Aline Fernanda Bianco - Departamento de Engenharia Elétrica e de ...

AgradecimentosPrimeiramente a Jesus Cristo, nosso mestre, espírito de luz e bondade.À memória de meus avós e tios que certamente intercedem por mim.Aos professores Marco Henrique Terra e João Yoshiyuki Ishihara pela orientação, paciência,dedicação e incentivo nestes anos de trabalho.Aos meus pais Miguel e Regina, irmã Alethéa, tia Neide, primos Luciana, Márcio e Marcelo,cunhado Junior, priminhos Guilherme e Rafael e meu sobrinho Murilo que está a caminho, porserem as pessoas mais importantes da minha vidaAos colegas do LASI (Laboratório de Sistemas Inteligentes), por estarem comigo durantetodo esse tempo em harmonia.Aos amigos do coração Fernanda, Thaís, Camila, Eugênia, Cleber, Adriano, Ricardo, Daniel,Julia, Fernando, Carolina, Marco Aurélio e Antonio Carlos (Maranhão) pela generosidade,paciência e lealdade com que sempre me trataram.Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica, por me darem respaldotodas as vezes que precisei.À FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo suporte financeiro.

EpígrafeSe as coisas são inatingíveis... ora!Não é motivo para não querê-las.Que tristes os caminhos, se não fora apresença distante das estrelas!Mário Quintana

viii

ixResumoBIANCO, A. F. Filtros de Kalman Robustos para Sistemas Dinâmicos Singulares em TempoDiscreto. 2009. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de SãoPaulo, São Carlos, 2009.Esta tese trata do problema de estimativa robusta ótima para sistemas dinâmicos singularesdiscretos no tempo. Novos algoritmos recursivos são formulados para as estimativas filtradase preditoras com as correspondentes equações de Riccati. O filtro robusto tipo Kalman e aequação de Riccati correspondente são obtidos numa formulação mais geral, estendendo os resultadosapresentados na literatura. O funcional quadrático proposto para deduzir este filtro faza combinação das técnicas mínimos quadrados regularizados e funções penalidade. O sistemaconsiderado para obtenção de tais estimativas é singular, discreto, variante no tempo, com ruídoscorrelacionados e todos os parâmetros do modelo linear estão sujeitos a incertezas. As incertezasparamétricas são limitadas por norma. As propriedades de estabilidade e convergência do filtrode Kalman para sistemas nominais e incertos são provadas, mostrando-se que o filtro em estadopermanente é estável e a recursão de Riccati associada a ele é uma sequência monótona nãodecrescente, limitada superiormente pela solução da Equação Algébrica de Riccati.Palavras–Chave: Sistemas singulares, filtragem robusta, estimativa de estado, estabilidade,convergência.

xiAbstractBIANCO, A. F. Robust Kalman Filters for Discrete-time Singular Systmes. 2009. Thesis (Doctoral)- Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009.This thesis considers the optimal robust estimates problem for discrete-time singular dynamicsystems. New recursive algorithms are developed for the Kalman filtered and predicted estimaterecursions with the corresponding Riccati equations. The singular robust Kalman-type filter andthe corresponding recursive Riccati equation are obtained in their most general formulation, extendingthe results presented in the literature. The quadratic functional developed to deduce thisfilter combines regularized least squares and penalty functions approaches. The system consideredto obtain the estimates is singular, time-varying with correlated noises and all parameter matricesof the underlying linear model are subject to uncertainties. The parametric uncertainty isassumed to be norm bounded. The properties of stability and convergence of the Kalman Filterfor nominal and uncertain system models are proved, where we show that steady-state filter isstable and the Riccati recursion associated with this is a nondecreasing monotone sequence withupper bound.Keywords: Singular systems, robust filtering, state estimation, stability, convergence.

xii

xiiiSumárioResumoAbstractLista de FigurasLista de Abreviaturas e SiglasLista de Símbolosixxixvxviixix1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Estimativas Ótimas para Sistemas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Estimativas Filtrada, Preditora e Suavizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Publicações Decorrentes da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Teoria de Otimização Não Linear 72.1 O Problema de Mínimos Quadrados Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 O Problema de Mínimos Quadrados Regularizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 O Método das Funções Penalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Estimativas Recursivas Ótimas para o Modelo no Espaço de Estado 193.1 Estimativa Filtrada para o Modelo no Espaço de Estado . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Estimativa Preditora para o Modelo no Espaço de Estado . . . . . . . . . . . . . 233.3 Expressões Equivalentes para as Estimativas Recursivas Ótimas . . . . . . . . . . 254 Estimativas Recursivas Ótimas para o Modelo Singular Nominal 294.1 Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares Nominais . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Estimativa Preditora para Sistemas Singulares Nominais . . . . . . . . . . . . . . 33

xiv4.3 Casos Particulares das Estimativas Recursivas Ótimas . . . . . . . . . . . . . . . 365 Estabilidade e Convergência dos FSNs 455.1 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Exemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Estimativa Robusta para Sistemas Dinâmicos Singulares 696.1 Estabelecimento do Problema de Filtragem Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . 706.1.1 Estimativas Filtradas Robustas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Estabelecimento do Problema de Predição Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.1 Estimativas Preditoras Robustas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 Formas Matriciais Equivalentes para as Estimativas Robustas . . . . . . . . . . . 827 Estabilidade e Convergência dos FSRs 897.1 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948 Resultados Numéricos e Conclusões 978.1 Comparação com o Filtro BDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Conclusões e Continuidade da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Referências Bibliográficas 103

xvLista de Figuras5.1 Evolução de P i+1|i+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Evolução de P i+1|i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.1 FSR(—) e Filtro BDU (- - -) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2 Evolução de P i+1|i+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

xvi

xviiLista de Abreviaturas e SiglasEAR − Equação Algébrica de RiccatiFSNs − Filtros Singulares NominaisFSRs − Filtros Singulares RobustosFKs − Filtros de KalmanFRKs − Filtros Robustos de KalmanLDU − Inferior Diagonal Superior (Lower Diagonal Upper)BDU − Dados com Incertezas Limitadas (Bounded Data Uncertainties)

xviii

xixLista de SímbolosR corpo dos números reaisR nR n×mA TA −1A 1 2A †P > 0P ≥ 0conjunto dos vetores de dimensão nconjunto das matrizes de dimensão n × mtransposta da matriz Ainversa da matriz Araiz quadrada de uma matriz A semidefinida positivapseudo inversa da matriz Adenota que P é definida positivadenota que P é semidefinida positiva‖ · ‖ norma euclidiana de um vetor (‖x‖ 2 = x T x para x ∈ R n )‖ · ‖ P norma ponderada de um vetor (‖x‖ 2 P = xT Px para x ∈ R n )x T P(•) expressão simplificada para x T Pxσ(A) conjunto dos autovalores distintos da matriz AE esperança matemática

1Capítulo 1Introdução1.1 MotivaçãoDesde que Rudolf E. Kalman apresentou em 1960 o conceito fundamental de filtragem ótimarecursiva [30], vários problemas têm sido levantados e resolvidos para aperfeiçoar uma classe defiltros originada desse conceito, que são denominados Filtros de Kalman (FKs).Um dos problemas identificados é que os filtros que estão dentro desta categoria podem sersensíveis às incertezas do sistema, e essa sensibilidade pode comprometer o desempenho e aestabilidade dos mesmos. Um caso típico ocorre quando o desempenho do filtro, embora ótimopara o sistema nominal, pode se deteriorar muito rapidamente quando os dados do sistema sofremperturbações. Isto não é aceitável, uma vez que um modelo fiel do sistema é difícil de se obter.Motivado por este problema, um número relevante de artigos tem apresentado algoritmosalternativos para o FK usual para sistemas sujeitos a incertezas nos parâmetros, veja por exemplo[20], [42], [43], [45] e as referências contidas nelas. Tais filtros são denominados Filtros Robustosde Kalman (FRKs) e algumas aplicações dessa classe de filtros podem ser encontradas em [19],[32] e [33].O FK é um dos desenvolvimentos mais relevantes em ciência aplicada no último século, comforte destaque para as aplicações em engenharia. Atualmente, muitas exposições desta teoriae suas aplicações estão disponíveis e muitas ainda estão sendo desenvolvidas. O FK possuivários aspectos importantes, tais como produzir estimativas baseadas em informações passadas,presentes e futuras e fazer isto mesmo quando o modelo exato do sistema é desconhecido.

21.2 Estimativas Ótimas para Sistemas SingularesConsidere um sistema dinâmico linear variante no tempo descrito porE i+1 x i+1 = F i x i + G w,i w i + G v,i v i ,z i = H i x i + K w,i w i + K v,i v i . (1.1)Este sistema é denominado singular, sendo x i ∈ R n a variável singular (ou semi-estado),z i ∈ R p a medida da saída, w i ∈ R m e v i ∈ R p os ruídos presentes no estado e na medida,E i+1 ∈ R m×n , F i ∈ R m×n , H i ∈ R p×n , G w,i ∈ R m×m , G v,i ∈ R m×p , K w,i ∈ R p×m e K v,i ∈ R p×pas matrizes do sistema nominal. Quando E i+1 = I o sistema (1.1) reduz-se ao modelo no espaçode estado usual. A teoria dessa classe de sistemas foi desenvolvida para descrever as dinâmicasde certos sistemas lineares em que a representação no espaço de estado não se aplica, tais comosistemas matriciais quadrados não invertíveis e sistemas matriciais retangulares.Os estudos sobre sistemas singulares (também denominados sistemas descritores) são motivadospelo fato de que modelos com essas características aparecerem de maneira frequente emdiversas aplicações, como em sistemas econômicos [36], modelagem de imagens [22], modelagemde aeronaves [44], modelagem de helicópteros [37], robótica [38], sistemas de potência e circuitoselétricos.Para sistemas singulares discretos no tempo, estimativas de estado têm sido formuladas demaneira recursiva e os filtros singulares nominais (FSNs) resultantes têm sido objeto de estudode diversos trabalhos (veja, por exemplo, [6], [13], [14], [18], [21], [28], [31], [39], [40], [48], [49]).Um indicador do crescimento deste campo de pesquisa é o desenvolvimento de um toolbox desistemas singulares para o software Matlab [24].1.3 Estimativas Filtrada, Preditora e SuavizadaNo sistema (1.1) z i é considerado o conjunto de medidas ou observações. Assim, pode-sedeterminar ˆx i que é o valor estimado de x i , a partir das observações z i . Para tanto, pode-seestimar x i através de diversos métodos. Conforme a disponibilidade da quantidade de medidas,o conceito de estimativa recebe uma denominação diferente.Quando se tem i medidas, ou seja z 0 ,z 1 ,... z i , então a estimativa de x i , até a i-ésima medida

3é chamada de filtrada e é geralmente representada por ˆx i|i . A segunda denominação é a deestimativa preditora. Neste caso, deseja-se estimar o sinal x i+1 dispondo-se apenas de i medidasou observações, ou seja, z 0 ,z 1 ,...z i .A terceira denominação é a de estimativa suavizada. Neste caso, a quantidade de medidasdisponível é superior ao número estados que pretende-se estimar, ou seja, as medidas seguintespodem ser usadas para obtenção da estimativa. Assim, pode-se obter a estimativa ˆx i dispondo-sedas medidas z 0 ,z 1 ,...z i+1 . Normalmente o processo de suavização pode se tornar mais exato doque o processo de filtragem, por envolver uma quantidade maior de medidas.Estes três tipos de estimativas são representadas matematicamente por• ˆx i|i a estimativa linear filtrada;• ˆx i+1|i a estimativa linear preditora;• ˆx i|i+1 a estimativa linear suavizada;e são apresentadas nesta tese, tanto para o modelo singular nominal, quanto para o modelosingular sujeito a incertezas paramétricas.1.4 ObjetivosAté o momento, o problema de estimativa robusta ótima para sistemas singulares tem sidoassunto de poucas pesquisas [15], [16], [27], [29] e livros [46]. Nesta tese, considera-se (1.1) comincertezas em todas as matrizes do sistema(E i+1 + δE i+1 )x i+1 = (F i + δF i )x i + (G w,i + δG w,i ) w i + (G v,i+1 + δG v,i+1 )v i+1 ,z i+1 = (H i+1 + δH i+1 ) x i+1 + (K w,i + δK w,i ) w i + (K v,i+1 + δK v,i+1 ) v i+1 .(1.2)sendo que δE i+1 , δF i , δG w,i , δG v,i , δH i , δK v,i e δK v,i são perturbações variantes no tempolimitadas por normas.A partir de (1.2), serão desenvolvidos filtros singulares robustos (FSRs) via abordagem determinística.Serão utilizados nessas deduções conceitos de Mínimos Quadrados Regularizados em

4conjunto com Funções Penalidade, descritas na teoria de otimização. Veja para maiores detalhes[1] e [42].As novas expressões para os FSRs obtidas, com as respectivas equações recursivas de Riccati,apresentam uma estrutura simples e simétrica. Todas as informações do sistema singularnominal com as respectivas informações das incertezas, são claramente identificadas em blocosmatriciais. Os resultados apresentados nesta tese generalizam os resultados obtidos em [29] e[42]. O problema dual de controle robusto, utilizando as mesmas técnicas desenvolvidas nestatese, encontra-se em [12].Antes da apresentação dos FSRs serão apresentadas as provas da estabilidade dos filtrossingulares nominais (FSNs) e da convergência da solução da Equação Algébrica de Riccati (EAR)em regime permanente. Para essa estrutura em blocos dos filtros será mostrado que há uma únicasolução semidefinida positiva para a EAR e que a recursão de Riccati caracteriza uma sequênciamonótona não decrescente limitada superiormente. Os argumentos utilizados para provar taisresultados estão baseados fundamentalmente nas referências [10], [11], [17], [34] e [40]. Todos osargumentos baseiam-se em uma análise determinística do problema. Para os FSRs, as provasde estabilidade e convergência seguirão a mesma linha das provas apresentadas para o sistemanominal, através de compactações apropriadas dos parâmetros dos filtros.Vale destacar que uma das maiores contribuições dessa tese está no fato de que os algoritmosrecursivos robustos obtidos não dependem de nenhum parâmetro auxiliar de ajuste para seremimplementados. Portanto, são bastante úteis para aplicações em tempo real.1.5 Estrutura do TextoEsta tese está organizada da seguinte forma:Capítulo 2Este capítulo mostra de maneira detalhada os métodos de otimização Mínimos QuadradosRegularizados e Funções Penalidade. A partir deste estudo, as estimativas recursivas nominaise robustas para sistemas singulares discretos e variantes no tempo são encontradas.Capítulo 3Este capítulo apresenta filtros nominais para modelos no espaço de estado, aplicando-se ateoria dos mínimos quadrados recursivos. Nele mostra-se que há equivalência entre as expressões

5em blocos matriciais com aquelas algébricas comumente encontradas na literatura [2].Capítulo 4Este capítulo apresenta estimativas ótimas para sistemas singulares sem incertezas paramétricas,através da utilização da abordagem desenvolvida no Capítulo 2. Através de simplificaçõesno modelo dos sistema, demonstra-se que os filtros obtidos equivalem aos FSNs apresentados em[5], [14], [28] e [40].Capítulo 5Este capítulo mostra as propriedades de estabilidade e convergência dos filtros obtidos noCapítulo 4, seguindo a linha desenvolvida em [7] e [40]. Isto ocorre devido às estruturas matriciaisdas equações obtidas serem simples e simétricas.Capítulo 6Este capítulo apresenta as estimativas robustas ótimas nas formas preditora e filtrada, derivadasobtidas a partir das técnicas de otimização Mínimos Quadrados Regularizados e FunçõesPenalidade. Os FSRs são deduzidos para o caso mais geral e estendem os resultados obtidos em[29] e [42].Capítulo 7Neste capítulo são demonstradas as propriedades de estabilidade e convergência dos FSRs.Tais demonstrações são baseadas nos resultados detalhados no Capítulo 5, em decorrência dasexpressões recaírem na formulação deduzida para o caso singular nominal.Capítulo 8Neste capítulo um resultado numérico que estabelece uma comparação entre o desempenhodo filtro robusto obtido nesta tese com o apresentado em [42] é mostrado. Além disso, sãoapresentadas as conclusões e as contribuições do trabalho, bem como as perspectivas de trabalhosfuturos.1.6 Publicações Decorrentes da PesquisaEsta tese gerou até o momento os seguintes artigos:• [26] provisoriamente aceito em um periódico internacional;

6• [4], [6], [8] e [25] publicados em congressos internacionais;• [7] e [9] publicados em conferências nacionais.

7Capítulo 2Teoria de Otimização Não LinearEste capítulo apresenta os métodos de otimização de funcionais quadráticos sem incertezasnos parâmetros (Mínimos Quadrados Ponderados) e com incertezas nos parâmetros (MínimosQuadrados Regularizados [42]). Além destes, detalha-se também o Método das Funções Penalidade[1] e [35].A combinação destas técnicas permite a obtenção da solução ótima ˆx resultante da otimizaçãode um determinado funcional quadrático pré-definido. A partir dessa associação, algoritmos paraos FSNs e FSRs são obtidos nesta tese, possuindo estrutura matricial simples e simétrica.Os resultados deste capítulo têm permitido a solução de problemas de filtragem robusta maisgerais que os encontrados na literatura.2.1 O Problema de Mínimos Quadrados PonderadosConsidere o seguinte problema de otimização quadráticaˆx = arg minx{(Ax − b) T W(Ax − b)} (2.1)sendo W = W T ≥ 0, matriz de ponderação, A matriz conhecida e b vetor conhecido.O próximo resultado estabelece uma relação entre expressões que possuem matrizes inversascom aquelas que aparecem na forma de blocos matriciais de forma linear. O lema a seguir teráum papel importante na dedução dos FSNs e FSRs que serão apresentados na sequência. Aprimeira parte do resultado (Equação (2.2)) é apresentada em [40], enquanto a segunda parte

8(Equação (2.3)) foi desenvolvida por nosso grupo de pesquisa.Lema 2.1.1 Sejam R ∈ R n×n uma matriz definida positiva e A ∈ R n×p matriz posto colunapleno. Neste caso, A T RA é invertível e sua inversa pode ser calculada por(A T RA ) −1[= −0 I[= − 0 0 I] ⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ 0 ⎦ (2.2)A T 0 I⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤−R I 0 0]⎢ I 0 A⎥⎢0⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.3)0 A T 0 IProva: Utilizando o Lema de Inversão de Blocos Matriciais 1 , obtém-se⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦A T 0−1⎡= ⎣ R − RA( −A T RA ) −1 A T R −RA ( −A T RA ) ⎤−1− ( A T RA ) −1 A T R − ( A T RA ) ⎦ . (2.4)−1Assim,(A T RA ) [ ] ⎡ ⎤−1= − 0 I ⎣ R−1 A⎦A T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ . (2.5)IO lado direito da Equação (2.5) equivale ao seguinte sistema⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ R−1 A⎦ ⎣ a ⎦ = − ⎣ 0 ⎦. (2.6)A T 0 P IDefinindo-se b := R −1 a, segue que b − R −1 a = 0, ou seja, −Rb + a = 0. Além disso,1 Lema Sejam A ∈ R n×n invertível, B, C e D matrizes com dimensões apropriadas. Então, a seguinteidentidade é válida» – −1A B"A −1 + A −1 B `D − CA −1 B´−1CA−1−A −1 B `D#− CA −1 B´−1=C D− `D − CA −1 B´−1 .CA`D −1− CA −1 B´−1

9R −1 a + AP = 0, o que equivale a b + AP = 0, que escrito na forma matricial torna-se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−R I 0 b 0⎢ I 0 A⎥⎢a⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − ⎢0⎥⎣ ⎦ . (2.7)0 A T 0 P ILogo⎡ ⎤(A T RA ) −R I 0[ ]−1 = − 0 0 I ⎢ I 0 A⎥⎣ ⎦0 A T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ .I⋄O próximo lema determina relações de equivalência entre as soluções ˆx de (2.1). Na próximaseção o lema será estendido, pois serão considerados problemas de mínimos quadrados comincertezas. Este resultado será indispensável para a obtenção das estimativas robustas, deduzidasno Capítulo 6.Lema 2.1.2 Suponha que W > 00, então as seguintes sentenças são equivalentes(i) ˆx ∈ arg min x (Ax − b) T W(Ax − b),(ii) x = ˆx é uma solução de A T WAx = A T Wb,(iii) (x,λ,γ) = (ˆx, ˆλ, ˆγ) é uma solução de⎡⎢⎣−W I 0I 0 A0 A T 0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣λγx⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣0b0⎤⎥⎦ . (2.8)Se (A T WA) for invertível, então tem-se que ˆx é solução única de (ii). Além disso,⎡ ⎤0(A T WA) −1 = − ⎢0⎥⎣ ⎦I⎤−W I 0⎢ I 0 A⎥⎣ ⎦0 A T 0T ⎡−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ . (2.9)IProva: (i) ⇒ (ii) Define-se o funcional J porJ := (Ax − b) T W(Ax − b) = x T A T WAx − 2x T A T Wb + b T Wb. (2.10)

10Então1 ∂J2 ∂x = AT WAx − A T Wb. (2.11)Se x = ˆx é um ponto de mínimo de J, pela condição de otimalidade de primeira ordemdeve-se ter ∂J∂x = 0, ou A T WAˆx = A T Wb. (2.12)(ii) ⇒ (i) Como W > 00, tem-se∂ 2 J∂x = AT WA ≥ 0. (2.13)Assim, se x satisfaz a A T WAx = A T Wb, x é um ponto de mínimo de J.(ii) ⇒ (iii) Defina as variáveis auxiliaresλ := b − Ax e γ := Wλ. (2.14)Como A T W(b − Ax) = 0, tem-seAx + λ = bγ − Wλ = 0A T γ = 0 (2.15)ou, de forma equivalente⎡⎢⎣−W I 0I 0 A0 A T 0⎤⎡⎥⎢⎦⎣λγx⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣0b0⎤⎥⎦ . (2.16)(iii) ⇒ (ii)⎡⎢⎣−W I 0I 0 A0 A T 0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣λγx⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣0b0⎤⎧⎪ γ − Wλ = 0 ⇒ γ = Wλ = W(b − Ax)⎨ ⎥⎦ ⇔ λ + Ax = b⎪ ⎩A T γ = 0.De γ = W(b − Ax) tem-se A T γ = A T W(b − Ax) ⇒ 0 = A T W(b − Ax) ⇒ A T WAx = A T Wb.Se A tem posto coluna pleno e W > 0, segue que A T WA é invertível. Assim, pelo Lema2.1.1, obtém-se a Equação (2.9). ⋄

112.2 O Problema de Mínimos Quadrados RegularizadosNesta seção o problema de mínimos quadrados regularizados para modelos com incertezasnos dados será resolvido e sua solução será dada na forma de blocos matriciais. Essa forma éapropriada para os filtros robustos deduzidos nesta tese, uma vez que facilita análises posterioresde estabilidade e convergência.Considere o seguinte problema de custo quadrático ótimoˆx = arg minxmax{δA, δb} {‖x‖2 Q + ‖(A + δA) x − (b + δb)‖2 W } (2.17)para um sistema cujas incertezas paramétricas são modeladas por[δA δb][= H∆N A N b], (2.18)sendo Q = Q T > 0, matriz de regularização, W = W T ≥ 0, matriz de ponderação para o erro deestimativa, A matriz conhecida, b vetor conhecido, δA matriz de perturbação da matriz nominalA, δb vetor de perturbação do vetor nominal b, H, N A , N b , matrizes conhecidas com dimensõesapropriadas e ∆ matriz arbitrária satisfazendo ‖∆‖ ≤ 1 (contração).O resultado a seguir foi apresentado em [41] e nas referências internas. Trata-se de um lemafundamental para a teoria de filtragem robusta, no qual utiliza-se uma abordagem puramentedeterminística.Lema 2.2.1 [41] O problema de otimização (2.17)-(2.18) tem uma única solução ˆx dada por( ) −1ˆx = ˆQ + A T ŴA(A T Ŵb + ˆλN)AN T b(2.19)sendo que as matrizes de ponderação modificadas ˆQ e Ŵ são dadas porˆQ := Q + ˆλN T AN A (2.20)Ŵ := W + WH(ˆλI − H T WH) †H T W (2.21)e ˆλ é um parâmetro escalar não negativo obtido através do seguinte problema de otimizaçãoˆλ := argminλ≥‖H T WH‖G(λ) (2.22)

12sendo queG(λ) := ‖x(λ)‖ 2 Q + λ ‖N Ax(λ) − N b ‖ 2 + ‖Ax(λ) − b‖ 2 W(λ)(2.23)e as funções auxiliares são definidas porx(λ) := [ Q(λ) + A T W(λ)A ] −1 [A T W(λ)b + λN T AN b]Q(λ):= Q + λN T A N AW(λ) := W + WH ( λI − H T WH ) †H T W.⋄O próximo resultado considera a otimização de um funcional quadrático com incertezas paramétricase determina equivalências entre expressões obtidas para ˆx.Lema 2.2.2 As seguintes sentenças são equivalentes(i)ˆx ∈ arg minxmax{δA,δb} {‖x‖2 Q + ‖(A + δA)x − (b + δb)‖2 W }, (2.24)sendo δA e δb dadas por[δA δb][= H∆N A N b]; (2.25)(ii)ˆx ∈ arg minx⎛⎡⎧⎪ ⎨⎪ ⎩⎜⎢⎝⎣⎤ ⎡IA ⎥⎦ x − ⎢⎣N A⎤⎞0b ⎥⎟⎦⎠N bT ⎡⎢⎣⎤⎛⎡Q 0 00 Ŵ 0 ⎥⎜⎢⎦⎝⎣0 0 ˆλI⎤ ⎡IA ⎥⎦ x − ⎢⎣N A⎤⎞⎫0⎪⎬b ⎥⎟; (2.26)⎦⎠N⎪⎭ b(iii) (x,λ,γ) = (ˆx, ˆλ, ˆγ) é solução do sistema⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤−Q 0 0 I 0 0 0 τ 1 00 −Ŵ 0 0 I 0 0τ 200 0 −ˆλI 0 0 I 0τ 30I 0 0 0 0 0 Iγ 1=0. (2.27)0 I 0 0 0 0 Aγ 2b⎢ 0 0 I 0 0 0 N⎣A ⎥⎢γ ⎦⎣3 ⎥ ⎢N ⎦ ⎣ b ⎥⎦0 0 0 I A T NA T 0 x 0

13Se (Q + A T ŴA + ˆλN T A N A) é não singular, tem-se que ˆx é a única solução de (ii). Além disso,⎡ ⎤000(Q + A T ŴA + ˆλN AN T A ) −1 = −00⎢0⎥⎣ ⎦I⎤−Q 0 0 I 0 0 00 −Ŵ 0 0 I 0 00 0 −ˆλI 0 0 I 0I 0 0 0 0 0 I0 I 0 0 0 0 A⎢ 0 0 I 0 0 0 N⎣A ⎥⎦0 0 0 I A T NA T 0T ⎡−1 ⎡⎤0000.0⎢0⎥⎣ ⎦IProva: A partir do Lema 2.2.1, equação (2.19), obtém-se que(i) ⇔ (ii)ˆx = ( ˆQ + A T ŴA) −1 (A T Ŵb + ˆλN T AN b )= (Q + ˆλN T AN A + A T ŴA) −1 (A T Ŵb + ˆλN T AN b )que na forma de blocos matriciais pode ser escrita como⎛[ˆx = ⎝Q +A TN T A] ⎡ ⎤⎡⎤⎞−1 ⎣ Ŵ 0 ⎦⎣ A [⎦⎠A0 ˆλI TN AN T A] ⎡ ⎤⎡⎤⎣ Ŵ 0 ⎦⎣ b ⎦ , (2.28)0 ˆλI N bou de maneira compactaˆx = (Q + A T WA) −1 A T WB, (2.29)sendoA =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ A ⎦, B = ⎣ b ⎦ e W = ⎣ Ŵ 0 ⎦. (2.30)N A N b 0 ˆλIAssim,⎛ˆx = ⎝ [ ] ⎡I A T ⎣ Q 00 W⎤⎡⎦⎣ I A⎤⎞−1 [ ] ⎡I A T ⎣ Q 0⎦⎠0 W⎤⎡⎦⎣ 0 B⎤⎦. (2.31)Aplicando o Lema 2.1.2 na Equação (2.31), tem-seˆx ∈ arg minx{x T Qx + (Ax − B) T W(Ax − B)}. (2.32)

14(ii) ⇒ (iii) Substituindo-se as matrizes da equação (2.32) na Equação (2.8), com as identificações⎡⎤A ← ⎣ I ⎦, b ← ⎣ 0 ⎦ e W ←AB⎡⎤⎡⎣ Q 00 W⎤⎦, (2.33)sendo A, W e B dados por (2.30), obtém-se a equação (2.27).⋄2.3 O Método das Funções PenalidadeEsta seção trata do conceito de função penalidade sujeita a restrições lineares de igualdade.Mais detalhes sobre os resultados apresentados a seguir podem ser vistos em [35].Considere o problemamin{f(x)} (2.34)sujeito ax ∈ S (2.35)sendo f uma função contínua em R n e S ⊂ R n . O conjunto S é formado por restrições funcionaisfactíveis. A idéia fundamental do método de função penalidade é substituir o problema (2.34)-(2.35) por um problema irrestrito da formaminx{f(x) + cP(x)}, (2.36)sendo c uma constante positiva e P uma função em R n que satisfaz as seguintes condições(i) P é uma função contínua;(ii) P(x) ≥ 0,para todo x ∈ R n ;(iii) P(x) = 0 ⇔ x ∈ S.O procedimento para resolução do problema (2.34)-(2.35) pelo método de função penalidadeé definido como segue:(i) Seja {c k } ∞ k=1uma sequência de números reais tendendo ao infinito tal que para cada k,tem-se: c k > 0 e c k+1 > c k .

15(ii) Defina para cada c k a função q(c k ,x) = f(x) + c k P(x).(iii) Para cada k resolva o problema min x {q(c k ,x)}, obtendo uma solução x k .A convergência desse método é garantida pelos resultados apresentados a seguir que encontramseprovados em [35] .Lema 2.3.1 As seguintes relações são válidas(i) q(c k ,x k ) ≤ q(c k+1 ,x k+1 );(ii) P(x k ) ≥ P(x k+1 );(iii) f(x k ) ≤ f(x k+1 ).Lema 2.3.2 . Seja x ∗ uma solução para o problema (2.34)-(2.35). Então para cada kf(x ∗ ) ≥ q(c k ,x k ) ≥ f(x k ). (2.37)Teorema 2.3.1 Seja {x k } uma sequência gerada pelo método de penalidade. Então, qualquerponto limite da sequência é uma solução para (2.34)-(2.35).Considere agora o seguinte problemaˆx = arg minxx T V −1 x (2.38)sujeito aGx = u (2.39)sendo u e x vetores, V uma matriz definida positiva e G uma matriz retangular conhecida.O próximo resultado fornece expressões para soluções ótimas do problema de otimizaçãorestrito.Teorema 2.3.2 Sejam G ∈ R k×n e V > 0 ∈ R n×n . Considere o problema de otimização comrestriçãoˆx = arg minxx T V −1 x (2.40)sujeito aGx = u (2.41)

16sendo que u ∈ R k×1 . Associado ao problema com restrição (2.40)-(2.41) tem-se o seguinteproblema sem restriçãoˆx(µ) = arg minx( Gx − B) T V −1 (µ) ( Gx − B) (2.42)sendo⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤G = ⎣ I ⎦ , V −1 (µ) = ⎣ V −1 0⎦ e B = ⎣ 0 ⎦ , µ > 0. (2.43)G0 µ k I uEntão,o limite lim µk →∞ ˆx(µ)sempre existe e é igual alim ˆx(µ) =µ k →∞ ˆx0 (2.44)sendo ˆx 0 a solução de (2.40)-(2.41). Uma expressão para ˆx(µ k ) é dada por⎡⎤ˆx (µ) = ⎣ 0 ⎦I⎤⎣ V (µ) G ⎦G T 0T ⎡−1 ⎡⎤⎣ B ⎦ . (2.45)0Além disso, tem-se quelim ( Gˆx(µ) −µ k →∞ B)T V −1 (µ)(Gˆx(µ) − B) = (x 0 ) T V −1 x 0 . (2.46)Prova: A demonstração deste teorema é uma extensão dos resultados apresentados em [35]e resumidos nos lemas 2.3.1 e 2.3.2 e no Teorema 2.3.1.Considere o seguinte problema de otimização (2.38)-(2.39). Seja {µ k } ∞ k=1uma sequência denúmeros reais tal que para cada k,tem-se: µ k > 0; µ k+1 > µ k e lim k→∞ µ k = ∞. DefinaP(x) := (Gx − u) T (Gx − u). Observe que todas as condições da definição de função penalidadesão satisfeitas para a escolha acima de P(x).Defina então para cada µ k a função auxiliar q(µ k ,x) = f(x) + µ k P(x). Ou seja,q(µ k ,x) = x T V −1 x + µ k (Gx − u) T (Gx − u). (2.47)Para cada k considere o problema min x {q(µ k ,x)}. Note que o problema min x {q(µ k ,x)}admite uma única solução x k pois q(µ k ,x)é uma função estritamente convexa em x. Observe

17então que o problema min x {q(µ k ,x)} pode ser reescrito na formaˆx k := arg minx⎧⎛⎡⎪⎨⎪ ⎩⎤⎡⎤⎞⎝⎣ I ⎦ x − ⎣ 0 ⎦⎠G u⎤ ⎛⎡⎤ ⎡ ⎤⎞⎫⎣ V −1 0⎦ ⎝⎣ I ⎦ x − ⎣ 0 ⎪⎬⎦⎠0 µ k I G u⎪⎭T ⎡(2.48)e admite a seguinte solução⎡ ⎤0ˆx(µ k ) = ⎢0⎥⎣ ⎦I⎤V 0 I⎢0 µ⎣−1k I G⎥⎦I G T 0T ⎡−1 ⎡⎤0⎢u⎥⎣ ⎦ . (2.49)0Para cada k, consideremos a sequência de soluções {ˆx k } ∞ k=1. De acordo com o Teorema 2.3.1qualquer ponto limite da sequência {ˆx k } ∞ k=1é uma solução para o problema de minimização sobrestrição de igualdade definido acima. Então:⎡ ⎤0x o = ⎢0⎥⎣ ⎦I⎤V 0 I⎢0 0 G⎥⎣ ⎦I G T 0T ⎡−1 ⎡⎤0⎢u⎥⎣ ⎦ . (2.50)0Observe que a invertibilidade do bloco matricial acima permanece garantida mesmo queµ −1k→ 0 quando µ k → ∞. Do Teorema 2.3.1 temos ainda que µ k P(x k ) → 0quando µ k → ∞.Logo,limµ k →∞⎛⎛⎡⎤⎡⎤⎞⎜⎝⎝⎣ I ⎦ ˆx k − ⎣ 0 ⎦⎠G u⎤ ⎛⎡⎤ ⎡ ⎤⎞⎞⎣ V −1 0⎦ ⎝⎣ I ⎦ ˆx k − ⎣ 0 ⎦⎠⎟⎠ = (x 0 ) T V −1 x 0 . (2.51)0 µ k I G uT ⎡⋄

19Capítulo 3Estimativas Recursivas Ótimas para oModelo no Espaço de EstadoEste capítulo desenvolve o equacionamento do FK para o modelo no espaço de estado usual emostra que o filtro pode ser deduzido a partir dos procedimentos de otimização estabelecidos noCapítulo 2. Mostra-se que há equivalência entre as expressões matriciais para o FK apresentadasneste capítulo nas formas filtrada e preditora com as formas algébricas amplamente conhecidas[2] e [3].Ressalta-se que, embora as expressões deduzidas para as estimativas ótimas no espaço deestado sejam equivalentes às que aparecem frequentemente na literatura, a motivação destecapítulo está na abordagem desenvolvida para determiná-las.3.1 Estimativa Filtrada para o Modelo no Espaço de EstadoConsidere o seguinte sistema dinâmico discreto no tempox i+1= F i x i + w iz i+1 = H i+1 x i+1 + v i+1 , i ≥ 0 (3.1)sendo x i ∈ R n o vetor de estados, z i+1 ∈ R p a medida da saída, w i ∈ R m e v i+1 ∈ R p os erros deajuste presentes nas equações de estado e de medida, e F i ∈ R m×n e H i+1 ∈ R p×n as matrizesdo sistema.

20O estabelecimento do problema de filtragem recursiva ótima para o modelo (3.1) é dado daseguinte maneira. Suponha que no passo i tem-se a estimativa a priori do estado x i e denoteesta estimativa inicial por ˆx i|i . Suponha também que há uma matriz de ponderação definidapositiva P i|i para o erro de estimação (x i − ˆx i|i ). Para atualizar a estimativa de ˆx i|i para ˆx i+1|i+1propõe-se o seguinte problema de minimização⎡ ⎤T ⎡⎤⎡⎤x i − ˆx i|i P ⎧⎪ −1i|i0 0 0 x i − ˆx i|i) ⎨ w (ˆxi|i+1 , ˆx i+1|i+1 := arg mini0 Q −1i 0 0w ix i,x i+1 ⎢ v⎣ i+1 ⎥ ⎢ 0 0 R⎦ ⎣i+1 −1+0⎥⎢ v⎦⎣i+1 ⎥⎦⎪ ⎩ x i+1 0 0 0 0 x i+1⎛⎡ ⎤ ⎞T⎫x ⎡⎤i − ˆx i|i⎛⎡⎤⎞⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ F i I 0 −Iw⎦i− ⎣ −F iˆx i|i⎦µ i⎣ Θ 11 Θ ⎪⎬12⎦⎜⎢⎜ 0 0 I H⎝i+1 ⎢ v⎣ i+1 ⎥ z⎦ i+1 ⎟ Θ⎠ 21 Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟⎦⎠⎪⎭x i+1(3.2)sendo µ i > 0 e⎡⎤⎣ Θ 11 Θ 12⎦ ≥ 0.Θ 21 Θ 22Na sequência, encontra-se uma maneira equivalente de se escrever o problema (3.2). Estanova formulação é mais compacta, o que facilita a sua solução, através da aplicação direta doslemas apresentados no Capítulo 2.Lema 3.1.1 O problema de minimização (3.2) pode ser reescrito como⎧⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎪⎨min ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎦⎠ψ i ,x i+1 ⎪ ⎩ H i x i+1 Z iA i⎤ ⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎫⎣ P−1 i0⎦ ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎪⎬⎦⎠0 Ξ −1iA i H i x i+1 Z i⎪⎭ , (3.3)T ⎡sendo⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤A i := ⎣ F i I 0⎦, H i := ⎣ −I ⎦ , Z i := ⎣ −F iˆx i|i⎦ , P −1i:= ⎢0 0 I H i+1 z ⎣i+1P −1i|i0 00 Q −1i00 0 R −1i+1⎡ ⎤x i − ˆx i|i⎡ ⎤ψ i := ⎢ w⎣ i ⎥⎦ e Ξ−1 i:= µ i⎣ Θ 11 Θ 12⎦ . (3.4)Θ 22v i+1Θ 21⎤⎥⎦ ,

21⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡Prova: Considere as seguintes definições, X i := ⎣ ψ i⎦ e I := ⎣ I ⎦, e reescrevax i+1 0⎡ ⎤⎣ I [ ]⎦ Pi−1 I 0 . Assim, segue que0⎣ P−1 i0⎤⎦ como0 0[ψ T i x T i+1] ⎡ ⎣ I 0⎤⎦ P −1i[ ] ⎡ ⎤I 0 ⎣ ψ i⎦ = ( Xi T I ) Pi−1x i+1(I T X i). (3.5)Além disso, defina⎡ ⎤x⎡⎤i − ˆx i|i⎡⎣ F i I 0 −Iw⎦i−0 0 I H i+1 ⎢ v⎣ i+1 ⎥⎦x i+1⎤⎣ −F iˆx i|i⎦ :=z i+1[A iH i] ⎡ ⎣ ψ ix i+1⎤⎦ − Z i , (3.6)sendo A i , H i , ψ i e Z i dados por (3.4).Portanto, o seguinte problema de minimização equivalente a (3.3) é obtido⎧ ⎛⎪⎨(min XTx i,x i+1 ⎪ i I ) Pi−1 (I T )X i + ⎝ [ A i⎩] ⎡ ⎤ ⎞TH i⎣ ψ i⎦ − Z i⎠x i+1Ξ −1i⎛⎝ [ A i] ⎡ ⎤ ⎞⎫H i⎣ ψ ⎪⎬i⎦ − Z i⎠x i+1⎪⎭ . (3.7)[ ] ⎡ ⎤Como ψi T x T ⎣ I ⎦ = ψi+1 i T0, têm-se as seguintes igualdades entre as expressões⎛(XTi I ) Pi−1 (Xi I T) = ⎝ [ ] ⎡ ⎤⎞⎛ψi T x T ⎣ I ⎦⎠ P −1 ⎝ [ ] ⎡ ⎤⎞i+1 i I 0 ⎣ ψ i⎦⎠ = ψi T P−1 iψ i (3.8)0x i+1e o problema (3.7) torna-se⎧⎪⎨min ψi T ψ i,x i+1 ⎪ P−1 i ψ i +⎩⎛⎝ [ A i] ⎡ ⎤H i⎣ ψ i⎦ −x i+1⎡ ⎤⎞⎣ 0 ⎦⎠Z iTΞ −1i⎛⎝ [ A i] ⎡ ⎤H i⎣ ψ i⎦ −x i+1⎡ ⎤⎞⎫⎣ 0 ⎪⎬⎦⎠Z i⎪⎭(3.9)que, por sua vez, também equivale a (3.3).⋄O próximo resultado fornece expressões matriciais para as estimativas filtradas ótimas e paraa correspondente equação recursiva de Riccati, considerando o modelo no espaço de estado usual.

22Teorema 3.1.1 Considere o sistema (3.1) e o problema de minimização (3.3). Assim, tem-seque as estimativas recursivas filtradas ótimas ˆx i+1|i+1 e sua correspondente equação recursiva deRiccati são dadas respectivamente por⎡ ⎤00ˆx i+1|i+1 =⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i A i H i⎢ I A⎣T i 0 0 ⎥⎦0 Hi T 0 0T ⎡−1 ⎡⎤0Z i⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0(3.10)e⎡ ⎤00P i+1|i+1 = −⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i A i H i⎢ I A⎣T i 0 0 ⎥⎦0 Hi T 0 0T ⎡−1 ⎡⎤00, (3.11)⎢0⎥⎣ ⎦Isendo A i , H i , Z i , P i e Ξ i definidas por (3.4).Prova: O problema de minimização (3.3) pode ser reescrito comosendo A :=⎡ ⎤⎣ I 0 ⎦, x :=A i H iminx(Ax − b) T W (Ax − b) , (3.12)⎡ ⎤⎣ ψ i⎦ , b :=x i+1⎡ ⎤ ⎡⎣ 0 ⎦ e W :=Z i⎣ P−1 i00 Ξ −1iDessa forma, aplicando o item (iii) do Lema 2.1.2 obtém-se que ˆx i+1 é solução do seguintesistema matricial⎡ ⎡ ⎤⎣ P i 0⎦0 Ξ i⎡ ⎤⎢⎣ ⎣ I AT i⎦0 HiT⎡ ⎤⎤⎡⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ I 0 ⎦⎣ λ 1⎦⎣ 0 ⎦A i H i λ⎡ ⎤2 Z⎡ ⎤⎣ 0 0⎥⎢⎦ ⎦⎣⎣ ψ =i ⎡ ⎤i ⎥ ⎢⎦⎦⎣ ⎣ 0 . (3.13)⎥⎦ ⎦0 0 x i+1 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤Verificando que a inversa está bem definida em (3.13), uma vez que ⎣ P i 0⎦ ≥ 0, ⎣ I 0 ⎦0 Ξ i A i H i⎡⎤tem posto coluna pleno e ⎣ P i 0 I 0⎦ tem posto linha pleno para todo i, isto em decor-0 Ξ i A i H i⎤⎦.

23rência da presença das matrizes identidade em A i e H i (veja (3.4)), a expressão (3.10) paraˆx i+1|i+1 é obtida.Ainda pelo Lema 2.1.2, segue que a matriz P é definida como parte de x, ou seja,⎡⎤P := (A T WA) −1 = − ⎣ 0 ⎦I⎤⎣ W −1 A⎦A T 0T ⎡−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ (3.14)Ique, escrita em termo dos parâmetros originais do sistema, resulta em (3.11).⋄3.2 Estimativa Preditora para o Modelo no Espaço de EstadoConsidere o seguinte sistema dinâmico discreto no tempox i+1= F i x i + w iz i = H i x i + v i , (3.15)sendo x i ∈ R n o vetor de estados, z i ∈ R p a medida da saída, w i ∈ R m e v i ∈ R p os erros deajuste presentes nas equações de estado e de medida, e F i ∈ R m×n e H i ∈ R p×n as matrizes dosistema.O problema de predição ótima é encontrar ˆx i+1|i tal que⎡ ⎤T ⎡⎤⎡⎤x i − ˆx i|i−1 P ⎧⎪ −1i|i−10 0 0 x i − ˆx i|i−1) ⎨ w (ˆxi|i , ˆx i+1|i := arg mini0 Q −1i 0 0w ix i,x i+1 ⎢ v⎣ i ⎥ ⎢ 0 0 R⎦ ⎣i −1+0⎥⎢v⎦⎣i ⎥⎦⎪ ⎩ x i+1 0 0 0 0 x i+1⎛⎡ ⎤⎞T⎫x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤i − ˆx i|i−1⎛⎡⎤⎞⎡ ⎤− ⎣−F iˆx i|i−1⎦ + ⎣ F i I 0 −Iw⎦iµ i⎣ Θ 11 Θ ⎪⎬12⎦⎜⎢⎜ −H⎝ iˆx i|i−1 + z i H i 0 I 0 ⎢ v⎣ i ⎥⎟Θ⎦⎠21 Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟. (3.16)⎦⎠⎪⎭x i+1A solução de (3.16) é obtida seguindo o mesmo procedimento desenvolvido para a formulaçãofiltrada. A única diferença está no rearranjo das matrizes. O próximo resultado é consequênciadireta do Teorema 3.1.1.Corolário 3.2.1 Considere o sistema (3.15) e o problema de minimização (3.16). As estimati-

24vas preditoras recursivas ótimas ˆx i+1|i e a correspondente equação recursiva de Riccati são dadasrespectivamente por⎡ ⎤00ˆx i+1|i =⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i D i L i⎢ I D⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 L T i 0 0T ⎡−1 ⎡⎤0Z i, (3.17)⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0e a correspondente equação recursiva de Riccati⎡ ⎤00P i+1|i = −⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i D i L i⎢ I D⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 L T i 0 0T ⎡−1 ⎡⎤00, (3.18)⎢0⎥⎣ ⎦Isendo⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤D i := ⎣ F i I 0⎦ , L i := ⎣ −I ⎦,Z i := ⎣−F Piˆx i|i−1 0 0i|i−1⎦ e P i := ⎢ 0 QH i 0 I 0 −H iˆx i|i−1 + z ⎣ i 0 ⎥⎦ . (3.19)i0 0 R iProva: O problema de minimização (3.16) pode ser reescrito na forma (3.12), sendoA :=⎡ ⎤⎣ I 0 ⎦ ,x :=D i L i⎡ ⎤⎣ ψ i⎦ , b :=x i+1⎡ ⎤ ⎡⎣ 0 ⎦ e W :=Z i⎣ P−1 i00 Ξ −1i⎤⎦ .Dessa forma, aplicando o item (iii) do Lema 2.1.2 obtém-se que ˆx i+1 é solução do seguintesistema matricial⎡ ⎡ ⎤⎣ P i 0⎦0 Ξ i ⎡ ⎤⎢⎣ ⎣ I DT i⎦0 L T i⎡ ⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ I 0 ⎦⎣ λ 1⎦⎣ 0 ⎦D i L i λ⎡ ⎤2 Z⎣ 0 0⎡ ⎤⎥ ⎢⎦ ⎦ ⎣⎣ ψ =i ⎡ ⎤i ⎥ ⎢⎦⎦⎣ ⎣ 0 . (3.20)⎥⎦ ⎦0 0 x i+1 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤Verificando que a inversa está bem definida em (3.20), uma vez que ⎣ P i 0⎦ ≥ 0, ⎣ I 0 ⎦0 Ξ i D i L i

25⎡⎤tem posto coluna pleno e ⎣ P i 0 I 0⎦ tem posto linha pleno para todo i, isto em decorrênciada presença das matrizes identidade em D i e L i (veja (3.19)), a expressão (3.17) para0 Ξ i D i L iˆx i+1|i é obtida.Ainda pelo Lema 2.1.2, segue que a matriz P é definida como parte de ˆx que, escrita emtermos dos parâmetros originais do sistema, resulta em (3.18).⋄3.3 Expressões Equivalentes para as Estimativas Recursivas ÓtimasNesta seção serão mostradas equivalências entre as expressões das estimativas filtradas epreditoras e correspondentes recursões de Riccati obtidas previamente neste capítulo, com aquelascomumente encontradas na literatura (veja [2] e [3]). Para isto, os limites lim µi →∞ ˆx, ou de formaequivalente lim Ξi →0 ˆx, serão tomados de acordo com a teoria de funções penalidade, desenvolvidana Seção 2.3 do Capítulo 2.Teorema 3.3.1 Sejam ˆx i+1|i+1 e P i+1|i+1 dadas por (3.10) e (3.11), respectivamente. Então,tem-se que tais expressões podem ser reescritas comoˆx i+1|i+1:= P i+1|i+1 (F i P i|i F Ti + Q i ) −1 F iˆx i|i + P i+1|i+1 H T i+1 R−1 i+1 z i+1 (3.21)eP i+1|i+1 :=( (FiP i|i F Ti + Q i) −1+ HTi+1 R −1i+1 H i+1) −1. (3.22)Prova: A recursão ˆx i+1|i+1 é dada por (3.10), se e somente se, o seguinte sistema de equaçõestiver uma única solução⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤P i|i 0 I 0 a 00 0 A i H ibZ ⎢ I A⎣T =i. (3.23)i 0 0 ⎥⎢c ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦⎣⎦ ⎣ ⎦0 Hi T 0 0 x i+1 0

26Esta equação matricial equivale ao seguinte conjunto de equações⎧⎧P i|i a + c = 0 c = −P i|i a⎪⎨ A i c + H i x i+1 = Z⎪⎨ i H i x i+1 = Z i − A i c⇒a + A T i b = 0 a = −A T i b⎪⎩ Hi Tb = 0 ⎪⎩ Hi T⎧⎧b = 0c = P i|i A T i bc = P i|i A T i b⎪⎨ H i x i+1 = Z i + A i P i|i a⎪⎨ H i x i+1 = Z i − A i P i|i A T i⇒⇒b .a = −A T i ba = −A T i b⎪⎩ Hi Tb = 0 ⎪⎩ Hi Tb = 0Como os parâmetros {a,c} podem ser escritos em termos de b e x i+1 , o sistema (3.23) temsolução se e somente se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ A iP i|i A T i H i⎦ ⎣ b ⎦ = ⎣ Z i⎦ (3.24)Hi T 0 x i+1 0tem solução. Utilizando o Lema 2.1.1 do Capítulo 2 segue que x i+1 é dado porˆx i+1|i+1 = ( H T i (A i P i|i A T i ) −1 H i) −1HTi (A i P i|i A T i ) −1 Z i (3.25)que escrito em termos dos parâmetros originais,⎡⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤A i := ⎣ F i I 0⎦, H i := ⎣ −I ⎦,Z i := ⎣ −F P i|i 0 0iˆx i|i⎦ e P i|i := ⎢ 0 Q0 0 I H i+1 z i+1⎣ i 0 ⎥⎦0 0 R i+1torna-se (3.21). A recursão P i+1|i+1 é definida como parte de ˆx i+1|i+1 , ou seja, (3.22) é obtida.⋄Teorema 3.3.2 Sejam ˆx i+1|i e P i+1|i dadas por (3.17) e (3.18), respectivamente. Então, tem-seque tais estimativas podem ser reescritas comoˆx i+1|i= P i+1|i ((F i P i|i−1 F Ti+ P i+1|i ((F i P i|i−1 F Ti+ Q i ) −1 − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 H i P i|i−1 F Ti ) −1 F îx i|i−1+ Q i ) −1 − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T i ) −1 H i P i|i−1 F Ti ) −1× F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T i )−1 (z i − H îx i|i−1 ) (3.26)eP i+1|i := (F i P i|i−1 F Ti+ Q i ) −1 − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 H i P i|i−1 F Ti . (3.27)

27Prova: A recursão ˆx i+1|i é dada por (3.10) se e somente se o sistema (3.28) tem uma únicasolução⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤P i|i 0 I 0 a 00 0 D i L ibZ ⎢ I D⎣i T =i. (3.28)0 0 ⎥⎢c ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦⎣⎦ ⎣ ⎦0 L T i 0 0 x i+1 0Esta equação matricial equivale ao seguinte conjunto de equações⎧⎧⎧⎧P i|i a + c = 0 c = −P i|i a c = P i|i Di Tbc = P i|i Di Tb⎪⎨ D i c + L i x i+1 = Z⎪⎨ i Lx i+1 = Z i − D i c⎪⎨ Hx i+1 = Z i + D i P i|i a⎪⎨ Lx i+1 = Z i − D i P i|i Di Ta + Di Tb = 0⇒a = −Di Tb⇒a = −Di Tb⇒ba = −Di Tb.⎪⎩ L T i b = 0 ⎪⎩ L T i b = 0 ⎪⎩ L T i b = 0 ⎪⎩ L T i b = 0Como os parâmetros {a,c} podem ser escritos em termos de b e x i+1 , o sistema (3.28) temsolução se e somente se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ D iP i|i−1 DiT L⎦ ⎣ b ⎦ = ⎣ Z i⎦ (3.29)L T 0 x i+1 0tem solução.Utilizando o Lema 2.1.1 do Capítulo 2 segue que x i+1 é dado porˆx i+1|i = ( L T i (D iP i|i−1 D T i )−1 L i) −1LTi (D i P i|i−1 D T i )−1 Z i (3.30)que escrito em termos dos parâmetros originais⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤D i := ⎣ F i I 0⎦ , L i := ⎣ −I ⎦ , Z i := ⎣−F Piˆx i|i−1 0 0i|i−1⎦ e P i := ⎢ 0 QH i 0 I 0 −H iˆx i|i−1 + z ⎣ i 0 ⎥⎦i0 0 R itorna-se (3.26). A recursão P i+1|i é definida como parte de ˆx i+1|i , isto é, (3.27).⋄Observação 1 Note a complexidade tomada pelas expressões das estimativas ótimas e recursõesde Riccati após serem feitas as reduções das formas matriciais, principalmente considerando ocaso preditor. Este fato mostra uma vantagem do método proposto nesta tese, principalmentequando a classe de sistemas singulares é considerada (veja para maiores detalhes o Capítulo 4).

29Capítulo 4Estimativas Recursivas Ótimas para oModelo Singular NominalNeste capítulo serão considerados filtros nominais para modelos no espaço de semi-estado,denominados filtros singulares nominais (FSNs). Serão obtidas estimativas ótimas nas formasfiltrada e preditora, por meio das seguintes técnicas de otimização: mínimos quadrados ponderadose funções penalidades. Os resultados deste capítulo mostram que os filtros apresentadossão equivalentes aos filtros obtidos em [5]. O FSN apresentado neste capítulo é análogo aoapresentado em [6] e [25]. A principal diferença entre os dois procedimentos utilizados nas respectivasdeduções está relacionada com o método para incorporar as restrições no funcional aser minimizado. Na abordagem desenvolvida neste capítulo, as restrições são incorporadas deforma quadrática utilizando o termo denominado função penalidade, enquanto em [6] e [25] asrestrições são incorporadas via multiplicadores de Lagrange.4.1 Estimativa Filtrada para Sistemas Singulares NominaisConsidere o seguinte sistema dinâmico singular discreto no tempoE i+1 x i+1 = F i x i + G w,i w i + G v,i+1 v i+1z i+1 = H i+1 x i+1 + J i x i + K w,i w i + K v,i+1 v i+1 , i ≥ 0 (4.1)sendo x i ∈ R n a variável singular, z i ∈ R p a medida da saída, w i ∈ R m e v i ∈ R p os ruídospresentes no estado e na medida, E i+1 ∈ R m×n , F i ∈ R m×n , H i+1 ∈ R p×n , G w,i ∈ R m×m ,

30G v,i+1 ∈ R m×p , K w,i ∈ R p×m e K v,i+1 ∈ R p×p as matrizes do sistema nominal e J i ∈ R m×n é amatriz que representa o termo de atraso na equação de saída.O problema de filtragem ótima é encontrar ˆx i+1|i+1 , tal que⎤T ⎡⎡⎤−1⎤ ⎡ ⎤x i − ˆx i|iP i|i 0 0 x i − ˆx i|i) w i(ˆxi|i+1 , ˆx i+1|i+1 := arg min⎢ 0 Q ⎣ i S i ⎥ 0w⎦i⎢ v⎣ i+1 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 Si T R i+1⎥ ⎢ v⎦ ⎣ i+1 ⎥⎦x i+10 0 x i+1⎛⎡ ⎤ ⎞Tx ⎡⎤i − ˆx ⎛⎡⎤⎞i|i⎡ ⎤⎡ ⎤+⎣ F i G w,i G v,i+1 −E i+1w⎦i− ⎣ −F iˆx i|i⎦µ i⎣ Θ 11 Θ 12⎦⎜⎢⎜ J⎝ i K w,i K v,i+1 H i+1 ⎢ v⎣ i+1 ⎥ z⎦ i+1 ⎟ Θ⎠ 21 Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟⎦⎠ , (4.2)sendo µ i > 0 e⎡ ⎤⎣ Θ 11 Θ 12⎦ ≥ 0.Θ 21 Θ 22⎡x i,x i+1⎢x i+1Note que o problema de minimização (4.2) possui a mesma estrutura do problema (3.2).Sendo assim, a forma equivalente de se escrever o problema (3.2) apresentada no Lema 3.1.1,também pode ser desenvolvida para o caso singular nominal. Nesta nova formulação, segue⎧⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎪⎨min ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎦⎠ψ i ,x i+1 ⎪ ⎩ N i x i+1 Z iC i⎤ ⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎫⎣ P−1 i0⎦ ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎪⎬⎦⎠0 Ξ −1iC i N i x i+1 Z i⎪⎭ , (4.3)T ⎡sendo que as identificações (3.4) tornam-se⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤C i := ⎣ F i G w,i G v,i+1⎦,N i := ⎣ −E i+1⎦ , Z i := ⎣ −F P i|i 0 0iˆx i|i⎦,P −1i := ⎢ 0 QJ i K w,i K v,i+1 H i+1 z i+1⎣ i S i ⎥⎦0 Si T R i+1⎡ ⎤⎡ ⎤−1Ξ i := µ −1 ⎣ Θ x11 Θ i − ˆx i|i12⎦ie ψ i := ⎢ wΘ 22⎣ i ⎥⎦Θ 21v i+1−1,(4.4)Como consequência deste novo arranjo para o problema (4.2), o seguinte resultado, que forneceexpressões para as estimativas filtradas singulares nominais com a correspondente equaçãorecursiva de Riccati, é obtido.Teorema 4.1.1 Considere o sistema (4.1) e o problema de minimização (4.2). Assuma que as

31seguintes hipóteses sejam satisfeitasH 1] [C i N i tem posto linha pleno para todo i;H 2 N i tem posto coluna pleno para todo i, para uma dada sequência {z 0 ,z 1 ,...,z i+1 }.Assim, tem-se que as estimativas filtradas singulares recursivas ótimas e sua correspondenteequação recursiva de Riccati são dadas respectivamente por⎡ ⎤00ˆx i+1|i+1 =⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i C i N i⎢ I C⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 Ni T 0 0T ⎡−1 ⎡ˆX i|i⎤Z i⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0(4.5)e⎡ ⎤00P i+1|i+1 = −⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i C i N i⎢ I C⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 Ni T 0 0T ⎡sendo C i , N i , Z i , Ξ i e P i dadas por (4.4).−1 ⎡Prova: O problema de minimização (4.2) pode ser reescrito como (3.12), sendoA :=⎡⎤⎣ I 0 ⎦ , x :=C i N i⎡⎣ ψ ix i+1⎤⎦, b :=⎡ ⎤ ⎡⎣ 0 ⎦ e W :=Z i⎤00, (4.6)⎢0⎥⎣ ⎦I⎣ P−1 i00 Ξ −1i⎤⎦ .Aplicando o item (iii) do Lema 2.1.2, tem-se que ˆx i+1 é solução do sistema matricial⎡ ⎡ ⎤⎣ P i 0⎦0 Ξ i ⎡ ⎤⎢⎣⎣ I CT i⎦0 NiT⎡ ⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ I 0 ⎦⎣ λ 1⎦⎣ 0 ⎦C i N i λ⎡ ⎤2 Z⎣ 0 0⎡ ⎤⎥ ⎢⎦ ⎦ ⎣⎣ ψ =i ⎡ ⎤i ⎥ ⎢⎦⎦⎣ ⎣ 0 . (4.7)⎥⎦ ⎦0 0 x i+1 0Por meio da segunda linha de (4.7), obtém-se queΞ i λ 2 + C i ψ i + N i x i+1 = Z i ⇒ Ξ i λ 2 + C i φ i + N i x i+1 = Z i , (4.8)

32⎡ ⎤x i⎡ ⎤sendo φ i := ⎢ w⎣ i ⎥⎦ e Z i := ⎣ 0 ⎦.z i+1v i+1Além disso, através⎡ ⎤da primeira linha de (4.7), a equação P i λ 1 + ψ i = 0 torna-se P i λ 1 + φ i =ˆx i|iˆX i|i , sendo ˆX i|i = ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦ .0Logo, o sistema (4.7) equivale a⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤P i 0 I 0 λ 1ˆX i|i0 Ξ i C i N iλ 2Z ⎢ I C⎣ i T =i. (4.9)0 0 ⎥⎢φ⎦⎣i ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦0 Ni T 0 0 x i+1 0Assumindo que as hipóteses H 1 e H 2 são satisfeitas, pelo Lema 1 , a matriz à esquerdade (4.9) é não singular e a solução ótima é dada por (4.5). Definindo P i+1|i+1 como parte deˆx i+1|i+1 , a equação (2.9) do Lema 2.1.2 resulta em (4.6).⋄Observação 2 Através da solução de (4.2) tem-se que as estimativas suavizadas podem serobtidas como⎡ ⎤0000ˆx i|i+1 :=0I0⎢0⎥⎣ ⎦0⎤P i|i 0 0 0 0 I 0 0 00 Q i S i 0 0 0 I 0 00 S T i R i+1 0 0 0 0 I 00 0 0 0 0 F i G w,i G v,i+1 −E i+10 0 0 0 0 J i K w,i K v,i+1 H i+1I 0 0 F i T Ji T 0 0 0 00 I 0 G T w,i Kw,i T 0 0 0 0⎢ 0 0 I G⎣T v,i+1 Kv,i+1 T 0 0 0 0 ⎥⎦0 0 0 −Ei+1 T Hi+1 T 0 0 0 0T ⎡⎡ ⎤ˆxuma vez que ˆφ i|i+1i|i+1 = ⎢ ŵ⎣ i|i+1 ⎥⎦ .ˆv i+1|i+11 Lema [40] Sejam A ∈ R n×n e B ∈ R n×m com A ≥ 0. Tem-se quetem posto coluna pleno e ˆAB˜ tem posto linha pleno.−1 ⎡ˆx i|i00000⎢ 0⎣0z i+1⎤, (4.10)⎥⎦» – A BB T é invertível se e somente se B0

334.2 Estimativa Preditora para Sistemas Singulares NominaisConsidere o seguinte sistema dinâmico singular discreto no tempoE i+1 x i+1= F i x i + G i ν iz i = H i x i + K i ν i , i ≥ 0 (4.11)sendo x i ∈ R n a variável singular, z i ∈ R p a medida da saída, w i ∈ R m e v i ∈ R p os ruídospresentes no estado e na medida, E i+1 ∈ R m×n , F i ∈ R m×n , H i ∈ R p×n , as matrizes do sistemanominal e⎡ ⎤ ⎡⎣ G i⎦ := ⎣ G w,iK iK w,i⎤ ⎡ ⎤G v,i⎦ e ν i := ⎣ w i⎦ . (4.12)K v,i v iO estabelecimento do problema de predição para sistemas nominais segue a mesma linhadesenvolvida para o caso filtrado. Suponha que no passo i − 1 tem-se a estimativa a priorido estado x i e denote esta estimativa inicial por ˆx i|i−1 . Suponha também que há uma matrizde ponderação definida positiva P i|i−1 para o erro de estimação (x i − ˆx i|i−1 ). Para atualizar aestimativa de ˆx i|i−1 para ˆx i+1|i , propõe-se o seguinte problema de minimização⎡ ⎤T ⎡⎡⎤−1⎤⎡⎤⎧⎪ x) ⎨ i − ˆx i|i−1⎣ P i|i−1 0 x⎦ 0i − ˆx i|i−1(ˆxi|i , ˆx i+1|i := arg min ⎢ νx i,x i+1 ⎣ i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 R i⎥⎢ν⎦⎣i ⎥⎦⎪ ⎩ x i+10 0 x i+1⎛⎡ ⎤⎞T⎛⎡⎤⎞⎫⎡⎤+ ⎜⎣ F xi G i −E i − ˆx i|i−1⎡ ⎤ ⎡ ⎤i+1⎦⎢ ν⎝ H i K i 0 ⎣ i ⎥⎦ − ⎣−F iˆx i|i−1⎦⎟ µ i⎣ Θ 11 Θ ⎪⎬12⎦⎜⎢−H iˆx i|i−1 + z i⎠ Θ 21 Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟, (4.13)⎦⎠⎪⎭x i+1sendo que ν i , G i e K i são definidos por (4.12) e R i := ⎣ Q i⎡S T i⎤S i⎦ .R iO próximo resultado auxiliar apresenta uma maneira alternativa de escrever o problema deminimização acima proposto.Lema 4.2.1 O problema de minimização (4.13) pode ser reescrito como⎧⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎪⎨min ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎦⎠ψ i ,x i+1 ⎪ ⎩ M i x i+1 Z iB i⎤ ⎛⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞⎫⎣ P−1 i0⎦ ⎝⎣ I 0 ⎦ ⎣ ψ i⎦ − ⎣ 0 ⎪⎬⎦⎠0 Ξ −1iB i M i x i+1 Z i⎪⎭ (4.14)T ⎡

34sendo⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤B i := ⎣ F i G i⎦ , M i := ⎣ −E i+1⎦ , Z i := ⎣−F ˆx i|i−1⎦ ,ψ i := ⎣ x i − ˆx i|i−1⎦ eH i K i 0−Hˆx i|i−1 + z i ν i⎡ ⎤ ⎡ ⎤P i := ⎣ P i|i−1 0⎦ , Ξ −1i:= µ i⎣ Θ 11 Θ 12⎦ . (4.15)0 R i Θ 22Θ 21⋄A prova deste resultado é análoga à demonstração feita para o Lema 3.1.1, no qual umacompactação dos termos matriciais foi realizada, para facilitar a aplicação dos lemas do Capítulo2 . Por este motivo, a prova foi omitida.A seguir, será apresentado um resultado que fornece expressões para as estimativas preditorasótimas nominais.Teorema 4.2.1 As estimativas recursivas ótimas ˆx i+1|i resultantes da solução do problema (4.13)e sua correspondente equação recursiva de Riccati, podem ser obtidas alternativamente atravésdas seguintes recursõesesendo Z i :=⎡ ⎤00ˆx i+1|i =⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i 0 I 00 Ξ i B i M i⎢ I B⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 M T i 0 0T ⎡⎡ ⎤00P i+1|i = −⎢0⎥⎣ ⎦I⎡ ⎤ ⎡⎣ 0 ⎦, ˆX i|i−1 :=z ihipóteses sejam satisfeitas⎣ˆx i|i−10⎤T ⎡−1 ⎡ˆX i|i−1⎢⎣⎤P i 0 I 00 Ξ i B i M i⎢ I B⎣ i T 0 0 ⎥⎦0 M T i 0 0Z i00−1 ⎡⎤, (4.16)⎥⎦⎤00, (4.17)⎢0⎥⎣ ⎦I⎦ e B i , M i , P i dadas por (4.15), contanto que as seguintesH 3] [B i M i tem posto linha pleno para todo i;

35H 4 M i tem posto coluna pleno para todo i, e é dada uma sequência {z 0 ,z 1 ,...,z i }.Prova: O problema de minimização (4.14) pode ser reescrito como (3.12), sendoA :=⎡ ⎤⎣ I 0 ⎦ , x :=B i M i⎡ ⎤⎣ ψ i⎦ , b :=x i+1⎡ ⎤ ⎡⎣ 0 ⎦ e W :=Z i⎣ P−1 i00 Ξ −1i⎤⎦ .Aplicando o item (iii) do Lema 2.1.2, tem-se que ˆx i+1 é solução do sistema matricial⎡ ⎡ ⎤⎣ P i 0⎦0 Ξ i ⎡ ⎤⎢⎣⎣ I BT i⎦0 M T i⎡ ⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ I 0 ⎦⎣ λ 1⎦⎣ 0 ⎦B i M i λ⎡ ⎤2 Z⎣ 0 0⎡ ⎤⎥ ⎢⎦ ⎦ ⎣⎣ ψ =i ⎡ ⎤i ⎥ ⎢⎦⎦⎣ ⎣ 0 . (4.18)⎥⎦ ⎦0 0 x i+1 0Através da segunda linha de (4.18), obtém-se que⎡ ⎤x isendo φ i := ⎢w ⎣ i ⎥⎦ e Z i :=v iP i λ 1 + ψ i = 0 torna-sesendo ˆX i|i−1 = ⎢⎣Ξ i λ 2 + B i ψ i + M i x i+1 = Z i ⇒ Ξ i λ 2 + B i φ i + M i x i+1 = Z i , (4.19)⎡ˆx i|i−100⎤⎥⎦ .Logo, o sistema (4.18) equivale a⎡ ⎤⎣ 0 ⎦. Além disso, através da primeira linha de (4.18), a equaçãoz iP i λ 1 + φ i = ˆX i|i−1 ,⎡⎤⎡⎤ ⎡P i 0 I 0 λ 10 Ξ i B i M iλ 2⎢ I B⎣ i T =0 0 ⎥⎢φ⎦⎣i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 M T i 0 0 x i+1ˆX i|i−1Z i00⎤. (4.20)⎥⎦Assumindo que as hipóteses H 3 e H 4 são satisfeitas, a matriz a esquerda de (4.20) é nãosingular e a solução ótima dada por (4.16). Definindo P i+1|i como parte de ˆx i+1|i , a equação(2.9) do Lema 2.1.2 resulta em (4.17). ⋄

364.3 Casos Particulares das Estimativas Recursivas ÓtimasConsiderando lim Ξi →0, que equivale a tomar lim µi →∞, através da aplicação da teoria defunções penalidade (veja para maiores detalhes a Seção 2.3 do Capítulo 2), nas equações (4.5)-(4.6) e (4.16)-(4.17), têm-se que os FSNs apresentados nas Seções 4.1 e 4.2 recaem nos filtrospropostos em [5] que, escritos em termos dos parâmetros do sistema (4.1), tornam-se][ˆx i+1|i+1 P i+1|i+1:=⎡ ⎤T ⎡⎤0 P i|i 0 0 0 0 I 0 0 000 Q i S i 0 0 0 I 0 000 S T i R i+1 0 0 0 0 I 000 0 0 0 0 F i G w,i G v,i+1 −E i+100 0 0 0 0 J i K w,i K v,i+1 H i+10I 0 0 F i T J T i 0 0 0 000 I 0 G T w,i Kw,i T 0 0 0 0⎢0⎥⎢ 0 0 I G⎣ ⎦ ⎣T v,i+1 Kv,i+1 T 0 0 0 0 ⎥⎦I 0 0 0 −Ei+1 T Hi+1 T 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i 00 00 00 0z i+1 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −I(4.21)e][ˆx i+1|i P i+1|i:=⎡ ⎤T ⎡⎤0 P i|i−1 0 0 0 0 I 0 0 000 Q i S i 0 0 0 I 0 000 S T i R i 0 0 0 0 I 000 0 0 0 0 F i G w,i G v,i −E i+100 0 0 0 0 H i K w,i K v,i 00I 0 0 F i T H T i 0 0 0 000 I 0 G T w,i Kw,i T 0 0 0 0⎢0⎥⎢ 0 0 I G⎣ ⎦ ⎣T v,i Kv,i T 0 0 0 0 ⎥⎦I 0 0 0 −Ei+1 T 0 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i−1 00 00 00 0z i 0. (4.22)0 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −IA fim de comparar o Corolário 4.1.1 com os resultados encontrados na literatura, adote J i = 0na estimativa filtrada e G w,i = G i , G v,i = 0, K w,i = 0 e K v,i = I para todo i, considerando oscasos filtrado e preditor.Os próximos resultados mostram que há equivalência entre os filtros obtidos nas seções anterioresdeste capítulo, com os deduzidos por [28] e [40] que, por sua vez, podem ser reduzidosàs formas encontradas em [14].

37⎡ ⎤]Lema 4.3.1 Suponha que[F i G i tem posto linha pleno e ⎣ E i+1⎦ tem posto coluna pleno paraH i+1todo i. Então, pode-se reescrever][ˆx i+1|i+1 P i+1|i+1:=⎡ ⎤T ⎡⎤0 P i|i 0 0 0 0 I 0 0 000 Q i S i 0 0 0 I 0 000 S T i R i+1 0 0 0 0 I 000 0 0 0 0 F i G i 0 −E i+100 0 0 0 0 0 0 I H i+10I 0 0 F Ti 0 0 0 0 000 I 0 G T i 0 0 0 0 0⎢0⎥⎢ 0 0 I 0 I 0 0 0 0 ⎥⎣ ⎦ ⎣⎦I 0 0 0 −Ei+1 T Hi+1 T 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i 00 00 00 0z i+1 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −I(4.23)como⎡][ˆx i+1|i+1 P i+1|i+1:= ⎢⎣00I⎤T ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣F i P i|i F Ti + G i Q i G T i −G i S i E i+1−S T i GT i R i+1 H i+1E T i+1 H T i+1 0⎤⎥⎦−1 ⎡⎢⎣F iˆx i|i 0z i+1 00 −I⎤⎥⎦ (4.24)ou, de forma equivalente, quando S i = 0 comoˆx i+1|i+1 := P i+1|i+1 E T i+1(F i P i|i F Ti + G i Q i G T i ) −1 F iˆx i|i + P i+1|i+1 H T i+1R −1i+1 z i+1 (4.25)eP i+1|i+1 := (E T i+1(F i P i|i F Ti + G i Q i G T i ) −1 E i+1 + H T i+1R −1i+1 H i+1) −1 . (4.26)Prova: Se ˆx i+1|i+1 é dado por (4.23), segue que x i+1 é solução do seguinte sistema matricial⎡⎤⎡⎤ ⎡P i|i 0 0 0 0 I 0 0 0 λ 10 Q i S i 0 0 0 I 0 0λ 20 S i T R i+1 0 0 0 0 I 0λ 30 0 0 0 0 F i G i 0 −E i+1λ 40 0 0 0 0 0 0 I H i+1λ 5=I 0 0 F i T0 0 0 0 0x i0 I 0 G T i 0 0 0 0 0w i⎢ 0 0 I 0 I 0 0 0 0 ⎥⎢v ⎣⎦⎣i+1 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 0 −Ei+1 T Hi+1 T 0 0 0 0 x i+1ˆx i|i000z i+10000⎤. (4.27)⎥⎦

38A partir da primeira e segunda linha de (4.27), tem-se que⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ P i|i 0⎦ ⎣ λ 1⎦ + ⎣ 0 ⎦ λ 3 + ⎣ x i⎦ = ⎣ˆx i|i⎦ , (4.28)0 Q i λ 2 S i w i 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤e a partir da sexta e sétima linhas segue que ⎣ λ 1⎦ = − ⎣ F i Tλ4⎦ . Substituindo ⎣ λ 1⎦ na equaçãoλ 2 G T i λ 4λ 2(4.28) obtém-se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ P i|i 0⎦ ⎣ −F i Tλ4⎦ + ⎣ 0 ⎦ λ 3 + ⎣ x i⎦ = ⎣ˆx i|i⎦0 Q i −G T i λ 4 S i w i 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ⎣ −P i|iFi Tλ4⎦ + ⎣ 0 ⎦ λ 3 + ⎣ x i⎦ = ⎣ˆx i|i⎦ . (4.29)−Q i G T i λ 4 S i w i 0Agora, considere a quarta linha de (4.27)[F i] ⎡ ⎤G i⎣ x i⎦ − E i+1 x i+1 = 0. (4.30)w iPor (4.29) tem-se queFazendo a substituição do vetor⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ x i⎦ = ⎣ P i|iFi Tλ4 + ˆx i|i⎦ − ⎣ 0 ⎦ λ 3 . (4.31)w i Q i G T i λ 4 S i⎡⎣ x iw i⎤⎦ em (4.30) pela equação (4.31), obtém-se] [F ⎡ ⎤i G i⎣ P i|iFi Tλ4 + ˆx i|i⎦ − E i+1 x i+1 = 0Q i G T i λ 4 − S i λ 3⇒ F i P i|i F Ti λ 4 + G i Q i G T i λ 4 − G i S i λ 3 − E i+1 x i+1 = −F iˆx i|i⇒ −(F i P i|i F Ti + G i Q i G T i )λ 4 + G i S i λ 3 + E i+1 x i+1 = F iˆx i|i . (4.32)

39Tem-se também a partir da terceira, quinta e oitava linhas de (4.27), respectivamente, queS T i λ 2 + R i+1 λ 3 + v i+1 = 0 (4.33)v i+1 = −H i+1 x i+1 + z i+1 (4.34)λ 3 = −λ 5 . (4.35)Substituindo (4.34) em (4.33) e λ 2 por −G T i λ 4 obtém-se− S T i GT i λ 4 + R i+1 λ 3 − H i+1 x i+1 = −z i+1 ⇒ S T i GT i λ 4 − R i+1 λ 3 + H i+1 x i+1 = z i+1 . (4.36)Considerando a equação −E T i+1 λ 4 + H T i+1 λ 5 = 0, obtida a partir da última linha de (4.27),segue que substituindo λ 3 por −λ 5 dado em (4.35), tem-se− E T i+1λ 4 − H T i+1λ 3 = 0. (4.37)Escrevendo (4.32), (4.36) e (4.37) em forma matricial, obtém-se⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤F i P i|i Fi T + G i Q i G T −G i S i E i+1 −λ 4 F iˆx i|i⎢ −S⎣ i T GT i R i+1 H i+1 ⎥ ⎢−λ ⎦ ⎣ 3 ⎥⎦ = ⎢ z⎣ i+1 ⎥⎦ . (4.38)Ei+1 T Hi+1 T 0 x i+1 0]Como, por hipótese,[F i G i tem posto linha pleno para todo i, segue que a matriz àesquerda de (4.38) é não singular. Sendo assim, ˆx i+1|i+1 é dado por (4.24).A demonstração que P i+1|i+1 dada por (4.23) pode ser escrita como (4.24) segue o mesmoprocedimento desenvolvido para ˆx i+1|i+1 e, desta forma, será omitida.Abaixo será mostrado que (4.24) equivale a (4.25)-(4.26) quando S i = 0.Utilizando o Lema 2.1.1 do Capítulo 2, tem-se queˆx i+1|i+1 =×⎛⎝ [ E T i+1 H T i+1[E T i+1 H T i+1⎤ ⎡ ⎤⎞⎦ ⎣ E i+1⎦⎠0 Ri+1−1 H i+1⎤ ⎡ ⎤] ⎡ ⎣ (F iP i|i F Ti + G i Q i G T i )−1 0] ⎡ ⎣ (F iP i|i F Ti + G i Q i G T i )−1 00 R −1i+1⎦⎣ F iˆx i|iz i+1−1⎦ (4.39)

40ou seja,ˆx i+1|i+1 =(Ei+1T (Fi P i|i Fi T + G i Q i G T ) −1) −1i Ei+1 + Hi+1 T R−1 i+1 H i+1× E T i+1(F i P i|i F Ti + G i Q i G T i ) −1 F iˆx i|i + H T i+1R −1i+1 z i+1. (4.40)Definindo parte de ˆx i+1|i+1 como sendo P i+1|i+1 , as recursões (4.25) e (4.26) são obtidas.⋄Observação 3 Note que, embora a estrutura em blocos matricias de (4.24) recaia na estruturaproposta em [40], nessa referência a matriz G i é considerada matriz identidade.O próximo resultado faz a redução do preditor singular nominal deduzido na Seção 4.2 àforma encontrada em [39] (S i = 0), obtida a partir de uma reformulação do problema de máximaverossimilhança resolvido em [40].Lema 4.3.2 Suponha que[F i G i]todo i. Então, pode-se reescrevertem posto linha pleno e E i+1 tem posto coluna pleno para][ˆx i+1|i P i+1|i:=⎡ ⎤T ⎡⎤0 P i|i−1 0 0 0 0 I 0 0 000 Q i 0 0 0 0 I 0 000 0 R i 0 0 0 0 I 000 0 0 0 0 F i G i 0 −E i+100 0 0 0 0 H i 0 I 00I 0 0 F i T H T i 0 0 0 000 I 0 G T i 0 0 0 0 0⎢0⎥⎢ 0 0 I 0 I 0 0 0 0 ⎥⎣ ⎦ ⎣⎦I 0 0 0 −Ei+1 T 0 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i−1 00 00 00 0z i 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −I(4.41)como][ˆx i+1|i P i+1|i:=⎡ ⎤T ⎡⎤0 F i P i|i−1 Fi T + G i Q i G T i −F i P i|i−1 Hi T E i+1⎢ 0 ⎥ ⎢ −H⎣ ⎦ ⎣ i P i|i−1 Fi T R i + H i P i|i−1 Hi T 0 ⎥⎦IEi+1 T 0 0−1 ⎡⎢⎣⎤F iˆx i|i−1 0z i − H iˆx i|i−1 0 ⎥⎦ (4.42)0 −I

41ou comoˆx i+1|i = P i+1|i E T i+1 (Y i − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 H i P i|i−1 F Ti )−1× F iˆx i|i−1 + P i+1|i E T i+1(Y i − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 H i P i|i−1 F Ti ) −1× F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 (z i − H iˆx i|i−1 ) (4.43)P i+1|i:= (E T i+1 (Y i − F i P i|i−1 H T i (R i + H i P i|i−1 H T ) −1 H i P i|i−1 F Ti )−1 E i+1 ) −1 (4.44)sendo Y i := F i P i|i−1 F Ti + G i Q i G T i .Prova: Se ˆx i+1|i é dado por (4.41), segue que x i+1 é solução do seguinte sistema matricial⎡⎤⎡⎤ ⎡P i|i−1 0 0 0 0 I 0 0 0λ 10 Q i 0 0 0 0 I 0 0λ 20 0 R i 0 0 0 0 I 0λ 30 0 0 0 0 F i G i 0 −E i+1λ 40 0 0 0 0 H i 0 I 0λ 5=I 0 0 Fi T Hi T 0 0 0 0x i0 I 0 G T i 0 0 0 0 0w i⎢ 0 0 I 0 I 0 0 0 0 ⎥⎢v i+1 ⎥ ⎢⎣⎦⎣⎦ ⎣0 0 0 −Ei+1 T 0 0 0 0 0 x i+1ˆx i|i−1000z i0000⎤. (4.45)⎥⎦A partir da primeira e segunda linhas de (4.45), tem-se que⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ P i|i−1 0⎦ ⎣ λ 1⎦ + ⎣ x i⎦ =0 Q i λ 2 w i⎣ˆx i|i−10⎤⎦ , (4.46)e a partir da sexta e sétima linhas segue quena equação (4.46) obtém-se⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ λ 1⎦ = − ⎣ F i Tλ4 + Hi Tλ 5⎦ . Substituindoλ 2 G T i λ 4⎡ ⎤⎣ λ 1⎦λ 2⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ P i|i−1 0⎦ ⎣ −F i Tλ4 − Hi Tλ 5⎦ + ⎣ x i⎦ =0 Q i −G T i λ 4 w i⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⇒ ⎣ −P i|i−1Fi Tλ4 − P i|i−1 Hi Tλ 5⎦ + ⎣ x i⎦ =−Q i G T i λ 4 w i⎦0⎤⎣ˆx i|i−1⎣ˆx i|i−10⎤⎦ . (4.47)

42Agora, considere a quarta linha de (4.45)[F i] ⎡ ⎤G i⎣ x i⎦ − E i+1 x i+1 = 0. (4.48)w iPor (4.47) tem-se queFazendo a substituição do vetor⎡ ⎤ ⎡⎤⎣ x i⎦ = ⎣ P i|i−1Fi Tλ4 + P i|i−1 Hi Tλ 5 + ˆx i|i−1⎦ . (4.49)w i Q i G T i λ 4⎡⎣ x iw i⎤⎦ em (4.48) pela equação (4.49), obtém-se] [F ⎡ ⎤i G i⎣ P i|i−1Fi Tλ4 + P i|i−1 Hi Tλ 5 + ˆx i|i−1⎦ − E i+1 x i+1 = 0Q i G T i λ 4⇒ F i P i|i−1 F Ti λ 4 + F i P i|i−1 H T i λ 5 + G i Q i G T i λ 4 − E i+1 x i+1 = −F iˆx i|i−1⇒ (F i P i|i−1 F Ti + G i Q i G T i )λ 4 + F i P i|i−1 H T i λ 5 − E i+1 x i+1 = −F iˆx i|i−1⇒ −(F i P i|i−1 F Ti + G i Q i G T i )λ 4 − F i P i|i−1 H T i λ 5 + E i+1 x i+1 = F iˆx i|i−1 . (4.50)Tem-se também a partir da terceira, quinta e oitava linhas de (4.45) queR i λ 3 + v i = 0, (4.51)v i = −H i x i + z i , (4.52)λ 3 = −λ 5 , (4.53)respectivamente. Substituindo (4.52) em (4.51) obtém-seR i λ 3 − H i x i = −z i ⇒ −R i λ 3 + H i x i = z i . (4.54)Substituindo x i dado por (4.48) e λ 3 dado por (4.53), ambos em (4.54) tem-se(R i + H i P i|i−1 H T i )λ 5 + H i P i|i−1 F Ti λ 4 = z i − H iˆx i|i−1 . (4.55)

43Considerando a última linha de (4.45), segue que− E T i+1 λ 4 = 0. (4.56)Escrevendo (4.50), (4.54) e (4.56) na forma matricial, obtém-se⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤F i P i|i−1 Fi T + G i Q i G T −F i P i|i−1 Hi T E i+1 −λ 4 F iˆx i|i−1⎢ −H⎣ i P i|i−1 Fi T R i + H i P i|i−1 Hi T 0 ⎥ ⎢ λ⎦ ⎣ 5 ⎥⎦ = ⎢z ⎣ i − H iˆx i|i−1 ⎥⎦ . (4.57)Ei+1 T 0 0 x i+1 0Como, por hipótese,[F i G i]tem posto linha pleno para todo i, segue que a matriz àesquerda de (4.57) é não singular. Sendo assim, ˆx i+1|i é dado por (4.42).A demonstração que P i+1|i dada por (4.41) pode ser escrita como (4.42) segue o mesmoprocedimento desenvolvido para ˆx i+1|i e, desta forma, será omitido.ou seja,Agora será mostrado que (4.42) equivale a (4.43)-(4.44).Utilizando o Lema 2.1.1 do Capítulo 2 e definindo Y i := F i P i|i−1 Fi T + G i Q i G T i , tem-se que[E T i+1 0] ⎡ ⎣[ ] ⎡= Ei+1 T 0 ⎣Y i−H i P i|i−1 F Ti⎛[ ] ⎡ ⎜x i+1 = ⎝ Ei+1 T 0 ⎣[×E T i+1 0] ⎡ ⎣Y i−H i P i|i−1 F TiY i−H i P i|i−1 F TiY i−H i P i|i−1 F Ti⎤−F i P i|i−1 HiT ⎦R i + H i P i|i−1 H T−1 ⎡⎤−F i P i|i−1 HiT ⎦R i + H i P i|i−1 H T⎣ E i+1−1 ⎡⎣0⎤−F i P i|i−1 HiT ⎦R i + H i P i|i−1 H T⎤−F i P i|i−1 HiT ⎦R i + H i P i|i−1 H T−1 ⎡⎣⎤⎦x i+1⎤F iˆx i|i−1⎦,z i − H iˆx i|i−1−1 ⎡⎣ E i+10⎤⎞⎦⎟⎠−1⎤F iˆx i|i−1⎦. (4.58)z i − H iˆx i|i−1A inversa do bloco matricial central de (4.58) pode ser calculada através da fatoração LDU 2 ,2 LDU é uma decomposição matricial da forma A = LDU, sendo D uma matriz diagonal e L e U matrizesdiagonais unitárias.

44que é dada por⎡⎣⎡⎣⎤Y i −F i P i|i−1 HiT −1⎦ =−H i P i|i−1 FiT R i + H i P i|i−1 H T⎤ ⎡⎤ ⎡I 0⎦ ⎣ (Y i − F i P i|i−1 Hi TB iH i P i|i−1 Fi T)−10⎦ ⎣ I F iP i|i−1 Hi TB iB i H i P i|i−1 F T I0 B i 0 I⎤⎦sendo B i definido por B i := ( R i + H i P i|i−1 H T) −1 .Portanto, ao definirmos⎛[⎜P i+1|i := ⎝E T i+1 0] ⎡ ⎣Y i−H i P i|i−1 F Ti⎤−F i P i|i−1 HiT ⎦R i + H i P i|i−1 H T−1 ⎡⎣ E i+10⎤⎞⎦⎟⎠−1(4.59)tem-se a equação (4.44). Logo, a estimativa preditora ˆx i+1|i é dada por (4.43).⋄

45Capítulo 5Estabilidade e Convergência dos FSNsEste capítulo apresenta as condições para estabilidade e convergência da sequência P i+1associada ao FSN em regime permanente. Demonstra-se que a solução recursiva da EAR, sobcertas condições, converge para uma matriz P simétrica e semidefinida positiva. Demonstra-setambém que, caso essa solução exista, ela é única [7]. Os resultados relatados neste capítuloaplicam-se tanto às estimativas filtradas quanto às preditoras obtidas nos capítulos 3 e 4, umavez que as matrizes serão particionadas de forma correspondente à parte dinâmica e da medidado sistema original. Os resultados deste capítulo são extensões de [10] e [34].5.1 Resultados PreliminaresTem-se que propriedades da EAR são mostradas quando os parâmetros do sistema são constantes.Sendo assim, considere um sistema dinâmico linear invariante no tempo descrito porZ i = Ex i+1 + Fx i + GV i , (5.1)sendo queZ i :=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ 0 ⎦, E = ⎣ E d⎦ , F :=z i E m⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ F d⎦ , G := ⎣ G d⎦ e V i := ⎣ w i⎦ . (5.2)F m G m v iO índice d representa a parte referente à equação dinâmica do sistema e o índice m refere-seà equação de medida.

46Considerando o modelo no espaço de estado usual (veja equação (3.1) do Capítulo 3) tem-seque⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤E := ⎣ E d⎦ = ⎣ −I ⎦ ; F := ⎣ F d⎦ = ⎣ F ⎦ e G := ⎣ G d⎦ = ⎣ I 0 ⎦E m H F m 0G m 0 Ino caso filtrado, enquanto valem as seguintes definições⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤E := ⎣ E d⎦ = ⎣ −I ⎦ ; F := ⎣ F d⎦ = ⎣ F ⎦ e G := ⎣ G d⎦ = ⎣ I 0 ⎦E m 0 F m H G m 0 Ino caso preditor.Para o caso singular nominal (equação (4.1) do Capítulo 4), tem-se para o caso filtrado⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡E := ⎣ E d⎦ = ⎣ −E ⎦ ; F := ⎣ F d⎦ = ⎣ F ⎦ e G := ⎣ G d⎦ = ⎣ G wE m H F m 0G mK w⎤G v⎦K venquanto no caso preditor singular valem as seguintes definições⎡ ⎤ ⎡E := ⎣ E d⎦ = ⎣ −EE m 0⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ; F := ⎣ F d⎦ = ⎣ F ⎦ e G := ⎣ G d⎦ = ⎣ G wF m H G mK w⎤G v⎦.K vConsiderando as matrizes de ponderação, associadas aos erros de ajuste, definidas como⎡R := ⎣ QS T⎤S ⎦ > 0,Rfoi provado que, se E tem posto coluna pleno eestimativa ˆx i+1 de x i é gerada por[ ]E F G tem posto linha pleno, então a melhor⎡ ⎤000ˆx i+1 =0⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 F G EI 0 F T 0 0 0⎢⎣0 I G T 0 0 0⎥⎦0 0 E T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤ˆx i0Z i0⎢⎣0 ⎥⎦0(5.3)

47sendo a equação recursiva de Riccati associada a ela dada por⎡ ⎤000P i+1 = −0⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 F G EI 0 F T 0 0 0⎢⎣0 I G T 0 0 0⎥⎦0 0 E T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤000. (5.4)0⎢⎣0⎥⎦IObserve que, como as expressões para o filtro e para a equação recursiva de Riccati valemtanto para o caso filtrado como para o caso preditor, considerando os modelos espaço de estadousual (3.1) e singular nominal (4.1), as notações ˆx i+1|i+1 e ˆx i+1|i serão suprimidas. Sendo assim,as estimativas ótimas serão dadas apenas por ˆx i+1 .Considere também as seguintes definiçõese i :=Ω (P) :=[T0 ... I ... 0], M (P) := Ω −1 (P),⎡⎤P 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 F G EI 0 F T , (5.5)0 0 0⎢⎣0 I G T 0 0 0⎥⎦0 0 E T 0 0 0sendo e i e M (P) decompostos em blocos de acordo com a partição de Ω (P). M é particionadacomo M ij , i,j = 1,...,6 e o vetor de blocos e i possui a matriz identidade na i-ésima posição dobloco e matrizes nulas nas demais posições.A partir de (5.3) e (5.4), tem-se que as expressões para o filtro em regime permanente e aEAR correspondente são dadas, respectivamente, porˆx i+1 = e T 6 Ω−1 (P)(e 1ˆx i + e 3 Z i ) (5.6)eP = −e T 6 Ω −1 (P)e 6 . (5.7)

48Definição 5.1.1 O sistema dinâmico descrito por (5.1) é(i) detectável, se λE − F tem posto coluna pleno para todo |λ| ≥ 1;[ ](ii) estabilizável, se λE − F G tem posto linha pleno para todo |λ| ≥ 1;Observação 4 Note que o critério de posto estabelecido para a condição de estabilizabilidade dosistema (5.1) é uma extensão natural do teste PBH (Popov-Belevitch-Hautus) para a classe desistemas singulares. De fato, se os parâmetros do modelo forem assumidosE = I, K w = 0, K v = I, e G v = 0,a condição PBH usual é obtida.Lema 5.1.1 [40] Considere o sistema (5.1) detectável. Então, existe uma matriz M, inversa àesquerda de E, isto é, ME = I, tal que MF é estável.Na sequência serão apresentados alguns lemas auxiliares, utilizados posteriormente nas provasdos resultados principais deste capítulo.O próximo lema mostra que a matriz P pode ser escrita através de uma maneira alternativa,suprimindo-se a inversa do bloco matricial central. Também são estabelecidas duas relaçõesmatriciais fundamentais nas provas dos demais resultados.Lema 5.1.2 Se[ ] ⎡ ⎤P = − 0 I ⎣ R H ⎦H T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ (5.8)Ientão P = LRL T com[ ] ⎡ ⎤L = 0 I ⎣ R H ⎦H T 0−1 ⎡⎤⎣ I ⎦. (5.9)0Além disto, definindo K := −P tem-seLR + KH T = 0LH = I. (5.10)

49Prova: A matriz P é dada por (5.6) e pelo Lema 1 pode ser reescrita como[ ] ⎡ ⎤P = 0 I ⎣ R H ⎦H T 0−1 ⎡⎤ ⎡⎣ R 0 ⎦ ⎣ R⎤H ⎦0 0 H T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ .ILogo,[ ] ⎡ ⎤P = 0 I ⎣ R H ⎦H T 0⎤⎣ I [ ] ⎡ ⎤⎦R I 0 ⎣ R H ⎦0 H T 0−1 ⎡−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ .IDefinindo L como em (5.9) obtém-se P = LRL T . Assumindo K := −P segue que[ ] ⎡ ⎤ou seja, L K ⎣ R H ⎦ =H T 0[ ] [ ] ⎡ ⎤L K = 0 I ⎣ R H ⎦H T 0−1 ⎡⎤⎣ I 0 ⎦0 I[ ]0 I . ⋄Na sequência encontra-se um resultado importante, consequência direta do lema anterior.Nele utilizam-se matrizes auxiliares M i,j para que, tanto a estimativa filtrada (5.6), quanto aEAR (5.7), sejam reescritas sem que a inversa do bloco matricial intermediário seja explicitada.Lema 5.1.3 A estimativa filtrada ótima (5.6) e sua EAR associada (5.7) podem ser reescritascomoˆx i+1= M 61ˆx i + M 63 Z i= −M 63 Fˆx i + M 63 Z i (5.11)eP = M 61 PM T 61 + M 62 RM T 62= M 63 (FP F T + GRG T )M T 63 (5.12)1 Lema [40] Seja R semidefinida positiva e H posto coluna pleno. Entãoˆ0I˜» – †R HH T +0» R HH T 0– † » – » – †! »0 –R 0 R H0 0 H T = 0.0 I

50respectivamente.Prova: Através do Lema 5.1.2 segue que⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤M 41 M 42 M 43 I 0 0 I 0 0⎢M ⎣ 51 M 52 M 53 ⎥⎢0 I 0⎥⎦⎣⎦ = ⎢0 I 0⎥⎣ ⎦M 61 M 62 M 63 F G E 0 0 I(5.13)e⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤M 41 M 42 M 43 P 0 0 M 41 M 42 M 43P = ⎢M ⎣ 51 M 52 M 53 ⎥ ⎢0 R 0⎥⎢M ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 51 M 52 M 53 ⎥⎦M 61 M 62 M 63 0 0 0 M 61 M 62 M 63T. (5.14)A partir de (5.13), é simples verificar que M 61 + M 63 F = 0 e M 62 + M 63 G = 0. Logo Psatisfaz (5.12).Como ˆx i+1 é dado por (5.6), M 61 := e T 6 Ω−1 (P)e 1 e M 63 := e T 6 Ω−1 (P)e 3 , a equação (5.11)é obtida.⋄Lema 5.1.4 [34] Para matrizes A ∈ R m×m , B ∈ R n×n e Γ ∈ R n×m dadas, a equação de SteinS − BSA = Γ (5.15)tem uma única solução, se e só se, λ r µ s ≠ 1para todo λ r ∈ σ (A) e µ s ∈ σ (B).⋄O próximo resultado é auxiliar, uma vez que é utilizado na prova do Lema 5.3.9, apresentadona Seção 5.3.Lema 5.1.5 Seja E posto coluna pleno,[R ipositiva e considere as seguintes definições para i = 1,2⎡⎤J i = − ⎣ 0 ⎦I⎤⎣ R i E⎦E T 0T ⎡−1 ⎡⎤]E posto linha pleno, R i simétrica semidefinida⎡⎤⎣ 0 ⎦ e U i := ⎣ 0 ⎦I I⎤⎣ R i E⎦E T 0T ⎡−1 ⎡⎤⎣ I ⎦. (5.16)0

51Então, as seguintes sentenças são válidas(i) J 1 − J 2 = U 1 (R 1 − R 2 ) U2 T ⎛;[ ] ⎡ ⎤⎜(ii) U 1 − U 2 = U 2 (R 1 − R 2 ) ⎝ I 0 ⎣ R 1 E⎦E T 0(iii) Se R 1 ≥ R 2 então J 1 ≥ J 2 .−1 ⎡⎤⎞⎣ I ⎦⎟⎠;0⎡ ⎤Prova: (i) Defina as correspondentes funções matriciais Υ i = Υ(J i ) = ⎣ R i E⎦.E T 0EntãoJ 1 − J 2 =⎡ ⎤[ ] (Υ−10 I 2 − Υ −1 )⎣ 0 ⎦1 =I[ ]0 I Υ −11 (Υ 1 − Υ 2 ) Υ −1 ⎣ 0 2⎦. (5.17)I⎡⎤⎡ ⎤Mas Υ 1 − Υ 2 = ⎣ I [ ]⎦ (R 1 − R 2 ) I 0 e, portanto0J 1 − J 2 =[ ]0 IΥ −11⎡⎤⎣ I ⎦ (R 1 − R 2 )0[ ]I 0Υ −12⎡⎤⎣ 0 ⎦ .ILembrando que Υ −12 é simétrica tem-seJ 1 − J 2 ==[ ]0 I[0 I⎡ ⎤ ⎛Υ −1 ⎣ I 1⎦(R 1 − R 2 ) ⎝ [ ⎡ ⎤⎞T]0 I Υ −1 ⎣ I ⎦⎠200] ⎡ ⎤−1 ⎡ ⎤ ⎛⎣ R 1 E⎦ ⎣ I [ ] ⎡ ⎤⎦ ⎜(R 1 − R 2 ) ⎝ 0 I ⎣ R 2 E⎦E T 0 0E T 0−1 ⎡⎤⎞⎣ I ⎦⎟⎠0T. (5.18)Logo a relação (i) é obtida.(ii) A prova da relação (ii) é análoga à demonstração elaborada para (i).(iii) Por (i) e (ii) tem-se que⎡ ⎛⎡⎤⎢ ⎜J 1 − J 2 = U 2 ⎣I + (R 1 − R 2 ) ⎝⎣ I ⎦0⎤⎣ R 1 E⎦E T 0T ⎡−1 ⎡⎤⎞⎤⎣ I ⎦⎟⎥⎠⎦ (R 1 − R 2 )U2 T . (5.19)0

52Como R 1 − R 2 ≥ 0, obtém-seJ 1 − J 2 = U 2 (R 1 − R 2 ) 1 2⎡×⎢⎣I + (R 1 − R 2 ) 1 2⎛⎡⎤⎜⎝⎣ I ⎦0⎤⎣ R 1 E⎦E T 0T ⎡−1 ⎡⎤⎞⎣ I ⎦⎟⎠ (R 1 − R 2 ) 1 ⎥2⎦ (R 1 − R 2 ) 1 2 UT2 .0⎤Portanto, J 1 − J 2 ≥ 0.⋄5.2 EstabilidadePara garantir um desempenho apropriado do FSN em regime permanente, serão enunciadose demonstrados teoremas que garantem a estabilidade deste filtro quando os parâmetros domodelo são invariantes no tempo. Em particular, será determinada a existência e unicidade deuma solução estabilizante P para a EAR (5.12).Definição 5.2.1 P é uma solução estabilizante da EAR (5.12) se P satisfaz (5.12) e M 61 éestável.Utilizando as definições 5.1.1 e 5.2.1, apresenta-se a seguir o principal resultado desta seção,que mostra a estabilidade do FSN em regime permanente.Teorema 5.2.1 Suponha que o sistema (5.1) é detectável e estabilizável e R > 0. Considere ofiltro em regime permanente (5.11) com P dada por (5.12). Neste caso, se existir uma soluçãosemidefinida positiva P para a EAR, segue que ela é estabilizante, ou seja, o FSN em regimepermanente é estável.Prova: Suponha que exista uma solução semidefinida positiva P para a EAR (5.12). Paragarantir a estabilidade de (5.11), deve-se mostrar que M 63 F é estável.Suponha, por contradição, que M 63 F não é estável. Então, existe um número complexo λ eum vetor v, tal que |λ| ≥ 1 e −v T M 63 F = λv T . No entanto, através do Lema 5.1.3 sabe-se queM 63 E = I. (5.20)

53Pré-multiplicando (5.20) por λv T obtém-se λv T M 63 E = λv T e como λv T = −v T M 63 F seguequeλv T M 63 E = −v T M 63 Fv T M 63 (λE + F) = 0. (5.21)Agora, pré-multiplicando (5.12) por v T e pós-multiplicando por v, tem-sev T Pv = v T (M 63 F)P (M 63 F) T v + v T M 63 GRG T M T 63 v.Desde que λv T = −v T M 63 F, a equação acima torna-sev T Pv = λv T P ( λv T) T+ v T M 63 GRG T M63 T v. (5.22)Assim,(|λ| 2 − 1)v T Pv + v T M 63 GRG T M T 63v = 0. (5.23)Por hipótese, tem-se |λ| ≥ 1, P ≥ 0 e R > 0. Então(|λ| 2 − 1)v T Pv ≥ 0 e (5.24)v T M 63 GRG T M T 63v ≥ 0. (5.25)Por (5.23), (5.24), e (5.25) segue quev T M 63 G = 0 (5.26)e por (5.21) e (5.26) obtém-se[v T M 63 ( λE + F]G ) = 0 com |λ| ≥ 1. (5.27)Como M 63 tem posto linha pleno, tem-se que v ≠ 0, se e somente se, v T M 63 ≠ 0. Assim,[ ]em (5.27), λE + F G não possui posto linha pleno para |λ| ≥ 1, ou seja, uma contradição éobtida. Então, M 63 F é estável.⋄

54Supondo-se agora que existe uma solução estabilizante para a EAR, o próximo resultadogarante sua unicidade e fecha a primeira parte deste capítulo.Teorema 5.2.2 Considere a EAR (5.7). Se a solução estabilizante existir, ela é única.Prova: Suponha que existam duas soluções estabilizantes P 1 e P 2 para (5.7) e defina ascorrespondentes funções matriciais Ω 1 = Ω(P 1 ), Ω 2 = Ω(P 2 ), M 1 = M(P 1 ) e M 2 = M(P 2 ).Logo,P 1 − P 2 = M 2 66 − M 1 66 = e T 6(M 2 − M 1) e 6 = e T 6 M 1 ( Ω 1 − Ω 2) M 2 e 6 .Mas Ω 1 − Ω 2 = e 1(P 1 − P 2) e T 1 , entãoP 1 − P 2 = M611 (P 1 − P 2) M61 2T . (5.28)Como M61 1 and M2 61 são estáveis, pelo Teorema 5.1.4, a equação de Stein (5.28) possui soluçãoúnica P 1 − P 2 = 0. Portanto, P 1 = P 2 .⋄5.3 ConvergênciaNesta seção serão apresentados resultados que garantem a convergência da equação recursivade Riccati (5.4), ou seja, será mostrado que {P i+1 } ∞ i=0 é uma sequência monótona não decrescente,limitada superiormente. Os três resultados subsequentes são auxiliares, uma vez que somentesão utilizados nas provas dos principais lemas e teoremas desta seção. No primeiro deles, apositividade de P i+1 é demonstrada. O segundo define uma recursão auxiliar F fi e estabeleceuma relação entre ela e a equação recursiva de Riccati. Finalmente, o terceiro resultado auxiliarfaz uma comparação entre recursões de Riccati definidas com índices diferentes.Lema 5.3.1 Suponha que P i ≥ 0. Então P i+1 é uma matiz semidefinida positiva.Prova: Pelo Lema 5.1.3, as equações (5.7) e (5.12) são equivalentes. Assim,P i+1 = M 61,i P i M T 61,i + M 62,i RM T 62,i.Como R > 0 e, por hipótese, P i ≥ 0, segue que P i+1 ≥ 0.⋄

55Lema 5.3.2 Considere as seguintes equações matriciais, para i = 1,2P ii+1 := −M i 66,iF i fi := M i 61,i. (5.29)Então, as seguintes relações são obtidas(i) Pi+1 1 − Pi+1 2 = Ffi1 (P1i − Pi2 )F2 Tfi (5.30)(ii) Ffi 1 − F fi 2 = F fi2 (P1i − Pi2 )M111,i . (5.31)Prova: A demonstração deste resultado é imediata. Para isto, basta fazer as seguintesidentificações com as sentenças (i) e (ii) o Lema 5.1.5J 1 ← P 1i+1 , J 2 ← P 2i+1R 1 ← Pi 1,R 2 ← Pi2U 1 ← F 1 fi , U 2 ← F 2 fi . (5.32)⋄Lema 5.3.3 Considere (5.29) para i = 1,2 . Se P 1i ≥ P 2i , então P 1i+1 ≥ P 2i+1 .Prova: Esta prova segue novamente do Lema 5.1.5, item (iii).⋄O próximo resultado garante que a recursão de Riccati é uma sequência monótona não decrescentee é imprescindível para que a convergência seja mostrada.Lema 5.3.4 Suponha que R > 0 e defina {P i } ∞ i=0 porP i := M 63,i−1(FPi−1 F T + GRG T) M T 63,i−1 (5.33)com P 0 = 0. Então {P i } ∞ i=0é uma sequência monótona não decrescente.Prova: Desde que R > 0 e P i é dado por (5.33) tem-se que para P 0 = 0, segue P 1 ≥ 0 eP 1 −P 0 ≥ 0. Considere, por indução, que a hipótese P i −P i−1 ≥ 0 é satisfeita. Pelo Lema 5.3.3,

56se P i ≥ P i−1 então P i+1 ≥ P i . Assim, segue que0 = P 0 ≤ P 1 ≤ ... ≤ P i ≤ P i+1 ≤ ...⋄O próximo resultado mostra uma maneira alternativa de escrever a recursão de Riccati (5.4),semelhante à forma apresentada em [40].O objetivo desta nova formulação é explicitar os ganhos L p,i nas formas equivalentes dasequência P i+1 que serão definidas e demonstradas na sequência deste capítulo, especialmenteno Lema 5.3.6.Lema 5.3.5 A recursão de Riccati dada por⎡ ⎤000P i+1 = −0⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 F G EI 0 F T 0 0 0⎢⎣0 I G T 0 0 0⎥⎦0 0 E T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤0000⎢⎣0⎥⎦I(5.34)pode ser reescrita como[ ] ⎡ ⎤P i+1 = − 0 I ⎣ FP iF T + GRG T E⎦E T 0−1 ⎡⎤⎣ 0 ⎦ . (5.35)IProva: A recursão P i+1 é dada por (5.34) se e somente se o seguinte sistema de equações temuma única solução⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤P i 0 0 I 0 0 a 00 R 0 0 I 0b00 0 0 F G Ec0I 0 F T =. (5.36)0 0 0d0⎢⎣0 I G T 0 0 0⎥⎢⎦ ⎣e ⎥ ⎢⎦ ⎣0⎥⎦0 0 E T 0 0 0 −P i+1 I

57Esta equação matricial equivale ao seguinte conjunto de equações⎧⎧⎧P i a + d = 0 d = −P i a d = P i F T cRb + e = 0e = −Rbe = −Rb⎪⎨ Fd + Ge − EP i+1 = 0⎪⎨ EP i+1 = Ge + Fd⎪⎨ EP i+1 = Ge − FP i a⇒⇒a + F T c = 0 a = −F T c a = −F T cb + G T c = 0 b = −G T c b = −G T c⎪⎩ E T c = I⎪⎩ E T c = I⎪⎩ E T c = I⎧⎧d = P i F T cd = P i F T ce = −Rbe = RG T c⎪⎨ EP i+1 = −GRb − FP i a⎪⎨ EP i+1 = GRG T c + FP i F T c⇒⇒. (5.37)a = −F T ca = −F T cb = −G T cb = −G T c⎪⎩ E T c = I⎪⎩ E T c = IComo os parâmetros {a,b,d,e} podem ser escritos em termos de c e P i+1 , o sistema (5.36)tem solução se e somente se⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ FP iF T + GRG T E⎦ ⎣c ⎦ = ⎣ 0 ⎦ (5.38)E T 0 −P i+1 Item solução.Assim, segue que P i+1 é dado por (5.35).⋄A partir do resultado apresentado na sequência, as matrizes do sistema (5.1) serão posicionadasde forma correspondente à parte dinâmica e à medida do sistema original, como foi feitoem (5.2), ou sejaE =⎡⎣ E dE m⎤⎦ , F :=⎡⎤⎣ F d⎦ , e G :=F m⎡⎤⎣ G d⎦ . (5.39)G mLema 5.3.6 A recursão de Riccati dada por (5.35) pode ser reescrita como⎡ ⎤P[ ]i 0 E dP i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ p,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ , (5.40)I

58particionando-se o sistema (5.1) como em (5.39), sendo queP i := F d P i Fd T + G dRGd T + L (p,i Fm P i Fm T + G mRGm) T LTp,i − ( F d P i Fm T + G dRGm) T LTp,i(− L p,i Fm,i P i Fd T + G mRGdT )(5.41)eR p,i := F m P i F T m + G mRG T m , e L p,i(Fm P i F T m + G mRG T m)=(Fd P i F T m + G dRG T m). (5.42)Prova: Escrevendo F e G como em (5.39), tem-se queFP i F T + GRG T ==⎡ ⎤⎣ F [d⎦P iF m⎡F T dF T m⎣ F dP i Fd T + G dRGdTF m P i Fd T + G mRGdT⎡]+⎤⎣ G d⎦ RG m[G T dG T mF d P i Fm T + G d RGmT ⎦ (5.43)F m P i Fm T + G mRGmT]⎤uma vez que (5.4) equivale a⎡ ⎤000P i+1 =00⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 0 I 0 00 R 0 0 0 I 00 0 0 0 F d G d E d0 0 0 0 F m G m E m0 0 Fd T Fm T 0 0⎢⎣0 0 Gd T Gm T 0 0 0 ⎥⎦0 0 Ed T Em T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤0000. (5.44)0⎢⎣0⎥⎦IPortanto a Equação (5.35) pode ser reescrita como⎡⎤F[ ]d P i Fd T + G dRGd T F d P i Fm T + G dRGm T E dP i+1 = − 0 0 I ⎢F ⎣ m P i Fd T + G mRGd T F m P i Fm T + G mRGm T E m⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ . (5.45)I

59Como R > 0 e P i ≥ 0 segue que (5.43) é semidefinida positiva. Assim, o Lema 2 garante queexiste L p,i tal que(L p,i Fm P i Fm T + G m RGmT )= ( F d P i F T m + G d RG T m)e(Fm P i Fm T + G mRGmT )LTp,i = ( F m P i Fd T + G mRGdT ). (5.46)Portanto, o sistema (5.45) passa a ser escrito como⎡F d P i Fd T + G (dRGdT L p,i Fm P i Fm T + G )⎤⎡⎤ ⎡ ⎤mRGmT E d d 0( ) ( ⎢ Fm P⎣ i Fm T + G m RGmT LTp,i Fm P i Fm T + G m RGm)T E m ⎥⎢c ⎥⎦⎣⎦ = ⎢0⎥⎣ ⎦ . (5.47)Ed T Em T 0 −P i+1 IPela Proposição 3 segue que definindo a variável auxiliar R p,i := ( F m P i Fm T + G m RGmT )obtém-se⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡F d P i Fd T + G dRGd T L p,i R p,i E d d 0⎢ R⎣ p,i L T p,i R p,i E m ⎥⎢c ⎥⎦⎣⎦ = ⎢0⎥⎣ ⎦ ⇒ ⎢⎣[Ed T Em T 0 −P i+1 IE T dXE T m]⎡ ⎤⎤⎡⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ E d⎦⎣ d ⎦⎣ 0 ⎦E m ⎥⎢c ⎥⎦⎣⎦ = ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0 −P i+1 I⎡⎤⎡⎤⎡⎤sendo X := ⎣ I L p,iR p,i R − p,i⎦⎣ F dP i Fd T + G dRGd T − L p,iR p,i R − p,i R p,iL T p,i 0 I 0⎦⎣⎦.0 I0 R p,i R −Tp,i R p,iL T p,i ILembrando que para uma inversa generalizada qualquer DD − D = D, segue que⎡⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎤⎡⎡⎤ ⎤⎣ I L p,iR p,i R − ⎣ F dP i Fd T + G dRGd T − L p,iR p,i L T p,i 0⎦ ⎣ I −L p,iR p,i R − p,i⎦⎣ E d⎦p,i⎦ 00 R⎢ 0 I ⎥p,i 0 I E m⎣⎦⎢ [0 I ⎣ Ed T Em] ⎡ ⎤I 0⎥T ⎣⎦ 0 ⎦−R − p,i R p,iL T p,i I⎡⎡⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤I 0⎣⎦ × ⎢ R −⎣p,i R 0⎣ d ⎦⎣ 0 ⎦p,iL T p,i I ⎥ ⎢ c ⎥⎦ ⎣ ⎦ = ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0 I −P i+1 I2 Lema» Toda matriz – Hermitiana semidefinida positiva P ∈ R (n+m)×(n+m) pode ser particionada da seguinteA LDforma P =DL ∗ , sendo A ∈ R n×n , L ∈ R n×m e D ∈ R m×m .D» – A B3 Proposição (estendido [50]) Seja P =B T ≥ 0, onde A ∈ R n×n , B ∈ R n×m e D ∈ R m×m . EntãoDpara cada (1)-inversa A − e D − de A e D, valem as identidades matriciais»In BD − + Z `I − DD −´ – » – »–A − BD − B T 0I n 0P =0 I m 0 D [BD − + W `I − DD −´] ∗ I mpara matrizes Z e W arbitrárias de dimensão compatível.

60⎡⎡⎤⎣ F dP i Fd T + G dRGd T − L p,iR p,i L T p,i 0⎦⇒ ⎢0 R⎣p,i[ ]E T dE T m⎡⎡⎤ ⎤⎡⎡⎤⎤⎣ I −L p,iR p,i R − p,i⎦ 0⎣ 0 ⎦= ⎢ 0 I ⎥⎢0 ⎥⎣⎦⎣⎦0 I I⎡ ⎤⎤⎡⎡⎤ ⎤⎡⎡ ⎤ ⎤⎣ E d I 0⎦⎣⎦ E m ⎥ ⎢ R −⎦ ⎣p,i R 0⎣ d ⎦p,iL T p,i I ⎥⎢c ⎥⎦⎣⎦0 0 I −P i+1⎡⎡⎤⎣ F dP i Fd T + G dRGd T − L p,iR p,i L T p,i 0⎦⇒ ⎢0 R⎣p,i[ ]EdT EmT⎡ ⎤⎤⎡⎡⎤⎤⎡⎡⎤⎤⎣ E d d⎦⎣⎦⎣ 0 ⎦E m ⎥⎢c + R −⎦⎣p,i R p,iL T p,i d ⎥⎦ = ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦ .0I−P i+1Somando-se e subtraindo-se o termo L p,i R p,i L T p,i , obtém-se⎡⎡⎤⎣ F dP i Fd T + G dRGd T + L p,iR p,i L T p,i − L p,iR p,i L T p,i − L p,iR p,i L T p,i 0⎦⎢0 R⎣p,i[ ]EdT EmT[[ ] T= 0 0 I].⎡ ⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎣ E d⎦⎣ δ ⎦E m ⎥ ⎢ χ ⎥⎦ ⎣ ⎦0 −P i+1⎧⎪⎨ L p,i R p,i = F d P i Fm TUtilizando+ G dRGmT⎪⎩ R p,i L T p,i = F mP i Fd T + G mRGdTtem-se que⎡⎡⎤⎣ P i 0⎦⎢ 0 R⎣ p,i[ ]EdT EmT⎡ ⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡⎡⎤⎤⎣ E d⎦⎣ δ ⎦⎣ 0 ⎦E m ⎥ ⎢ χ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 −P i+1 I(5.48)com P i e R p,i dados por (5.42) e a recursão P i+1 dada por (5.40).⋄Lema 5.3.7 A expressãoP i := F d P i F T d + G dRG T d + L p,i(Fm P i F T m + G m RG T m)LTp,i − ( F d P i F T m + G d RG T m)LTp,i(5.49)dada no Lema 5.3.6 para P i pode ser reescrita comoP i := F d P i Fd T + G dRGd T − L (p,i Fm P i Fd T + G mRGdT ). (5.50)

61(Prova: Pelo Lema 5.3.6 tem-se que P i é dado por (5.41). Como L p,i Fm P i Fm T + G mRGm) T =(Fd P i Fm T + G dRGmT )segue queP i := F d P i F T d + G dRG T d + ( F d P i F T m,i + G d RG T m)LTp,i − ( F d P i F T m + G d RG T m)LTp,i−(L p,i Fm P i Fd T + G mRGdT ), (5.51)ou seja, P i = F d P i Fd T + G dRGd T − L (p,i Fm P i Fd T + G mRGdT ). ⋄Lema 5.3.8 Considere a sequência arbitrária {N i } ∞ i=0 dada e⎡ ⎤Y[ ]i 0 E dY i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.52)sendoY i := F d Y i F T d + G dRG T d + N i(Fm Y i F T m + G m RG T m)NTi − ( F d Y i F T m + G d RG T m)NTi−(N i Fm Y i Fd T + G mRGdT ). (5.53)Então Y i+1 pode ser reescrita como⎡ ⎤Y[ ]11 0 E dY i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.54)sendoY 11 := F d Y i Fd T + G dRGd T + (N i − L y,i )R y,i (N i − L y,i ) T (− L y,i Fm Y i Fd,i T + G mRGdT )R y,i := F m Y i F T m + G mRG T m . (5.55)Prova: Vamos considerar apenas Y i dada por (5.53) na Equação (5.52). DefinindoA := F d,i Y i Fd T + G dRGd T , R y,i := ( F m Y i Fm T + G mRGm) T ,B := ( F m Y i Fd T + G mRGdT ) (,C := Fd Y i Fm T + G dRGmT ), (5.56)tem-se Y i = A + N i R y,i N T i − CN T i − N i B.

62)Como N i = L y,i + (N i − L y,i ) e Ni T = L T y,i(N + i T − L T y,i segue queY i = A + N i R y,i Ni T − CNi T − N i B=(A + (L y,i + (N i − L y,i ))R y,i LTy,i + ( Ni T − L T (y,i))− C LTy,i + ( Ni T − L T ))y,i− (L y,i + (N i − L y,i ))B= A + (L y,i R y,i + (N i − L y,i )R y,i ) ( L T y,i + ( Ni T − L T y,i))− CLTy,i − C ( Ni T − L T )y,i− L y,i B − (N i − L y,i )B= A + L y,i R y,i L T y,i + L (y,iR y,i NTi − L T y,i)+ (Ni − L y,i )R y,i L T y,i+((N i − L y,i ) R y,i NTi − L T y,i)− CLTy,i − C ( Ni T − L T y,i)− Ly,i B − (N i − L y,i )B= A + L y,i R y,i L T (y,i + (N i − L y,i )R y,i NTi − L T y,i)+ (Ly,i R y,i − C) ( Ni T − L T )y,i+ (N i − L y,i ) ( R T y,i − B) − CL T y,i − L y,iB. (5.57)Observe que L y,i R y,i = C. Assim(Y i = A + (N i − L y,i ) R y,i NTi − L T y,i)+ (Ly,i R y,i − C) ( Ni T − L T )y,i+ (N i − L y,i ) ( R y,i L T y,i − B) − (L y,i R y,i − C)L T y,i − L y,iB(= A + (N i − L y,i ) R y,i NTi − L T y,i)+ (Ly,i R y,i − C) ( Ni T − L T )y,i+ (N i − L y,i ) ( R y,i L T y,i − B ) − (L y,i R y,i − C)L T y,i − L y,i B. (5.58)Portanto, Y i+1 é dado por (5.54) sendo Y 11 e R y,i dados por (5.55).⋄O lema a seguir mostra que uma sequência Y i+1 produzida através de um ganho arbitrárioN i supera P i+1 gerada pelo ganho deduzido nos lemas anteriores. Para isso, o lema estabeleceuma comparação entre as duas sequências.⎡ ⎤Lema 5.3.9 - Considere ⎣ E d⎦posto coluna pleno, R > 0, a sequência arbitrária {N i } ∞ i=0 dadaE me também uma matriz Y 0 ≥ 0. Seja a sequência {Y i } ∞ i=0definida como⎡ ⎤Y[ ]i 0 E dY i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.59)

63sendoY i := F d Y i Fd T + G dRGd T + N (i Fm Y i Fm T + G m,iRGm) T NTi− ( F d Y i Fm T + G d RGm) T (NTi − N i Fm Y i Fd T + G m,iRGdT ). (5.60)Seja P 0 uma matriz em que 0 ≤ P 0 ≤ Y 0 e defina a sequência {P i } ∞ i=0 como⎡ ⎤P[ ]i 0 E dP i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ p,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.61)sendoP i := F d P i F T d + G dRG T d + L p,i(Fm P i F T m + G m,iRG T m)LTp,i−(L p,i Fm P i Fd T + G m,iRGdT ) (− Fd P i Fm T + G dRGmT )LTp,i . (5.62)Então 0 ≤ P i ≤ Y i para i = 0,1,2,....Prova: Nesta demonstração, será utilizada a notação abreviada Y i+1 = f (Y i ,N i ) para equação(5.59) .Então, pode-se também escrever P i+1 = f (P i ,L(P i )) com L p,i = L(P i ).A prova é por indução. A relação 0 ≤ P 0 ≤ Y 0 é dada e assume-se que 0 ≤ P i ≤ Y i .Então define-seˆPi+1 = P Y,i+1 = f (Y i ,L(Y i )) com L y,i = L(Y i ) e será primeiro provado queˆP i+1 ≤ Y i+1 , ou seja, f (Y i ,L y,i ) ≤ f (Y i ,N i ).Para simplificar a notação, escreva R y,i := ( F m Y i Fm T + G m,i RGm) T . Escreva também Ni =L y,i + (N i − L y,i ) em (5.59).Pelo Lema 5.3.8 temos que a sequência Y i+1 também é dada por⎡ ⎤Y[ ]11 0 E dY i+1 = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.63)sendo Y 11 = F d Y i F T d + G dRG T d + (N i − L y,i ) R y,i (N i − L y,i ) T − L y,i(F m Y i F T d,i + G m,iRG T d).

64Por (5.61) e pelo Lema 5.3.7 segue que⎡ ⎤Ŷ[ ]i 0 E dˆP i+1 = f (Y i ,L y,i ) = − 0 0 I ⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦I(5.64)sendo Ŷi = F d Y i Fd T + G dRGd T − L (y,i Fm,i Y i Fd T + G m,iRGdT ).Assim, escreve-se (5.63) da seguinte forma⎡ ⎤0Y i+1 = − ⎢0⎥⎣ ⎦IT ⎡Ŷ i + (N i − L y,i ) R y,i (N i − L y,i ) T 0 E d⎢0 R⎣y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0⎤−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ . (5.65)IComo R y,i := ( F m Y i Fm T + G m,iRGm) T > 0, pois {Yi , R} > 0 e Ŷi é o complemento de Schur [47] comrespeito ao elemento (2, 2) de⎡⎣ F dY i Fd T + G dRGdT F d Y i Fm T + G dRGmT ⎤⎦ (5.66)F m Y i Fd T + G m,iRGdT F m Y i Fm T + G m,i RGmTe⎡⎣ F dY i Fd T + G dRGdTF m Y i Fd T + G m,iRGdT⎤ ⎡ ⎤F d Y i Fm T + G dRGmT ⎦ = ⎣ F [d⎦Y iF m Y i Fm T + G m,i RGmT F mF T dF T m⎡ ⎤]+ ⎣ G [d⎦ RG m,iG T dG T m]> 0segue que Ŷi > 0.Aplicando o item (iii) do Lema 5.1.5 com J 1 dado por ˆP i+1 e J 2 dado por Y i+1 , obtém-seque Y i+1 ≥ ˆP i+1 ,ou f (Y i ,N i ) ≥ f (Y i ,L y,i ). Então, a escolha do ganho L(Y i ) = L y,i fornece umlimite inferior ˆP i+1 para Y i+1.Aplicando o mesmo argumento para a sequência {P i } mostra-se queŶ i+1 = f (P i ,L(Y i )) ≥ f (P i ,L(P i )) = P i+1ou seja, encontra-se um limite inferior P i+1 para Ŷi+1.

65Finalmente resta mostrar que Ŷi+1 ≤ ˆP i+1 . Tem-se que⎡ ⎤0ˆP i+1 = − ⎢0⎥⎣ ⎦IT ⎡⎤Ŷ i 0 E d⎢ 0 R⎣ y,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ , Ŷi = F d Y i Fd T + G d RG T (d − L y,i Fd Y i Fm T + G d RGmTI) Te⎡ ⎤0Ŷ i+1 = − ⎢0⎥⎣ ⎦IT ⎡⎤ˆP i 0 E d⎢ 0 R⎣ p,i E m ⎥⎦Ed T Em T 0−1 ⎡⎤0⎢0⎥⎣ ⎦ , ˆP i = F d P i Fd T + G d RG T (d − L p,i Fd P i Fm T + G d RG T ) Tm .IEntão, pela hipótese de indução (P i ≤ Y i ) e pelo Lema 5.1.5 segue que Ŷi+1 ≤ ˆP i+1 .Combinando a desigualdade acima com Ŷi+1 ≥ P i+1 tem-seP i+1 ≤ Ŷ i+1 ≤ ˆP i+1 .Se, por hipótese, P i ≥ 0, então aplicando o Lema 5.3.4 segue que 0 ≤ P i ≤ P i+1 .Então,0 ≤ P i+1 ≤ Ŷi+1 ≤ ˆP i+1 ≤ Y i+1 ,ou seja, 0 ≤ P i+1 ≤ Y i+1 e a indução está completa.⋄A comparação entre as sequências estabelecida no Lema 5.3.9 será parte da demonstração dopróximo resultado que, por sua vez, garante que a recursão de Riccati possui limite superior P sde P i+1 .Lema 5.3.10 Considere a sequência {P i+1 } ∞ i=0definida porP i+1 := M 63,i(FPi F T + GRG T) M T 63,i . (5.67)Se o sistema é detectável e estabilizável, então para qualquer condição inicial P 0 , a sequência{P i+1 } ∞ i=0 é limitada superiormente, ou seja, existe uma matriz P s tal que 0 ≤ P i+1 ≤ P s , parai ≥ 0.Prova: Do Teorema 5.2.1 segue que se o sistema é estabilizável, então existeuma matrizM 63 F tal que M 63 F é estável, ou seja, ‖λ(M 63 F) ‖ < 1. Gere a sequência {Z i } ∞ i=0 de Z 0 = P 0

66e a relação recorrente Z i+1 = f(Z i ,M 63 ) = (M 63 F)Z i (M 63 F) T . Aplicando o Lema 5.3.9 tem-seque 0 ≤ P i+1 ≤ Z i+1 , i = 0,1,2,.... e para j = 1,2,...Z j+1 − Z j = M 63(F (Zj − Z j−1 ) F T) M T 63.LogoZ j − Z j−1 = (M 63 F) j−1 (Z 1 − Z 0 ) (M 63 F) T .Comon∑Z n = Z 0 + (Z j − Z j−1 ) (5.68)substituindo (Z j − Z j−1 ) na equação acima tem-se quen∑Z n = Z 0 + (M 63 F) j−1 (Z 1 − Z 0 ) (M 63 F) T .j=1j=1Como M 63 F é estável, pode-se definir κ := ‖M 63 F‖ < 1 4 e segue que⎛ ⎞∞∑‖Z n ‖ ≤ ‖Z 0 ‖+‖Z 1 − Z 0 ‖ ⎝ κ 2j−2 ⎠ =: κ 0 (5.69)e κ 0 é independente de n. Então, tomando P s = κ 0 I, obtemos P n ≤ Z n ≤ ‖Z n ‖I ≤ κ 0 I = P s .j=1Logo, P i+1 é limitada superiormente.⋄Abaixo encontra-se o principal resultado desta seção, conclusivo para a prova da convergênciada equação recursiva de Riccati.Teorema 5.3.1 Suponha que o sistema seja detectável, estabilizável e R > 0.Defina umasequência {P i+1 } ∞ i=0 por P i+1 = M 63,i(FPi F T + GRG T) M T 63,i (5.70)com P 0 ≥ 0. Então, existe uma única matriz P s ≥ 0 tal que P i+1 → P s quando i → ∞. O limite4 Teorema [23] Seja A ∈ R n×n . Então ρ(A) ≤ ‖A‖, sendo ρ(A) = max{|λ| : λ é um autovalor de A} e ‖A‖ éa norma espectral de A.

67P s é a solução da EARP = M 63(FP F T + GRG T) M T 63 . (5.71)Prova: Através do Lema 5.3.4 mostra-se que 0 ≤ P i ≤ P i+1 , ou seja, {P i+1 } ∞ i=0 é umasequência monótona não decrescente. Como, por hipótese, o sistema é detectável e estabilizável,aplicando o Lema 5.3.10 segue que a sequência P i+1 é limitada superiormente. Combinando estesresultados com o Teorema 5.2.1 e Lema 5.3.1 que, por sua vez, garantem que M 63 F é estável ea solução estabilizante da EAR é única, a demonstração é concluída.⋄5.4 Exemplo NuméricoConsidere o sistema descrito por (5.1) para o caso filtrado, com as matrizes de parâmetrosdadas por⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤E = ⎣ 1 0 ⎦ , F = ⎣ 0.9 0 0.4 0.1⎦ , G w = ⎣ ⎦ , G v = ⎣ 1 ⎦ ;0 0 0.2 0.2 0.1 6 1H =[ ][ ]1.4 0.8 , J = 0, K w = 1.4 1.4 , K v = 1e as matrizes de ponderação dos erros w i and v i (com termo cruzado) dadas respectivamente por⎡ ⎤⎡ ⎤Q = ⎣ 7 2 ⎦ , R = 0.1, S = ⎣ 0.001 ⎦.2 10.05A Figura 5.1 mostra a convergência do máximo valor singular da matriz P i+1|i+1 , calculadade acordo com a EAR (5.4) do filtro preditor (5.3), com P 0|0 = 0.Considere, agora, o sistema descrito por (5.1) para o caso preditor com as matrizes de parâmetrosdadas por⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0.3 0 0.4 0.1 1E = ⎢0 1 ⎥⎣ ⎦ , F = ⎢ 0 0.2 ⎥⎣ ⎦ , G w = ⎢ 0.1 6 ⎥⎣ ⎦ , G v = ⎢ 1 ⎥⎣ ⎦ ,2 0.7 0.34 0.21 0.87 0.62 2.7H =[ ] [ ]1.4 0.8 , K w = 1.4 1.4 , K v = 1;

680.80.7Norma de P i+1|i+10.60.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10iFigura 5.1: Evolução de P i+1|i+1e as seguintes matrizes de ponderação⎡ ⎤⎡ ⎤Q = ⎣ 7 0.0002 ⎦ ; R = 0.5; S = ⎣ 0.01 ⎦ .0.0002 0.0010.0001A Figura 5.2 mostra a convergência do máximo valor singular da matriz P i+1|i , calculada deacordo com a EAR (5.4) do filtro preditor (5.3), com condição inicial dada por P 0|−1 = 0.0.70.6Norma de P i+1|i0.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10iFigura 5.2: Evolução de P i+1|i

69Capítulo 6Estimativa Robusta para SistemasDinâmicos SingularesNeste capítulo são apresentadas as estimativas robustas ótimas nas formas filtrada e preditora,deduzidas com base na combinação das técnicas de otimização detalhadas no Capítulo 2. Paraisso, são feitas modificações no modelo singular apresentado no Capítulo 4, ou seja,E i+1 ← E i+1 + δE i+1 , F i ← F i + δF i , H i ← H i + δH i , J i ← J i + δJ isendo os erros de ajuste reescritos como⎡⎤ ⎡⎤⎣ G w,iw i + G v,i v i⎦ ← ⎣ (G w,i + δG w,i )w i + (G v,i + δG v,i ) v i⎦ . (6.1)K w,i w i + K v,i v i (K w,i + δK w,i )w i + (K v,i + δK v,i ) v iAlgoritmos recursivos para os FSRs e correspondentes equações recursivas de Riccati sãoobtidos, sendo que as estruturas matriciais das equações são simples e simétricas, facilitandoposterior análise das propriedades de estabilidade e convergência deduzidas no Capítulo 7.Os resultados apresentados neste capítulo generalizam os resultados obtidos em [29] e [42].Os FSRs serão deduzidos para o caso mais geral, baseados no modelo descrito nas equações (6.2)e (6.14).Formas matriciais equivalentes para os filtros serão mostradas, objetivando a obtenção de estruturasmais próximas às obtidas para os FSNs, apresentados no Capítulo 4. Essas equivalênciassão importantes, uma vez que facilitam a análise das propriedades de estabilidade e convergência

70do filtro robusto em regime permanente, bem como recaem em expressões já conhecidas dosFSNs [4] e [5].A contribuição deste capítulo está na determinação de soluções para problemas de filtragemrobusta combinando a utilização das teorias de otimização mínimos quadrados regularizados efunções penalidade, através da extensão da estratégia adotada no Capítulo 4.6.1 Estabelecimento do Problema de Filtragem RobustaConsidere o seguinte sistema dinâmico singular sujeito a incertezas paramétricas construídoa partir da modificação do modelo (4.1)(E i+1 + δE i+1 ) x i+1 = (F i + δF i ) x i + ˜ν i ,z i+1 = (H i+1 + δH i+1 )x i+1 + (J i + δJ i ) x i + ˜ν i , i ≥ 0 (6.2)sendo que x i ∈ R n é a variável descritora (ou semi-estado) que descreve o comportamento internodo sistema; z i ∈ R p é o sinal observado, ˜ν i é o erro de ajuste do modelo definido como:˜ν i :=⎡ ⎤ ⎡⎤⎣ ˜w i⎦ := ⎣ (G w,i + δG w,i ) w i + (G v,i+1 + δG v,i+1 )v i+1⎦ . (6.3)ṽ i+1 (K w,i + δK w,i ) w i + (K v,i+1 + δK v,i+1 ) v i+1As matrizes E i , F i , G w,i , G v,i+1 , H i+1 , J i K w,i , e K v,i+1 são assumidas conhecidas, dedimensões apropriadas, quadradas ou retangulares; δE i+1 , δF i , δG w,i , δG v,i+1 , δH i+1 , δK w,i eδK v,i+1 são perturbações nos parâmetros do sistema nominal, variantes no tempo.As incertezas paramétricas de (6.2) são modeladas por⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎣ δF i δG i δE i+1⎦ := ⎣ M 1,i 0⎦ ⎣ ∆ 1 0⎦⎣ N F iN Gi N Ei+1⎦ , (6.4)δJ i δK i δH i+1 0 M 2,i 0 ∆ 2 N Ji N Ki N Hi+1]sendo que N Gi :=[N Gw,i N Gv,i+1e N Ki :=[N Kw,i N Kv,i+1].Observe que são consideradas incertezas em todas as matrizes do sistema, enquanto em [29]não há perturbações em G w,i e K v,i+1 e em [42], somente há incertezas nas matrizes F i , e G w,ido modelo no espaço de estado usual considerado.O problema de ajuste ótimo para estimativas filtradas do sistema (6.2) é definido da seguinte

71maneira. Assuma que no passo i tem-se a estimativa a priori para o estado x i e denote aestimativa inicial por ˆx i|i . Além disso, suponha que há uma matriz de ponderação definidapositiva P i|i para o erro de estimativa (x i − ˆx i|i ). Para atualizar a estimativa de ˆx i|i para ˆx i+1|i+1 ,o seguinte funcional associado a (6.2) é proposto⎡ ⎤T ⎡⎡⎤−1⎤ ⎡ ⎤x i − ˆx i|i⎣ P i|i 0 x⎦ 0i − ˆx i|iJ i := ⎢ ν⎣ i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 R i⎥ ⎢ ν⎦ ⎣ i ⎥⎦ +x i+1 0 0 x i+1⎛⎡ ⎤⎞⎛⎡⎤ ⎡ ⎤⎞⎛⎡⎤ ⎡⎤⎞⎜⎝ − ⎝⎣ −F iˆx i|i⎦ + ⎣ −δF iˆx i|i⎦⎠ + ⎝⎣ F i G i −E i+1⎦ + ⎣ δF xi δG i −δE i − ˆx i|ii+1⎦⎠⎢ νz i+1 −δJ iˆx i|i J i K i H i+1 δJ i δK i δH i+1⎣ i ⎥⎟⎦⎠⎛⎡⎤⎞⎡ ⎤× µ i⎣ Θ 11 Θ 12⎦⎜⎢Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟⎦⎠Θ 21x i+1T(6.5)comν i :=R i :=⎡ ⎤⎣ w ]i⎦ , G i :=[G w,i G v,i+1 , K i :=v i+1⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ Q i S i⎦ e Ξ i := µ −1 ⎣ Θ 11 Θ 12⎦iR i+1 Θ 22S T iΘ 21−1[K w,i K v,i+1],. (6.6)O problema de filtragem robusta é encontrar ˆx i+1|i+1 que minimize J i , considerando o piorcaso das perturbações, ou sejamin max J i (6.7)x i ,x i+1 δ isendo δ i := {δE i+1 ,δF i ,δJ i ,δG i ,δK i , δH i+1 }.6.1.1 Estimativas Filtradas RobustasNesta seção expressões para as estimativas robustas ótimas na forma filtrada com a respectivaequação recursiva de Riccati são determinadas. Este resultado está apresentado em [9].Note que o funcional quadrático proposto para solucionar o problema de filtragem está formuladode acordo com a teoria desenvolvida no Capítulo 2, modificando o problema propostopara o modelo singular nominal apresentado no Capítulo 4.

72O próximo resultado é o principal desta seção, que fornece expressões para as estimativasrobustas ótimas na forma filtrada com a respectiva equação recursiva de Riccati.Teorema 6.1.1 Considere o sistema dinâmico singular (6.2) e o problema de otimização (6.7),sendo as incertezas paramétricas dadas por (6.4). Suponha[E T i+1 H T i+1 N T E i+1N T H i+1]e⎡⎤F i G i E i+1J i K i H i+1⎢N ⎣ Fi N Gi N Ei+1⎥⎦N Ji N Ki N Hi+1(6.8)posto linha pleno para todo i. Assim, tem-se que as estimativas robustas filtradas ˆx i+1|i+1 e suacorrespondente equação recursiva de Riccati são dadas por⎡ ⎤000][ˆx i+1|i+1 P i+1|i+1=00⎢⎣0⎥⎦I⎤−Q i 0 0 I 0 0 00 −Ŵi 0 0 I 0 00 0 −ˆλ i I 0 0 I 0I 0 0 0 0 0 I0 I 0 0 0 0 A i⎢⎣0 0 I 0 0 0 N Ai⎥⎦0 0 0 I A T i NA T i0T ⎡−1 ⎡⎤0 00 00 0ˆX i 0, (6.9)Z i+1 0⎢⎣0 0⎥⎦0 Isendo queQ i :=N Ai :=⎡⎢⎣⎡⎤i|i0 0 ⎡⎤0 R −1i0⎥⎦ ,A i := ⎣ F i G i −E i+1⎦J i K i H i+10 0 0P −1⎣ N F iN Gi −N Ei+1N Ji N Ki N Hi+1⎤⎦, Z i+1 :=⎡⎣ 0z i+1⎤⎦, ˆXi :=⎡ˆx i|i⎤⎢ 0 ⎥⎣ ⎦ . (6.10)0Além disso, tem-se queŴ i = (Ξ i −−1 ˆλiM i Mi T ) −1

73sendo Ξ i := µ −1i⎡⎤⎣ Θ 11 Θ 12⎦Θ 22Θ 21−1e M i :=⎡⎤⎣ M 1,i 0⎦ para µ i > 0 fixado.0 M 2,iO parâmetro ˆλ i deve satisfazer a seguinte desigualdade ˆλ i ≥ ∥ MTi Ξ −1 ∥iM i e minimizar G(λ)definida por (2.23).Prova: Aplicando o Lema 2.2.2, segue que o problema de otimização (6.7) possui ˆx como soluçãoe esta, por sua vez, é dada pela resolução do seguinte sistema linear⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 0 I 0 0 0 λ 1 00 −Ŵi 0 0 I 0 0λ 200 0 −ˆλ i I 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 0 Iγ 1=0. (6.11)0 I 0 0 0 0 A iγ 2b i⎢⎣0 0 I 0 0 0 N Ai⎥ ⎢⎦ ⎣γ 3⎥ ⎢⎦ ⎣N bi⎥⎦0 0 0 I A T i NA T i0 ˆx 0A inversa é bem definida em (6.11) devido às hipóteses de posto linha pleno estabelecidasem (6.8). Esta informação fará mais sentido quando expressões equivalentes para (6.9) foremexplicitadas na Seção 6.3, tornando a análise da invertibilidade mais confortável.Ao escrevermos o sistema (6.11) em termos dos parâmetros originais do sistema (6.2), parteda quinta e sexta linhas é dada por⎧⎡⎪⎨⎡⎪⎩⎧⎡⎪⎨⇒⎡⎪⎩⎣ λ1 2λ 2 2⎣ λ1 3λ 2 3⎣ λ1 2λ 2 2⎣ λ1 3λ 2 3⎡ ⎤⎤ ⎡⎤⎦ + ⎣ F ˆxi G i −E i − ˆx i|i⎡ ⎤i+1⎦⎢ ˆνJ i K i H i+1⎣ i ⎥⎦ = −F⎣ iˆx i|i⎦−J iˆx i|i + z i+1ˆx i+1⎡ ⎤⎤ ⎡⎤⎦ + ⎣ N ˆxF iN Gi −N Eii − ˆx ⎡ ⎤i|i⎦⎢ ˆνN Ji N Ki N H⎣ i ⎥⎦ = ⎣ −N F iˆx i|i⎦−N Jiˆx i|iˆx i+1⎡ ⎤⎤ ⎡⎤⎦ + ⎣ F ˆxi G i −E i⎡ ⎤i+1⎦⎢ ˆνJ i K i H i+1⎣ i ⎥⎦ = ⎣ 0 ⎦z i+1ˆx⎡ i+1⎤⎤ ⎡⎤⎦ + ⎣ N ˆxF iN Gi N i⎡ ⎤Ei⎦⎢ ˆνN Ji N Ki N H⎣ i ⎥⎦ = ⎣ 0 ⎦.0ˆx i+1(6.12)

74⎡ ⎤Dessa forma Z i+1 := ⎣ 0 ⎦ é definida. Através da mesma estratégia, determina-se ˆX i , ouz i+1seja, pela quarta linha do sistema (6.11) tem-se⎡⎢⎣λ 1λ 1 1⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ˆx i − ˆx i|i 0⎥⎦ + ⎢ ˆν⎣ i ⎥⎦ = ⎢0⎥⎣ ⎦ ⇒ ⎢⎣0λ 3 1 ˆx i+1⎡ˆx i|i⎤Assim, define-se ˆX i := ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦ e ˆx i+1|i+1 é dado por (6.9).0A expressão para Ŵi é obtida através do Lema 2.2.1,⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ˆx i ˆx i|i⎥⎦ + ⎢ ˆν⎣ i ⎥⎦ = ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦ . (6.13)ˆx i+1 0λ 1λ 1 1λ 3 1Ŵ −1i= Ξ i −ˆλ−1iM i M T i .O parâmetro ˆλ i é obtido por meio das expressões (2.22)-(2.23) do Lema 2.2.1, ou seja, atravésda minimização da função G(λ), quandoˆλ i ≥ ‖Mi T Ξ −1iM i ‖para µ i > 0 fixado.Pelo Lema 2.2.2, segue que a matriz P é definida como parte da expressão de ˆx, sendo dadapela Equação (2.28). Assim, P i+1|i+1 dada em (6.9) é obtida.⋄Observação 5 Conforme o parâmetro µ i é fixado para valores muito grandes, segue que o valorde ˆλ i cresce rapidamente eˆλ−1itende a zero. Esta consideração foi feita no Capítulo 4 buscandoencontrar a estimativa ótima, estando de acordo com o Método de Funções Penalidade.Observação 6 A estimativa suavizada robusta ˆx i|i+1 pode ser determinada a partir da soluçãodo problema de filtragem robusta proposto em (6.7). Tal estimativa será explicitada na Seção 6.3.Observação 7 A formulação proposta nesta seção permite considerar um atraso no sinal demedida, dado pela matriz J i . Este é um diferencial que a abordagem feita nesta tese proporciona.

756.2 Estabelecimento do Problema de Predição RobustaConsidere o seguinte sistema dinâmico singular sujeito a incertezas paramétricas(E i+1 + δE i+1 ) x i+1 = (F i + δF i )x i + ˜ν i ,z i = (H i + δH i )x i + ˜ν i , i ≥ 0 (6.14)sendo que x i ∈ R n é a variável descritora (ou semi-estado) que descreve o comportamento internodo sistema; z i ∈ R p é o sinal observado, ˜w i e ṽ i são os erros de ajuste do modelo definidos como:⎡ ⎤ ⎡⎤˜ν i := ⎣ ˜w i⎦ := ⎣ (G w,i + δG w,i )w i + (G v,i + δG v,i )v i⎦. (6.15)ṽ i (K w,i + δK w,i )w i + (K v,i + δK v,i )v iAs matrizes E i , F i , G w,i , G v,i , H i , K w,i , e K v,i são assumidas conhecidas, de dimensõesapropriadas, quadradas ou retangulares; δE i+1 , δF i , δG w,i , δG v,i , δH i , δK v,i e δK v,i são perturbaçõesnos parâmetros do sistema nominal, variantes no tempo.As incertezas paramétricas são modeladas por⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎡⎣ δF i δG i δE i+1⎦ := ⎣ M 1,i 0⎦⎣ ∆ 1 0⎦δH i δK i 0 0 M 2,i 0 ∆ 2]N Gi :=[N Gw,i N Gv,i, N Ki :=⎣ N F iN Gi N Ei+1N Hi N Ki 0[N Kw,i N Kv,i], ‖∆ j ‖ ≤ 1, j = 1, 2.⎤⎦,O problema de ajuste ótimo para estimativas preditoras do sistema (6.14) é definido daseguinte maneira. Assuma que no passo i − 1 tem-se a estimativa a priori para o estado x i edenote a estimativa inicial por ˆx i|i−1 . Além disso, suponha que há uma matriz de ponderaçãodefinida positiva P i|i−1 para o erro de estimativa (x i − ˆx i|i−1 ). Para atualizar a estimativa deˆx i|i−1 para ˆx i+1|i , propõe-se o seguinte funcional⎡ ⎤T ⎡⎤⎡⎤x i − ˆx i|i−1 P −1i|i−10 0 x i − ˆx i|i−1J i := ⎢ ν⎣ i ⎥ ⎢ 0 R −1⎦ ⎣i 0⎥⎢ν⎦⎣i ⎥⎦ +x i+1 0 0 0 x i+1⎛⎡ ⎤⎞⎡⎤⎜⎣ F xi + δF i G i + δG i −(E i+1 + δE i+1 )i − ˆx i|i−1⎡⎤⎦⎢ ν⎝ H i + δH i K i + δK i 0 ⎣ i ⎥⎦ − ⎣−(F i + δF i )ˆx i|i−1⎦⎟z i+1 − (H i + δH i )ˆx i|i−1⎠⎛⎡⎤⎞⎡ ⎤× µ i⎣ Θ 11 Θ 12⎦⎜⎢Θ 22⎝⎣ • ⎥⎟⎦⎠Θ 21x i+1T(6.16)

76comν i :=⎡⎣ w iv i⎤⎦ , K i :=⎡] [K w,i K v,i , R i := ⎣ Q iS T i⎤S i⎦ e G i :=R i[G w,i G v,i].O problema de predição robusta é encontrar ˆx i+1|i que minimize J i , considerando o pior casodas perturbações, ou seja,min max J i (6.17)x i ,x i+1 δ isendo que δ i := {δE i+1 ,δF i ,δG i ,δK i , δH i }.Com o objetivo de diferenciar a expressão matricial para ˆx i+1|i da expressão obtida para aestimativa filtrada robusta obtida na Seção 6.1.1, o próximo resultado irá explicitar os parâmetrosˆλ −1 e W −1 na forma matricial final do preditor.Esta estratégia será interessante no momento em que algumas análises sobre limites foremfeitas, com base na teoria desenvolvida no Capítulo 2.Lema 6.2.1 Seja ˆλ)i em (2.21) tal que(ˆλi I − Mi TW iM i é invertível. EntãoŴ i := (W −1i− λ −1 M i M T i ) −1 ,e o sistema matricial (2.27) é equivalente aT σ = B (6.18)sendoT :=⎡⎤ ⎡ ⎤−Q i I 0 0 0 0 0 0 0 λ 1I 0 0 0 0 0 0 0 Iγ 10 0 W i −10 0 0 0 M i A iγ 20 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0 0e0 0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0, σ :=d0 0 0 0 0 0 I 0 N Aiγ 30 0 0 I 0 I 0 0 0λ 3⎢ 0 0 M⎣i T 0 I 0 0 0 0 ⎥ ⎢ c ⎥⎦ ⎣ ⎦0 I A T i 0 0 NA T i0 0 0 x⎡ ⎤00b i0e B :=0. (6.19)N bi0⎢ 0 ⎥⎣ ⎦0

77Prova: Se x é solução do sistema (2.27) ou, de forma equivalente,⎧−Q i λ 1 + γ 1 = 0−Ŵiλ 2 + γ 2 = 0−ˆλ i I λ 3 + γ 3 = 0⎪⎨λ 1 + x = 0, (6.20)λ 2 + A i x = b iλ 3 + N Ai x = N bi⎪⎩ γ 1 + A T i γ 2 + NA T iγ 3 = 0tem-se que, através da segunda linha de (6.20) , −Ŵiλ 2 + γ 2 = 0 ⇒ γ 2 = Ŵiλ 2 ⇒ Ŵ −1iγ 2 = λ 2 .Já, pela quinta e sexta linhas de (6.20), segueque λ 2 +A i x = b i . Dessa forma, Ŵ −1iγ 2 +A i x =b i , que escrito em forma matricial torna-se⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 I 0 0 0 λ 1 00 −ˆλ i I 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 Iγ 100 0 0 Ŵi −1=. (6.21)0 A iγ 2b i⎢⎣0 I 0 0 0 N Ai⎥ ⎢⎦ ⎣γ 3⎥ ⎢⎦ ⎣N bi⎥⎦0 0 I A T i NA T i0 x 0Observe que neste primeiro procedimento da prova λ 2 foi retirado do vetor pré multiplicado.)Como, por hipótese,(ˆλi I − Mi TW iM i é invertível, abrindo a expressão para Ŵ i−1 tem-se⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 I 0 0 0 λ 1 00 −ˆλ i I 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 Iγ 100 0 0 Wi−1 −1− ˆλiM i Mi T =. (6.22)0 A iγ 2b i⎢⎣0 I 0 0 0 N Ai⎥ ⎢⎦ ⎣γ 3⎥ ⎢⎦ ⎣N bi⎥⎦0 0 I A T i NA T i0 x 0Através da quarta linha de (6.22), segue a equaçãoseja, Wi−1(ˆλ−1)γ 2 − M i I Mi Tγ 2 + A i x = b i .i(Wi−1 −−1 ˆλiM i MiT)γ 2 + A i x = b i , ou

78Adotando a definiçãoque escrito em forma matricial, torna-se(ˆλ−1)iI Mi Tγ 2 := −c, tem-se Mi Tγ 2+ˆλ i c = 0 ⇒ Wi−1 γ 2 +M i c+A i x = b i⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 I 0 0 0 0 λ 1 00 −ˆλ i I 0 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 0 Iγ 100 0 0 W i −1M i 0 A iγ 2=b i. (6.23)0 0 0 MiT ˆλ i I 0 0c0⎢⎣0 I 0 0 0 0 N Ai⎥⎢⎦⎣γ 3⎥ ⎢⎦ ⎣N bi⎥⎦0 0 I A T i 0 NA T i0 x 0de Ŵi.Neste segundo procedimento foi inserido c no vetor multiplicado, visando abrir a expressãoAtravés da quinta linha de (6.23) tem-se M T i γ 2 + ˆλ i c = 0. Definindo agora ˆλ i c := −d segueque c = −ˆλ −1id ⇒ c +forma matricial é dado por−1 ˆλid = 0. Além disso, Mi Tγ 2 + ˆλ i c = 0 ⇒ Mi Tγ 2 + d = 0, que escrito em⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 I 0 0 0 0 0λ 100 −ˆλ i I 0 0 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 0 0 Iγ 100 0 0 Wi −1 M i 0 0 A iγ 2b i=. (6.24)0 0 0 Mi T 0 I 0 0c00 0 0 0 I ˆλ−1 iI 0 0d0⎢ 0 I 0 0 0 0 0 N Ai ⎥ ⎢γ 3 ⎥ ⎢N bi ⎥⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 I A T i 0 0 NA T i0 x 0Veja que neste procedimento foi colocado d no vetor multiplicado, objetivando aparecerno lugar de ˆλ i .ˆλ−1iPara finalizar, tem-se através da segunda linha de (6.24) que −ˆλ i Iλ 3 + γ 3 = 0.

79Definindo e := −ˆλ i Iλ 3 ⇒−1 ˆλie + λ 3 = 0. Assim e + γ 3 = 0, ou seja,⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤−Q i I 0 0 0 0 0 0 0λ 10I 0 0 0 0 0 0 0 Iγ 100 0 Wi −10 0 0 0 M i A iγ 2b i0 0 0 ˆλ−1 iI 0 0 I 0 0e00 0 0 0 ˆλ−1 iI 0 0 I 0d=00 0 0 0 0 0 I 0 N Aiγ 3N bi0 0 0 I 0 I 0 0 0λ 30⎢ 0 0 Mi T 0 I 0 0 0 0 ⎥⎢c ⎥ ⎢ 0 ⎥⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦0 I A T i 0 0 NA T i0 0 0 x 0(6.25)que é exatamente igual ao sistema (6.18) escrito de forma expandida.⋄6.2.1 Estimativas Preditoras RobustasO resultado que fornece expressões para as estimativas robustas ótimas na forma preditoracom a respectiva equação recursiva de Riccati encontra-se na sequência.Para obtê-lo, utilizou-se o mesmo procedimento desenvolvido para o caso filtrado, apresentadopreviamente neste capítulo na Seção 6.1.1.Teorema 6.2.1 Considere o sistema dinâmico singular (6.14) e o problema de otimização (6.17),sendo as incertezas paramétricas dadas por (6.16). Assuma[]Ei+1 T 0 NE T i+10e⎡⎤F i G i E i+1H i K i 0⎢N ⎣ Fi N Gi N Ei+1⎥⎦N Hi N Ki 0(6.26)posto linha pleno para todo i. Assim, tem-se que as estimativas preditoras robustas ˆx i+1|i e a

80correspondente equação recursiva de Riccati são dadas por⎡ ⎤0000][ˆx i+1|i P i+1|i=000⎢0⎥⎣ ⎦I⎤−Q i I 0 0 0 0 0 0 0I 0 0 0 0 0 0 0 I0 0 W −1i 0 0 0 0 M i A i0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0 00 0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 00 0 0 0 0 0 I 0 N Ai0 0 0 I 0 I 0 0 0⎢ 0 0 M⎣i T 0 I 0 0 0 0 ⎥⎦0 I A T i 0 0 NA T i0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤0 0ˆX i 0Z i 00 00 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −I(6.27)sendo queQ i :=Z i :=⎡ ⎤P −1i|i0 0 ⎡⎤ ⎡⎤⎢ 0 R −1⎣i 0⎥⎦ , A i := ⎣ F i G i −E i+1⎦N Ai := ⎣ N F iN Gi −N Ei+1⎦,H i K i 0 N Hi N Ki 00 0 0⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ 0 ˆx ⎡ ⎤⎦, ˆX i|i−1i := ⎢ 0 ⎥z i⎣ ⎦ , W i = Ξ −1i , R i := ⎣ Q i S i⎦ . (6.28)SiT R i+10O parâmetro ótimo ˆλ i que minimiza G(λ), definida em (2.23), deve satisfazer a seguintedesigualdadeˆλ i ≥ ∥ ∥ MTi Ξ −1iM i∥ ∥ , (6.29)para µ i > 0 fixado.Prova: Aplicando o Lema 2.2.2 segue que o problema de otimização (6.17) possui ˆx como soluçãoe esta, por sua vez, é dada pela resolução do seguinte sistema linear⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤−Q i 0 0 I 0 0 0 λ 1 00 −Ŵi 0 0 I 0 0λ 200 0 −ˆλ i I 0 0 I 0λ 30I 0 0 0 0 0 Iγ 1=0. (6.30)0 I 0 0 0 0 A iγ 2b i⎢ 0 0 I 0 0 0 N⎣Ai⎥⎢γ ⎦⎣3 ⎥ ⎢N ⎦ ⎣bi⎥⎦0 0 0 I A T i NA T i0 x 0

81Como a inversa é bem definida em (6.30), devido às hipóteses de posto linha pleno estabelecidasem (6.26) (veja no final deste capítulo estruturas matriciais equivalentes, que tornam estaanálise mais adequada), a estimativa preditora ˆx i+1|i pode ser obtida como segue⎡ ⎤000ˆx i+1|i =00⎢⎣0⎥⎦I⎤−Q i 0 0 I 0 0 00 −Ŵi 0 0 I 0 00 0 −ˆλ i I 0 0 I 0I 0 0 0 0 0 I0 I 0 0 0 0 A i⎢⎣0 0 I 0 0 0 N Ai⎥⎦0 0 0 I A T i NA T i0T ⎡⎤0000b i⎢⎣N bi⎥⎦0−1 ⎡(6.31)que, pelo Lema 6.2.1, equivale ao sistema (6.18).⎡Escreve-se⎤o sistema⎡ ⎤(6.30) em termos dos parâmetros originais e modifica-se o vetor x dex i − ˆx i|i−1 x i⎢ ν⎣ i ⎥⎦ para ⎢ ν⎣ i ⎥⎦ , a fim de obter Z i e ˆX i no lugar de b i e N bi (veja para maiores detalhesx i+1 x i+1(6.12) e (6.13) na demonstração do Teorema 6.1.1).O parâmetro ˆλ i é obtido por meio de (2.22)-(2.23) do Lema 2.2.1, ou seja, através da minimizaçãoda função G(λ), quandopara µ i > 0 fixado.ˆλ i ≥ ∥ MTi Ξ −1 ∥iM i Pelo Lema 2.2.2 segue que a matriz P é definida como parte da expressão de ˆx (equação(2.28)), que equivale a (6.27). ⋄Observação 8 À medida que o parâmetro µ i toma valores excessivamente grandes, obtém-sequeˆλ−1ie W −1 decrescem rapidamente, ou seja,ˆλ−1i→ 0 e W −1 → 0. Sendo assim, algumasposições de (6.27) praticamente desaparecem, como ocorreu no Capítulo 4, após a aplicação doMétodo das Funções Penalidade.

826.3 Formas Matriciais Equivalentes para as Estimativas RobustasNesta seção as condições de posto pleno assumidas nos teoremas dos FSRs serão justificadas,garantindo a invertibilidade das formas matriciais presentes nas expressões dos filtros.No próximo resultado a matriz Q i será particionada como⎡ ⎤Q i = ⎣ Q 1 0⎦ ,0 Q 2de tal forma que as matrizes de ponderação apareçam na expressão matricial central das estimativasrobustas sem inversa, ou seja, deseja-se obter Q −11 , quando Q 2 = 0. Para isso, será]]necessário abrir A i e N Ai como A i =[A 1 A 2 e N Ai =[N A,1 N A,2, para que as dimensõesmatriciais permaneçam compatíveis.⎡ ⎤−1Teorema 6.3.1 Sejam Q 1 := ⎣ P i|i 0⎦ e Q 2 = 0 com R i :=0 R iexpressões para ˆx i+1|i+1 e P i+1|i+1 dadas por (6.9) são equivalentes a⎡⎣ Q iS T i⎤S iR i+1⎦. Então, as] [][ˆx i+1|i+1 P i+1|i+1= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I⎡⎤P i|i 0 0 0 0 0 0 0 I 0 00 R i 0 0 0 0 0 0 0 I 00 0 ˆλ−1i I 0 0 0 I 0 0 0 00 0 0 ˆλ−1i I 0 0 0 I 0 0 00 0 0 0 W −1i0 0 M i F i G i E i0 0 0 0 0 0 I 0 N F,i N G,i N E,i0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 00 0 0 I M i T 0 0 0 0 0 0I 0 0 0 F i T NF,i T 0 0 0 0 0⎢ 0 I 0 0 G⎣i T NG,i T 0 0 0 0 0 ⎥⎦0 0 0 0 Ei T NE,i T 0 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i 00 00 00 0Z i+1 00 0, (6.32)0 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −IsendoE i :=N E,i :=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ −E i+1⎦ , F i := ⎣ F i⎦,G i := ⎣ G i⎦ , N G,i = ⎣ N G i⎦H i+1 J i K i N Ki⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ N E i+1⎦ , N F,i := ⎣ N F i⎦ ,M i := ⎣ M 1,i 0⎦ . (6.33)N Hi+1 N Ji 0 M 2,i

83⎡ ⎤Prova: Se a matriz Q i é particionada como Q i = ⎣ Q 1 0⎦ com Q 2 = 0, e se ˆx i+1|i+1 é0 Q 2dado por (6.9), isto implica que ˆx é solução do seguinte sistema matricial⎡⎤⎡⎤ ⎡−Q 1 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 10 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0λ ′ 1I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0γ 10 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Iγ ′ 10 0 0 0 W −1i 0 0 0 0 M i A 1 A 2γ 20 0 0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0 0 0e0 0 0 0 0 0 ˆλ−1=i I 0 0 I 0 0d0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 N A,1 N A,2γ 30 0 0 0 0 I 0 I 0 0 0 0λ 30 0 0 0 M i T 0 I 0 0 0 0 0c⎢ 0 0 I 0 A⎣T 1 0 0 NA,1 T 0 0 0 0 ⎥⎢x⎦⎣i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 0 I A T 2 0 0 N T 0 0 0 0 ˆxA,2 i+100ˆx i|i0Z i+10000000⎤. (6.34)⎥⎦A partir da primeira linha de (6.34) tem-se que −Q 1 λ 1 +γ 1 = 0. Definindo a variável auxiliarg := −Q 1 λ 1 , segue que Q −11 g + λ 1 = 0 e g + γ 1 = 0, que escrito em termos matriciais torna-se⎡⎢⎣⎤⎡⎤ ⎡1 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 gI 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0λ 10 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0λ ′ 10 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0γ 10 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Iγ ′ 10 0 0 0 0 W −1i0 0 0 0 M i A 1 A 2γ 20 0 0 0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0 0 0e=0 0 0 0 0 0 0 ˆλ−1i I 0 0 I 0 0d0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 N A,1N A,2γ 30 0 0 0 0 0 I 0 I 0 0 0 0λ 30 0 0 0 0 Mi T 0 I 0 0 0 0 0c0 0 0 I 0 A T 1 0 0 N T 0 0 0 0 ⎥⎢xA,1⎦⎣i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 0 0 I A T 2 0 0 N T 0 0 0 0 ˆxA,2 i+1Q −1000ˆx i|i0Z i+10000000⎤. (6.35)⎥⎦A primeira linha de (6.35) fornece a equação Q −11 g + λ 1 = 0, enquanto a segunda e quartalinhas produzem, respectivamente, −g = γ 1 e λ 1 = ˆx i|i − x i . Assim,Q −11 g + (ˆx i|i − x i)= 0 ⇒ Q−11 g − x i = −ˆx i|i ⇒ −Q −11 g + x i = ˆx i|i . (6.36)

84Ainda por (6.35), como −g = γ 1 , segue que Q −11 γ 1+x i = ˆx i|i . Além disso, através da terceiralinha de (6.35) nota-se que γ ′ 1 = 0, que substituído na última linha resulta em AT 2 γ 2+E T A,2 γ 3 = 0.Segue, então, o seguinte sistema matricial equivalente⎡⎢⎣⎤ ⎡ ⎤ ⎡1 0 0 0 0 0 0 I 0γ 10 Wi −10 0 0 0 M i A 1 A 2γ 20 0 ˆλ−1 iI 0 0 I 0 0 0e0 0 0 ˆλ−1 iI 0 0 I 0 0d0 0 0 0 0 I 0 N A,1 N A,2γ 3=0 0 I 0 I 0 0 0 0λ 30 Mi T 0 I 0 0 0 0 0cI A T 1 0 0 NA,1 T 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x i ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎦ ⎣0 A T 2 0 0 NA,2 T 0 0 0 0 ˆx i+1Q −1ˆx i|iZ i+10000000⎤. (6.37)⎥⎦DefinindoQ −11 :=N A,1 :=⎡ ⎤⎣ P i|i 0⎦ , W −1 = Ξ, N A,2 := N E,i ,0 R i] [N F,i N G,i , A 1 :=[F i G i], A 2 := E i , (6.38)a expressão (6.32) para ˆx i+1|i+1 é obtida. Utilizando os mesmos cálculos algébricos feitos paraˆx i+1|i+1 , obtém-se a expressão para P i+1|i+1 .⋄Observação 9 Observe que, quando as incertezas do sistema (6.14) são tomadas nulas, ouseja, as matrizes que as compõe N F,i = N G,i = N E,i = M i = 0, a expressão (6.32) recai no FSNproposto em [4], que por sua vez foi detalhadamente deduzido no Capítulo 4.O corolário a seguir estabelece a equivalência entre a estimativa preditora robusta e correspondenteequação recursiva de Riccati com a estrutura matricial apresentada no Teorema6.2.1.A diferença entre os resultados para o filtro e preditor somente está no arranjo das matrizes.⎡ ⎤Corolário 6.3.1 Sejam Q 1 := ⎣ P i|i 0⎦0 R i−1⎡e Q 2 = 0 com R i := ⎣ Q iS T i⎤S i⎦. Então as expres-R i

85sões para ˆx i+1|i e P i+1|i dadas por (6.27) são equivalentes a] [][ˆx i+1|i P i+1|i= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I⎡⎤P i|i−1 0 0 0 0 0 0 0 I 0 00 R i 0 0 0 0 0 0 0 I 00 0 ˆλ−1 iI 0 0 0 I 0 0 0 00 0 0 ˆλ−1 iI 0 0 0 I 0 0 00 0 0 0 Wi −1 0 0 M i F i G i E i0 0 0 0 0 0 I 0 N F,i N G,i N E,i0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 00 0 0 I Mi T 0 0 0 0 0 0I 0 0 0 F T i NF,i T 0 0 0 0 0⎢ 0 I 0 0 G⎣i T NG,i T 0 0 0 0 0 ⎥⎦0 0 0 0 Ei T NE,i T 0 0 0 0 0−1 ⎡⎤ˆx i|i−1 00 00 00 0Z i 00 0(6.39)0 00 00 0⎢ 0 0 ⎥⎣ ⎦0 −IsendoE i :=⎡⎤⎣ −E i+1⎦ , F i :=0⎡⎣ F iH i⎤⎦ , G i :=⎡ ⎤⎣ G i⎦,K iN E,i :=⎡⎤⎣ N E i+1⎦ , N F,i :=0⎡⎤⎣ N F i⎦ , N G,i =N Hi⎡ ⎤⎣ N G i⎦N KiM i :=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ M 1,i 0⎦ , Z i := ⎣ 0 ⎦ . (6.40)0 M 2,i z i⋄Observação 10 Aplicando a teoria de Funções Penalidade, conforme foi feito na Seção 4.3 doCapítulo 4, a fim de encontrar a solução ótima, considere os limitesµ i → ∞, ˆλ−1 i→ 0 e W −1i→ 0

86em (6.32). Dessa forma, obtém-se⎡ ⎤00000ˆx i+1|i+1 =0000⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i|i 0 0 0 0 0 0 0 I 0 00 R i 0 0 0 0 0 0 0 I 00 0 0 0 0 0 I 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 I 0 0 00 0 0 0 0 0 0 M i F i G i E i0 0 0 0 0 0 I 0 N F,i N G,i N E,i0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 00 0 0 I M i T 0 0 0 0 0 0I 0 0 0 F i T NF,i T 0 0 0 0 0⎢ 0 I 0 0 G⎣i T NG,i T 0 0 0 0 0 ⎥⎦0 0 0 0 Ei T NE,i T 0 0 0 0 0T ⎡−1 ⎡ˆx i|i⎢⎣000Z i+1000000⎤. (6.41)⎥⎦Entretanto, a estimativa ˆx i+1|i+1 satisfaz (6.41) se, e somente se,⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡P i|i 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 a0 R i 0 0 0 0 0 0 0 I 0b0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0c0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0d0 0 0 0 0 0 0 M i F i G i E if0 0 0 0 0 0 I 0 N F,i N G,i N E,ig=0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 0h0 0 0 I M i T 0 0 0 0 0 0jI 0 0 0 F i T NF,i T 0 0 0 0 0k⎢ 0 I 0 0 G⎣i T NG,i T 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x⎦ ⎣ i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 0 0 Ei T NE,i T 0 0 0 0 0 x i+1ˆx i|i000Z i+1000000⎤. (6.42)⎥⎦A partir da terceira linha e quarta linha, respectivamente, tem-se que h = 0 e i = 0. Assim,(6.42) é equivalente a⎡⎤⎡⎤ ⎡P i|i 0 0 0 I 0 0 a0 R i 0 0 0 I 0b0 0 0 0 F i G i E if0 0 0 0 N F,i N G,i N E,ig=I 0 F i T NF,i T 0 0 0j⎢ 0 I G⎣i T NG,i T 0 0 0 ⎥⎢x⎦⎣i ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 Ei T NE,i T 0 0 0 x i+1ˆx i|i0Z i+10000⎤. (6.43)⎥⎦

87Como, por hipótese do Teorema 6.1.1,[E T iN T E,ipleno, segue que a inversa está bem definida. Portanto]e⎡⎤⎣ F i G i E i⎦ têm posto linhaN F,i N G,i N E,i⎡ ⎤000ˆx i+1|i+1 =00⎢0⎥⎣ ⎦I⎤P i|i 0 0 0 I 0 00 R i 0 0 0 I 00 0 0 0 F i G i E i0 0 0 0 N F,i N G,i N E,iI 0 F i T NF,i T 0 0 0⎢ 0 I G⎣i T NG,i T 0 0 0 ⎥⎦0 0 Ei T NE,i T 0 0 0T ⎡−1 ⎡ˆx i|i⎢⎣0Z i+10000⎤. (6.44)⎥⎦Embora as formas (6.41) e (6.44) sejam equivalentes, a informação presente na matriz M inão aparece em (6.44).Observação 11 O mesmo procedimento estabelecido na Observação 10 pode ser feita para ˆx i+1|ie P i+1|i , ou seja, tais recursões passam a ser dadas por⎡ ⎤000][ˆx i+1|i P i+1|i=00⎢⎣0⎥⎦I⎤P i|i−1 0 0 0 I 0 00 R i 0 0 0 I 00 0 0 0 F i G i E i0 0 0 0 N F,i N G,i N E,iI 0 Fi T NF,i T 0 0 0⎢⎣0 I Gi T NG,i T 0 0 0 ⎥⎦0 0 Ei T NE,i T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤ˆx i|i−1 00 0Z i 00 00 0⎢⎣0 0 ⎥⎦0 −I(6.45)para E i , F i , G i , N G,i , N E,i , N F,i definidas em (6.40).

89Capítulo 7Estabilidade e Convergência dos FSRsPara garantir um desempenho apropriado do FSR em regime permanente, será determinadaa existência e unicidade da solução estabilizante P para a EAR e será mostrado que a recursãode Riccati {P i+1|i+1 } é uma sequência não decrescente que converge para a solução da EAR. Osresultados propostos neste capítulo utilizam o mesmo procedimento adotado para as provas deestabilidade e convergência do FSN, uma vez que quando as incertezas são desconsideradas nomodelo singular, a expressão obtida para o FSR recai na estrutra matricial estabelecida para ocaso nominal. Através da estrutura de blocos matriciais em que os filtros aparecem, a equivalênciaentre as expressões pode ser observada de maneira direta, através da simples compactação deblocos.A estratégia desenvolvida neste capítulo para as provas de estabilidade e convergência dosFSRs tem a vantagem de não adotar hipóteses fortes sobre as matrizes que compõem as incertezasdo sistema singular, como foi considerado em [42]. Nessa referência foi assumida a ortogonalidadeentre as matrizes N F e N Gw .7.1 Resultados PreliminaresSempre que os sistemas dinâmicos singulares (6.2) e (6.14) considerados forem invariantes notempo, isto é,Z i = (E + δE) x i+1 + (F + δF) x i + (G + δG) V i , (7.1)

90sendo queZ i :=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ 0 ⎦, E = ⎣ E d⎦, F :=z i E mδE :=⎡⎤⎣ δE d⎦,δF :=δE m⎡ ⎤ ⎡⎣ F d⎦, G :=F m⎡ ⎤ ⎡⎣ δF d⎦,δG :=δF m⎤⎣ G d⎦ e V i :=G m⎡ ⎤⎣ w i⎦v i⎤⎣ δG d⎦ (7.2)δG mpode-se demonstrar importantes propriedades da EAR, como será visto na sequência.Assim, como foi adotado no Capítulo 5, o índice d representa a parte referente a equaçãodinâmica do sistema e o índice m refere-se a equação de medida.[ ]As incertezas paramétricas δF δG δE são modeladas por[ ]δF δG δE:=⎡⎤⎣ δF d δG d δE d]⎦ := M i Λ[N F N G N EδF m δG m δE m(7.3)sendoN F =⎡⎤⎣ N F d⎦ , N G =N Fm⎡⎤⎣ N G d⎦ , N E =N Gm⎡⎤⎣ N E d⎦ ,M i :=N Em⎡⎤⎣ M 1 0⎦ e Λ =0 M 2⎡⎤⎣ ∆ 1 0⎦. (7.4)0 ∆ 2Para o caso singular filtrado robusto (Equação (6.2) do Capítulo 6), tem-se⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤E := ⎣ −E ⎦; F := ⎣ F ⎦ , G := ⎣ G w G v⎦H 0 K w K v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤N E := ⎣ −N E⎦ ; N F := ⎣ N F⎦ e N G := ⎣ N G wN Gv⎦ (7.5)N H 0N KvN Kwenquanto no caso preditor robusto singular (Equação (6.14) do Capítulo 6) valem as seguintesdefinições⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤E := ⎣ −E ⎦; F := ⎣ F ⎦ , G := ⎣ G w G v⎦0 H K w K v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤N E := ⎣ −N E⎦; N F := ⎣ N F⎦ e N G := ⎣ N G wN Gv⎦ . (7.6)0 N H N KvN Kw

91Considerando as matrizes de ponderação, associadas aos erros de ajuste, definidas como⎡R := ⎣ QS T⎤S ⎦ > 0,Rfoi provado que, se⎡ ⎤⎣ E ⎦ tem posto coluna pleno eN Eentão a melhor estimativa ˆx i+1 de x i é gerada por⎡ ⎤000][ˆx i+1 P i+1|i+1=00⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 0 I 0 00 R 0 0 0 I 00 0 0 0 F G E0 0 0 0 N F N G N EI 0 F T NF T 0 0 0⎢⎣0 I G T NG T 0 0 0 ⎥⎦0 0 E T NE T 0 0 0T ⎡⎡ ⎤⎣ E F G ⎦ tem posto linha pleno,N E N F N G−1 ⎡⎤ˆx i 00 0Z i+1 00 0. (7.7)0 0⎢⎣0 0 ⎥⎦0 −IAssim, como foi observado no Capítulo 5, note que as expressões para as estimativas e paraa recursão de Riccati valem tanto para o caso filtrado como para o caso preditor. Portanto, asnotações ˆx i+1|i+1 e ˆx i+1|i serão suprimidas e tais estimativas serão dadas apenas por ˆx i+1 .Considerando as seguintes compactações matriciaisĒ :=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎣ E ⎦ , ¯F := ⎣ F ⎦ e Ḡ :=N E N F⎣ G N G⎤⎦ (7.8)tem-se que ˆx i+1 e P i+1 passam a ser escritas como⎡ ⎤000ˆx i+1 =0⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 ¯F Ḡ ĒI 0 ¯FT 0 0 0⎢⎣0 I Ḡ T 0 0 0⎥⎦0 0 Ē T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤ˆx i0Z i0⎢⎣0 ⎥⎦0(7.9)

92e⎡ ⎤000P i+1 = −0⎢⎣0⎥⎦I⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 ¯F Ḡ ĒI 0 ¯FT 0 0 0⎢⎣0 I Ḡ T 0 0 0⎥⎦0 0 Ē T 0 0 0T ⎡−1 ⎡⎤000. (7.10)0⎢⎣0⎥⎦IÉ importante salientar que as expressões (7.9) e (7.10), são análogas a (5.3) e (5.4), respectivamente,excetuando-se o fato das matrizes E, F e G serem modificadas para Ē, ¯F e Ḡ quandohá incorporação de incertezas no modelo.Devido a esta analogia, torna-se trivial a utilização das mesmas demonstrações desenvolvidasno Capítulo 5 para as propriedades de estabilidade e convergência dos filtros robustos.Sendo assim, considere novamente as seguintes notaçõese i :=¯Ω (P) :=[T0 ... I ... 0], ¯M (P) := ¯Ω−1 (P),⎡⎤P i 0 0 I 0 00 R 0 0 I 00 0 0 ¯F Ḡ Ē, (7.11)I 0 ¯FT 0 0 0⎢⎣0 I Ḡ T 0 0 0⎥⎦0 0 Ē T 0 0 0sendo e i e ¯M (P) decompostos em blocos de acordo com a partição de ¯Ω(P). ¯M é particionadacomo ¯M ij , i,j = 1,...,6 e o vetor de blocos e i possui a matriz identidade na i-ésima posição dobloco e matrizes nulas nas demais posições.A partir de (7.9) e (7.10) e das definições (7.11) e (7.11), tem-se que o filtro em regimepermanente e a EAR correspondente são dados porˆx i+1 = e T 6 ¯Ω −1 (P) (e 1ˆx i + e 3 Z i )P = −e T 6 ¯Ω −1 (P)e 6 (7.12)

93respectivamente.Lema 7.1.1 As equações para ˆx i+1 e P dadas respectivamente por (7.12) e (7.12) podem serreescritas comoˆx i+1 := ¯M 61ˆx i + ¯M 63 Z i = − ¯M 63 Fˆx i + ¯M 63 Z i (7.13)P := ¯M 61 P ¯M T 61 + ¯M 62 R ¯M T 62 = ¯M 63 ( ¯FP ¯F T + ḠRḠT ) ¯M T 63 . (7.14)Prova: A prova deste Lema é igual à elaborada para o Lema 5.1.3 do Capítulo 5.7.2 EstabilidadePara garantir um desempenho apropriado do FSR em regime permanente, serão enunciadosresultados que garantem a estabilidade deste filtro quando os parâmetros do modelo são invariantesno tempo. Em particular, será determinada a existência e unicidade de uma soluçãoestabilizante P para a EAR (7.14). Em virtude do fato das estruturas de (7.9) e (7.10) seremanálogas a (5.3) e (5.4), serão feitos esboços das demonstrações desta seção, omitindo-se osdetalhes.Teorema 7.2.1 Suponha que o sistema (7.1) é detectável e estabilizável e R > 0. Seja P umasolução da EAR (7.14). Se P ≥ 0 então P é uma solução estabilizante para a EAR.Prova: Esta prova é feita por contradição. Suponha que exista uma solução semidefinidapositiva P para (7.14). Para mostrar a estabilidade de (7.13) deve-se mostrar que ¯M 63 ¯F éestável.Assuma, por contradição, que ¯M 63 ¯F não é estável. Então, após alguns cálculos algébricos(veja para maiores detalhes a demonstração do Teorema 5.2.1 do Capítulo 5), tem-se que[λĒ − ¯F]Ḡ não tem posto linha pleno, para |λ| ≥ 1, ou seja, uma contradição é obtida. Logo,¯M 63 ¯F é estável.⋄Teorema 7.2.2 Considere a EAR (7.14). Se a solução estabilizante existir, ela é única.Prova: Esta prova utiliza o seguinte procedimento desenvolvido no Teorema 5.2.2 do Capítulo5. Suponha que existam duas soluções estabilizantes P 1 e P 2 para (7.14). Como ¯M 61 = ¯M 63 ¯F

94são estáveis, a equação de Stein dada no Lema 5.1.4P 1 − P 2 = ¯M 611 (P 1 − P 2) ¯M2 T61 (7.15)possui solução única P 1 − P 2 = 0. Logo, P 1 = P 2 .⋄7.3 ConvergênciaNesta seção serão apresentados resultados que garantem a convergência da recursão de Riccati(7.14), ou seja, será mostrado que tal recursão é uma sequência monótona não decrescente,limitada superiormente.Os três resultados encontrados na sequência são auxiliares. No primeiro deles, o sinal darecursão de Riccati P i+1 é obtido. O segundo define uma recursão auxiliar F fi e estabeleceuma relação entre ela e a recursão de Riccati. Finalmente, o terceiro resultado auxiliar faz umacomparação entre recursões de Riccati definidas com índices diferentes.Lema 7.3.1 Suponha que P i ≥ 0. Então P i+1 é uma matriz semidefinida positiva.Prova: Pelo Lema 7.1.1, as expressões (7.12) e (7.14) para P i+1 são equivalentes. Assim,para determinar o sinal de P i+1 basta verificar a positividade de R e utilizar a hipótese P i ≥ 0.Assim, conclui-se de maneira direta que P i+1 ≥ 0.⋄Lema 7.3.2 Considere as seguintes equações matriciais, para j = 1,2P ji+1:= − ¯M j 66,i e F j fi := ¯M j 61,i . (7.16)Então, as seguintes relações são obtidas(i) Pi+1 1 − Pi+1 2 = Ffi1 (P1i − Pi2 )F2 Tfi (7.17)(ii) Ffi 1 − F fi 2 = F fi2 (P1i − Pi2 )M111,i . (7.18)Prova: A demonstração deste resultado é análoga à desenvolvida para o Lema 5.3.2 doCapítulo 5, sendo, portanto, omitida.⋄Lema 7.3.3 Considere (7.16) para j = 1,2 . Se P 1i ≥ P 2i , então P 1i+1 ≥ P 2i+1 .

95Prova: Utilizando as relações matriciais presentes no Lema 7.3.2, e a mesma álgebra desenvolvidano Lema 5.3.3, obtém-sePi+1 1 − Pi+1 2 = Ffi2 (P1i − Pi2) 12[I + ( P 1i − Pi2) 1(2 ¯M1 11,i P1i − Pi2) 1(P2]1i − Pi2) 12Ffi2 T.Através da Proposição 1 , da hipótese P 1i −P 2i ≥ 0 e do Lema 7.3.1, obtém-se P 1i+1 −P 2i+1 ≥ 0. ⋄O próximo lema garante que a recursão de Riccati é uma sequência monótona não decrescente.Ele é indispensável para que a convergência seja demonstrada.Lema 7.3.4 Suponha que R > 0 e defina {P i } ∞ i=0 por (7.10) com P 0 = 0. Então {P i } ∞ i=0 é umasequência monótona não decrescente.Prova: Desde que R > 0 e P i é dado por (7.12) tem-se que, para P 0 = 0 segue P 1 ≥ 0 eP 1 − P 0 ≥ 0. Considere a hipótese de indução P i − P i−1 ≥ 0. Aplicando o Lema 7.3.30 = P 0 ≤ P 1 ≤ ... ≤ P i ≤ P i+1 ≤ ...Os dois últimos resultados deste capítulo utilizam a comparação entre as sequências estabelecidasno Lema 5.3.9 do Capítulo 5. Eles garantem que a sequência {P i+1 } ∞ i=0 é limitadasuperiormente e converge para P s . Eles estão sem provas, pois são análogos ao Lema 5.3.10 eTeorema 5.3.1, a menos da modificação nas matrizes E, F e G para Ē, ¯F e Ḡ.Lema 7.3.5 Considere a sequência {P i+1 } ∞ i=0[λĒ definida no Lema 7.1.1. Se − ¯F]tem posto[ ]coluna pleno e λĒ − ¯F Ḡ tem posto linha pleno para todo i, então para qualquer condiçãoinicial P 0 , a sequência {P i+1 } ∞ i=0 é limitada superiormente, ou seja, existe uma matriz P s talque 0 ≤ P i+1 ≤ P s , para i ≥ 0.⋄Teorema 7.3.1 Suponha que o sistema (7.1) seja detectável e estabilizável e R > 0.uma sequência {P i+1 } ∞ i=0 porDefinaP i+1 = ¯M 63,i ( ¯FP i ¯FT + ḠRḠT ) ¯M T 63,i (7.19)1 Proposição A matriz ¯M 11,i é dada por ¯M 11,i = ¯M 41,iP i ¯MT 41,i + ¯M 42,iR ¯M T 42,i, sendo {P i, R} ≥ 0.

96com P 0 ≥ 0. Então, existe uma única matriz P + ≥ 0 tal que P i+1 → P + quando i → ∞. Olimite P + é a solução da EARP = ¯M 63 ( ¯FP ¯F T + ḠRḠT ) ¯M T 63. (7.20)⋄

97Capítulo 8Resultados Numéricos e Conclusões8.1 Comparação com o Filtro BDUConsidere o seguinte modelo com incertezasx i+1= (F i + δF i )x i + (G i + δG i ) w i[z iδF i δG i]= H i x i + v i[ ]= M i ∆ i N f,i N g,i(8.1)sendo {M i ,N f,i ,N g,i } matrizes conhecidas e ∆ i uma matriz arbitrária satisfazendo ‖△ i ‖ ≤ 1.Em [42] a estimativa filtrada robusta com incertezas limitadas, denominada filtro BDU éobtida a partir do seguinte resultadoAlgoritmo Considere o sistema sujeito a incertezas (8.1). Sejam dadas as matrizes deponderação Π 0 > 0, R i > 0 e Q i > 0. As estimativas dos estados podem ser computadasrecursivamente segundo o seguinte algoritmo:Passo 0 (Condições iniciais): FaçaP 0|0ˆx 0|0:= (Π −10 + H T 0 R −10 H 0) −1 ,:= P 0|0 H T 0 R−1 0 z 0.Passo 1 : Se H i+1 M i = 0, então faça ˆλ i = 0.

98Caso contrário, determine ˆλ i no intervaloλ > λ l,i := ‖M T i HT i+1 R−1 i+1 H i+1M i ‖ (8.2)que minimiza G(λ) definido por (2.23) com as identificações (2.24).Passo 2 : Se ˆλ i ≠ 0, substituir {Q i ,R i+1 ,P i|i ,G i ,F i } por:ˆQ −1iˆR i+1= Q −1i+ ˆλ i N T g,i(I + ˆλ i N f,i P i|i N T f,i) −1Ng,i (8.3)−1= R i+1 − ˆλiH i+1 M i Mi T HT i+1 (8.4)(ˆP i|i = P −1i|i+ ˆλ−1i Nf,i f,i) T N (8.5)= P i|i − P i|i Nf,i T −1(ˆλiI + N f,i P i|i Nf,i T )−1 N f,i P i|i (8.6)Ĝ i = G i − ˆλ i F i ˆPi|i Nf,i T N g,i (8.7)(ˆF i = F i − ˆλ) (i Ĝ i ˆQi Ng,i T N f,i I − ˆλ)i ˆPi|i Nf,i T N f,i (8.8)Se ˆλ i = 0, façaˆQ i = Q i , ˆR i+1 = R i+1 , ˆPi|i = P i|i , Ĝ i = G i , e ˆF i = F i .Passo 3 : Atualize {ˆx i|i ,P i|i } da seguinte maneira:ˆx i+1|i = ˆF iˆx i|i (8.9)ˆx i+1|i+1= ˆx i+1|i + P i+1|i+1 H T i+1ˆR−1i+1 e i+1 (8.10)e i+1 = z i+1 − H i+1ˆx i+1|i (8.11)P i+1|i= F i ˆPi|i F Ti + Ĝi ˆQ i Ĝ T i (8.12)P i+1|i+1= P i+1|i − P i+1|i H T i+1 R−1 e,i+1 H i+1P i+1|i (8.13)R e,i+1 = ˆR i+1 + H i+1 P i+1|i H T i+1 . (8.14)O objetivo deste exemplo é mostrar que ao assumirmos na expressão do funcional (6.16),lim ˆx i+1 (8.15)Ξ i →0o FSR desenvolvido no Capítulo 6, Equação (6.45), se equivale ao desempenho do filtro ótimoBDU apresentado nesse capítulo.

99Os parâmetros utilizados na simulação são os mesmos utilizados em [42], ou seja,⎡ ⎤ ⎡ ⎤0.9802 0.0196F i = ⎣ ⎦, G w,i = ⎣ 1 0 ⎦ ,H i+1 =0 0.9802 0 1[ ]1 −1 , (8.16)e as seguintes matrizes de ponderação⎡ ⎤⎡ ⎤1.9608 0.0195Q i = ⎣ ⎦ , R i+1 = 1, S i = ⎣ 0 ⎦ .0.0195 1.96050As incertezas paramétricas são modeladas através de⎡ ⎤M 1 = ⎣ 0.0198 ⎦ , N f =0[ ]0 5 . (8.17)Os resultados da Figura 8.1 foram obtidos considerando as matrizes (8.16) e (8.17), sendoque a variância do erro de estimativa foi calculado através do seguinte procedimentoE‖x i − ˆx i ‖ = 1 TT∑j=1‖x (j)i− ˆx (j)i‖.Variância do Erro (dB)201816141210864210 0 10 1 10 2 10 3iFigura 8.1: FSR(—) e Filtro BDU (- - -)Cada ponto no instante i em cada curva é a Variância do Erro calculada sobre T experimentos(T = 500 trajetórias com N = 1000 pontos).i.Para cada experimento j, a matriz ‖∆ 1 ‖ < 1 é selecionada aleatoriamente e fixada para todo

100As matrizes P encontradas são:P BDU =P FSR =⎡ ⎤8.0963 7.9298⎣ ⎦7.9298 8.0721⎡ ⎤8.0869 7.6425⎣ ⎦7.6425 7.9084sendo que para o Filtro BDU, ˆλ BDU = 5.8806E − 4, que é encontrado através da expressãoˆλ BDU = (1 + α)‖M T 1 H T i+1R −1i+1 H i+1M 1 ‖, α = 0.5e o filtro robusto proposto nesta tese, Teorema 6.3.1, não depende de nenhum parâmetro auxiliarde ajuste pois µ i → ∞.A figura abaixo mostra a convergência ⎡ do ⎤ máximo valor singular da matriz P i , calculada deacordo com a EAR (7.7), com P 0|0 = ⎣ 1 0 ⎦.0 11614Norma de P i+1|i+11210864200 10 20 30 40 50iFigura 8.2: Evolução de P i+1|i+18.2 Conclusões e Continuidade da PesquisaNeste trabalho, o problema de obtenção de estimativas recursivas robustas nas formas filtradae preditora para sistemas singulares discretos no tempo sujeitos a incertezas paramétricas foiresolvido. Para isso, utilizaram-se duas técnicas de otimização não lineares: mínimos quadradosregularizados e funções penalidade.

101O sistema dinâmico considerado nesta tese possui uma formulação mais geral, com ruídos deestado e medida correlacionados e incertezas em todas as matrizes que o compõe. Sendo assim,os resultados obtidos generalizam os apresentados até o momento na literatura.As estimativas recursivas robustas com as respectivas equações recursivas de Riccati foramexpressas na forma de blocos matriciais, possuindo estrutura simples e simétrica.A partir destas estimativas, também foram detalhadamente demonstradas as propriedadesde convergência e estabilidade dos filtros gerais. Mostrou-se que o filtro em estado permanente éestável e a recursão de Riccati é uma sequência monótona não decrescente limitada superiormentepela solução da Equação Algébrica de Riccati.Mostrou-se que há equivalência entre as expressões obtidas para o filtro robusto neste projetocom as encontradas na literatura, através da simplificação do sistema singular considerado.Como trabalho futuro pretende-se calcular filtros de Kalman para sistemas lineares singularessujeitos a saltos Markovianos, possuindo formulação mais geral, com incertezas em todas asmatrizes que os compõem, de acordo com o problema resolvido nesta tese.

102

103Referências Bibliográficas[1] Albert, A. (1972). Regression and the Moore-Penrose Pseudoinverse. New York and London:Academic Press.[2] Anderson, B. D. O. e J. B. Moore (1979). Optimal Filtering. Upper Saddle River, NJ:Prentice-Hall.[3] Bertsekas, D. P. (1995). Dynamic Programming and Optimal Control, Volume I. Belmont,Massachusetts: Athena Scientific.[4] Bianco, A., J. Y. Ishihara, e M. H. Terra (2008a). Optimal recursive linear filtering for generaldiscrete time singular systems. Proceedings of the 16 th Mediterranean Conference on Controland Automation, Corsica, France, 1663–1668.[5] Bianco, A. F. (2004). Filtros de Kalman para sistemas singulares em tempo discreto. Dissertaçãode Mestrado, Universidade de São Paulo.[6] Bianco, A. F., J. Y. Ishihara, e M. H. Terra (2005). A deterministic approach for generaldiscrete-time Kalman filter for singular systems. Proceedings of the American Control Conference,Portland, OR, USA, 4045–4050.[7] Bianco, A. F., J. Y. Ishihara, e M. H. Terra (2006). Estudo sobre a equação algébrica deRiccati associada à filtragem ótima de sistemas singulares discretos no tempo. Anais do XVICongresso Brasileiro de Automática, Salvador, Brasil.[8] Bianco, A. F., J. Y. Ishihara, e M. H. Terra (2008b). Optimal robust prediction for generaldiscrete time singular systems. Proceedings of the 10th International Conference on Control,Automation, Robotics and Vision, ICARCV 2008, Hanoi, Vietinam.[9] Bianco, A. F., J. Y. Ishihara, M. H. Terra, e J. P. Cerri (2008). Filtragem robusta de Kalman

104para sistemas dinâmicos singulares discretos no tempo. Anais do XVII Congresso Brasileirode Automática, Juiz de Fora, Brasil.[10] Caines, P. e D. Mayne (1970). On the discrete time matrix Riccati equation of optimalcontrol. International Journal of Control 12(5), 785–794.[11] Callier, F. M. e J. L. Willems (1981). Criterion for the convergence of the solution of theRiccati differential equation. IEEE Transactions Automatic Control 26(6), 1232–1242.[12] Cerri, J. P., M. H. Terra, e J. Y. Ishihara (2009). Recursive robust regulator for discrete-timestate-space systems. Proceedings of the American Control Conference, St. Louis, Missouri,USA.[13] Dai, L. (1989). Impulsive modes and causality in singular systems. International Journalof Control 50(4), 1267–1281.[14] Darouach, M., M. Zasadzinski, e D. Mehdi (1993). State estimation of stochastic singularlinear systems. International Journal of Systems and Science 24(2), 345–354.[15] de Souza, C. A., K. A. Barbosa, e F. Minyue (2008). Robust filtering for uncertain lineardiscrete-time descriptor systems. Automatica 44, 792–798.[16] de Souza, C. A., F. Minyue, e K. A. Barbosa (2006). Robust filtering for uncertain lineardiscrete-time descriptor systems. Proceedings of the 14th IFAC Symposium on SystemIdentification, NewCastle 1, 1228–1233.[17] de Souza, C. E., M. R. Gevers, e G. C. Goodwin (1986). Riccati equations in optimal filteringof nonstabilizable systems having singular state transition matrices. IEEE TransactionsAutomatic Control 31(9), 831–838.[18] Deng, Z. e Y. Liu (1999). Descriptor Kalman estimators. International Journal of Systemsand Science 30(11), 1205–1212.[19] Dominguez, S. M., T. Keaton, e A. H. Sayed (2001). Comparison of robust estimation andKalman filtering applied to fingertip tracking in human-machine interfaces. In Proceedings ofthe Asilomar Conference on Signals, Systems, and Computers, California, USA.[20] Einicke, G. A. e L. B. White (1999). Robust extended Kalman filtering. IEEE Transactionson Signal Processing 47(9), 2596–2599.

105[21] Germani, A., C. Manes, e P. Palumbo (2001). Optimal linear filtering for stochastic Non-Gaussian descriptor systems. Proceedings of the 40th IEEE Conf. Decision Control, Orlando,Florida, USA, 2514–2519.[22] Hasan, M. A. e M. R. Azim-Sadjani (1995). Noncausal image modeling using descriptorapproach. IEEE Transactions on Circuits and Systems II 42(8), 536–540.[23] Horn, R. A. e C. R. Johnson (1996). Matrix Analisys. Cambridge: Cambridge UniversityPress.[24] Huffel, S., V. Sima, S. H. A. Varga, e F. Delebecque (2004). High-performance numericalsoftware for control. IEEE Control Systems Magazine 24(1), 60–76.[25] Ishihara, J. Y., A. F. Bianco, e M. H. Terra (2005). A deterministic approach for optimalrecursive prediction of singular discrete-time systems. Proceedings of the 16th IFAC WorldCongress, Prague, Czech Republic.[26] Ishihara, J. Y., A. F. Bianco, e M. H. Terra (2008). Recursive linear estimation for generaldiscrete time linear systems. submetido para a Automatica.[27] Ishihara, J. Y. e M. H. Terra (2008). Robust state prediction for descriptor systems. Automatica44, 1–5.[28] Ishihara, J. Y., M. H. Terra, e J. C. T. Campos (2005). Optimal recursive estimationfor discrete-time descriptor systems. International Journal of Systems and Science 36(10),605–615.[29] Ishihara, J. Y., M. H. Terra, e J. C. T. Campos (2006). Robust Kalman filter for descriptorsystems. IEEE Transactions on Automatic Control 51(8), 1354–1358.[30] Kalman, R. E. (1960). Contributions to the theory of optimal control. Boletin de la SociedadMatematica Mexicana 5, 102–119.[31] Keller, J. Y., S. Nowakowski, e M. Darouach (1992). State estimation and failure detectionin singular systems. Control Theory and Advanced Technology 8(4), 755–762.[32] Kwon, S., K. Yang, e S. Park (2006). An effective Kalman filter localization method formobile robots. In Proceedings of the 2006 IEEE/RSJ International Conference on IntelligentRobots and Systems, Beijing, China.

106[33] Kwon, S., K. Yang, S. Park, e Y. Ryuh (2005). Robust mobile robot localization withcombined Kalman filter-perturbation estimator. In Proceedings of the IEEE/RSJ InternationalConference on Intelligent Robots and Systems, Alberta, Canada.[34] Lancaster, P. e L. Rodman (1995). Algebraic Riccati Equations, Volume 1. Oxford and NewYork: Oxford Science Publications.[35] Luenberger, D. G. (2003). Linear and Nonlinear Programming. Kluwer Academic Publishers.[36] Luenberger, D. V. (1977). Dynamic equations in descriptor form. IEEE TransactionsAutomatic Control 22(3), 312–321.[37] Mettler, B., M. B. Tischler, e T. Kanade (2002). System identification modeling of a smallscaleunmanned rotorcraft for flight control design. Journal of the American Helicopter Society,50–63.[38] Mills, J. K. e A. A. Goldenberg (1989). Force and position control of manipulators duringconstrained motion tasks. IEEE Transactions Robototics and Automation 68, 30–46.[39] Nikoukhah, R., S. L. Campbell, e F. Delebecque (1999). Kalman filtering for general discretetimelinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control 44(10), 1829–1839.[40] Nikoukhah, R., A. L. Willsky, e B. C. Levy (1992). Kalman filtering and Riccati equationsfor decriptor systems. IEEE Transactions on Automatic Control 37(9), 1325–1342.[41] Sayed, A., V. Nascimento, e F. Cipparrone (2002). A regularized robust design criterion foruncertain data. SIAM Journal on Matrix Analysis and Its Applications 23(4), 1120–1142.[42] Sayed, A. H. (2001). A framework for state-space estimation with uncertain models. IEEETransactions on Automatic Control 46(7), 998–1013.[43] Shaked, U. e C. E. de Souza (1995). Robust minimum variance filtering. IEEE Transactionson Signal Processing 43(11), 2474–2483.[44] Stevens, B. L. e F. L. Lewis (1991). Aircraft Modeling, Dynamics and Control. New York:Wiley.[45] Wang, F. e V. Balakrishnan (2002). Robust Kalman filters for linear time-varying systemswith stochastic parametric uncertainties. IEEE Transactions Signal Process. 50(4), 803–813.

107[46] Xu, S. e J. Lam (2006). Robust Control and Filtering of Singular Systems. Springer-Verlag,London.[47] Zhang, F. (2005). The Schur Complement and Its Applications, Volume 4. Springer-Verlag,London.[48] Zhang, H., L. Xie, e Y. C. Soh (1998). Optimal recursive state estimation for singularstochastic discrete-time systems. IEEE Conf. Decision Control, Tampa, Florida, USA, 2908–2913.[49] Zhang, H. S., L. Xie, e Y. C. Soh (1999). Optimal recurisve filtering, predition and smoothingfor singular stochastic discrete-time systems. IEEE Transactions Automatic Control 44(11),2154–2158.[50] Zhou, K., C. Doyle, e K. Glover (1996). Robust and Optimal Control. Upper Saddle River,New Jersey: Prentice Hall.