A invenção do cálculo por Newton e Leibniz e sua evolução para o ...

4.3 – A Relação Entre as Fluxões e os Fluentes.4.3.1 - Como Newton achou uma relação entre as fluxões das quantidades com os seusrespectivos fluentes.Tomando as quantidades infinitamente pequenas dos fluentes, que Newton denominacomo sendo momentos das quantidades fluentes, adicionadas tais quais elas aumentam em umcerto intervalo de tempo (infinitamente pequeno), de modo que cada quantidade infinitamentepequena dos fluentes, possam ser expressas pelo produto da sua respectiva fluxão ( velocidade ),por um intervalo de tempo infinitamente pequeno. Exemplo.Sendo o fluente x, de forma que sua parte infinitamente pequena, pode ser expressa pelo. .(fluxão, x ) por um intervalo de tempo infinitamente pequeno ( o ), onde x.o.Newton logo percebeu que os momentos dos demais fluentes v, y, z, ... , poderiam ser. . . . . .expressos respectivamente por v.o, y.o, z.o, ... , o que mostra que v.o, y.o, z.o, ... estão. . .relacionados com suas fluxões ( velocidades ) v, y, z, ... .. .Assim como os momentos x.o, y.o das quantidades fluentes x e y, são seus incrementos.infinitamente pequenos, para cada intervalo de tempo infinitamente pequeno, teremos x + xo e.y+ yo ( x + Δx e y + Δy ). Para entender como Newton calculava, tomemos como exemplo aequação x³ – ax² + axy – y³ = 0 em um intervalo curto d e tempo, podemos substituir x por. . . . . . .x + xo e y por y + yo, onde teremos: (x + xo)³ - a(x + xo)² + a(x + xo)( y + yo) – (y + yo)³ = 0. . . . . . . . . .x³ + 3x²xo + 3xx²o² + x³o³ – a( x² + 2xxo + x²o² ) + a( xy + xyo +xyo + xyo² ) – ( y³ + 3y²yo +. . . . . . . . .3yy²o²+ y³o³) = 0 logo, x³ + 3x²xo + 3xx²o² + x³o³ – ax² – 2axxo – ax²o² + axy + axyo + ayxo +. . . . .axyo² – y³ –3y²yo – 3yy²o² – y³o³ = 0Pelos cálculos de Newton, fazendo a equação acima menos a equação inicial dada, x³ – ax² +. . . . . . . . . . .axy – y³ = 0, temos 3x²xo + 3xx²o² +x³o³ –2axxo – ax²o² – axyo + ayxo + axyo² – 3y²yo – 3yy²o²= 0. Dividindo tudo pelo tempo “o” e como diz Newton, para um “o” infinitamente pequeno20