A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

5.2 - Seqüência de diferenças.Huygens, matemático holandês que tornou – se conselheiro de Leibniz em uma de suasvisitas a Paris, “o primeiro cientista natural e matemático da Europa no primeiro período depoisde Galileu e Descartes e antes de Newton” [1,vol 3, pág.40] , propôs a Leibniz que resolvesse oproblema de somar a série cujos termos são os valores recíprocos dos números triangulares.∞“Os números triangulares são 1, 3, 6, 10, 15, ..., r (r + 1 ) / 2, ... . Assim, Huygens pediu a∞Leibniz que calculasse ∑ 2 / r ( r + 1 )” [1,vol 3, pg. 44].r =1Leibniz tinha conhecimento de seqüências de diferenças e, para o problema proposto,formulou a seguinte seqüência de diferenças. Sendo conhecida a seqüência a1, a2, a3, a4, ...,an,an+1, temos a seguinte seqüência das diferenças: b1 = a1 – a2; b2 = a2 – a3; b3 = a3 – a4; ... .Leibniz observou que tem-se:b1 + b2 + b3 + b4 + … = a1 – a2 + a2 – a3 + a3 – a4 + ... + (an–1) – an + an – (an+1) + ... = a1 – an+1, eque, por sorte, a seqüência dos números triangulares recíprocos é a seqüência das diferenças,onde 2 / r (r + 1), pertence à seqüência das diferenças originada pela seguinte seqüência: 2/1,2/2, 2/3, 2/4, 2/5, ... ,2/r, 2/r+1 , ... . Esta seqüência dá origem à seqüência das diferenças. 2/1 –2/2, 2/2 – 2/3, 2/3 -2/4, ... ,2/r –2/(r+1), onde o termo 2/r – 2/(r+1) = 2/r (r+1) e somar os termosdessa seqüência é obter como resposta, 2/1 – 2/(r+1).∞∞Logo ∑ 2 / r ( r + 1 ) = ∑ 2 / r – 2 / ( r + 1 ) = 2 – 2 / (r + 1) = 2 – 2 /( ∞ + 1) = 2r =1 r =1Leibniz realizou várias deduções sobre adição de seqüênciassemelhantes juntando – as ao triângulo harmônico.Em Londres, Leibniz percebeu que tudo que havia deduzidonão era novo, já existia em bibliografias matemáticas da época.Essas deduções lhe deram conhecimentos que foramimportantíssimos ao desenvolvimento do cálculo, como:Somar seqüências e tomar as suas seqüências das diferençassão operações mutuamente inversas num certo sentido.[ 1,vol 3, pg. 45,46 ]28