A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...
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Encontrar a área desejada consiste em somar a área de todos os pequenos triângulos 0cc’,acrescentados também da área do triângulo 0CB. Logo a área desejada é 0cCB = ∑ dostriângulos 0cc’ + o triângulo 0CB.Para isso, Leibniz traça a tangente à curva no ponto c, que intercepta o eixo y em s e oeixo x em g. Em seguida cria um segmento com origem em 0 e extremidade em P tal que osegmento 0P seja perpendicular a tangente em P.Levando em consideração que c e c’ tenham uma aproximação muito boa, são criadostambém dois segmentos paralelos ao eixo y, um com extremidades c e b e outro comextremidades c’e b’. Aparecem assim mais dois segmentos, só que desta vez paralelos ao eixo x.Um com extremos em c e d, que define o triângulo característico cdc’ e outro segmento comextremos s e q’, interceptando o segmento cb em q.Usando semelhança entre triângulos, Leibniz chega à seguinte conclusão: O ∆ cdc’ ésemelhante ao ∆ 0PS, com cc’ / 0S = cd / 0P, logo cc’ x 0P = cd x 0S. Tem-se ainda: área do ∆0cc’ = 1 / 2 ( cc’ x 0P ) = 1 / 2 ( cd x 0S ). Mas como cd = bb’ e 0S = bq, temos que 1 / 2 ( cd x0S ) = 1 / 2 ( bb’x bq ) = área ( bqq’b’) / 2.32
Traçando a tangente referente a cada ponto c da curva, teremos então um ponto q paracada respectivo c. Fazendo a ligação de todos os pontos q, teremos então uma nova curva,0qQB, que Leibniz chamou de transmutação da curva dada.Se a área da figura 0cCB = ∑ dos triângulos 0cc’ + o triângulo 0CB e se a área 0cc’ = 1 / 2(bqb’q’ ), então área 0cCB = ∑ ( bqb’q’ ) / 2 + ∆ 0CB.Contudo, a área da curva desejada é a área da curva transmutada dividida por dois, mais aárea do triângulo 0CB. É um processo complexo e interessante, desde que a curva, depois detransmutada, se transforme em uma curva conhecida.Já o triângulo 0CB surge a partir do momento que a tangente no ponto c, passa a serparalela ao eixo das abscissas.O segmento cg é a tangente à curva em c. Surge então da construção do último segmento oc, otriângulo 0CB.33
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Encontrar a área desejada consiste em somar a área de to<strong>do</strong>s os pequenos triângulos 0cc’,acrescenta<strong>do</strong>s também da área <strong>do</strong> triângulo 0CB. Logo a área desejada é 0cCB = ∑ <strong>do</strong>striângulos 0cc’ + o triângulo 0CB.Para isso, <strong>Leibniz</strong> traça a tangente à curva no ponto c, que intercepta o eixo y em s e oeixo x em g. Em seguida cria um segmento com origem em 0 e extremidade em P tal que osegmento 0P seja perpendicular a tangente em P.Levan<strong>do</strong> em consideração que c e c’ tenham uma aproximação muito boa, são cria<strong>do</strong>stambém <strong>do</strong>is segmentos <strong>para</strong>lelos ao eixo y, um com extremidades c e b e outro comextremidades c’e b’. Aparecem assim mais <strong>do</strong>is segmentos, só que desta vez <strong>para</strong>lelos ao eixo x.Um com extremos em c e d, que define o triângulo característico cdc’ e outro segmento comextremos s e q’, interceptan<strong>do</strong> o segmento cb em q.Usan<strong>do</strong> semelhança entre triângulos, <strong>Leibniz</strong> chega à seguinte conclusão: O ∆ cdc’ ésemelhante ao ∆ 0PS, com cc’ / 0S = cd / 0P, logo cc’ x 0P = cd x 0S. Tem-se ainda: área <strong>do</strong> ∆0cc’ = 1 / 2 ( cc’ x 0P ) = 1 / 2 ( cd x 0S ). Mas como cd = bb’ e 0S = bq, temos que 1 / 2 ( cd x0S ) = 1 / 2 ( bb’x bq ) = área ( bqq’b’) / 2.32
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