Cálculo Vetorial I - Unesp

Campos Vetorias, integrais de linhaLista 4Cálculo Vetorial IVersão do 27-6-20111) Seja F o campo quadrado inverso. Encontre o trabalho realizado po F para deslocar uma partícula aolongo de um reta que une os pontos (1,2,0) e (2,4,0).C √5(W = J , William Doi)102) Suponha que uma partícula se move ao longo da parabola y = x² do ponto (-1,1) ao ponto (2,4).Ache o trabalho total realizado em Joules, se o movimento for causado pelo campo de força F(x,y)=(x²+y²)i + 3x²yj.(W = 363 J, Eliane S. Vilela)3) Calcule a integral ∫ Cxy 4 ds , se C for a metade direita do círculo x²+y² =16.(I = 1638.4 m², Rafael Barbosa Silva)4) Calcule a integral ∫ Cy 2 dx+x 2 dy , onde C é a metade superior da elipse0. (I = − 4 3 ab2 , Saul Lucio Dias Filho)x 2a + y2=1 2 2, a > 0, b>b5) Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x,y)=y²i-xyj ao se mover uma partícula ao longode um quarto de círculo r(t) = cos(t)i+sin(t)j, 0≤t≤ π 2 .(W = -1J, Bruno Miranda Artacho)6) Um avião à hèlice desloca-se em linha reta a uma velocidade constante igual a 1. A hèlice do aviãotem raio r e roda à velocidade constante, efetuando w voltas por unidades de tempo. Determine ocomprimento da trajetória descrita por um extremo da hélice quando o avião se desloca L unidades decomprimento. (C = L √1+4 π 2 r 2 w 2 , Higor Matheus)Independência do percurso7) Uma partícula movimenta-se sobre a circunfêrencia r(t) = 2 cos(t)i +2sin(t)j, 0≤t≤2 π . Ache otrabalho feito pelo campo de força F(x,y) = (4 ln(3y)+1/x)i +4x/yj.(W = 0 J. Rafael Campos Papaleo)8) a) Determine se o campo vetorial F(x,y) = (6x+5y)i + (5x+4y)j é ou não conservativo.b) Determine a função potencial f(x,y) tal que ∇ f = F(x,y).(f(x,y) = 5xy+3x²+2y²+c), Jackson Farias Fonseca)9) Mostre que F(x,y) = (e x cos( y)+ yz) i + (xz−e x sin( y)) j + (xy+z) k é conservativo eemcontre sua função potencial. (f(x,y,z) = e x cos y+ xyz+ z 2+c Kassio Alves Freire)210) Considere o campo vetorial F(x,y,z) = yze xyz i + xze xyz j+ xye xyz k.

a) Encontre sua função potencialb) Calcule o trabalho de F ao longo da espiral descrita pelo caminho g(t) = 5 cos(t) i + 5sin(t) j +t²k, 0≤t≤ π 4 (f(x,y,z) = e xyz +c , W =Teorema de Green11) Calcule as seguintes integrais utilizando o Teorema de Green:e25 π 232 −1, João Pedro Marins Braga)a) ∫ c√ y dx+√ x dy , onde C é a curva formada pelas retas x=1, y=0 e a parábola y =x² , nosentido anti-horário.(I = -3/10 m², Fabiano Tadashi K. Ota)b) ∫ cy dx+x 2 dy , onde C é a curva formada pelas restas x=2, y =0 e 2y-x=0, no sentido antihorário.(I = 5/3 m², Fabiano Tadashi K. Ota)c) ∫ cy 3 dx+( x³+3xy²)dy , onde C é o caminho de (0,1) para (1,1) ao longo de y = x³, e de (1,1)para (0,0) ao longo de y = x.(I = 1/4 m², Felipe de Carvalho Souza)12) Verifique ambas as partes do teorema de Green para o campo F(x,y) = (x-y)i +xj e a região Ddelimitada pela circunferência unitária. (I = 2π m², Wilson Kioshi Araki Jr.)Rotacional e divergente14) Calacule o rotF para determinar se os seguintes campos são conservativos ou não:a) F(x,y,z)=2x²yi +5xzj+x²y²k (Não, Camila de Jesus Almeida)b) F(x,y,z)=(4xy+z)i+2x²j+xk (Sim, Camila de Jesus Almeida)15) Determine se o campo F(x,y,z)=xyi +y²j+zxk admite um potencial vetorial.(Não, Sami Paiva Simão)