Aline Fernanda Bianco - Departamento de Engenharia Elétrica e de ...
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8(Equação (2.3)) foi desenvolvida por nosso grupo de pesquisa.Lema 2.1.1 Sejam R ∈ R n×n uma matriz definida positiva e A ∈ R n×p matriz posto colunapleno. Neste caso, A T RA é invertível e sua inversa pode ser calculada por(A T RA ) −1[= −0 I[= − 0 0 I] ⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ 0 ⎦ (2.2)A T 0 I⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤−R I 0 0]⎢ I 0 A⎥⎢0⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.3)0 A T 0 IProva: Utilizando o Lema de Inversão de Blocos Matriciais 1 , obtém-se⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦A T 0−1⎡= ⎣ R − RA( −A T RA ) −1 A T R −RA ( −A T RA ) ⎤−1− ( A T RA ) −1 A T R − ( A T RA ) ⎦ . (2.4)−1Assim,(A T RA ) [ ] ⎡ ⎤−1= − 0 I ⎣ R−1 A⎦A T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ . (2.5)IO lado direito da Equação (2.5) equivale ao seguinte sistema⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ a ⎦ = − ⎣ 0 ⎦. (2.6)A T 0 P IDefinindo-se b := R −1 a, segue que b − R −1 a = 0, ou seja, −Rb + a = 0. Além disso,1 Lema Sejam A ∈ R n×n invertível, B, C e D matrizes com dimensões apropriadas. Então, a seguinteidentidade é válida» – −1A B"A −1 + A −1 B `D − CA −1 B´−1CA−1−A −1 B `D#− CA −1 B´−1=C D− `D − CA −1 B´−1 .CA`D −1− CA −1 B´−1
9R −1 a + AP = 0, o que equivale a b + AP = 0, que escrito na forma matricial torna-se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−R I 0 b 0⎢ I 0 A⎥⎢a⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − ⎢0⎥⎣ ⎦ . (2.7)0 A T 0 P ILogo⎡ ⎤(A T RA ) −R I 0[ ]−1 = − 0 0 I ⎢ I 0 A⎥⎣ ⎦0 A T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ .I⋄O próximo lema determina relações de equivalência entre as soluções ˆx de (2.1). Na próximaseção o lema será estendido, pois serão considerados problemas de mínimos quadrados comincertezas. Este resultado será indispensável para a obtenção das estimativas robustas, deduzidasno Capítulo 6.Lema 2.1.2 Suponha que W > 00, então as seguintes sentenças são equivalentes(i) ˆx ∈ arg min x (Ax − b) T W(Ax − b),(ii) x = ˆx é uma solução de A T WAx = A T Wb,(iii) (x,λ,γ) = (ˆx, ˆλ, ˆγ) é uma solução de⎡⎢⎣−W I 0I 0 A0 A T 0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣λγx⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣0b0⎤⎥⎦ . (2.8)Se (A T WA) for invertível, então tem-se que ˆx é solução única de (ii). Além disso,⎡ ⎤0(A T WA) −1 = − ⎢0⎥⎣ ⎦I⎤−W I 0⎢ I 0 A⎥⎣ ⎦0 A T 0T ⎡−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ . (2.9)IProva: (i) ⇒ (ii) Define-se o funcional J porJ := (Ax − b) T W(Ax − b) = x T A T WAx − 2x T A T Wb + b T Wb. (2.10)
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8(Equação (2.3)) foi <strong>de</strong>senvolvida por nosso grupo <strong>de</strong> pesquisa.Lema 2.1.1 Sejam R ∈ R n×n uma matriz <strong>de</strong>finida positiva e A ∈ R n×p matriz posto colunapleno. Neste caso, A T RA é invertível e sua inversa po<strong>de</strong> ser calculada por(A T RA ) −1[= −0 I[= − 0 0 I] ⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ 0 ⎦ (2.2)A T 0 I⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤−R I 0 0]⎢ I 0 A⎥⎢0⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.3)0 A T 0 IProva: Utilizando o Lema <strong>de</strong> Inversão <strong>de</strong> Blocos Matriciais 1 , obtém-se⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦A T 0−1⎡= ⎣ R − RA( −A T RA ) −1 A T R −RA ( −A T RA ) ⎤−1− ( A T RA ) −1 A T R − ( A T RA ) ⎦ . (2.4)−1Assim,(A T RA ) [ ] ⎡ ⎤−1= − 0 I ⎣ R−1 A⎦A T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ . (2.5)IO lado direito da Equação (2.5) equivale ao seguinte sistema⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ a ⎦ = − ⎣ 0 ⎦. (2.6)A T 0 P IDefinindo-se b := R −1 a, segue que b − R −1 a = 0, ou seja, −Rb + a = 0. Além disso,1 Lema Sejam A ∈ R n×n invertível, B, C e D matrizes com dimensões apropriadas. Então, a seguintei<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong> é válida» – −1A B"A −1 + A −1 B `D − CA −1 B´−1CA−1−A −1 B `D#− CA −1 B´−1=C D− `D − CA −1 B´−1 .CA`D −1− CA −1 B´−1
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