Gabarito da Lista de Probabilidade

.5 E 5 = E2 E3= {3, 4, ...} = E 2 b.6 E 6 = E2= {0, 1, 2}b.7 E 7 = E4 E6 E1 E2= {1, 2}Lista de Exercícios - Probabilidade 27) a) = {(Figura Vermelha), (Figura Preta), (Número Vermelha), (Número Preta)}b) Ganhar = {[(Figura Vermelha) (Figura Vermelha)], [(Figura Preta) (Figura Preta)]8) Nos 3 casos cada resultado dos respectivos espaços amostrais tem a mesma probabilidade deocorrência.a) Em um baralho de 52 cartas há 4 ases, então: P(1 ás) = n ases /n = 4/52 = 1/13 = 0,077 (7,7%).b) Supondo um dado comum, de 6 faces, não viciado. Há 3 faces pares:P(face par) = n faces pares / n = 3/6 = ½ = 0,5 (50%).c) A moeda será lançada 3 vezes, e queremos que o primeiro resultado seja cara E o segundo E oterceiro.P(3 caras) = P(cara 1ª cara 2ª cara 3ª )Se a moeda é honesta, cada resultado é INDEPENDENTE dos demais, resultando:P(3 caras) = P(cara 1ª) × P(cara 2ª) × P(cara 3ª )Novamente, se a moeda é honesta, cara e coroa têm a mesma probabilidade de ocorrer nos 3lançamentos:P(3 caras) = (1/2) × (1/2) × (1/2) = (1/8) = 0,125 (12,5%).9) Há 36 resultados possíveis:(1,1)( 1,2)( 1,3)( 1,4)( 1,5)( 1,6)( 2,1)( 2,2)( 2,3)( 2,4)( 2,5)( 2,6)(3,1)( 3,2)( 3,3)( 3,4)( 3,5)( 3,6) (4,1)( 4,2)( 4,3)( 4,4)( 4,5)( 4,6)(5,1)( 5,2)( 5,3)( 5,4)( 5,5)( 5,6)(6,1)( 6,2)( 6,3)( 6,4)( 6,5)( 6,6)a) Soma dos dados = múltiplo de 3 = {3 6 9 12} Estes 4 resultados são mutuamente exclusivos:não há intersecção entre eles: a probabilidade de ocorrência da união deles é apenas a soma dasprobabilidades individuais: P{3 6 9 12} = P(3) + P(6) + P(9) + P(12)Há 2 resultados em que a soma é 3, há 5 em que a soma é 6, há 4 em que a soma é 9, e há 1 em que asoma é 12: P{3 6 9 12} = (2/36) + (5/36) + (4/36) + (1/36) = 12/36 = 1/3 = 0,3333 (33,33%).b) É o complementar do evento descrito em a):P{3 6912} 1P{ 36912}= 1- 1/3 = 2/3 = 0,6667 (66,67%).c) Soma < 5 = {2 3 4}. Novamente os eventos são mutuamente exclusivos.P{2 3 4} = P(2) + P(3) + P(4).Há 1 resultado em que a soma é 2, há 2 em que a soma é 3, e há 3 em que a soma é 4.P{2 3 4} = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6 = 0,167 (16,7%).d) É o complementar do evento descrito em c):P{2 3 4} 1 P{ 2 3 4}= 1-1/6 = 5/6 = 0,833 (83,3%).e) Soma par: há 18 resultados em que a soma é par. P(soma par) = 18/36 = 1/2 = 0,5 (50%).f) Caso de probabilidade condicional. Supõe-se que a soma é par, e queremos saber a probabilidade deque a soma seja menor do que 5:P(soma 5 soma par)P(soma 5 | soma par) P(soma par)Soma < 5 soma par = {(1,1) (1,3) (2, 2) (3, 1)} => Há 4 resultados.Da letra e sabemos que o evento “soma par” tem 18 resultados.P(soma < 5| soma par) = (4/36) / (18/36) = 4/18 = 2/9 = 0,222 (22,2%).g) Caso de probabilidade condicional, o inverso da letra f. Supõe-se que a soma é menor do que 5, e

Lista de Exercícios - Probabilidade 3queremos saber a probabilidade de que seja par.P(soma par soma 5)P(soma par| soma 5)P(soma 5)Como a intersecção é comutativa podemos usar a probabilidade obtida em f, e P(soma

Lista de Exercícios - Probabilidade 4mutuamente exclusivos).f) P(amarela) = zero (pois não há bola amarela na urna).g) P (amarela) 1 P(amarela ) 1 0 1 h) P(verde vermelha) P(verde) 5 / 50i) P (verde amarela) P(verde) P(amarela) P(verde amarela) P(verde) P(amarela) P(verde) 115) a) a.1 P(ambas = 6) = nfaces 6/n = 1/36a.2 P(ambas pares) = nfaces pares/n = 9/36 = ¼a.3 P(ambas=6|ambas pares)= P(ambas= 6ambas pares)/ P(ambas pares) = (1/36)/ (9/36) = 1/9b) b.1 P(todas = 6) = nfaces6/n = 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216b.2 P(todas pares) = P(1par 1par 1par) = 3/6 × 3/6 × 3/6 = 27/216 (eventos independentes)b.3 P(todas = 6| todas pares) = P(todas = 6 todas pares)/ P(todas pares) = (1/216)/(27/216) = 1/2716) a) P(Falha1 Falha2 Falha3 Falha4) = P(Falha1) × P(Falha2) × P(Falha3) × P(Falha4)= 0,01 × 0,02 × 0,05 × 0,1 = 0,000001 (os eventos são independentes).b) P(nenhuma falha) = P(Opera1 Opera2 Opera3 Opera4) = (os eventos são independentes)P(Opera1)× P(Opera2)×P(Opera3)× P(Opera4) =(1-0,01) × (1-0,02) × (1-0,05) × (1-0,1) = 0,82952117) a)Há 26 cartas vermelhas P(V1 V2) = P(V1) × P(V2|V1) = (26/52) × (25/51) = 0,245b) Há 13 cartas de paus, P(Paus1 Paus2) = P(Paus1) × P(Paus2|Paus1) = (13/52) × (12/51) = 0,058c) Há 16 figuras, P(Figura1 Figura2) = P(Figura1) × P(Figura2|Figura1) = (16/52)×(15/51) =0,0905d) P[(Paus1 Copas2) (Copas1 Paus2)] = P(Paus1 Copas2) + P(Copas1 Paus2) (eventosMutuamente exclusivos.)= P(Paus1) × P(Copas2|Paus1) + P(Copas1) × P(Paus2| Copas1) =(13/52) × (13/51) + (13/52) × (13/51) = 0,127418) Onde está o valor 51 substituir por 52, pois há reposição.19) P(linha| dia normal) = 0,75 P(linha| dia chuva) = 0,25 P(ocupado| linha) = 11/21P(dia chuva) = 0,1a) Ligação completa = [( dia normal linha ocupado) (dia chuva linha ocupado )]Os eventos acima são mutuamente exclusivos:P(dia normal) P(linha | dia normal) P(ocupado| linha) P(ligação completa) P(dia chuva) P(linha | dia chuva) P(ocupado| linha)P(ligação completa) = 0,9 × 0,75 × (10/21) + 0,1 × 0,25 × (10/21) = 0,333b) P(dia chuva| ligação completa) = P(dia chuva ligação completa) / P(ligação completa) =[0,1 × 0,25 × (10/21)] / 0,333 = 0,035720) Procedimento semelhante ao do problema 10.a) P(conhecido|furto) = (106/2000) / (505/2000) = 106/505b) P(conhecido furto) = 106/2000c) P(furto conhecido) = P(furto) + P(conhecido) – P(furto conhecido) =505/2000 + 787/2000 – 106/2000 = 1186/2000d) P(furto1 furto2) = (505/2000) × (505/2000) = 0,0637 (eventos independentes).e) P(estranho| homicídio) = P(estranho homicídio) / P(homicídio) = (12/2000) / (69/2000) = 12/69f) P(ignorado1 ignorado2) = (95/2000) × (95/2000) = 0,022 (eventos independentes).21)P(HIV| risco) = 0,1 P(HIV| normal) = 0,003 P(risco) = 0,04 P(normal) = 0,96P(detecta| HIV) 0,95 P(não detecta| HIV) = 0,05

P(não detecta| não HIV) = 0,95 P(não detecta| HIV) = 0,05Construindo a árvore de probabilidades:Início0,960,04NormalRisco0,0030,9970,10,9Lista de Exercícios - Probabilidade 5a) P(detecta HIV normal) = P[(normal HIV detecta) (normal não HIV detecta)]os dois eventos são mutuamente exclusivos.= 0,96 × 0,003 × 0,95 + 0,96 × 0,997 × 0,05 = 0,050592b) P(detecta HIV risco) = P[(risco HIV detecta) (risco não HIV detecta)]os dois eventos são mutuamente exclusivos.= 0,04 × 0,1 × 0,95 + 0,04 × 0,9 × 0,05c) P[(normal não HIV detecta) (normal HIV não detecta) (risco não HIV detecta) (risco HIV não detecta)] =0,96 × 0,997 × 0,05 + 0,96 × 0,003 × 0,05 + 0,04 × 0,9 × 0,05 + 0,04 × 0,1 × 0,05 = 0,05os quatro eventos são mutuamente exclusivos.d) P[HIV| (detecta risco)] =P(HIV detecta risco)/ P[(risco HIV detecta) (risco não HIV detecta)] =(0,04 × 0,1 × 0,95) / 0,056 = 0,6785e) P[não HIV | (não detecta normal) =P(não HIV não detecta normal)/ P[(normal não HIV não detecta) (normal HIV detecta)]= 0,96 × 0,997 × 0,95/ (0,96 × 0,997 × 0,95 + 0,96 × 0,003 × 0,05) = 0,9998.Nos problemas 21 a 25 é preciso usar análise combinatória para calcular o número de resultadosassociados a cada evento. Em TODOS os casos há importância apenas da natureza dos elementos,devendo ser usadas combinações.0,950,050,050,950,950,050,050,9522) a) P(6 mesmo grupo) = P[(6 1ª ) (6 2ª - 4ª) (6 5ª - 7ª)]Os 3 eventos são mutuamente exclusivos, não havendo intersecção entre eles:P(6 mesmo grupo) = C 10,6 /C 45,6 + C 20,6 /C 45,6 + C 15,6 /C 45,6b) P(2 cada grupo) = P[(2 1ª) (2 2ª - 4ª) (2 5ª - 7ª)]= (C 10,2 × C 20,2 × C 15,2 ) / C 45,6HIVNão HIVHIVNão HIVDetectaNão detectaDetectaNão detectaDetectaNão detectaDetectaNão detecta

c) P[(1 1ª) (4 2ª - 4ª) (1 5ª - 7ª)] = (C 10,1 × C 20,4 × C 15,1 ) / C 45,6d) P(6 2ª - 4ª | 6 mesmo grupo) = P(6 2ª - 4ª)/ P(6 mesmo grupo)= (C 20,6 /C 45,6 ) / (C 10,6 /C 45,6 + C 20,6 /C 45,6 + C 15,6 /C 45,6 )Lista de Exercícios - Probabilidade 623)a) P(3 4 5) = P(3) + P(4) + P(5) (pois os eventos são mutuamente exclusivos)C10, 3 C40, 2C10, 4 C40 , 1C10, 5CC C50,5b) P(3 4 5) = P(3) + P(4) + P(5)c) P(3 4 5) = P(3) + P(4) + P(5)50,5CC5,3C5,3 CC50,5 C95,545,290,250,5CC5,4C5,4 CC50,5 C95,545,190,1CCCC24)a) P(Você 2 Amigo 2) = (C 5,2 × C 8,2 )/ C 200,4 b) P(Você 4) = C 5,4 / C 200,4c) P(Amigo 4) = C 8,4 / C 200,4 d) P(Nenhum prêmio) = C 187,4 / C 200,4e) P[(Você 1 Amigo 0) (Você 0 Amigo 1)] = P (Você 1 Amigo 0) + P (Você 0 Amigo 1)Pois os eventos são mutuamente exclusivos.C5,1 C8,0 C187 , 3C5,0 C8,1 C187 , 3P[(Você 1 Amigo 0) (Você 0 Amigo 1)] CC25)a) 40 homens, 30 mulheres, 5 vagas- P(apenas homens) = C 40,5 / C 70,5- P(apenas mulheres) = C 30,5 / C 70,5- P(maioria homens) = P (3 homens 4 homens 5 homens) eventos mutuamente exclusivosC40, 3 C30,2C40, 4 C30,1C40, 5P(maioria homens) =CC C70,570,5- P(maioria mulheres) = P (3 mulheres 4 mulheres 5 mulheres) eventos mutuamente exclusivosC30,3C40, 2C30,4C40 , 1C30,5P(maioria mulheres) =C C C70,570,5- P(5 homens | 5 mesmo sexo) = P(5 homens)/ P(5 homens 5 mulheres) eventos mutuamenteexclusivos no denominador.C40,5/ C70, 5P(5 homens | 5 mesmo sexo) =C / C C / C200,470,570,5 40,570,5b) 40 homens, 30 mulheres, 6 vagas- P(apenas homens) = C 40,6 / C 70,6- P(apenas mulheres) = C 30,6 / C 70,6- P(maioria homens) = P (4 homens 5 homens 6 homens) eventos mutuamente exclusivosC40, 4 C30,2C40, 5 C30,1C40, 6P(maioria homens) =CC C70,670,6- P(maioria mulheres) = P (4 mulheres 5 mulheres 6 mulheres) eventos mutuamente exclusivosC30,4 C40, 2C30,5 C40 , 1C30,6P(maioria mulheres) =CC C- P(3 mulheres) = (C 30,3 × C 40,3 ) / C 70,670,630,570,670,570,670,65,550,55,595,5200,4

Lista de Exercícios - Probabilidade 7- P(6 mulheres | 6 mesmo sexo) = P(6 mulheres)/ P(6 homens 6 mulheres) eventos mutuamenteexclusivos no denominador.C30,6/ C70, 6P(6 mulheres | 6 mesmo sexo) =C / C C / C 40,670,626) a) Sim, a soma das respostas é igual a 1,0.b) Média = xi p(xi) = (0 × 0,0625) + (1 × 0,25) + (2 × 0,375) + (3 × 0,25) + (4 × 0,0625) = 2,0 2i i2Variância = x p(x ) xp(x) 30,6i i= 0,125Desvio padrão = variância 0, 125 0,35327) a) Sim, a soma das probabilidades é igual a 1.b) Média = x p(xi) Desvio padrão = variância 6, 36 2,5270,6 22i= 2,8 Variância = x p(xi) xip(xi) i = 6,3628) P(A em TGA) = 0,8 P(Não A em TGA) = 0,2 P(A em Mat.) = 0,4 P(Não A em Mat.) = 0,6a) P(A em TGA A em Mat.) = P(A em TGA) × P(A em Mat.) = 0,8 × 0,4 = 0,32 (eventosindependentes)b) P(Não A em TGA Não A em Mat.) = P(Não A em TGA) × P(Não A em Mat.) = 0,2 × 0,6 = 0,12(novamente, os eventos são independentes).c) P(A em TGA Não A em Mat.) = P(A em TGA) × P(Não A em Mat.) = 0,8 × 0,6 = 0,48 (novamenteos eventos são independentes).29) Podemos construir uma árvore probabilidades:

Lista de Exercícios - Probabilidade 8X = {0, 1, 2, 3}Basta calcular as probabilidades para cada valor (3, 2, 1, 0). Cada aluno é independente dos outros.P(X = 3) = P(A resolve B resolve C resolve) = P(A resolve) × P(B resolve) × P(C resolve) =4/5 × 2/3 × 3/7 = 0,228P(X = 2) = P[(A resolve B resolve C não resolve) (A resolve B não resolve C resolve) (A não resolve B resolve C resolve)] eventos mutuamente exclusivos:= 4/5 × 2/3 × 4/7 + 4/5 × 1/3 × 3/7 + 1/5 × 2/3 × 3/7 = 0,476P(X = 1) = P[(A resolve B não resolve C não resolve) (A não resolve B resolve C nãoresolve) (A não resolve B não resolve C resolve)] eventos mutuamente exclusivos:= 4/5 × 1/3 × 4/7 + 1/5 × 2/3 × 4/7 + 1/5 × 1/3 × 3/7 = 0,257P(X = 0) = P(A não resolve B não resolve C não resolve) = 1/5 × 1/3 × 4/7 = 0,038X 0 1 2 3p 0,038 0,257 0,476 0,228b) Procedimento semelhante ao dos problemas 26 e 27.

Lista de Exercícios - Probabilidade 930) Procedimento semelhante ao do problema 29. ii) = (10 × 0,3) + (15 × 0,2) + (22 × 0,5) =17 dias (centro de massa)31) a) E(X) = xp(x 2i i2b) V(X) = x p(x ) xp(x) Desvio padrão =i i= (10 2 × 0,3) + (15 2 × 0,2) + (22 2 × 0,5) – 17 2V(X)32) Podemos definir a variável aleatória X = número de recém-nascidos homens, que pode assumir osvalores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Como não há nenhuma informação prévia podemos considerar que aprobabilidade de que o recém-nascido seja homem é 0,5, e de que seja mulher é o seu valorcomplementar, também 0,5. Podemos também considerar que os sexos dos recém-nascidos sãoindependentes.a) P(X = 8) = P(8 homens) = P(1º H 2º H 3º H 4º H 5º H 6º H 7º H 8º H) == 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,5 8 = 0,0039b) P(pelo menos uma mulher) = P(X 7) = 1- P(X > 7) = 1- P(X = 8) = 1- 0,0039 = 0,9961c) P(exatamente 3 homens). Então 3 serão homens e 5 serão mulheres: de quantas maneiras diferentespodemos ter uma seqüência de 8 recém-nascidos em que 3 são homens? Podemos resolver porcombinações: C 8,3 . Este valor será multiplicado pelas probabilidades de que 3 sejam homens e 5 sejammulheres:P(X = 3) = C 8,3 × P(1º H 2º H 3º H 4º M 5º M 6º M 7º M 8º M) (esta é apenas uma dascombinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):

Lista de Exercícios - Probabilidade 10P(X = 3) = C 8,3 × 0,5 3 × 0,5 5 = 0,21875.d) P(ao menos 3 homens) = P(X 3) = 1 – P(X < 3) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2).Para encontrar P(X = 1) e P(X = 2) precisamos usar um raciocínio semelhante ao visto na letra c:precisamos encontrar C 8,1 e C 8,2 . Posteriormente, obter as probabilidades associadas às seqüências com1 ou 2 homens.P(X = 1) = C 8,1 × P(1º H 2º M 3º M 4º M 5º M 6º M 7º M 8º M) (esta é apenas umadas combinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):P(X = 1) = C 8,1 × 0,5 1 × 0,5 7P(X = 2) = C 8,2 × P(1º H 2º H 3º M 4º M 5º M 6º M 7º M 8º M) (esta é apenas umadas combinações possíveis, e lembre-se que os eventos são independentes):P(X = 2) = C 8,2 × 0,5 2 × 0,5 7P(X = 0) = P(8 mulheres) = P(1º M 2º M 3º M 4º M 5º M 6º M 7º M 8º M) = 0,5 8Então: P(X 3) = 1 - 0,5 8 - C 8,1 × 0,5 1 × 0,5 7 - C 8,2 × 0,5 2 × 0,5 7 = 0,855468e) Para calcular a média (valor esperado) é preciso obter as probabilidades associadas a cada valor deX, e então usar a expressão do problema 31, letra a. Vamos obter que a média vale 4.f) O valor de X que apresentará a maior probabilidade será 4, que será o valor mais provável. Nestecaso, valor mais provável e média coincidiram, mas isso NEM SEMPRE ocorre.Uma árvore de probabilidades completa seria igual a:33) a) Contínua, medida em metros, pode assumir inúmeros valores.b) Discreta, varia de 0 a 230. c) Discreta, podemos ter 0, 1, 2, ... carros.d) Contínua, medida em toneladas, pode assumir inúmeros valores.e) Contínua, medido em unidades monetárias (com centavos) pode assumir inúmeros valores.34) Se 2 variáveis aleatórias X e Y são independentes então: E(X + Y) = E(X) + E(Y) eV(X + Y) = V(X) + V(Y)a) Lucro esperado total = 4000 + 5000 + 10000 + 20000 = 390002 2 2 2Desvio padrão total = variância total 100 200 300 400 = 547,72b) Não, porque para calcular a variância total é preciso haver independência entre as variáveis, paraque possamos somar suas variâncias individuais.