Método Iterativo Linear

2.3- Método Iterativo Linear (MIL)A fim de introduzir o método de iteração linear no cálculo de uma raiz daequação(2.1) f(x) = 0expressamos, inicialmente, a equação na forma:(2.2) x = Ψ(x)de forma que qualquer solução de (2.2) seja, também, solução de (2.1). Em geral há muitasmaneiras de expressar f(x) na forma (2.2). Basta considerarmosΨ(x) = x + A(x) f(x),para qualquer A(x) tal que A( x _ ) ≠ 0 .Nem todas, porém, serão igualmente satisfatórias para as nossas finalidades.Algumas formas possíveis da equação(2.3) f(x) = x 2 - x - 2 = 0por exemplo, sãoa) x= x 2 - 2 c) x= 1 +b) x= 2 + x d) x= x -2xx2− x − 2m1, m ≠0 (A(x) = m).Geometricamente, uma raiz de (2.2) é um número x = x _ , para o qual a reta y = x interceptaa curva y = Ψ(x). Pode ocorrer, naturalmente, que estas curvas não se interceptem, casoem que não haverá solução real. Admitiremos, contudo, que essas curvas se interceptem nomínimo, uma vez; que estamos interessados em determinar uma dessas raízes, digamos x =x _ , e que ψ(x) e ψ’(x) sejam contínuas num intervalo que contenha essa raiz. Seja x = x 0uma aproximação inicial para a raiz x = x _de (2.2). Obtemos as aproximações sucessivas x ipara a solução desejada x = x _ , usando o processo iterativo definido por:(2.4) x i+1 = ψ(x i ), i = 0, 1, . . .Esse processo é chamado de Método Iterativo Linear.Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproximações sucessivas tais que asequência x i seja convergente. Mas existem casos em que esta é divergente.Em (2.3.a), por exemplo, consideramos x 0 = 3. Entãox 1 = ψ(x 0 ) = x 20 - 2 = 32- 2 = 746

x 2 = ψ(x 1 ) = x 21 - 2 = 72- 2 = 47x 3 = ψ(x 2 ) = x 22 - 2 = (47)2- 2e é óbvio que se trata e uma sequência divergente.As condições suficientes para assegurar a convergência da iteração linear estão contidas noTeorema 2.3, cujas demonstrações se encontram em livros de Cálculo ou AnáliseMatemática.Teorema 2.3.1 - Teorema do Valor Médio.“Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) então existe no mínimo um ponto ε entrea e b tal quef ( b) − f ( a)f”(ε) = b − aouf(b) - f(a) = f’(ε) (b-a) ”.Teorema 2.3.2 - Teorema da Permanência do sinal“Seja f uma função real de variável real definida e contínua numa vizinhança de x0.Se f(x 0 ) ≠ 0 então f(x) ≠ 0 para todo c pertencente a uma vizinhança suficientementepequena de x 0 ’.Teorema 2.3.3 – Teorema de Convergência do MILSeja ψ(x) contínua com derivadas primeira e segunda contínuas num intervalo fechado Icujo centro x _ é solução de x= ψ(x). seja x 0 ∈ I e ψ '(x ) ≤ M < 1 sobre I. Então:a) a iteração x k+1 = ψ(x k ), k = 0, 1, . . . , pode ser executada indefinidamente, pois x k ∈I, ∀k.b) x k− x → 0 .c) Se “ψ’( x _ ) ≠ 0 ou “ψ’( x _ ) = 0 e ψ”( x _ ) ≠ 0” e se x 0− x for suficientemente pequenoentão a sequência x 1 , x 2 , . . . .será monotônica ou oscilante.Prova:a) ( por indução)Por hipótese x 0 ∈ I.Suponhamos que x 0 , x 1 , . . ., x k ∈ I e provemos que x k+1 ∈ I.Temos47

xk+1 - x _ = ψ’( ξ k ) ( xk - x _ ) onde ξ k está entre xk e x _Portantox k+1− x = ψ´( ξ k)x k− x ≤ M x k− x .Portantox k+1− x ≤ M x k− x .Como M < 1, temos que x k+1 ∈ I.b) De a) temos:x k− x ≤ M x k −1− x ≤ M 2 x k −2− x ≤ . . . ≤ M k x − xComo M 0 e x k ≤ x _ ⇒ x k+1 ≤ x _ψ’(x _ ) > 0 e x k ≥ x _ ⇒ x k+1 ≥ x _ψ’(x _ ) < 0 e x k ≤ x _ ⇒ x k+1 ≥ x _ψ’(x _ ) < 0 e x k ≥ x _ ⇒ x k+1 ≤ x _Comox k+1− x → 0 , a convergência será monotônica ou oscilante em torno de x _ .c.2) Seja “ ψ’( x _ ) = 0 e ψ’’(x _ ) ≠ 0 ”.Temosψ’(ξ k ) = ψ’(ξ k ) - ψ’( x _ ) = ψ”(θ k ) (ξ k - x _ ) onde θ k está entre ξ k e x _ .Assim48

xk+1 - x _ = ψ”(θ k) (ξ k - x _ ) (xk - x _ ).Pelo Teorema da permanência do sinal, ψ”(x) terá o mesmo sinal numa vizinhançasuficientemente pequena de x _ .Como (ξ k - x _ ) (x k - x _ ) ≥ 0, pois ξ k e x k encontram-se do mesmo lado de x _ , vem queψ’’(x _ ) > 0 e x k+1 ≥ x _ , ∀ kψ’’( x _ ) < 0 e x k+1 ≤ x _ , ∀ k.Neste caso a sequência x 1 , x 2 , . . . será monotônica independente do sinal de x 0 - x _ .ObservaçãoA convergência do processo iterativo será tanto mais rápida quanto menor for o valorde ψ’(x).Por outro lado, se a declividade ψ’(x) for maior que 1 em valor absoluto, para todo xpertencente a um intervalo numa vizinhança da raiz, pode ser visto que a iteração:x k+1 = ψ(x k ), k = 0, 1, . . . , divergirá.Consideremos outra vez a equação (2.3). as raízes dessa equação são 2 e -1. Casodesejarmos encontrar a raiz ξ= 2, usando a expressão (1.3.a), teremosx = x 2 - 2 = ψ(x).Portanto ψ’(x) = 2x, e desde que ψ ' ( x ) > 1 para x >1divergirá para qualquer escolha de x 0 >12 , a iteração xi+1 = x i2- 22 , como vimos anteriormente. Por outro lado se1usarmos (2.3.b), teremos ψ(x) = 2 + x , e assim ψ’(x) = 2 2 + x .Portanto, ψ ' ( x )

o qual é, obviamente, convergente para a raiz ξ = 2. Este exemplo ilustra, também, aimportância da disposição apropriada de (2.1) na forma (2.2).2.3.1- Interpretação GeométricaUma ilustração geométrica de convergência e não convergência do método iterativox k+1 = ψ(x k ) é dado a seguir. Para tanto seja ψ’(x) = tg α.Temos então, paraa) - π/4 < α < π/4 e 3π/4 < α < 7π/4 ⇒ 0 ≤ tg α < 1 ⇒ ψ '(x)< 1.Representamos no gráfico os pontos:P 0 : ( x 0 , ψ(x 0 )) , P 1 : ( x 1 , ψ(x 1 )), P 2 : ( x 2 , ψ(x 2 )), etc.Estes pontos estão, obviamente, aproximando-se do ponto de intersecção das duascurvas y = x e y = ψ(x), e, ao mesmo tempo, x i está se aproximando de x _ .Assim, nos casos considerados temos que o processo iterativo é convergente.Mas para,b) π/4 < α ≤ 3π/4 e 7π/4 < α ≤ 11π/4 ⇒ -1 < tg α < ∞ ⇒ ψ '(x)≥ 1.Nesses casos o processo iterativo é divergente.Exemplo 2.3.1:Encontrar a maior raiz de f(x)=2x-Ln(x)-4; ε = 10 -3 e 6 casas decimais.y = 2x-Ln(x)-4y = 2x-4y = Ln(x)Figura 2.1 – Interpretação geométrica para as curvas relativas ao exemplo 2.50

Geometricamente, pela figura 2.1 observa-se que,x1 ∈ [ 0,1]e x ∈ [ 2,3]Assim a maior raiz está em [2,3]Escolha de ψ:1f ( x)= 0 ⇔ x = ln x + 21 2 42( 43ψ x )1ψ´ ( x)=2x e entãoψ '(x)= 1 < 1 se x ∈ [2,3].2xPortanto, o processo iterativo do M.I.L. é definido por:1xk+ 1 = ln ( xk) + 2; para k = 0,1,2...2e é um processo convergente!Apliquemos o processo para x0 = 2.5:kk xk+ 1 = ψ x k e k + 10 2.5 2.4581454 0.0170261 2.4581454 2.4497036 0.0034462 2.4497036 2.4478835 0.0007435x ( )∴ e 3 = 0. 0007435 < ξ e x 3 = 2.4478835 ≈ x∴ f ( x ) = 0.000543 03 →51