A invenÃ§Ã£o do cÃ¡lculo por Newton e Leibniz e sua evoluÃ§Ã£o para o ...

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6 – Comparação Entre os Cálculos de Newton e Leibniz.6.1 - Principais Diferenças.O cálculo foi desenvolvido através do estudo sobre curvas e o que possibilitou estesestudos foi a introdução de métodos algébricos à geometria. Estes métodos foram desenvolvidospor Descartes, permitindo expressar as curvas em forma de equações. Tornou-se possívelestabelecer uma relação entre ordenadas e abscissas; entre ordenadas, abscissas e outrasgrandezas. Estas quantidades são variáveis, vinculadas à curva.Os cálculos de Newton e Leibniz começam por caminhos distintos. O primeiro, porinterpolação de curvas e coeficientes relacionados a tais curvas.O segundo, por perceber quesomar seqüências e tomar as seqüências de diferenças são operações inversas. Foram caminhosbem diferentes, mas que convergiam a um mesmo princípio em comum, a descoberta do cálculo.Dentro deste princípio em comum, as principais diferenças foram na concepção das quantidadesvariáveis e nas formas de notações utilizadas por cada um ao longo de seus estudos.6.1.1 – Diferenças na concepção das quantidades variáveis.Newton considerava as variáveis como dependentes do tempo ou, na linguagem do cálculocontemporâneo, em função do tempo. Chamou as variáveis de quantidades fluentes. Este nomedeve-se ao fato de Newton basear-se em movimentos, conceitos que atualmente são chamadospela física de mecânicos. Os fluentes, neste caso, seriam as distâncias percorridas e o queNewton chamou de fluxões, as velocidades. As velocidades ou fluxões seriam as diferenças entreas concepções de quantidades variáveis, o que corresponde na linguagem do cálculocontemporâneo, à derivada do espaço percorrido. Uma quantidade pequena do espaço percorrido,42
uma variável, poderia ser expressa pelo produto da fluxão pelo tempo, de modo que o tempofosse infinitamente pequeno.Apesar de mencioná-las, Newton hesitou sobre tais quantidades infinitamente pequenas.Mesmo usando-as, afirmou que seu cálculo podia ser dado com base em uma velocidade finita.Não considerarei aqui as quantidades matemáticas como sendocompostas de partes extremamente pequenas, mas como sendogeradas por um movimento contínuo. Linhas são descritas, aodescreve-las são geradas. Não por um alinhamento de partes, maspor um movimento contínuo de pontos. As superfícies são geradaspor movimento contínuo de linhas. Essa gênese está baseada nanatureza e pode ser vista dia a dia no movimento dos corpos.Percebe-se que as quantidades que aumentam em tempos iguais eque são geradas por esse aumento serão maiores ou menores,conforme a sua velocidade, na qual aumentam e são geradas, sejammaior ou menor; esforcei-me para encontrar um método quedeterminasse as quantidades das velocidades, dos movimentos ouincrementos, que as geraram. Chamando de fluxões as velocidades,dos movimentos ou dos aumentos e de fluentes ás quantidadesgeradas, esclareci aos poucos o método das fluxões, que aproveiteiaqui na quadratura de curvas. Isac Newton in [1,vol 3 , pg. 31 ]Leibniz considerava a diferencial como sendo a diferença de dois valores sucessivos deuma seqüência. Estes valores eram considerados por Leibniz como infinitamente pequenos. Porserem valores consecutivos, suas diferenças não podiam ser finitas. Iam se tornando cada vezmenores, quanto mais se aproximava do ponto desejado.Apesar de se basear nesses fatos para o desenvolvimento de seu cálculo, Leibniz conseguiupublicá-lo evitando o uso das quantidades infinitamente pequenas. Baseando-se em doissegmentos de retas finitos que satisfaziam a condição proporcional dy/y = dx/t e tomando pordefinição dy = y/t.dx.Nem Newton com as fluxões, para quem o tempo deveria ser uma grandeza infinitamentepequena; nem Leibniz com as suas quantidades infinitamente pequenas utilizaram estesconceitos para a publicação de seus cálculos, haja vista a dificuldade na época para43
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