A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...
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Logo temos: a + a/2 = 3a/2 e a + a/3 = 4a/3.No primeiro caso, y = a²/a = a e y = (3a/2)² /a = 9a/4. Fazendo a diferença entre asordenadas temos, 9a/4 – a = 5a/4 = 5/2 . a/2, logo a aproximação da tangente é de 5/2 = 2,5.No segundo caso, y = a e y = (4a/3)² / a = 16a/9, pela diferença das ordenadas, temos16a/9 – a = 7a/9 = 7/3.a/3, logo a aproximação da tangente é de 7/3 = 2,33. Como a declividadeda tangente é 2, podemos observar que para distâncias cada vez menores entre as ordenadas,mais nos aproximamos da declividade da tangente à curva no ponto C = (a,a).Esse foi um dos primeiros trabalhos de Leibniz sobre o cálculo, em que percebeu quetomar as diferenças infinitamente pequenas de termos e somá-las seriam operações inversas.Determinar a área abaixo de uma curva e determinar as tangentes à curva seriam tambémoperações inversas.5.3 - Triângulos Característicos.Após aprofundar seus estudos sobre cálculo infinitesimal, Leibniz encontrou notações nasquais Pascal aplicava o que Leibniz chamou de triângulo característico; acredito ser o triânguloaritmético ou também conhecido triângulo de Pascal, aos círculos. E Leibniz procurou, comêxito, estender a aplicação a curvas diversas.Veja o exemplo extraído do livro História da Matemática vol. 3, Origem eDesenvolvimento do Cálculo.cc’ Cdλg 0 b e30
Seja 0cC uma curva qualquer, onde λ é a tangente a curva em c e o segmento ce a normalem c. Tomando c’ na tangente tal que em uma boa aproximação o segmento cc’ possa coincidircom a curva,o menor triângulo da figura acima, o triângulo cdc’ é o chamado triângulocaracterístico. Esse triângulo é semelhante aos triângulos cbe e cbg, assim temos:cd / cb = dc’ / be = cc’ / ce; e cd / bg = dc’ / bc = cc’ / gcApesar de não ser o primeiro a utilizar tais relações, o que Leibniz queria não erammétodos para buscar um resultado em específico, como havia pesquisado em publicações daépoca. Queria, sim, generalizar de maneira mais abrangente possível, métodos para se calcular aquadratura de curvas.Através do triângulo característico, Leibniz desenvolveu uma regra geral a qualdenominou transmutação.5.4 - Transmutação.A transmutação consiste em uma regra geral que permite transformar uma curva dada emuma outra curva, obtida a partir das tangentes da curva dada em questão. É um métodointeressante quando a curva encontrada pelo regra de transmutação é mais simples que a curvadada. É um processo que reduz a área da curva dada à área de uma outra curva.Para o desenvolvimento deste processo, Leibniz tomou uma curva arbitrária na qual, deposse de uma região limitada abaixo da curva, desenvolveu o seguinte processo.Seja a região limitada da qual quero encontrar a área, a região 0cCB. Essa área pode serdefinida, dividindo a região desejada 0cCB em vários triângulos pequenos tais como na figura.ycc’ C0 B x31
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Logo temos: a + a/2 = 3a/2 e a + a/3 = 4a/3.No primeiro caso, y = a²/a = a e y = (3a/2)² /a = 9a/4. Fazen<strong>do</strong> a diferença entre asordenadas temos, 9a/4 – a = 5a/4 = 5/2 . a/2, logo a aproximação da tangente é de 5/2 = 2,5.No segun<strong>do</strong> caso, y = a e y = (4a/3)² / a = 16a/9, pela diferença das ordenadas, temos16a/9 – a = 7a/9 = 7/3.a/3, logo a aproximação da tangente é de 7/3 = 2,33. Como a declividadeda tangente é 2, podemos observar que <strong>para</strong> distâncias cada vez menores entre as ordenadas,mais nos aproximamos da declividade da tangente à curva no ponto C = (a,a).Esse foi um <strong>do</strong>s primeiros trabalhos de <strong>Leibniz</strong> sobre o cálculo, em que percebeu quetomar as diferenças infinitamente pequenas de termos e somá-las seriam operações inversas.Determinar a área abaixo de uma curva e determinar as tangentes à curva seriam tambémoperações inversas.5.3 - Triângulos Característicos.Após aprofundar seus estu<strong>do</strong>s sobre cálculo infinitesimal, <strong>Leibniz</strong> encontrou notações nasquais Pascal aplicava o que <strong>Leibniz</strong> chamou de triângulo característico; acredito ser o triânguloaritmético ou também conheci<strong>do</strong> triângulo de Pascal, aos círculos. E <strong>Leibniz</strong> procurou, comêxito, estender a aplicação a curvas diversas.Veja o exemplo extraí<strong>do</strong> <strong>do</strong> livro História da Matemática vol. 3, Origem eDesenvolvimento <strong>do</strong> Cálculo.cc’ Cdλg 0 b e30
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