 − ξdξ2 2(− 1 )( ) 1 + ξdξ2 2∫ 1∂ϕ e ∫ 1)( )q(ξ) dξ =2(ξ)1 1 − ξϕ e−1 ∂ξ1(ξ) dξ =dξ−1(2 2( ) 1 − ξdξ = 1 4 2∫ 1∂ϕ e ∫ 1)( )q(ξ) dξ =2(ξ)1 1 + ξϕ e−1 ∂ξ2(ξ) dξ =dξ−1(2 2( ) 1 + ξdξ = 1 4 2(3.6.19)(3.6.20)(3.6.21)(3.6.22)porDe (3.6.19) a (3.6.22) temos que a matriz local Ĉe ab é <strong>uma</strong> matriz anti-simétrica dadaĈ e ab =⎡⎢⎣− 1 2 −1 21 12 221⎤⎥⎦ (3.6.23)
Logo, substituindo (3.6.23) em (3.6.16), temos a matriz local Cab e é da seguinte forma:⎡Cab e = M 2(t)Ĉe e ab = M2(t)e ⎢⎣− 1 2 −1 21 12 2⎤⎥⎦ = 1 2⎡⎣ −M e 2(t)M e 2(t)−M e 2(t)M e 2(t)⎤⎦ (3.6.24)3.6.4 Matriz Local D e abTemos que a matriz D e abvista anteriormente em (3.4.4) é dada por∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (3.6.25)x e 1on<strong>de</strong>para 1 ≤ a, b ≤ 2.A e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (3.6.26)De (3.6.6), temos:⎡A e ab = h ⎣ 2 161 2⎤⎦ (3.6.27)Logo, substituindo (3.6.27) em (3.6.25), temos a matriz local Dab e dada porD e ab = hM e 3(t)6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (3.6.28)3.7 Matrizes Globais A, B, C e DNesta Seção, faremos a montagem <strong>das</strong> matrizes globais a partir <strong>das</strong> matrizes locais,<strong>uma</strong> vez que:A =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e , C =e=1m∑Cab e e D =e=1m∑e=1D e ab22
3.7.1 Matriz Global AConsi<strong>de</strong>raremos a matriz local <strong>de</strong>finida em (3.4.1) e a função ϕ e a(x) <strong>de</strong>finida em (3.3.7)on<strong>de</strong> [x e 1, x e 2] = [x e , x e+1 ]. Consi<strong>de</strong>raremos também i = j = e, no cálculo do coeficienteda matriz A ee . Temos:A ee =∫ 10Don<strong>de</strong> obtemosϕ e (x)ϕ e (x) dx =A ee =∫ xe−12x e−11∫ xex e−1ϕ e (x)ϕ e (x) dx +∫ xe+1∫ x eϕ e−12 (x)ϕ e−122 (x) dx + ϕ e 1(x)ϕ e 1(x) dxx e 1x eϕ e (x)ϕ e (x) dx (3.7.1)A ee = A e−122 + A e 11 (3.7.2)para e = 2, 3, · · · , m. Temos então que A e−122 e A e 11 são os coeficientes <strong>das</strong> matrizes locaisM e−1 e M e <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2 × 2).Da mesma forma, obtemos:A e,e+1 =A e+1,e =global:on<strong>de</strong>∫ 10∫ 10ϕ e (x)ϕ e+1 (x) dx =ϕ e+1 (x)ϕ e (x) dx =∫ xe+1x eϕ e (x)ϕ e+1 (x) dx =∫ xe+1x eϕ e+1 (x)ϕ e (x) dx =∫ x e2x e 1∫ x e2x e 1ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) dx = A 12(3.7.3)ϕ 2 (x)ϕ 1 (x) dx = A 21(3.7.4)Generalizando, temos o seguinte algoritmo na composição dos coeficientes da matrizA 11 =∫ 10ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx =Analogamente, temos:Para e = 2, 3, · · · , m, temosA ee = A e−122 + A e 11A e,e+1 = A e 12 (3.7.5)A e+1,e = A e 21∫ x 12x 1 1ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx =∫ x e2x e 1ϕ 1 1(x)ϕ 1 1(x) dx = A 1 11 (3.7.6)A m+1,m+1 =∫ x m2x m 1ϕ m 2 (x)ϕ m 2 (x) dx = A m 22 (3.7.7)23
De (3.7.5) a (3.7.7), obtemos a matriz global A dada pelo algoritmo:A 11 = A 1 11A ee = A e−122 + A e 11 e = 2, 3, · · · , mA e,e+1 = A e 12 e = 1, 2, · · · , m (3.7.8)A e+1,e = A e 21A m+1,m+1 = A m 22e = 1, 2, · · · , mSendo A e aba matriz local dada em (3.6.6) por⎡A e ab = h ⎣ 2 16 1 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz A e ab e sendo ela simétrica e tridiagonal, achamosmais conveniente colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, ou seja, como a matriz é tridiagonal,os outros elementos são nulos, logo colocamos as 3 diagonais em forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong>teremos:⎡ ⎤0 4 1A = h 1 4 1(3.7.9)6 ⎢ ⎥⎣ . . . ⎦1 4 03.7.2 Matriz Global BSendo B e aba matriz local dada em (3.6.15) por[Bab e = M 1(t)e 1 −1h −1 1]Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, achamosmais conveniente colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> teremos:⎡B = 1 h ⎢⎣0 M 1 1 (t) + M 2 1 (t) −M 1 1 (t)−M 1 1 (t) M 2 1 (t) + M 3 1 (t) −M 2 1 (t).−M m−21 (t) M m−11 (t) + M m 1 (t) 0..⎤⎥⎦(3.7.10)24
3.7.3 Matriz Global CSendo Cab e , a matriz local dada em (3.6.24) por⎡Cab e = 1 ⎣ −M 2(t)e2M2(t)e−M e 2(t)M e 2(t)⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Cab e e sendo ela tridiagonal, achamos maisconveniente colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> teremos:⎡C =⎢⎣0M 1 2 (t)2.− M m−22 (t)2M2 1 (t)2M2 2 (t)2− M 2 2 (t)2− M 3 2 (t)2.M2 m−1 (t)− M 2 m (t)2 2− M 2 1 (t)2− M 2 2 (t)2.0⎤⎥⎦(3.7.11)3.7.4 Matriz Global DSendo Dab e , a matriz local dada em (3.6.28) por⎡Dab e = hM 3(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8), na matriz Dabe e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> teremos:⎡D = h⎢⎣0M3 1 (t)3.M3 m−2 (t)3M3 1 (t) + M3 2 (t)3M3 2 (t) + M3 3 (t)3.M3 m−1 (t) + M3 m (t)3M3 1 ⎤(t)3M3 2 (t)3.⎥⎦0(3.7.12)Substituindo <strong>de</strong> (3.7.9) a (3.7.12) em (3.3.10) po<strong>de</strong>mos escrever (3.3.10) no seguintesistema <strong>de</strong> equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + (B − C)d(t) + Dd ′ (t) = 025
on<strong>de</strong> <strong>de</strong>notamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (3.7.13)3.8 Método <strong>de</strong> β-NewmarkMatematicamente, a equação Ad ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = 0 representa umsistema <strong>de</strong> equações diferenciais ordinárias <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m e, em particular, a solução<strong>das</strong> equações não são tão triviais. Logo, o Método escolhido para resolver o sistema <strong>de</strong>equações diferencias <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m foi o Método <strong>de</strong> β-Newmark, que consiste em umMétodo <strong>de</strong> Diferenças Finitas que estudaremos a seguir.Seja o intervalo <strong>de</strong> tempo fixo [0, T ].tempos iguais <strong>de</strong> tamanho ∆t, on<strong>de</strong>Dividiremos esse intervalo em N passos <strong>de</strong>∆t = T Ne os tempos discretos no intervalo [0, T ] <strong>de</strong>notaremos port n = n∆t, n = 0, 1, · · · , N.Assim, para qualquer função tempo-<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte, <strong>de</strong>notaremos d n = d(t n ) e consi<strong>de</strong>remosas seguintes interpolações <strong>de</strong> Newmark com parâmetro β ≥ 1 4d n = βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1 (3.8.1)on<strong>de</strong> β é usado para estabilizar o sistema aproximado e as aproximações <strong>de</strong> diferençaspara a primeira e segunda <strong>de</strong>riva<strong>das</strong> da<strong>das</strong> por(d ′ ) n = dn+1 − d n−12∆t(d ′′ ) n = dn+1 − 2d n + d n−1∆t 2 (3.8.2)A aproximação da primeira <strong>de</strong>rivada (d ′ ) n po<strong>de</strong> ser obtida seguindo as Fórmulas <strong>de</strong>Taylor, dada pord(t + ∆t) = d(t) + ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) + ∆t33! d′′′ (t) (3.8.3)26
e <strong>de</strong> forma análogad(t − ∆t) = d(t) − ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) − ∆t33! d′′′ (t) (3.8.4)Subtraindo (3.8.3)-(3.8.4), obtemos:Logo,d(t + ∆t) − d(t − ∆t) = 2∆td ′ (t) + ∆t33 d′′′ (t)d ′ (t) =d(t + ∆t) − d(t − ∆t)2∆t− ∆t26 d′′′ (t)Então, tem-se:d ′ (t) ∼ = 1 ()d(t + ∆t) − d(t − ∆t) ,2∆tcom erro O(∆t 2 ) (3.8.5)Assim, no tempo discreto, temos:(d ′ ) n ∼ =d n+1 − d n−12∆t(3.8.6)E a aproximação da segunda <strong>de</strong>rivada (d ′′ ) n também é obtida seguindo as Fórmulas<strong>de</strong> Taylor, dada pord(t + ∆t) = d(t) + ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) + ∆t33! d′′′ (t) + ∆t44! div (t) (3.8.7)d(t − ∆t) = d(t) − ∆td ′ (t) + ∆t22 d′′ (t) − ∆t33! d′′′ (t) + ∆t44! div (t) (3.8.8)Somando (3.8.7) e (3.8.8), obtemos:d(t + ∆t) + d(t − ∆t) = 2d(t) + ∆t 2 d ′′ (t) + ∆t412 div (t)Logo,Então, tem-se:d ′′ (t) =d(t + ∆t) + d(t − ∆t) − 2d(t)∆t 2− ∆t212 div (t)d ′′ (t) ∼ =d(t + ∆t) − 2d(t) + d(t − ∆t)∆t 2 , com erro O(∆t 2 ) (3.8.9)Assim, no tempo discreto, temos:(d ′′ ) n ∼ =d n+1 − 2d n + d n−1∆t 2 (3.8.10)27
Usando as aproximações, a discretização no tempo do sistemaé dada poron<strong>de</strong>Ad ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = 0( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) −∆t 2C ( ( )βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) d n+1 − d n−1+ D= 02∆tEntão obtemos:( AD+ β(B − C) +∆t2 2∆t) ( 2Ad n+1 =Reescreveremos o sistema acima como• G = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC + ∆t D 2∆t 2 − (1 − 2β)(B − C) )d n( A−• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B + ∆t 2 (1 − 2β)CD+ β(B − C) −∆t2 2∆t(3.8.11))d n−1 (3.8.12)G(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (3.8.13)• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC − ∆t D 2Quando consi<strong>de</strong>rarmos n=0, precisaremos calcular d −1 . O cálculo <strong>de</strong> d −1 será feitopela diferença central dada por:d −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)O sistema visto anteriormente é resolvido <strong>de</strong> forma recursiva para n.n = 0, temos o sistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −1Logo, paraLogo, po<strong>de</strong>mos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através <strong>das</strong> condições iniciais e d −1 pela diferença central.Como já conhecemos os valores <strong>de</strong> d 0 e d 1 , po<strong>de</strong>mos então calcular o valor <strong>de</strong> d 2 , paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método <strong>de</strong> Eliminação <strong>de</strong> Gauss.28
3.9 Cálculo do ErroO conhecimento da solução possibilitará o cálculo do erro <strong>de</strong>finido porE(x) = u(x) − u m (x) (3.9.1)A norma em L 2 (0, 1) do erro E é <strong>de</strong>finida por(∫ 11/2‖E‖ 0 = |E| dx) 2 (3.9.2)e po<strong>de</strong> ser calculada, usando o método do ponto médio quadrático0Logo, obtemos:∫ 10(f(x)) 2 dx =‖E‖ 0 =m∑( ) 2 f(xi ) + f(x i+1 )· h i (3.9.3)i=2( m∑i=22(E i+1 + E i ) 2 h i4) 1/2(3.9.4)Como trabalhamos com <strong>uma</strong> malha uniforme <strong>de</strong> comprimento h i = h = 1 m , temos:‖E‖ 0 =( m∑E, a norma em H0(0, 1 1) do erro E é <strong>de</strong>finida por∫ (1‖E‖ 2 1 = |E| 2 +dE) ∫ 1∣∣ dx = |E|∣2 2 dx +dxTemos que,0i=2)(E i+1 + E i ) 2 11/2(3.9.5)4m0∫ 10dE∣ dx ∣2dx (3.9.6)Portanto,∫ 10dE∣ dx ∣2‖E‖ 2 1 =dx =m∑i=2m∑i=2∫ 10|E| 2 dx = ‖E‖ 2 0( ) 2 dEdx (x i) · h i =(E i+1 + E i ) 2 h i4 + m∑i=2em∑i=2(Ei+1 − E ih i) 2· h i(3.9.7)( ) 2 Ei+1 − E i· h i(∑ m=⇒ ‖E‖ 1 = (E i+1 + E i ) 2 h m) (3.9.8)i4 + ∑(E i+1 − E i ) 2 1 1/2h ii=2i=2h i29
Como trabalhamos com h i = h = 1 m , temos:‖E‖ 1 =( m∑i=2((E i+1 + E i ) 2 1) ) 1/24m + (E i+1 − E i ) 2 m(3.9.9)Também, se E(x, t) = u(x, t) − u m (x, t), então a norma em L ∞ (0, T ; L 2 (0, 1)) do erroE é <strong>de</strong>finida por‖E‖ L ∞ (0,T ;L 2 (0,1))= max |E(x i, t n )| L0≤n≤N 2 (0,1)(∑ m= max0≤n≤Ni=2[E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 h i4) 1/2 (3.9.10)Sabendo que o comprimento da malha é h i = h = 1 m , temos:‖E‖ L ∞ (0,T ;L 2 (0,1)) = max0≤n≤N( m∑E a norma em L ∞ (0, T ; H 1 0(0, 1)) do erro E é <strong>de</strong>finida por‖E‖ L ∞ (0,T ;H 1 0 (0,1))i=2on<strong>de</strong>, tomando h i = h = 1 m , tem-se‖E‖ L ∞ (0,T ;H 1 0 (0,1)) = max0≤n≤Ni=2)[E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 11/2(3.9.11)4m= max ‖E(x i, t n )‖ H 10≤n≤N 0 (0,1)(∑ m= max [E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 h mi0≤n≤N4 + ∑[E(x i+1 , t n ) − E(x i , t n )] 2 1 ) 1/2h i( m∑i=2i=2([E(x i+1 , t n ) + E(x i , t n )] 2 14m +(3.9.12)[E(x i+1 , t n ) − E(x i , t n )] 2 )) 1/2(3.9.13)30
3.10 Simulações <strong>Numérica</strong>sSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito <strong>de</strong> ilustrar alg<strong>uma</strong>scaracterísticas do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff para pequenas vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticascom <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e seção transversal variáveis.Resolver o problema (3.2.6), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar <strong>uma</strong>solução aproximada do problema (3.1.6).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Don<strong>de</strong> teremos o problema⎧ [∂ 2 ∫u1( ) 2 ] [∂u ∂ 2 ∫∂t − u1( ) 2 ] ∂u ∂ua(x) + b(x, t) dx2 0 ∂x ∂x − c(x, t) dx2 0 ∂x ∂x⎪⎨ + d(x, t) ∂u = f(x, t) , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂t⎪⎩u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(3.10.1)No cálculo <strong>de</strong>ssa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) <strong>de</strong>finida apriori e respeitando as condições <strong>de</strong> fronteira, na equação <strong>de</strong>finida em (3.10.1). Posteriormente,aplicamos o Método <strong>de</strong> β-Newmark no seguinte sistema <strong>de</strong> equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) − Cd(t) + Dd ′ (t) = FAplicando o Método <strong>de</strong> β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) − C ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1)∆t 2( )d n+1 − d n−1+ D= (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )2∆tDon<strong>de</strong> obtemos( AD+ β(B − C) +∆t2 2∆t( )2A∆t − (1 − 2β)(B − C) d n −2Reescreveremos então, o sistema acima como)d n+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( )AD+ β(B − C) − d n−1∆t2 2∆t31
G(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1on<strong>de</strong>• G = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC + ∆t D 2• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B + ∆t 2 (1 − 2β)C• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t 2 βC − ∆t D 2Os exemplos que veremos adiante, mostram o movimento <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda que possuiseus extremos fixos.3.10.1 Exemplo 1Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (3.10.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 2com posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialu(x, 0) = (x2 − x)π 2∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 2on<strong>de</strong>• a(x, t) = x + 1 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 1x + 1 e γ 0 = 1 (pois as extremida<strong>de</strong>s sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x 2 + x , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x• c(x, t) = 1• d(x, t) = 132
u(x,t)0-0.01-0.02-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.3: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)-0.008-0.01ExataAproximada-0.012-0.014um(x,t)-0.016-0.018-0.02-0.022-0.024-0.0260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.4: u m (25, t) e u(25, t)33
A Figura 3.3 mostra o movimento <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda com extremos fixos.A Figura 3.4 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 (quantida<strong>de</strong><strong>de</strong> elementos consi<strong>de</strong>rados) com t ɛ [0, 1]. Verificamos que a solução aproximadaencontrada para o problema (3.10.1) está próxima da solução exata conhecida, cujo erropo<strong>de</strong>mos ver na Tabela 3.1.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000123 0.00075050 50 1.0 0.5 0.000123 0.00074950 50 1.0 1.0 0.000123 0.00074950 100 1.0 0.25 0.000122 0.00074550 100 1.0 0.5 0.000122 0.00074550 100 1.0 1.0 0.000122 0.000745100 50 1.0 0.25 0.000123 0.000774100 50 1.0 0.5 0.000123 0.000773100 50 1.0 1.0 0.000123 0.000773100 100 1.0 0.25 0.000123 0.000769100 100 1.0 0.5 0.000123 0.000769100 100 1.0 1.0 0.000123 0.000769Tabela 3.1: Exemplo 1Na Tabela 3.1, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) obtiveram melhores resultadosquando tomamos Nel = 50, N = 100, T = 1.0 e β = 0.25, 0.5 e 1.0.Consi<strong>de</strong>raremos agora, a força externa nula com o intuito <strong>de</strong> encontrarmos <strong>uma</strong>solução aproximada para o problema (3.1.6).A Figura 3.5 representa esta solução.34
um(x,t)0.020.010-0.01-0.02-0.030.020.0150.010.0050-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.5: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)3.10.2 Exemplo 2Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (3.10.1) dada porcom posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialon<strong>de</strong>u(x, t) = sen(πx)cos(πt)π 2u(x, 0) = sen(πx)π 2∂u(x, 0) = 0∂t• a(x, t) = x + 1 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 1x + 1 e γ 0 = 1 (pois as extremida<strong>de</strong>s sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x 2 + x , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x• c(x, t) = 1• d(x, t) = 135
u(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030t4050Figura 3.6: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)0.2ExataAproximada0.1um(x,t)0-0.1-0.20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.7: u m (25, t) e u(25, t)36
A Figura 3.7 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (3.10.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 3.2.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.005719 0.03428150 50 1.0 0.5 0.005735 0.03437350 50 1.0 1.0 0.005762 0.03464950 100 1.0 0.25 0.005731 0.03458850 100 1.0 0.5 0.005735 0.03452950 100 1.0 1.0 0.005742 0.034476100 50 1.0 0.25 0.005731 0.035643100 50 1.0 0.5 0.005747 0.035801100 50 1.0 1.0 0.005774 0.036045100 100 1.0 0.25 0.005743 0.035871100 100 1.0 0.5 0.005747 0.035835100 100 1.0 1.0 0.005754 0.035897Tabela 3.2: Exemplo 2Na Tabela 3.2, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) obtiveram melhores resultadosquando tomamos Nel = 50, N = 50, T = 1.0 e β = 0.25.Consi<strong>de</strong>raremos agora a força externa nula.A Figura 3.8 representa esta solução.37
um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.10.120.10.080.060.040.020-0.02-0.04-0.06-0.0801020304050 0102030t4050Figura 3.8: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)3.10.3 Exemplo 3Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (3.10.1) dada porcom posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialon<strong>de</strong>u(x, t) = (x2 − x)e −tπ 4u(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 4• a(x, t) = 1 + x 10 , ou seja, τ 0 = 1 , ρ(x) = 10x + 10 e γ 0 = 1 (pois as extremida<strong>de</strong>ssão fixas α(t) = 0 e β(t) = 1)• b(x, t) = x(x + 10) , ou seja, E = 1 e σ(x, t) = x 10• c(x, t) = 110• d(x, t) = 138
u(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.9: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)-0.0008-0.001ExataAproximada-0.0012-0.0014um(x,t)-0.0016-0.0018-0.002-0.0022-0.0024-0.00260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 3.10: u m (25, t) e u(25, t)39
A Figura 3.10 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (3.10.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 3.3.Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000016 0.00009750 50 1.0 0.5 0.000016 0.00009750 50 1.0 1.0 0.000016 0.00009750 100 1.0 0.25 0.000016 0.00009750 100 1.0 0.5 0.000016 0.00009750 100 1.0 1.0 0.000016 0.000097100 50 1.0 0.25 0.000016 0.000100100 50 1.0 0.5 0.000016 0.000100100 50 1.0 1.0 0.000016 0.000100100 100 1.0 0.25 0.000016 0.000099100 100 1.0 0.5 0.000016 0.000099100 100 1.0 1.0 0.000016 0.000099Tabela 3.3: Exemplo 3Na Tabela 3.3, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentam bons resultados.40
um(x,t)0.0020.0010-0.001-0.002-0.0030.0020.00150.0010.00050-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030405060t708090 100Figura 3.11: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)Consi<strong>de</strong>rando agora a força externa nula, cujo objetivo é encontrarmos <strong>uma</strong> soluçãoaproximada para o problema (3.1.6), temos a Figura 3.11 que mostra o movimento <strong>de</strong><strong>uma</strong> corda que possui seus extremos fixos.41
Capítulo 4Vibração <strong>de</strong> Cor<strong>das</strong> <strong>Elástica</strong>s4.1 Formulação do ProblemaO mo<strong>de</strong>lo proposto a seguir também é <strong>uma</strong> extensão do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff parapequenas vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticas e o mo<strong>de</strong>lo é dado porρ(x, t) ∂2 u∂t 2 − [b(x, t)∫ β(t)α(t)( ) 2 ] ∂u ∂ 2 udx∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂t = 0 (4.1.1)on<strong>de</strong>b(x, t) =Eσ(x, t)γ 2 oρ(x, t)u(x, t) é o <strong>de</strong>slocamento vertical do ponto x da corda no tempo t, ρ é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong>massa, σ é a seção transversal da corda, γ é a tensão e E o módulo do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Youngdo material e α(t) e β(t) são funções que dão movimento nos extremos da corda durantea vibração, sendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).⎪⎩No nosso mo<strong>de</strong>lo, consi<strong>de</strong>raremos as extremida<strong>de</strong>s fixas, ou seja, α(t) = 0 e β(t) = 1.O problema que estudaremos será o <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar <strong>uma</strong> função u = u(x, t), no espaço<strong>das</strong> soluções H0(Ω) 1 ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧[ ∫ρ(x, t) ∂2 u1( ) 2 ] ∂u ∂ 2⎪⎨ ∂t − ub(x, t) dx2 0 ∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂tu(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 142= 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )(4.1.2)
4.2 Método dos Elementos Finitos4.2.1 Formulação VariacionalSeja D(Ω) o espaço <strong>das</strong> funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação do Problema (4.1.2) por w eintegrando em Ω = (0, 1), tem-se:on<strong>de</strong>∫ 10M 1 (x, t) ∂2 u∂t 2 w dx + ∫ 10∂u ∂∂x ∂x (M 2(x, t)w) dx +∫ 10M 3 (x, t) ∂u w dx = 0 (4.2.1)∂tM 1 (x, t) = ρ(x, t) (4.2.2)M 2 (x, t) = b(x, t)∫ 10( ) 2 ∂udx (4.2.3)∂xM 3 (x, t) = ρ ′ (x, t) (4.2.4)4.2.2 Método <strong>de</strong> GalerkinConsi<strong>de</strong>re um subespaço V m gerado pelos m primeiros elementos da base do espaço<strong>de</strong> Hilbert H0(Ω), 1 isto é,V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (4.2.5)on<strong>de</strong> [ϕ i ] i∈N é <strong>uma</strong> base <strong>de</strong> H0(Ω).1Buscamos, então, <strong>uma</strong> solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (4.1.2), nosubespaço V m .43
Solução AproximadaAproximamos o Problema (4.1.2), pelo problema <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar no espaço <strong>das</strong> soluçõesV m , <strong>uma</strong> função u m = u m (x, t) , tal que,⎧ () ( )M 1 (x, t) ∂2 u m∂t ⎪⎨, w ∂um+2 ∂x , ∂∂x (M 2(x, t)w) +u m (0) = u 0m → u 0 em H0(0, 1 1) ∩ H 2 (0, 1)(M 3 (x, t) ∂u m∂t , w )= 0 ∀w ∈ V m⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) na equação (4.2.1), temos:(4.2.6)∫ 10M 1 (x, t) ∂2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂xComo u m (x, t) ∈ V m , po<strong>de</strong>mos escrever∂∂x (M 2(x, t)w) dx +∫ 10M 3 (x, t) ∂u mw dx = 0 (4.2.7)∂tu m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m (4.2.8)i=1e assim obtemos:∂u m∂t=m∑d ′ i(t)ϕ i (x), (4.2.9)i=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (4.2.10)d ′′i (t)ϕ i (x), (4.2.11)Substituindo <strong>de</strong> (4.2.9) à (4.2.11) em (4.2.7) e tendo w ∈ V m , po<strong>de</strong>mos tomar emparticular, w = ϕ j , j = 1, · · · , m.m∑i=1d ′′i (t)∫ 10M 1 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x) dx +m∑i=1∫ 1d i (t)0∂ϕ i (x)∂x∂∂x (M 2(x, t)ϕ j (x)) dx+m∑d ′ i(t)∫ 1i=1 0M 3 (x, t)ϕ i (x)ϕ j (x) dx = 0 (4.2.12)44
4.3 Função <strong>de</strong> InterpolaçãoUsando a Seção 3.3 (Função <strong>de</strong> Interpolação juntamente com Problema Local) mencionadano Capítulo 3, obtemos a seguinte equação:2∑a=1+∫ x ed ′′ 2ea (t) M 1 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=12∑a=1∫ x ed ′ 2ea (t) M 3 (x, t)ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0x e 1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x ed e 2a(t)x e 1∂ϕ e a(x)∂x∂∂x (M 2(x, t)ϕ e b(x)) dx(4.3.1)Devido a existência <strong>das</strong> funções M 1 (x, t), M 2 (x, t) e M 3 (x, t) nas integrais, consi<strong>de</strong>raremosessas funções constantes em cada elemento finito e. Logo, tomando M 1 (x, t) =M e 1(t), M 2 (x, t) = M e 2(t) e M 3 (x, t) = M e 3(t) e consi<strong>de</strong>rando x constante em cada elementofinito e, obtemos:2∑a=1+∫ x ed ′′ ea (t)M1(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +x e 12∑a=12∑a=1∫ x ed ′ ea (t)M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = 0x e 1∫ x ed e a(t)M2(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x) dx∂x ∂x(4.3.2)para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.4.4 Cálculo <strong>das</strong> MatrizesDenotando porA =m∑A e ab , B =e=1m∑Bab e e D =e=1m∑e=1D e abRestringindo as matrizes A, B, D a cada elemento e temos:∫ x eA e ab = M1(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (4.4.1)x e 1∫ x eBab e = M2(t)e 2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (4.4.2)45
para 1 ≤ a, b ≤ 2.∫ x eDab e = M3(t)e 2ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx = M3(t)A e e ab (4.4.3)x e 1As matrizes locais A e ab , Be ab e De ab são <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2×2). Essas matrizes locais <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m(2 × 2) foram introduzi<strong>das</strong> <strong>de</strong>vido ao fato <strong>de</strong>las terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) =0, se |a − b| ≥ 2.4.5 Matrizes Locais A e ab , Be ab e De ab4.5.1 Matriz Local A e abA matriz local simétrica A e abdada em (4.4.1) por:A e ab = M e 1(t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.1) e utilizando a função <strong>de</strong>finida em (3.6.2), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local A e ab dados por⎡ ⎤A e ab = hM 1(t)e ⎣ 2 1 ⎦ (4.5.1)61 24.5.2 Matriz Local B e abA matriz local simétrica B e abdada em (4.4.2) porB e ab = M e 2(t)∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.2) e utilizando a função <strong>de</strong>finida em (3.6.10), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local Bab e dados por[ ]Bab e = M 2(t)e 1 −1h −1 1(4.5.2)46
4.5.3 Matriz Local D e abA matriz local simétrica D e abdada em (4.4.3) por:com 1 ≤ a, b ≤ 2.D e ab = M e 3(t)∫ x2x 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxAplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (4.4.3) e utilizando a função <strong>de</strong>finida em (3.6.2), vista também no Capítulo anterior,obteremos os elementos da matriz local Dab e dados por:D e ab = hM e 3(t)6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (4.5.3)4.6 Matrizes Globais A, B e D4.6.1 Matriz Global ASendo A e ab, a matriz local dada em (4.5.1) por⎡A e ab = hM 1(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo visto anteriormente no Capítulo 3 em (3.7.8) na matriz A e ab esendo ela simétrica e tridiagonal, optamos por colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> temos:⎡⎤0 2(M1 1 (t) + M1 2 (t)) 1A = h 1 2(M1 2 (t) + M 3 1 (t)) 16 ⎢⎥⎣ ... ⎦1 2(M1 m−1 (t) + M1 m (t)) 0(4.6.1)4.6.2 Matriz Global BSendo B e ab, a matriz local dada em (4.5.2) por[Bab e = M 2(t)e 1 −1h −1 147]
Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, optamospor colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> temos:⎡B = 1 h ⎢⎣0 M 1 2 (t) + M 2 2 (t) −M 1 2 (t)−M 1 2 (t) M 2 2 (t) + M 3 2 (t) −M 2 2 (t).−M m−22 (t) M m−12 (t) + M m 2 (t) 0..⎤⎥⎦(4.6.2)4.6.3 Matriz Global DSendo D e ab, a matriz local dada em (4.5.3) por⎡Dab e = hM 3(t)e ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo (3.7.8) na matriz Dab e e sendo ela simétrica e tridiagonal, optamospor colocá-la na forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> temos:⎡D = h⎢⎣0M 1 3 (t)3.M3 m−2 (t)3( )M13 (t) + M3 2 (t)3( )M23 (t) + M3 3 (t)3.( Mm−1)3 (t) + M3 m (t)3M 1 3 (t)3M 2 3 (t)3.0⎤⎥⎦(4.6.3)Substituindo <strong>de</strong> (4.6.1) a (4.6.3) em (4.3.2) po<strong>de</strong>mos escrever (4.3.2) no seguintesistema <strong>de</strong> equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + Bd(t) + Dd ′ (t) = 0on<strong>de</strong> <strong>de</strong>notamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (4.6.4)48
4.7 Método <strong>de</strong> β-NewmarkA equação Ad ′′ (t)+Bd(t)+Dd ′ (t) = 0 representa um sistema <strong>de</strong> equações diferenciasordinárias <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m e o método escolhido para resolver esse sistema foi o método<strong>de</strong> β-Newmark, visto anteriormente no Capítulo 3, em (3.8).Usando as aproximações já vistas no Capítulo 3, a discretização no tempo é dada por:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) + D∆t 2on<strong>de</strong> obtemos( A∆t + βB + D ) ( )2Ad n+1 =2 2∆t ∆t − (1 − 2β)B d n2−( )d n+1 − d n−1= 02∆t(4.7.1)( A∆t + βB − D )d n−1 2 2∆t(4.7.2)Reescreveremos o sistema acima comoon<strong>de</strong>G(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (4.7.3)• G = A + ∆t 2 βB + ∆t D 2• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t D 2O sistema acima é resolvido <strong>de</strong> forma recursiva para n. Logo, para n = 0, temos osistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −1Logo, po<strong>de</strong>mos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através <strong>das</strong> condições iniciais e d −1 pela diferença central, dada pord −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)Como já conhecemos os valores <strong>de</strong> d 0 , d 1 , po<strong>de</strong>mos então calcular o valor <strong>de</strong> d 2 paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método <strong>de</strong> Eliminação <strong>de</strong> Gauss.49
4.8 Simulações <strong>Numérica</strong>sSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito <strong>de</strong> ilustrar alg<strong>uma</strong>scaracterísticas do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff para pequenas vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticascom <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e seção transversal variáveis.Resolver o problema (4.2.6), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar <strong>uma</strong>solução aproximada do problema (4.1.2).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Don<strong>de</strong> teremos o problema⎧[ ∫ρ(x, t) ∂2 u1( ) 2 ] ∂u ∂ 2⎪⎨ ∂t − ub(x, t) dx2 0 ∂x ∂x + 2 ρ′ (x, t) ∂u∂tu(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < T⎪⎩u(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1= f(x, t) , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )(4.8.1)No cálculo <strong>de</strong>ssa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) <strong>de</strong>finida apriori e respeitando as condições <strong>de</strong> fronteira, na equação <strong>de</strong>finida em (4.8.1). Posteriormente,aplicamos o Método <strong>de</strong> β-Newmark no seguinte sistema <strong>de</strong> equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) + Dd ′ (t) = FAplicando o Método <strong>de</strong> β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) + D∆t 2(βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )Don<strong>de</strong> obtemos( A∆t + βB + D2 2∆t( )2A∆t − (1 − 2β)B d n −2Reescreveremos então, o sistema acima como)d n+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( A∆t + βB − D )d n−12 2∆t( )d n+1 − d n−1=2∆t50
G(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1on<strong>de</strong>• G = A + ∆t 2 βB + ∆t D 2• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB − ∆t D 2Os exemplos que veremos adiante, mostram o movimento <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda que possuiseus extremos fixos.4.8.1 Exemplo 1Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (4.8.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 4com posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialon<strong>de</strong>u(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 4• ρ(x, t) = 1 + x 10• ρ ′ (x, t) = 1 10• b(x, t) = 1, ou seja, E = 1, σ(x, t) = 1 + x 10 e γ 0 = 1 (pois as extremida<strong>de</strong>s sãofixas α(t) = 0 e β(t) = 1)A Figura 4.1 mostra o movimento <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda com extremos fixos.A Figura 4.2 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (4.8.1) está bempróxima da solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 4.1.51
um(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030t4050Figura 4.1: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)-0.0005ExataAproximada-0.001-0.0015um(x,t)-0.002-0.0025-0.0030 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 4.2: u m (25, t) e u(25, t)52
Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000001 0.00000250 50 1.0 0.5 0.000001 0.00000250 50 1.0 1.0 0.000001 0.00000350 100 1.0 0.25 0.000001 0.00000250 100 1.0 0.5 0.000001 0.00000250 100 1.0 1.0 0.000001 0.000002100 50 1.0 0.25 0.000001 0.000001100 50 1.0 0.5 0.000001 0.000002100 50 1.0 1.0 0.000001 0.000002100 100 1.0 0.25 0.000000 0.000001100 100 1.0 0.5 0.000000 0.000001100 100 1.0 1.0 0.000000 0.000001Tabela 4.1: Exemplo 1Na Tabela 4.1, consi<strong>de</strong>rando Nel = N = 50, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta bonsresultados e para β = 0.25 e β = 0.5, percebemos que E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta ummelhor resultado do que para β = 1.0.Consi<strong>de</strong>rando agora, Nel = 50, N = 100, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H0 1(Ω))apresentam bons resultados.Consi<strong>de</strong>rando, Nel = 100, N = 50, T = 1.0 e β variando, temos que:• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0, percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta bonsresultados e para β = 0.25, percebemos que E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta um melhorresultado do que para β = 0.5 e β = 1.0.Consi<strong>de</strong>rando agora, Nel = 100, N = 100, T = 1.0 e β variando, temos que:53
• Para β = 0.25, β = 0.5 e β = 1.0 percebemos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω))também apresentam bons resultados.Consi<strong>de</strong>raremos agora a força externa nula com o intuito <strong>de</strong> encontrarmos <strong>uma</strong> soluçãoaproximada para o problema (4.1.2).um(x,t)0-0.001-0.002-0.0030-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.00301020304050 0102030t4050Figura 4.3: u m (25, t) e u(25, t)A Figura 4.3 representa esta solução.54
4.8.2 Exemplo 2Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (4.8.1) dada porcom posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialon<strong>de</strong>• ρ(x, t) = 1 + x 2 − xu(x, t) = (x2 − x)e tπ 4u(x, 0) = (x2 − x)π 4∂u∂t (x, 0) = (x2 − x)π 4• ρ ′ (x, t) = 2x − 1• b(x, t) = x 2 , ou seja, E = 1, σ(x, t) = x(1 + x2 − x)2são fixas α(t) = 0 e β(t) = 1)e γ 0 = 1 (pois as extremida<strong>de</strong>sum(x,t)0-0.001-0.002-0.003-0.004-0.005-0.006-0.0070-0.001-0.002-0.003-0.004-0.005-0.006-0.00701020304050 0102030405060t708090 100Figura 4.4: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)A Figura 4.5 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 25 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (4.8.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 4.2.55
-0.0025-0.003ExataAproximada-0.0035-0.004um(x,t)-0.0045-0.005-0.0055-0.006-0.0065-0.0070 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 4.5: u m (25, t) e u(25, t)Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000625 0.00365350 50 1.0 0.5 0.000625 0.00365350 50 1.0 1.0 0.000625 0.00365450 100 1.0 0.25 0.000621 0.00362850 100 1.0 0.5 0.000621 0.00362850 100 1.0 1.0 0.000621 0.003628100 50 1.0 0.25 0.000624 0.003771100 50 1.0 0.5 0.000624 0.003771100 50 1.0 1.0 0.000624 0.003772100 100 1.0 0.25 0.000620 0.003746100 100 1.0 0.5 0.000620 0.003746100 100 1.0 1.0 0.000620 0.003746Tabela 4.2: Exemplo 256
Na Tabela 4.2, consi<strong>de</strong>rando Nel = N = 100, T = 1.0, β = 0.25, 0.5 e 1.0 percebemosque E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) obteve melhores resultados. Já para Nel = 50, N = 100, T = 1.0,β = 0.25, 0.5 e 1.0, percebemos que E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentou melhores resultados.Consi<strong>de</strong>raremos agora a força externa nula.um(x,t)0-0.001-0.002-0.003-0.004-0.0050-0.0005-0.001-0.0015-0.002-0.0025-0.003-0.0035-0.004-0.0045-0.00501020304050 0102030405060t708090 100Figura 4.6: Gráfico <strong>de</strong> u(x, t)A Figura 4.6 representa esta solução.57
Capítulo 5<strong>Análise</strong> <strong>Numérica</strong> para o Mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong>Carrier5.1 Formulação do ProblemaAlém dos mo<strong>de</strong>los propostos anteriormente, apresentaremos também um mo<strong>de</strong>lonumérico para o Problema <strong>de</strong> Carrier, <strong>de</strong>scrito a seguir:(∂ 2 u∂t − k + λ2∫ β(t)α(t)) ∂u 2 2 udx∂x = 0 (5.1.1)2u(x, t) é o <strong>de</strong>slocamento vertical do ponto x da corda no tempo t, k e λ são constantese α(t) e β(t) são funções que dão movimento nos extremos da corda durante a vibração,sendo α(t) < β(t) e γ(t) = β(t) − α(t).No nosso mo<strong>de</strong>lo, consi<strong>de</strong>raremos as extremida<strong>de</strong>s fixas, ou seja, α(t) = 0 e β(t) = 1.O problema que estudaremos será o <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar <strong>uma</strong> função u = u(x, t), no espaço<strong>das</strong> soluções H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω), tal que,⎧⎪⎨⎪⎩[∂ 2 u∂t − k + λ2∫ 1u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0] ∂u 2 2 udx = 0 , ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )∂x2 0 < t < Tu(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(5.1.2)58
5.2 Método <strong>de</strong> Elementos Finitos5.2.1 Formulação VariacionalSeja D(Ω) o espaço <strong>das</strong> funções testes, infinitamente diferenciáveis com suporte compactoem Ω e w ∈ D(Ω). Multiplicando a primeira equação do Problema (5.1.2) por w eintegrando em Ω = (0, 1), tem-se:on<strong>de</strong>∫ 10∂ 2 ∫u1∂t w dx + 20M(x, t) = k + λ∂u ∂(M(x, t)w) dx = 0 (5.2.1)∂x ∂x∫ 10u 2 dx, (5.2.2)5.2.2 Método <strong>de</strong> GalerkinConsi<strong>de</strong>re um subespaço V m gerado pelos m primeiros elementos da base do espaço<strong>de</strong> Hilbert H 1 0(Ω), isto é,on<strong>de</strong> [ϕ i ] i∈N é <strong>uma</strong> base <strong>de</strong> H 1 0(Ω).V m = [ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , · · · , ϕ m ] (5.2.3)Buscamos, então, <strong>uma</strong> solução aproximada u m = u m (x, t) do Problema (5.1.2), nosubespaço V m .Solução Aproximadau m (x, t) =m∑d i (t)ϕ i (x) ∈ V m (5.2.4)i=1Aproximamos o Problema (5.1.2), pelo problema <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar no espaço <strong>das</strong> soluçõesV m , <strong>uma</strong> função u m = u m (x, t), tal que,⎧⎪⎨( ) ∂ 2 u m∂t , w +2( ∂um∂x , ∂∂x (M(x, t)w) )= 0 ∀w ∈ V mu m (0) = u 0m → u 0 em H 1 0(0, 1) ∩ H 2 (0, 1)(5.2.5)⎪⎩∂u m∂t (0) = u 1m → u 1 em H 1 0(0, 1)Substituindo u m = u m (x, t) na equação (5.2.1), temos:∫ 10∂ 2 u m∂t 2 w dx + ∫ 10∂u m∂x59∂(M(x, t)w) dx = 0 (5.2.6)∂x
Como u m (x, t) ∈ V m , po<strong>de</strong>mos escreverm∑u m (x, t) = d i (t)ϕ i (x), ϕ i (x) ∈ V m (5.2.7)e assim obtemosi=1m∂u m∂x = ∑∂ 2 u m∂t 2 =i=1m∑i=1d i (t) ∂ϕ i(x)∂x , (5.2.8)d ′′i (t)ϕ i (x), (5.2.9)Substituindo (5.2.8) e (5.2.9) em (5.2.6) e tendo w ∈ V m , po<strong>de</strong>mos tomar em particular,w = ϕ j , j = 1, · · · , m.m∑∫ 1m∑d ′′i (t) ϕ i (x)ϕ j (x) dx+i=10i=1∫ 1d i (t)0∂ϕ i (x)∂x∂∂x (M(x, t)ϕ j(x)) dx = 0(5.2.10)5.3 Função <strong>de</strong> InterpolaçãoUsando a Seção 3.3 (Função <strong>de</strong> Interpolação juntamente com o Problema Local)mencionada no Capítulo 3, obtemos a seguinte equação:2∑a=1d ′′ ea (t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +2∑d e a(t)a=1para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x)∂x∂∂x (M(x, t)ϕe b(x)) dx = 0 (5.3.1)Devido a existência da função M(x, t) na integral, consi<strong>de</strong>raremos essa função constanteem cada elemento finito e.constante em cada elemento finito e, obtemos:2∑a=1d ′′ ea (t)∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx +para 1 ≤ a, b ≤ 2 e e = 1, 2, · · · , m.Logo, tomando M(x, t) = M e (t) e consi<strong>de</strong>rando x2∑d e a(t)M e (t)a=1∫ x e2x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x) dx = 0 (5.3.2)∂x ∂x5.4 Cálculo <strong>das</strong> MatrizesDenotando porA =m∑A e ab, e B =e=1m∑e=1B e ab60
Restringindo as matrizes A e B a cada elemento e temos:A e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dx (5.4.1)para 1 ≤ a, b ≤ 2.∫ x eBab e = M e 2(t)x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdx (5.4.2)Agora, as matrizes A e B são <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m (2 × 2). Essas matrizes locais <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m(2 × 2) foram introduzi<strong>das</strong> <strong>de</strong>vido ao fato <strong>de</strong>las terem muitos zeros, pois ϕ a (x)ϕ b (x) = 0se |a − b| ≥ 2.5.5 Matrizes Locais A e ab e Be ab5.5.1 Matriz Local A e abA matriz local simétrica A e abdada em (5.4.1) porA e ab =∫ x e2x e 1ϕ e a(x)ϕ e b(x) dxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.Aplicando a transformação isoparamétrica vista anteriormente no Capítulo 3 (3.5.1)em (5.4.1) e utilizando a função <strong>de</strong>finida em (3.6.2), temos os elementos da matriz localA e ab dados por A e ab = h 6⎡⎣ 2 11 2⎤⎦ (5.5.1)5.5.2 Matriz Local B e abA matriz local simétrica B e abdada em (5.4.2) por∫ x eBab e = M e 2(t)x e 1∂ϕ e a(x) ∂ϕ e b (x)∂x ∂xdxcom 1 ≤ a, b ≤ 2.61
Aplicando a transformação isoparamétrica em (3.5.1) em (5.4.2) e utilizando a função<strong>de</strong>finida em (3.6.10), temos os elementos da matriz local Bab e dados por[ ]Bab e = M e (t) 1 −1h −1 1(5.5.2)5.6 Matrizes Globais A e B5.6.1 Matriz Global ASendo A e ab, a matriz local dada em (5.5.1) por⎡A e ab = h ⎣ 2 161 2⎤⎦Aplicando o algoritmo visto em (3.7.8) na matriz A e ab e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la em forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> teremos:⎡ ⎤0 4 1A = h 1 4 1(5.6.1)6 ⎢ ⎥⎣ . . . ⎦1 4 05.6.2 Matriz Global BSendo B e ab, a matriz local dada em (5.5.2) por[Bab e = M e (t) 1 −1h −1 1]Aplicando o algoritmo visto em (3.7.8) na matriz Bab e e sendo ela simétrica e tridiagonal,achamos mais conveniente colocá-la em forma <strong>de</strong> coluna, on<strong>de</strong> teremos:⎡⎤0 M 1 (t) + M 2 (t) −M 1 (t)B = 1 −M 1 (t) M 2 (t) + M 3 (t) −M 2 (t)(5.6.2)h ⎢⎥⎣ ... ⎦−M m−2 (t) M m−1 (t) + M m (t) 062
Substituindo <strong>de</strong> (5.6.1) a (5.6.2) em (5.3.2) po<strong>de</strong>mos escrever (5.3.2) no seguintesistema <strong>de</strong> equações diferenciais ordinárias:Ad ′′ (t) + Bd(t) = 0on<strong>de</strong> <strong>de</strong>notamosd(t) = d m (t) =⎡⎢⎣d 1 (t).d m (t)⎤⎥⎦ (5.6.3)5.7 Método <strong>de</strong> β-NewmarkA equação Ad ′′ (t) + Bd(t) = 0 representa um sistema <strong>de</strong> equações diferencias ordinárias<strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m e o método escolhido para resolver esse sistema foi o método<strong>de</strong> β-Newmark, visto anteriormente no Capítulo 3, em (3.8).Usando as aproximações já vistas no Capítulo 3, a discretização no tempo é dada poron<strong>de</strong> obtemoson<strong>de</strong>( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) = 0 (5.7.1)∆t 2( ) ( ) ( )A2AA∆t + βB d n+1 =2 ∆t − (1 − 2β)B d n −2 ∆t + βB d n−1 (5.7.2)2Reescreveremos o sistema acima como• G = A + ∆t 2 βB• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βBG(t n )d n+1 = D1(t n )d n − D2(t n )d n−1 (5.7.3)O sistema acima é resolvido <strong>de</strong> forma recursiva para n. Logo, para n = 0, temos osistemaG(t 0 )d 1 = D1(t 0 )d 0 − D2(t 0 )d −163
Logo, po<strong>de</strong>mos então, obter d 1 resolvendo o sistema acima, já que conhecemos d 0através <strong>das</strong> condições iniciais e d −1 , por aproximações <strong>de</strong> Taylor, da<strong>das</strong> pord −1 = d 1 − 2∆td ′ (0)Como já conhecemos os valores <strong>de</strong> d 0 , d 1 , po<strong>de</strong>mos então calcular o valor <strong>de</strong> d 2 paran = 1 e assim sucessivamente.Na resolução do sistema linear utilizamos o Método <strong>de</strong> Eliminação <strong>de</strong> Gauss.5.8 Simulações <strong>Numérica</strong>sSerão mostrados nesta seção, alguns exemplos numéricos com o intuito <strong>de</strong> ilustrar alg<strong>uma</strong>scaracterísticas do mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Kirchhoff para pequenas vibrações <strong>de</strong> cor<strong>das</strong> elásticascom <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> e seção transversal variáveis.Resolver o problema (5.2.5), ou seja, encontrar u m (x, t) implica em encontrar <strong>uma</strong>solução aproximada do problema (5.1.2).A força externa aplicada é, em nosso caso, nula. Mas, para constatarmos que a soluçãoaproximada está sendo obtida corretamente, faremos exemplos numéricos cuja força seránão nula. Don<strong>de</strong> teremos o problema⎧ [∂ 2 ∫u1] ∂⎪⎨ ∂t − k + λ u 2 udx = f(x, t) , 2 0 ∂x2 ∀(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T )u(0, t) = u(1, t) = 0 ,0 < t < T⎪⎩u(x, 0) = u 0 (x) , ∂u∂t (x, 0) = u 1(x) 0 < x < 1(5.8.1)No cálculo <strong>de</strong>ssa força externa f(x, t), substituimos a solução exata u(x, t) <strong>de</strong>finida apriori e respeitando as condições <strong>de</strong> fronteira, na equação <strong>de</strong>finida em (5.8.1). Posteriormente,aplicamos o Método <strong>de</strong> β-Newmark no seguinte sistema <strong>de</strong> equações ordináriasAd ′′ (t) + Bd(t) = FAplicando o Método <strong>de</strong> β-Newmark no sistema acima, temos:( )d n+1 − 2d n + d n−1A+ B ( βd n+1 + (1 − 2β)d n + βd n−1) = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 )∆t 264
Don<strong>de</strong> obtemos( A∆t + 2 βB)dn+1 = (βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1 ) +( ) ( )2AA∆t − (1 − 2β)B d n −2 ∆t + βB d n−12Reescreveremos então, o sistema acima comoG(t n )d n+1 = F ∗n + D1(t n )d n − D2(t n )d n−1on<strong>de</strong>• G = A + ∆t 2 βB• F ∗n = βF n+1 + (1 − 2β)F n + βF n−1• D1 = 2A − ∆t 2 (1 − 2β)B• D2 = A + ∆t 2 βB5.8.1 Exemplo 1Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (5.8.1) dada poru(x, t) = (x2 − x)e −tπ 2com posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialu(x, 0) = (x2 − x)π 2∂u∂t (x, 0) = − x)−(x2 π 2on<strong>de</strong>• k = 1• λ = 165
u(x,t)0-0.01-0.02-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.030204060 0204060t80100Figura 5.1: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)-0.008-0.01ExataAproximada-0.012-0.014u(x,t)-0.016-0.018-0.02-0.022-0.024-0.0260 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 5.2: u m (25, t) e u(25, t)66
Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000051 0.00024550 50 1.0 0.5 0.000051 0.00018550 50 1.0 1.0 0.000050 0.00016150 100 1.0 0.25 0.000050 0.00016650 100 1.0 0.5 0.000050 0.00016150 100 1.0 1.0 0.000050 0.000158100 50 1.0 0.25 0.000051 0.000580100 50 1.0 0.5 0.000051 0.000245100 50 1.0 1.0 0.000050 0.000164100 100 1.0 0.25 0.000050 0.000209100 100 1.0 0.5 0.000050 0.000174100 100 1.0 1.0 0.000049 0.000161Tabela 5.1: Exemplo 1A Figura 5.1 mostra o movimento <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda que possui seus extremos fixos.A Figura 5.2 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 0.5 com t ɛ [0, 1].Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (5.8.1) está bempróxima da solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 5.1.Na Tabela 5.1, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) apresenta um melhor resultado quando β =1.0, consi<strong>de</strong>rando Nel = 100, N = 100 e T = 1.0. Já E L ∞ (0,T,H0 1(Ω)) apresenta um melhorresultado quando β = 1.0, consi<strong>de</strong>rando Nel = 50, N = 100 e T = 1.0.Consi<strong>de</strong>raremos agora a força externa nula com o intuito <strong>de</strong> encontrarmos <strong>uma</strong> soluçãoaproximada para o problema (5.1.2).A Figura 5.3 representa esta solução, cujos extremos são fixos.67
um(x,t)0-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.030-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025-0.0301020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.3: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)5.8.2 Exemplo 2Consi<strong>de</strong>re a solução exata para o problema (5.8.1) dada poru(x, t) =senπx cos πtπ 2com posição inicial da cordae velocida<strong>de</strong> inicialu(x, 0) = senπxπ 2∂u(x, 0) = 0∂ton<strong>de</strong>• k = 1• λ = 1A Figura 5.5 representa as soluções exata e aproximada no ponto x = 0.5 com t ɛ [0, 1]. Verificamos que a solução aproximada encontrada para o problema (5.8.1) está próximada solução exata conhecida, cujo erro po<strong>de</strong>mos ver na Tabela 5.2.68
um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.4: Grafico <strong>de</strong> u m (x, t)0.120.1ExataAproximada0.080.060.040.02um(x,t)0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1-0.120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1tFigura 5.5: Grafico <strong>de</strong> u m (0.5, t) e u(0.5, t)69
Nel N T β E L∞ (0,T,L 2 (Ω)) E L∞ (0,T,H0 1(Ω))50 50 1.0 0.25 0.000247 0.00078650 50 1.0 0.5 0.000313 0.00099650 50 1.0 1.0 0.000445 0.00141550 100 1.0 0.25 0.000219 0.00069750 100 1.0 0.5 0.000235 0.00074850 100 1.0 1.0 0.000268 0.000852100 50 1.0 0.25 0.000264 0.000855100 50 1.0 0.5 0.000330 0.001069100 50 1.0 1.0 0.000462 0.001496100 100 1.0 0.25 0.000236 0.000763100 100 1.0 0.5 0.000252 0.000816100 100 1.0 1.0 0.000284 0.000921Tabela 5.2: Exemplo 2Na Tabela 5.2, temos que E L ∞ (0,T,L 2 (Ω)) e E L ∞ (0,T,H 1 0 (Ω)) apresentam melhores resultadosquando β = 0.25, consi<strong>de</strong>rando Nel = 50, N = 100 e T = 1.0.Consi<strong>de</strong>raremos agora, a força externa nula com o intuito <strong>de</strong> encontrarmos <strong>uma</strong>solução aproximada para o problema (5.1.2).70
um(x,t)0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.150.10.050-0.05-0.1-0.1501020304050 0102030405060t708090 100Figura 5.6: Gráfico <strong>de</strong> u m (x, t)A Figura 5.6 representa esta solução, cujos extremos são fixos.71
5.9 ConclusãoNeste trabalho, analisamos numericamente um mo<strong>de</strong>lo matemático relacionado aequação da onda, em evidência, as vibrações <strong>de</strong> <strong>uma</strong> corda elástica com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> eseção transversal variáveis.As simulações numéricas basea<strong>das</strong> no Método <strong>de</strong> Elementos Finitos juntamente com oMétodo <strong>de</strong> Diferenças Finitas, em especial, o Método <strong>de</strong> β-Newmark mostram a eficáciado método quando construído um mo<strong>de</strong>lo cuja solução exata é conhecida. Ao problema,supomos primeiramente a função sendo não-nula com o objetivo <strong>de</strong> constatarmos que asolução aproximada estava sendo obtida corretamente, posteriormente, tomamos a funçãosendo nula como propõe o problema original, cujo intuito era encontrarmos <strong>uma</strong> soluçãoaproximada para o nosso problema.Vimos três mo<strong>de</strong>los que possuem em suas equações termos não-lineares, cujas funçõespresentes nas equações alg<strong>uma</strong>s vezes <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m tanto do tempo quanto do espaço ousimplesmente são constantes.Para cada mo<strong>de</strong>lo foi tomado dois exemplos numéricos, cujo erro foi calculado nasnormas L 2 (Ω) e H0(Ω), 1 tomando β igual a 0.25, 0.5 e 1.0.Sugestões para trabalhos futuros:• Consi<strong>de</strong>rar outros métodos numéricos para a solução dos problemas vistos.• Acréscimo <strong>de</strong> novos coeficientes à equação principal dos problemas.• Consi<strong>de</strong>rar os extremos sendo variáveis.72
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