A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

O triângulo característico dx,dy e ds, onde ds é a diferença infinitamente pequena dacurva s, pode ser formado em cada ponto (x,y) da curva e sendo ds prolongado, teremos então atangente à curva no ponto (x,y).Os triângulos, dx;dy;ds e t;y;r, são semelhantes segundo Leibniz. Logo dx/t = dy/y = ds/r.Desta relação temos dx/t = dy/y donde dy/dx = y/t. Portanto para determinar as tangentes ésuficiente determinar a razão dy/dx. Para que isto seja feito, sabendo que y e x se relacionam emforma de equações, atualmente conhecidas como funções, e que estas equações são conhecidascomo equações das curvas, é preciso achar as diferenças infinitamente pequenas destasequações (conhecidas atualmente como derivadas) para que tenhamos as tangentes desejadas.Para isso deve-se aplicar as seguintes regras:d(a) = 0, se a for uma constante;n n-1d ( u ) = nu du, se n for uma fração ou n for negativo, tal que n ≠ - 1;d (u + v) = du + dv;d (u.v) = u.dv + v.du;d (u/v) = (vdu – udv) / v².Essas regras são provenientes do fato de que as diferenças podem ser desprezadas.d (u.v) = (u + du)(v + dv) – uv = u.dv + v.du + dudv = u.dv + v.du ,onde dudv é desprezível.Depois de muitos anos após o tratado de 1675, continuando as investigações sobre ocálculo e seu simbolismo, Leibniz chegou às conclusões acima citadas. Ele estava convencido deque: d(u/v) não era igual a du/dv e que d(u.v) não era igual a du.dv. Leibniz fizera uma contraprova relacionada ao d(u.v), que apresento a seguir.Se tomarmos u = v = x; e dx = β, temos:d(u.v) = d(x²) = (x + β).(x + β) - x² = x² + xβ + xβ + β² - x² = 2xβ, onde foi suprimido o β² porser uma grandeza infinitamente pequena.40