gabarito

f(6) = P (X = 6) = (5/6) 5 − nao sair o número 6 nos cinco primeiros lançamentos - o número que sair nosexto lançamento não importa.Função de distribuição acumulada: A função de distribuição acumulada é obtida por F (x) =P (X ≤ x). Por exemplo, F (x) = P (X ≤ x) = 0, para qualquer valor de x menor que 1. Para3 ≤ x < 4, F (x) = P (X ≤ x) = f(1) + f(2) + f(3) = (5/6)(1/6) + (5/6) 2 (1/6) + (5/6) 3 (1/6) = 91216 .Para x variando de menos infinito a mais infinito, obtemos a função abaixo:⎧⎪⎨F (x) =⎪⎩0, x ≤ 11/6, 1 ≤ x < 211/36, 2 ≤ x < 391/216, 3 ≤ x < 4671/1296, 4 ≤ x < 54651/7776, 5 ≤ x < 61, x ≥ 6(B) Calcule a probabilidade de X ser maior ou igual a 3;(C) Calcule E(X) e V AR(X).P (X ≥ 3) = 1 − P (X = 1) − P (X = 2) = 1 − 1136 = 2536 .E(X) =E(X 2 ) =6∑x=16∑x=1xP (x) = 1 1 6 + 2 5 36 + 3 25216 + 4 1251296 + 5 6257776 + 63125 7776 = 3.99,x 2 P (x) = 1 1 6 + 4 5 36 + 9 25 125 625+ 16 + 25216 1296 7776 + 363125 7776 = 19.78,V AR(X) = E(X 2 ) − E(X) 2 = 19.78 − (3.99) 2 = 3.86.Questão 3: X é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por:{x + c, 0 < x < 1f(x) =0, caso contrário(A) Obtenha o valor da constante c.Sabemos que:∫ 10(x + c)dx = 1.Então,∫ [ ] 1x2 1(x + c)dx =02 + cx = (1/2 + c) = 1.02

Logo, c = 1/2.(B) Obtenha a função de distribuição acumulada de X.Como x varia entre 0 e 1, F (x) = 0, x ≤ 0, e F (x) = 1, x ≥ 1. Para 0 < x < 1, temos:Então,F (x) =∫ x0(t + 1/2)dt = [t 2 /2 + t/2] x 0 = x2 + x2⎧⎪⎨F (x) =⎪⎩0, x ≤ 0x 2 +x2, 0 ≤ x < 11, x ≥ 1..(C) Obtenha E(2X 3 ).E(2X 3 ) =∫ 10(2x 3 ) (x + 1/2) dx =∫ 10[2x(2x 4 + x 3 5)dx =5 + x44] 10= 13/20.[−2, 2]:Questão 4: Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo(A) Qual é a função densidade de probabilidade de X?f(x) =1= 1/4, −2 ≤ x ≤ 2, e vale zero caso contrário.2 − (−2)(B) Considerando os eventos A : X = 1 e B : X = −1, obtenha P (AUB).Como o espaço amostral é contínuo a probabilidade de X ser igual a um único ponto é igual azero. Sendo assim, P (A) = P (B) = 0. P (A ∩ B) = 0, pois são eventos disjuntos. Então,P (AUB) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0 + 0 − 0 = 0.(C) Dado que X está no intervalo [−2, 1], qual a probabilidade de X ser um valor positivo?P (X > 0| − 2 ≤ X ≤ 1) =P (X > 0 ∩ −2 ≤ X ≤ 1)P (−2 ≤ X ≤ 1)=P (0 < X ≤ 1)P (−2 ≤ X ≤ 1) = 1/43/4 = 1/3.Note que P (0 < X ≤ 1) = ∫ 10 (1/4)dx = 1/4 e P (−2 < X ≤ 1) = ∫ 1−2(1/4)dx = 3/43