A invenÃ§Ã£o do cÃ¡lculo por Newton e Leibniz e sua evoluÃ§Ã£o para o ...

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O triângulo característico dx,dy e ds, onde ds é a diferença infinitamente pequena dacurva s, pode ser formado em cada ponto (x,y) da curva e sendo ds prolongado, teremos então atangente à curva no ponto (x,y).Os triângulos, dx;dy;ds e t;y;r, são semelhantes segundo Leibniz. Logo dx/t = dy/y = ds/r.Desta relação temos dx/t = dy/y donde dy/dx = y/t. Portanto para determinar as tangentes ésuficiente determinar a razão dy/dx. Para que isto seja feito, sabendo que y e x se relacionam emforma de equações, atualmente conhecidas como funções, e que estas equações são conhecidascomo equações das curvas, é preciso achar as diferenças infinitamente pequenas destasequações (conhecidas atualmente como derivadas) para que tenhamos as tangentes desejadas.Para isso deve-se aplicar as seguintes regras:d(a) = 0, se a for uma constante;n n-1d ( u ) = nu du, se n for uma fração ou n for negativo, tal que n ≠ - 1;d (u + v) = du + dv;d (u.v) = u.dv + v.du;d (u/v) = (vdu – udv) / v².Essas regras são provenientes do fato de que as diferenças podem ser desprezadas.d (u.v) = (u + du)(v + dv) – uv = u.dv + v.du + dudv = u.dv + v.du ,onde dudv é desprezível.Depois de muitos anos após o tratado de 1675, continuando as investigações sobre ocálculo e seu simbolismo, Leibniz chegou às conclusões acima citadas. Ele estava convencido deque: d(u/v) não era igual a du/dv e que d(u.v) não era igual a du.dv. Leibniz fizera uma contraprova relacionada ao d(u.v), que apresento a seguir.Se tomarmos u = v = x; e dx = β, temos:d(u.v) = d(x²) = (x + β).(x + β) - x² = x² + xβ + xβ + β² - x² = 2xβ, onde foi suprimido o β² porser uma grandeza infinitamente pequena.40
du .dv = (x + β – x).(x + β – x) = x² + xβ - x² + xβ + β² - xβ - x² - xβ + x² = β² portanto, 2xβ ≠ β²=► d(u.v) ≠ du .dvEm manuscritos posteriores, Leibniz aparece usando a regra udv + vdu, considerada corretae utilizada atualmente no cálculo contemporâneo. Dessas premissas surgem as notações acimamencionadas.O cálculo de Leibniz foi publicado nove anos após sua descoberta. Naquela época, apublicação de alguns artigos para determinar tangentes e uma teoria sobre quadratura de curvasalgébricas fizeram com que Leibniz sentisse a necessidade de publicar seus trabalhos, se assimnão o fizesse, poderia perder a prioridade.Uma das dificuldades que Leibniz tinha para a publicação de seu cálculo era o fato de usarquantidades infinitamente pequenas, um ponto de vulnerabilidade para seu método. Leibniz,então, mudou a definição da diferencial (diferença infinitamente pequena), introduzindosegmentos de reta finitos dx e dy, que satisfazem as condições dy/y = dx/t, de modo que pordefinição, dy = y/t.dx. Leibniz manteve o termo diferença para a nova definição, já que, emambos os casos, as velhas diferenças tinham as mesmas proporções entre si que as novas, ondedy/y = dx/t.Assim Leibniz conseguiu publicar seu cálculo diferencial, evitando problemasfundamentais sobre a natureza das quantidades infinitamente pequenas.41
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