A invenÃ§Ã£o do cÃ¡lculo por Newton e Leibniz e sua evoluÃ§Ã£o para o ...

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são polinômios que podem ser interpolados, assim como suas áreas, e nada foi requerido paraisso, a não ser a omissão dos denominadores 1,3 ,5, 7 ,etc, que aparecem nas áreas. Logo aquantidade dos termos a serem desenvolvidos, para cada curva intercalada, poderia serencontrada a partir da série desenvolvida, que permitia encontrar os termos de uma seqüência dotriângulo aritmético, a partir do 2º termo(1 - x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ...(1 - x²) 3/2 = 1 – 3/2x 2 + 3/8x 4 + 1/16x 6 , ...(1 - x²) 1/3 = 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ...Após ter se familiarizado com as extrações de raízes, Newton testou um novo processo,multiplicando 1– 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 , ... , por si mesmo. A partir do momento em que aseqüência tendia para o infinito, restava 1 - x², porque os termos que ficavam desapareciam pelacontinuidade da série até o infinito. Da mesma maneira ocorreu quando multiplicou 1 – 1/3x 2 –1/9x 4 – 5/81x 6 , ... , duas vezes por si mesmo, resultando em 1 - x². Newton percebeu, nas sériesformadas, que essas representavam raízes da quantidade 1 - x², e abandonou o método dainterpolação, passando a usar métodos algébricos para extração de raízes, que, segundo ele,tinham fundamentos mais naturais que o método usado na interpolação. Se a raiz da equação y =(1- x²) 1/2 = 1 – 1/2x 2 – 1/8x 4 – 1/16x 6 ... , então a quadratura sob a mesma curva, poderia serobtida substituindo o 1 por x, alternando os sinais em positivos e negativos, somando 1 aosexpoentes da variável x e estes mesmos valores seriam colocados nos denominadores de cadarespectiva variável x. Logo a quadratura sob a curva de equação y = (1 - x²) 1/2 = x – (1/2)x 2+1 +(1/8)x 4+1 - (1/16)x 6+1 + ... + ax (m / n)+1 2+1.4+1 6+1 (m/n)+1(m / n)Posteriormente veremos que Newton aparece sugerindo a quadratura sob a curva y = axcomo sendo nax (m+ n) / n , que é igual a ax (m / n)+1 .m+n(m/n)+116
As séries infinitas foram indispensáveis para Newton no desenvolvimento da quadratura decurvas. Mediante a expansão em série ele foi capaz de calcular a integral de expressões queenvolviam raízes, integrando-as termo-a-termo. Newton, ciente das dificuldades, assume a noçãode convergência de James Gregory, mencionando constantemente a necessidade de assegurar queo tempo deva ser suficientemente pequeno. “Suas opiniões sobre convergência nunca foramfirmemente estabelecidas” [1,vol 3, pg. 17 ]. O desenvolvimento destes conceitos de forma precisa sóserá alcançado muito posteriormente, no século XIX.17
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