Distribuição Qui-quadrado

Capítulo 3Modelos EstatísticosSlide 1ResenhaVariáveis AleatóriasDistribuição BinomialDistribuição de PoissonDistribuição NormalDistribuição t de StudentDistribuição Qui-quadradoAna M. Abreu - 2006/07

ResenhaSlide 2Este capítulo aborda asdistribuições de probabilidadetendo em conta os conhecimentos deestatistica descritiva apresentados noCapítulo 1 e os de probabilidadeapresentados no Capítulo 2 .As Distribuições de Probabilidade descrevemo que provavelmente acontecerá em vez de oque realmente aconteceu.Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçõesSlide 3Uma variável aleatória é uma variável(usualmente representada por X) que tomaum certo valor numérico, determinado peloacaso, de cada vez que a experiência érealizada. Uma distribução de probabilidade éum gráfico, tabela, ou fórmula que indicaa probabilidade correspondente a cadavalor da variável aleatória.Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçõesSlide 4Uma variável aleatória discreta toma um nºfinito ou infinito numerável de valores.Uma variável aleatória contínua toma um nºinfinito não numerável de valores, os quaispodem ser associados com medidas numaescala contínua.Ana M. Abreu - 2006/07

Propriedades dasDistribuições de ProbabilidadeSlide 5Σ P(x) = 1onde x toma todos os valores possíveis.0 ≤ P(x) ≤ 1para qualquer valor de x.Ana M. Abreu - 2006/07

Média, Variância eSlide 6Desvio Padrão de uma Variável Aleatóriaµ = Σ [x • P(x)] Médiaσ 2 = Σ [(x – µ) 2 • P(x)]Variânciaσ 2 = [Σ x 2 • P(x)] – µ 2Variância (forma reduzida)σ = Σ [x 2 • P(x)] – µ 2 Desvio PadrãoAna M. Abreu - 2006/07

DefiniçãoSlide 7O Valor Esperado de uma variável aleatóriadiscreta é denotado por E, e representa amédia dos resultados. Determina-se atravésdo valor de Σ [x • P(x)].E = Σ [x • P(x)]Ana M. Abreu - 2006/07

Em resumoSlide 8Até agora aprendemos sobre: Combinar os métodos da estatística descritivacom os da probabilidade. Variáveis aleatórias e distribuições deprobabilidade. Propriedades da distribuição de probabilidade. Média, variância e desvio padrão de uma variávelaleatória. Valor esperado.Ana M. Abreu - 2006/07

A Distribuição BinomialSlide 9Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçõesSlide 10A distribuição binomial verifica as seguintes condições:1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.2. As provas são independentes. (O resultado de umaprova não afecta a probabilidade de ocorrência dasrestantes.)3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis:sucesso ou insucesso.4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, éconstante em cada prova.Ana M. Abreu - 2006/07

Notação para a DistribuiçãoBinomialSlide 11ndenota o nº de provas (valor fixo à partida).x denota um nº específico de sucessos em nprovas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 en, inclusive.p denota a probabilidade de sucesso em cadauma das n provas.q denota a probabilidade de insucesso em cadauma das n provas.P(x) denota a probabilidade de obter exactamente xsucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).Ana M. Abreu - 2006/07

Métodos para Determinaras Probabilidades com aDistribuição BinomialSlide 12Vejamos três métodos possíveis paradeterminar as probabilidades correspondentesà variável aleatória X com distribuição binomial.Ana M. Abreu - 2006/07

Método 1: Usando aFórmula da Probabilidade naDistribuição BinomialSlide 13ondeP(X=x) = n ! • p x • q n-x(n – x)!x!n = nº de provaspara x = 0, 1, 2, . . ., nx = nº de sucessos nas n provasp = probabilidade de sucesso em cada provaq = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)Ana M. Abreu - 2006/07

Método 2: Usando uma Tabelade ProbabilidadesAna M. Abreu - 2006/07Slide 14Reproduz-se em baixo parte da tabela da binomial quevamos usar. Com n = 5 e p = 0.2 na distribuição binomial,as probabilidades de obter 0, 1, 2, 3, 4 e 5 sucessos são0.3277, 0.4096 (=0.7373-0.3277), 0.2048 (=0.9421- 0.7373),0.0512, 0.0064 e 0.0003, respectivamente.n = 5x .01 .05 .10 .200 .32771 .73732 .94213 .99334 .9997p

Método 3:Usando a TecnologiaSlide 15Software Estatístico, Excel e algumas calculadorasfornecem-nos as probabilidades da distribuição binomial.Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuição Binomial:FórmulasSlide 16Médiaµ = n • pondeVariância σ 2 = n • p • qDesvio Padrão σ = n • p • qn = nº de provasp = probabilidade de sucesso em cada uma das nprovasq = probabilidade de insucesso em cada uma das nprovasAna M. Abreu - 2006/07

ExemploSlide 17Determine a média e o desvio padrão para o nº deraparigas em 14 nascimentos.Esta situação pode ser resolvida através dadistribuição binomial onde:n = 14p = 0.5q = 0.5Usando as fórmulas da distribuição binomial, temos :µ = (14)(0.5) = 7 raparigasσ = (14)(0.5)(0.5) = 1.871 raparigasAna M. Abreu - 2006/07

Interpretação dos ResultadosSlide 18É especialmente importante interpretar osresultados. Os valores dizem-se pouco usuaisse se encontrarem para além dos seguinteslimites:Valores Máximos Usuais = µ + 2 σValores Mínimos Usuais = µ – 2 σAna M. Abreu - 2006/07

ExemploSlide 19Determine se é usual em 100 nascimentos, 68serem raparigas.Para esta distribuição binomial,µ = 50 raparigasσ = 5 raparigasµ + 2 σ = 50 + 2(5) = 60µ - 2 σ = 50 - 2(5) = 40Em 100 nascimentos, é usual nascerem entre 40 e 60raparigas. Assim, não é usual nascerem 68 raparigas.Ana M. Abreu - 2006/07

Slide 20A Distribuição de PoissonAna M. Abreu - 2006/07

DefiniçãoSlide 21A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta quese aplica quando ocorre um acontecimento num intervaloespecificado. A variável aleatória X representa o nº deocorrências num determinado intervalo. O intervalo podese referir a tempo, distância, área, volume, ou algum tipode medida similar.FórmulaP(X=x)=µ x • e -µonde e ≈ 2.71828x!Ana M. Abreu - 2006/07

Condições daDistribuição de PoissonSlide 22 A variável aleatória X designa o nº de acontecimentosnalgum intervalo. Assim, pode tomar quaisquer dosvalores 0, 1, 2, …) Os acontecimentos têm que ser aleatórios. Os acontecimentos são independentes.A média é µ.• Parâmetros O desvio padrão é σ = µ .Ana M. Abreu - 2006/07

Diferenças em relação àDistribuição BinomialSlide 23A distribuição de Poisson difere da distribuiçãobinomial nos seguintes aspectos fundamentais: A distribuição binomial é caracterizada peladimensão da amostra n e pela probabilidade desucesso p, enquanto que a distribuição de Poissoné caracterizada apenas pela média µ. Numa distribuição binomial, os valores que avariável aleatória X pode tomar são 0, 1, . . . n,enquanto que na distribuição de Poisson a variávelX toma os valores 0, 1, . . . , sem limite superior.Ana M. Abreu - 2006/07

ExemploSlide 24Bombas da 2ª Guerra Mundial Em 1945 os alemãesbombardearam Londres com as bombas V2. A regiãolondrina está dividida em 576 distritos de superfíciessemelhantes, pelo que admitimos que cada distrito temigual probabilidade de ser bombardeado. Calcula-se queo nº de bombas recebidas por Londres foi de 535.Se um distrito for seleccionado ao acaso, determinea probabilidade de ter sido bombardeado comexactamente 2 bombas.A distribuição de Poisson é adequada porqueestamos a lidar com uma situação de ocorrência deacontecimentos (nº de bombas recebidas) num certointervalo (distrito).Ana M. Abreu - 2006/07

ExemploSlide 25O nº médio de bombas por distrito éµ = 535 = 0.929576Então, P(X=2) = 0.929 2 e -0.929 = 0.170.2!Assim, a probabilidade de um qualquer distrito seratingido por exactamente 2 bombas é P(X=2) = 0.170.Ana M. Abreu - 2006/07

Cálculo da probabilidade na Distribuiçãode Poisson usando uma TabelaSlide 26Reproduz-se em baixo parte da tabela da distribuição dePoisson que vamos usar. Com µ = 0.20, as probabilidadesde ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 acontecimentos são0.8187, 0.1638 (=0.9825-0.8187), 0.0164 (=0.9989- 0.9825),0.001, e 0.0001, respectivamente.x .05 .10 .15 .200 .81871 .98252 .99893 .99994 1.0000Ana M. Abreu - 2006/07µ

Distribuição NormalSlide 27Ana M. Abreu - 2006/07

CaracterizaçãoSlide 28 Variável aleatória contínua Distribuição Normalf(x) =-12ex-µ( 2σ )σ 2 πFórmula 3-1Figura 3-1Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçõesSlide 29 Curva da Densidade (ou da funçãodensidade de probabilidade é o gráfico dadistribuição de probabilidade de umavariável aleatória contínua).1. A área total sob a curva é igual a 1.2. Todo o ponto sob a curva deve ter umaordenada de valor igual ou superior azero.Ana M. Abreu - 2006/07

Uso da Área paradeterminar a ProbabilidadeSlide 30Como a área total sob a curva é igual a 1, existeuma correspondência entre a área e aprobabilidade.Figura 3-2Ana M. Abreu - 2006/07

Alturas de Homens e MulheresSlide 31Figura 3-3Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçãoSlide 32Distribuição Normal Standard :a distribuição Normal que temmédia 0 e desvio padrão 1.Figura 3-4Ana M. Abreu - 2006/07

NotaçãoSlide 33P(a < z < b)denota a probabilidade de z tomar valores entrea e bP(z > a)denota a probabilidade de z tomar valores maiores doque aP(z < a)denota a probabilidade de z tomar valores menores doque aAna M. Abreu - 2006/07

Cálculo do valor de z correspondentea uma certa probabilidadeSlide 345% ou 0.05(o valor de z será positivo)1.645Figura 3-5Cálculo do Percentil 95Ana M. Abreu - 2006/07

Cálculo do valor de z correspondentea uma certa probabilidadeSlide 35(Um dos valores de z será negativo e o outro positivo)Figura 3-6Cálculo dos Percentis 2.5% e 97.5%Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuições Normaisnão StandardSlide 36Se µ ≠ 0 ou σ ≠ 1 (ou ambos), teremos queconverter os valores usando a Fórmula 3-2;então, os procedimentos passam a ser osmesmos do que os usados com a distribuiçãoNormal Standard.Fórmula 3-2z =x – µσAna M. Abreu - 2006/07

Conversão para a DistribuiçãoNormal StandardSlide 37z =x – µσFigura 3-7Ana M. Abreu - 2006/07

Precauções a ter em contaSlide 381. Não confunda valores de z com as correspondentesáreas. Os valores de z são distâncias ao longo do eixohorizontal enquanto que as áreas são regiões sob acurva da distribuição Normal. A tabela usada apresentaos valores de z na coluna à esquerda e na linha superior,enquanto que as áreas se encontram no “meio” databela.2. Escolha o lado certo (direito/esquerdo) do gráfico.3. Um valor de z deve ser negativo sempre que seencontre na metade esquerda da distribuição Normal.4. As áreas (ou probabilidades) têm valores positivos ounulos, mas nunca têm valores negativos.Ana M. Abreu - 2006/07

Cálculos usando a Tabela dadistribuição Normal StandardSlide 39Seja Z a variável aleatória com distribuição Normalstandard, ou seja, com valor médio zero e desvio padrão 1.Para calcular P(Z

Cálculos usando a Tabela dadistribuição Normal StandardSlide 40De modo análogo, P(Z

Aproximação da Distribuição Binomialpela Distribuição Normal se:Slide 41np ≥ 5 enq ≥ 5então µ = np e σ = npqe a variável aleatória tem umadistribuiçãoNormalAna M. Abreu - 2006/07

Procedimento para usar a DistribuiçãoNormal para Aproximar a DistribuiçãoBinomialSlide 421. Verifique que a distribuição Normal é uma aproximaçãoadequada à distribuição Binomial confirmando que np ≥ 5 enq ≥ 5.2. Determine os valores dos parâmetros µ e σ calculando µ = np eσ = npq.3. Identifique o valor discreto de x (o nº de sucessos). Altere ovalor discreto x substituindo-o pelo intervalo x – 0.5 a x +0.5.Represente a curva da Normal e assinale os correspondentesvalores de µ , σ, e de x – 0.5 ou x + 0.5, conforme a situação.4. Determine a área correspondente à probabilidade desejada.Ana M. Abreu - 2006/07

DefiniçãoSlide 43Quando usamos a distribuição Normal(que é uma distribuição contínua) paraaproximar a distribuição Binomial (que éuma distribuição discreta), fazemos umacorreção de continuidade ao valordiscreto x na distribuição binomialrepresentando o valor x pelo intervalo dex – 0.5 a x + 0.5.Ana M. Abreu - 2006/07

x = pelo menos 120= 120, 121, 122, . . .Slide 44x = mais do que 120= 121, 122, 123, . . .x = no máximo 120= 0, 1, . . . 118, 119, 120x = menos do que 120= 0, 1, . . . 118, 119Figura 3-8Ana M. Abreu - 2006/07

x = exactamente 120Slide 45Intervalo que representa o valor discreto 120Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuição t de StudentSlide 46A distribuição t de Student é a designaçãode uma família de distribuições indexadapelo parâmetro ν, que representa onúmero de graus de liberdade (g.l.).Reproduz-se em seguida parte da tabeladesta distribuição.Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuição t de StudentSlide 47αν … .025 .01……9 2.821410 2.7638Os valores indicados escrevem-se na format (0.01; 10) = 2.7638e lê-se: o percentil 0.01 da distribuição t deStudent com 10 graus de liberdade é 2.7638.Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuições t de Studentcom n = 3 e n = 12Slide 48Ana M. Abreu - 2006/07

Características importantes dadistribuição t de StudentAna M. Abreu - 2006/07Slide 491. A distribuição t de Student varia de acordo com adimensão da amostra (de acordo com a figura anterior,para os casos n = 3 e n = 12).2. A curva da distribuição t de Student tem a mesma formaem sino da distribuição Normal, mas reflecte a maiorvariabilidade (com curvas mais alargadas) que é deesperar em amostras pequenas.3. A distribuição t de Student tem valor médio zero (tal comoa distribuição Normal standard).4. O desvio padrão da distribuição t de Student varia deacordo com o tamanho da amostra e é maior do que 1 (oque não acontece com a distribuição Normal standard,onde σ = 1).5. Quanto maior a dimensão da amostra, mais a distribuição tde Student se aproxima da distribuição Normal.

Distribuição Qui-quadradoSlide 50A distribuição Qui-quadrado é a designaçãode uma família de distribuições indexadapelo parâmetro ν, que representa o númerode graus de liberdade (g.l.).Reproduz-se em seguida parte da tabeladesta distribuição.Ana M. Abreu - 2006/07

Distribuição Qui-quadradoSlide 51α (dade)(gl (df) … .10 .05……9 16.91910 18.307Os valores indicados escrevem-se na formaℵ 2 (0.05; 10) = 18.307e lê-se: o percentil 0.05 da distribuição Quiquadradocom 10 graus de liberdade é 18.307.Ana M. Abreu - 2006/07

Características da distribuiçãoQui-QuadradoSlide 521. A distribuição Qui-quadrado não é simétrica, aocontrário do que sucede com as distribuições Normale t de Student.À medida que o nº de graus de liberdade aumenta,,a distribuição torna-se mais simétrica.Distribuição Qui-quadradoDistribuição Qui-quadrado parag.l.= 10 e g.l.= 20Ana M. Abreu - 2006/07

Características da distribuiçãoQui-QuadradoSlide 532. Os valores da distribuição Qui-quadrado podem serpositivos ou nulos, mas não podem ser negativos.3. A distribuição Qui-quadrado é diferente consoante o nºde graus de liberdade, os quais se escrevem g.l.= n – 1.À medida que o nº de g.l. aumenta, a distribuiçãoaproxima-se da distribuição Normal.Ana M. Abreu - 2006/07