5 – Grafos Conexos Considere os grafos abaixo: G1 G2 v1 ... - UNESP

5.1 - Operações com grafosUnião - A união de dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2) é um grafo G3(V3, A3) onde:G3 = G1∪G2,V3 = V1∪ V2 e A3 = A1 ∪ A2Interseção - A interseção de dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2) é um grafo G3(V3, A3) onde:G3 = G1 ∩ G2, V3 = V1 ∩ V2 e A3 = A1∩ A2Obs: Se V3 = ∅, dizemos que a interseção entre G1 e G2, G1 ∩ G2, é vazia.Pelas definições dadas é fácil verificar que as operações de união e interseção de grafos sãocomutativas, isto é:G1 ∪ G2 = G2 ∪ G1G1 ∩ G2 = G2 ∩ G1Exemplo 5.1.1G 1 :v 1G 2 : G1 ∪ G2:G1 ∩ G2:v 6v 2 v 3v 3 v 5Decomposição - Um grafo G é dito decomposto em dois subgrafos g1 e g2 se:g1 ∪ g2 = G e g1 ∩ g2 = grafo nulo.Ou seja, cada aresta de G pertence a g1 ou a g2. Alguns vértices no entanto podem pertencer aosdois.Exemplo 5.1.2Remoção (ou exclusão) de vértices e arestas - Se aj é uma aresta de G, então G-aj é umsubgrafo de G obtido pela remoção da aresta aj do grafo G.Se vi é um vértice de G, então G-vi é um subgrafo de G obtido pela remoção do vértice vi dografo G. A remoção de um vértice implica na remoção das arestas a ele incidentes.De maneira similar é possível incluir vértices e arestas em um grafo.conexo.doc – Teoria dos Grafos – Prof. Maria do Socorro Rangel – DCCE/UNESP -30/08/07 - Página 3 de 4

Exemplo 5.1.3G G-(2,6) G-1 G+(1,4)43 52 61Fusão de vértices - A fusão de um par de vértices a e b em um Grafo G é feita substituindo osdois vértices por um único vértice ab , de tal forma que toda aresta que era incidente no vértice ae/ou no vértice b passa a ser incidente no novo vértice ab . Assim a fusão de vértices em umgrafo não altera seu número de arestas, apenas diminui o número de vértices.Contração de vértices - a contração de dois vértices a e b é feita através da fusão dos vértices ae b e a remoção dos loops e arestas paralelas que são formadas no processo.Contração de aresta - a contração de uma aresta (a,b) é feita removendo-se a aresta (a,b) econtraindo os vértices a e b. É denotado por G/(a,b).Exemplo 5.1.41 26 5a) fusão dos vértices 1 e 2:b) contração da aresta (1,2)Exercícios1) Considere o grafo:3 41i b fc a h6 24 5j d e g3a) Considere os caminhos definidos no exercício anterior (tópico Subgrafos). Agrupe oscaminhos obtidos em conjuntos de caminhos arestas disjuntos. Mostre que a união de doiscaminhos aresta-disjuntos entre dois pares de vértices forma um circuito ou é a união decircuitos.b) Remova o vértice 5 deste grafoc) acrescente a aresta (2,7)d) decomponha este grafo em três subgrafos.e) contraia a aresta (2,3)conexo.doc – Teoria dos Grafos – Prof. Maria do Socorro Rangel – DCCE/UNESP -30/08/07 - Página 4 de 4