A invenÃ§Ã£o do cÃ¡lculo por Newton e Leibniz e sua evoluÃ§Ã£o para o ...

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Leibniz desenvolve regras como: ∫ al = a . ∫ l , para um a igual a uma constante, assimcomo ∫ (x +y) = ∫ x + ∫ y . Logo em seguida introduz em seus escritos o símbolo d, pararepresentar as diferenças e a operação inversa às quadraturas. Para a diferença dos y’s ele usa anotação y/d, então para:∫ l = ay, temos l = ay/d, onde l é a diferença dos y’s.Como podemos ver no início deste tópico, Leibniz usa as variáveis x,y e w como medidasde segmento, o mesmo acontecendo com o l. Como medidas de segmentos, são valoresunidimensionais. Como o produto de dois segmentos determina uma área, que é uma medidabidimensional, para ∫ l = ay é introduzido um a para igualar as dimensões.O símbolo ∫ significadimensões de um comprimento e ∫ l é uma soma, logo as diferenças dos valores consecutivos ∫ lsão iguais ao l e portanto, l = ay/d. Para Leibniz, se o símbolo d possui a mesma propriedade de ∫,que é retratar as dimensões, então deveria ser escrito no denominador e como ay é uma área, jáque ∫ l = ay, então ay/d é sua diferença, um segmento de reta. Leibniz não se prendeu a estasquestões dimensionais, já que ∫ e d são símbolos operacionais e não variáveis e mais tarde,aparece escrevendo dy no lugar de y/d para indicar a diferença dos y’s, já que l/d tornava afórmula mais complicada. A partir deste período, Leibniz começa a usar notações como as quesão usadas no cálculo moderno, como: ∫ y dy = y²/2, mas para a quadratura abaixo de curvas,ainda continuava escrevendo ∫ y, o que é uma falha aos modos do cálculo moderno.Posteriormente, surgem consistentes notações do tipo: ∫ydx, já que esta área seria o somatório devários retângulos de área y . dx. Neste mesmo período, levando em consideração que asdistâncias entre as ordenadas fossem iguais a 1, onde dx = 1, Leibniz suprime da fórmula o dx epassa a escrever ∫ x = x² / 2. Algum tempo depois, abandona este tipo de notação, adotandoentão ∫ x² dx = x³/ 3.38
Os manuscritos do período de outubro de 1675 apresentavam muitos erros de contas emuitas inconsistências, e passaram-se aproximadamente dois anos até que Leibniz conseguisseeliminá-los. As investigações de Leibniz para o desenvolvimento de um simbolismo adequadopara o cálculo, não pararam por aí , estendendo-se ainda por muitos anos.5.6 - Das descobertas de Leibniz.Das descobertas de Leibniz, surgem vários conceitos dos quais alguns bem interessantes.São conceitos aplicados no cálculo moderno que facilitam o entendimento do leitor.Para uma curva traçada segundo os eixos coordenados x e y, conforme a figura, temos.Leibniz considera as ordenadas y infinitamente próximas, a uma distância dx. Por issotoma dx como sendo as diferenças infinitamente pequenas de x. Então temos, para segmentosparalelos ao eixo x, a uma distância infinitamente pequena, os dy’s, que são as diferençasinfinitamente pequenas de y. Se dx e dy são duas grandezas infinitamente pequenas, sãograndezas desprezíveis e o produto entre elas também será uma grandeza desprezível. Sendoassim,x + dx = x ; adx + dydx = adx ; a + dy = a.39
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