6. EQUACļ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN´ARIAS

independente são chamados métodos de variável discreta.O mais simples desse métodos é o chamado Método de Euler, quepassamos a descrever.Devemos referir aqui que o método de Euler é raramente utilizado na prática, umavez que existem outros métodos bastante mais eficientes; a razão de iniciarmos oestudo dos métodos de variável discreta com o método de Euler tem a ver com ofacto de este método ser extremamente simples, mas possuir já as diversascaracterísticas que pretendemos estudar para os métodos mais elaborados.A ideia do método de Euler é muito simples. Expandindo y(x k+1 ) emsérie de Taylor em torno do ponto x k , vem✫y(x k+1 ) = y(x k + h) = y(x k ) + hy ′ (x k ) + h22 y′′ (ξ k )= y(x k ) + hf(x k , y(x k )) + h22 y′′ (ξ k ), (96)✪AN 205✬onde ξ k ∈ (x k , x k+1 ).Aqui e em tudo quanto se segue, admitimos que y admite derivadas até à ordemindicada.Se y ′′ for limitada e o passo h for “pequeno”, será natural “ignorar”oúltimo termo em (??), tendo-sey(x k+1 ) ≈ y(x k ) + hf(x k , y(x k )). (97)Esta é a base do método de Euler para aproximar a solução doPVI (??), o qual será, portanto definido porExemplo: Consideremos o PVIy k+1 = y k + hf(x k , y k ); k = 1, . . .,N, (98)y 1 = α. (99)✩✫y ′ = xy, y(0) = 1,✪

Assim, temos, no caso do método de Euler:L h (x k ) = y(x k ) − y k= y(x k−1 ) + hf(x k−1 , y(x k−1 )) + h22 y′′ (ξ k ) − [y k−1 + hf(x k−1 , y k−1 )]= h22 y′′ (ξ k ), ξ k ∈ (x k−1 , x k ), (100)uma vez que estamos a supor que não há erro até ao passo k − 1, istoé, que y(x k−1 ) = y k−1 . Se supusermos que y ∈ C 2 [a, b] e se forM = maxa≤x≤b |y′′ (x)|, tem-se que|L h (x k )| ≤ h2M. (101)2Assim, nessas condições, podemos concluir que o erro de discretizaçãolocal do método de Euler é O(h 2 ).Na prática, ao calcularmos o valor y k , usaremos o valor de y k−1✫✪AN 211✬✩(aproximação para y(x k−1 )), o qual já foi calculado usando y k−2 , etc.Há, assim, que ter em conta a acumulação dos erros de discretizaçãoaté chegar ao valor de y k . Mais precisamente, chama-se erro dediscretização global no ponto x k e denota-se por ǫ h (x k ) ao erroacumulado nos diversos passos até se chegar a y k , isto éǫ h (x k ) = y(x k ) − y k . (102)(Note-se que o valor de y k referido na fórmula não é o valor“efectivamente”calculado, o qual vem, naturalmente afectado de erros dearredondamento).Passamos agora a deduzir um limite superior para o valor absoluto do✫✪

erro de discretização global do método de Euler. Temos, neste caso,|ǫ h (x k )| = |y(x k ) − y k |= |y(x k−1 ) + hf(x k−1 , y(x k−1 )) + h22 y′′ (ξ k ) − y k−1 − hf(x k−1 , y k−1 )|(103)Suponhamos, novamente, que y ∈ C 2 [a, b], sendo M = maxa≤x≤b |y′′ (x)| eque, além disso, f é diferenciável em relação à segunda variável comderivada parcial ∂f∂ylimitada, isto é, suponhamos que existe L > 0 talque | ∂f∂y| ≤ L, ∀x ∈ [a, b].✫✪AN 213✬✩Então, de (??), vem|ǫ h (x k )| ≤ |y(x k−1 ) − y k−1 | + h|f(x k−1 , y(x k−1 )) − f(x k−1 , y k−1 )| + h22 M= |ǫ h (x k−1 )| + h| ∂f∂y (x k−1, µ k )(y(x k−1 ) − y k−1 )| + h22 M≤|ǫ h (x k−1 )| + h L |ǫ h (x k−1 )| + h22 M= (1 + hL)|ǫ h (x k−1 )| + h22 M✫✪

Assim, temos|ǫ h (x k )| ≤ (1 + hL)|ǫ h (x k−1 )| + h22 M]≤ (1 + hL)[(1 + hL)|ǫ h (x k−2 )| + h22 M + h22 M✫= (1 + hL) 2 |ǫ h (x k−2 )| + (1 + hL) h22 M + h22 M.≤ (1 + hL) k−1 |ǫ h (x 1 )| + (1 + hL) k−2 h 2= h22 M [= h2= hM2L1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) k−2][ ](1 + hL) k−12 M − 1(1 + hL) − 1[](1 + hL) k−1 − 12 M + . . . + h22 M✪AN 215✬Como 1 + a < e a , ∀a > 0, vem|ǫ h (x k )| ≤ hM2L (eh(k−1)L − 1)= hM2L (e(x k−x 1 )L − 1). (104)Assim, podemos concluir que, nas condições referidas para a função fe para a solução y do problema de valor inicial (??), o erro dediscretização global do método de Euler é O(h). Dizemos, por isso,que o método de Euler é um método de primeira ordem.Em particular, se denotarmos por E(h) := max1≤k≤N |ǫ h(x k )|, temos queE(h) ≤ hM2L (e(b−a)L − 1).Nota: De um modo geral, se o erro de discretização local de ummétodo é O(h p ), então o erro de discretização global é O(h p−1 ).✫✩✪

• Estimativa para o erro no método de EulerDe (??), vem|ǫ h (x k )| = |y(x k ) − y k | ≤ Ch,onde C é uma constante independente de h. Se denotarmos por Y 2k aaproximação para o mesmo valor de y obtida usando o dobro dopasso anterior (i.e. usando passo 2h) a ter-se-á|y(x k ) − Y k | ≤ C(2h).a Como esta nova aproximação é obtida com metade das “passadas”da aproximaçãoanterior, estamos, implicitamente, a admitir que usámos um número parde passos para obter a primeira aproximação y k .✫✪AN 217✬Temos, então que|y(x k ) − y k | ≈ 1 2 |y(x k) − Y k |= 1 2 |y(x k) − y k + y k − Y k |≤ 1 2 |y(x k) − y k | + 1 2 |y k − Y k |,donde se obtém a seguinte estimativa para o erro de discretizaçãono ponto x k (correspondente ao uso do passo “mais fino”)|ǫ h (x k )| = |y(x k ) − y k | ≈ |y k − Y k |. (105)✩Métodos baseados na série de TaylorRecordemos que o método de Euler foi deduzido truncando aexpansão em série de Taylor de y(x k+1 ) em torno de x k antes dotermo O(h 2 ). Métodos de ordem superior poderiam ser obtidos demodo análogo, retendo mais termos da série de Taylor. Por exemplo,✫✪

tem-sey(x k+1 ) = y(x k ) + hy ′ (x k ) + h22 y′′ (x k ) + h36 y′′′ (ξ k )= y(x k ) + hf(x k , y(x k )) + h22 (∂f ∂x + ∂f∂y f)(x k, y(x k ))donde se poderia obter o método+ h36 y′′′ (ξ k )y k+1 = y k + hf(x k , y k ) + h22 (∂f ∂x + ∂f∂y f)(x k, y k ),o qual teria ordem de convergência local O(h 3 ) e ordem deconvergência global O(h 2 ). Este tipo de métodos baseados naexpansão em série de Taylor têm, no entanto, a desvantagem denecessitarem do cálculo das derivadas parciais da função f, o que ospode tornar bastante trabalhosos.✫✪AN 219✬Métodos de Runge-KuttaOs chamados métodos de Runge-Kutta foram desenvolvidos com oobjectivo de produzir resultados com o mesmo grau de precisão doque os métodos obtidos pela expansão em série de Taylor, masevitando o cálculo das diversas derivadas da função f.Limitar-nos-emos, aqui, a deduzir a fórmula do método de Runge-Kutta de 2 aordem. A fórmula do método de 4 a ordem (um dos mais populares) seráapresentada sem a sua dedução, a qual, no entanto, poderia fazer-se seguindo oraciocínio usado na dedução da fórmula que apresentamos.Pretende-se, neste caso, obter uma fórmula do tipoy k+1 = y k + ak 1 + bk 2 , (106)✩comk 1 = hf(x k , y k ) (107)e✫✪

k 2 = hf(x k + αh, y k + βk 1 ) (108)onde a, b, α, β são constantes a determinar por forma a que, aosubstituirmos y k+1 e y k por y(x k+1 ) e y(x k ), respectivamente, em(??), obtenhamos coincidência com a série de Taylor truncaday(x k+1 ) = y(x k ) + hy ′ (x k ) + h22 y′′ (x k ) + . . . + hmm! y(m) (x k ) (109)da maior ordem possível. Derivando y em ordem a x, sucessivamente,e notando que y ′ (x) = f(x, y(x)), tem-sey(x k+1 ) = y(x k ) + hf + h22 (∂f ∂x + ∂f∂y f) ++ h36( ∂ 2 f∂x 2 + 2 ∂2 f∂x∂y f + ∂f ∂f∂x ∂y + ∂2 f∂y 2 f2 + ( ∂f∂y )2 f+O(h 4 ).) (110))(No lado direito da equação anterior, f e as suas derivadas são calculadas✫✪AN 221✬em (x k , y(x k )).)Por outro lado, usando a fórmula de Taylor para funções de duasvariáveis, tem-sef (x k + αh, y(x k ) + βhf(x k , y(x k ))) = f + α h ∂f∂x + β h f ∂f∂y+ α2 h 22∂ 2 f∂x 2 + αβ h2 f ∂2 f∂x∂y+ β2 h 22 f2 ∂ 2 f∂y 2 + O(h3 ) (111)onde, novamente, por uma questão de simplicidade de notação, embora nãoexplicitamente indicado, se considera que f e as suas derivadas parciaisestão calculadas em (x k , y(x k )).Substituindo (??) em (??), (com y k e y k+1 substituídos,naturalmente, por y(x k ) e y(x k+1 )), vem, após rearranjo segundo as✩✫✪

potências crescentes de h:y(x k+1 ) = y(x k ) + (a + b)hf + bh 2 (α ∂f∂x + β ∂f∂y f )+ bh 3 ( α22)∂ 2 f∂x + αβ ∂2 f2 ∂x∂y f + β2 ∂ 2 f2 f2 + O(h 4 )(112)∂y 2Igualando os coeficientes das potências de h do mesmo grau de (??) e(??) até à ordem 2, vem:⎧⎪⎨a + b = 1⎪⎩α b = 1 2β b = 1 2O sistema anterior é um sistema de 3 equações em 4 incógnitas, peloque temos ainda um grau de liberdade na sua solução. Poderíamosusar esse grau de liberdade para tentar obter concordância no✫✪AN 223✬coeficiente de h 3 . É imediato concluir, no entanto, que tal éimpossível para todas as funções f(x, y). Um solução particularmentesimples do sistema será dada por✩a = b = 1 2α = β = 1.Teremos, então, o seguinte algoritmo para obter a solução do PVIconsiderado, conhecido por método de Runge-Kutta de 2 aordem: b y k+1 = y k + 1 2 (k 1 + k 2 ),k 1 = hf(x k , y k ),k 2 = hf(x k + h, y k + k 1 ),y 0 = α.b Pode provar-se que a ordem de convergência global deste método é O(h 2 ).✫✪

De um modo análogo, se deduz a fórmula do método deRunge-Kutta de 4 a ordem:y k+1 = y k + 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ),k 1 = hf(x k , y k ), (113)k 2 = hf(x k + h 2 , y k + k 12 ),k 3 = hf(x k + h 2 , y k + k 22 ),k 4 = hf(x k + h, y k + k 3 ),y 0 = α.Sabendo que a ordem de convergência dos métodos de Runge-Kuttaé O(h 2 ) e O(h 4 ), respectivamente, para o método de 2 a ordem e de4 a ordem, deixamos ao cuidado dos alunos a dedução, de de formaanáloga ao que fizemos para o método de Euler, de estimativas para oerro destes métodos.✫✪