Problemas de Sinais e Sistemas Séries de Fourier

Problemas de Sinais e SistemasSéries de Fourier1. Use a equação de análise da série de Fourier para calcular os coeficientes a k para o seguinte sinal contínuoperiódico, com frequência fundamental ω 0 = π:{3/2 0 ≤ t < 1x(t) =−3/2 1 ≤ t < 22. Seja x 1 (t) um sinal contínuo periódico com frequência fundamental ω 1 e coeficientes de Fourier a k . Dado:x 2 (t) = x 1 (1 − t) + x 1 (t − 1)Como é que a frequência fundamental ω 2 se relaciona com ω 1 ? Encontre a relação entre os coeficientes dasérie de Fourier b k de x 2 (t2) e os coeficientes a k .3. Determine a representação em série de Fourier para os seguintes sinais:(a) x(t) = ∑ +∞k=−∞[δ(t + 2k) − δ(t − 1 + 2k)](b) x(t) = ∑ +∞k=−∞[u(t + 2 + 6k) − u(t + 1 + 6k) + u(t − 1 + 6k) − u(t − 2 + 6k)]4. Seja x(n) um sinal discreto, periódico, real e ímpar, com período N = 7. Sendo a k os coeficientes da suasérie de Fourier e sabendo que:determine os valores de a 0 , a −1 , a −2 , a −3 .a 15 = j a 16 = 2j a 17 = 3j5. Suponha que conhecemos a seguinte informação sobre o sinal discreto x(n):(a) x(n) é um sinal real e par(b) x(n) tem período N = 10 e coeficientes de Fourier a k(c) a 11 = 5(d) (1/10) ∑ 9n=0 |x(n)|2 = 50Mostre que x(n) = A cos(Bn + C) e especifique os valores numéricos para as constantes A, B e C.6. Sejax(t) ={t 0 ≤ t ≤ 12 − t 1 ≤ t ≤ 2um sinal periódico discreto com período fundamental T = 2 e com coeficientes de Fourier a k .(a) Determine o valor de a 0(b) Determine a representação em série de Fourier de dx(t)dt(c) Usando a propriedade da diferenciação da série de Fourier e o resulatdo da alínea anterior, determineos coeficientes de Fourier de x(t).1

7. Considere um sistema contínuo, linear e invariante no tempo cuja entrada x(t) e saída y(t) estão relacionadaspela equação diferencial:dy(t)+ 4y(t) = x(t)dtEncontre a representação em série de Fourier da saída y(t) para cada uma das entradas:(a) x(t) = cos(2πt)(b) x(t) = sin(4πt) + cos(6πt + π/4).8. Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo cuja entrada x(n) e saída y(n) estão relacionadaspela equação às diferenças:y(n) − 1 y(n − 1) = x(n)4Encontre a representação em série de Fourier da saída y(n) para cada uma das entradas:(a) x(n) = sin(3πn/4)(b) x(n) = cos(πn/4) + 2 cos(πn/2).2