Derivadas e Aplicações - CEUNES

Derivadas e AplicaçõesLúcio FassarellaMarch 21, 2011AbstractEstas são notas de aula sobre derivadas e aplicações. Aqui, apresentamos de…nição de derivadade funções de uma variável real, suas interpretações geométrica e analítica e os principais teoremasrelacionados (o teorema do Valor Médio e as regras de L’Hospital para cálculo de limites). Tambémestudamos o uso das derivadas para análisar grá…cos de funções e resolver problemas de otimizaçãoe taxas relacionadas; para tanto, de…nimos a terminologia e os conceitos especí…cos utilizados nessasanálises: extremos locais, ponto críticos, pontos de sela e pontos de in‡exão.Contents1 Derivada 21.1 Interpretações geométrica e analítica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Linearização e Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Propriedades da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Fórmulas de Cauchy e L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Linearização de funções deriváveis 123 Pontos Críticos e Extremos 144 Análise de Grá…cos 165 Aplicações 186 Problemas 206.1 Problemas computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Problemas conceituais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Problemas de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3.1 Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3.2 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

"Considerando quantos tolos são capazes de calcular, é surpreendente que se possa pensar que pode serdifícil ou tedioso para qualquer outro tolo aprender os mesmos truques." "O que um tolo pode fazer,outro tolo também pode."S.P. Thompson, Calculus Made Easy ["Cálculo Facilitado"]1 DerivadaA derivada 1 de…ne a idéia de taxa de variação de uma função, ou a relação entre as variações de umafunção e sua variável (argumento): intuitivamente, é o quociente entre a variação in…nitesimal da funçãopela variação in…nitesimal de sua variável; formalmente, é o limite das taxas médias de variação da função,quando as variações da variável tendem a zero.De…nição 1 (Derivada) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo aberto I R.Para a 2 I, dizemos que f é derivável em a quando existir o limite, chamado de derivada de f em a,f 0 f (x)(a) := limx!a xf (a)aDizemos que f é derivável quando ela é derivável em todos os pontos de I.Notação 2 A derivada de f em a também é denotada pordfdx (a) = f 0 (a)Observação 3 (In…nitésimos e derivada, a idéia intuitiva)De…nimos derivada como o limite das taxas de variação média sem recorrer à noção de in…nitésimo;entretanto, é importante pensar nessa idéia pois ela serve como heurística para muitas aplicações da derivada.Um in…nitesimal é a abstração da idéia do que seria um “número arbitrariamente próximo de zeromas ainda diferente de zero”, ou um “número com magnitude desprezível sempre que comparadaa qualquer número estritamente positivo”; geralmente, quando dizemos que é um in…nitésimo,queremos dizer que é um número que possui as seguintes propriedades: 6= 0 e jj < jxj ; 8x 2 RClaramente, não pode ser um número real comum pois nesse caso essas condições seriam contraditórias.O conceito de in…nitesimal é de…nido matematicamente no âmbito da teoria chamadaAnálise Não-Standard; entretanto, não precisamos dessa teoria para manipular os in…nitesimaisheuristicamente - como geralmente fazem os físicos.A de…nição heurística de derivada de uma função em termos de in…ntesimais e a seguinte:Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo aberto I R e seja x 2 I.Para uma variação …nita x 6= 0, tal que x + x 2 I temos uma correspondente variação fda função f e de…nimos taxa média de variação da função f pelo quociente:fx(x) := f (x + x) f x(x)Para uma variação in…nitesimal dx temos uma correspondente variação in…nitesimal df da funçãof e de…nimos sua derivada pelo quociente:dfdx(x) := f (x + dx) f dx1 Considerações sobre a de…nição de derivada.Um conceito matemático é abstrato porque seu signi…cado está completamente contido no enunciado formal que o de…ne, ouseja não depende de uma interpretação, seja física ou outra qualquer.Se o conceito de derivada fosse utilizado na física apenas para designar velocidade e aceleração instantâneas, então talvezfosse conveniente considerar seu estudo apenas sob essa perspectiva; entretanto, como esse conceito é interpretado de diversasmaneiras, parece melhor abordá-lo do ponto de vista mais formal, ressaltando algumas interpretações mais comuns (tal como ade velocidade e aceleração de uma partícula sob ação de forças). Esse é o ponto de vista adotado nessas notas de aula.(x)2

Se uma função é derivável num ponto de seu domínio, então a função é contínua nesse ponto:Proposição 4 Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo aberto I R. Se f é derivável em a 2 I,então f é contínua em a.Prova. Por cálculo direto:lim [f (x) f (a)] = limx!a x!a= limx!a(x(x a)= 0f 0 (a) = 0f (x) f (a)x a f (x)a) limx!a x f (a)aÉ fácil imaginar que uma função derivável num ponto deva ser contínua nesse ponto porque intuitivamentenão temos como de…nir uma reta que tangencie o grá…co de uma função num ponto de descontinuidade!De…nição 5 (Derivadas de Ordem Superior) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo I Re seja a 2 I.Para n 2 N , dizemos que uma função f é n vezes derivável quando podemos derivar sucessivamente fpor n vezes; nesse caso, a n-ésima derivada (ou a derivada de ordem n) de f é denotada porn derivadasz}|{Notação 6 f (n) = f 0:::0 = dn fdx= dn dx ::: d f| {zdx}n derivadas f (n) (a) := (f 0 ) 0 0 0::: (a)| {z }n derivadasExemplo 7 Considerando que sin 0 (x) = cos (x) e cos 0 (x) =sin (x), mostre quesin 00 (x) =sin (x)1.1 Interpretações geométrica e analítica da derivadaA interpretação geométrica da derivada está relacionada com a de…nição de reta tangente; a interpretaçãoanalítica da derivada está relacionada com a de…nição de aproximação linear.De…nição 8 (Inclinação de reta) Se r é uma reta no plano-xy que não é vertical, então a ‘inclinação’de r é de…nida pela tangente do ângulo que r faz com o eixo-x.Se a reta r é de…nida pela equaçãoax + by = c ; a; b; c 2 R; b 6= 0então o ângulo que r faz com o eixo-x e sua inclinação e são dados respectivamente por a = arctan ; m = a b bConsidere uma função de…nida num intervalo aberto I R e derivável em a 2 I,f : I ! R3

Signi…cado Analítico da DerivadaA derivada f 0 (a) é o fator de proporcionalidade aproximado entre as variações da função f e de seuargumento nas vizinhanças do ponto a.Para caracterizar essa interpretação, de…nimos a função erroE a (x) := f (x) f (a) f 0 (a) (x a) ; x 2 IEntãof (x) = f (a) + f 0 (a) (xa) + E (x) ; limx!aE a (x)x a = 0Para x 2 In fag su…cientemente próximo de a para que o valor de E (x) = (xdesprezível, temosf (x) f (a) ' f 0 (a) (x a)a) possa serSigni…cado Geométrico da DerivadaA derivada f 0 (a) é a inclinação da reta tangente ao grá…co de f em (a; f (a)).Para caracterizar essa interpretação, de…nimos a funçãom a : In fag ! R ; m a (x) = f (x)xf (a)aPara x 2 In fag, m a (x) a inclinação da reta secante ao grá…co de f que passa pelos pontos(a; f (a)) e (x; f (x)); a reta tangente ao grá…co de f no ponto a é reta limite de tais secantesquando x 2 In fag tende para a; portanto, a inclinação da reta tangente ao grá…co de f no pontoa é dada pelo limite de m a (x) quando x tende para a, dondef 0 (a) = limx!am a (x)Observação 9 As duas interpretações acima signi…cam que a derivada da função f no ponto a 2 I de…neuma aproximação linear dessa função em torno desse ponto:T a : R ! R ; T a (x) = f (a) + f 0 (a) (x a)Então:(i) o grá…co de T a é a reta tangente ao grá…co de f em (a; f (a));(ii) os valores de T a (x) aproximam os valores de f (x) para x 2 I su…cientemente próximo do ponto a.4

1.2 Linearização e DiferencialDe…nição 10 (Diferencial) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo aberto I R e derivávelem a 2 I.A diferencial de f em a é o operador linear de…nida pordf (a) : R ! R ; df (a) x := f 0 (a) xA diferencial de f num ponto a de…ne a relação entre as variações da função e de sua variável em tornode a: se escrevemos y = f (x), então as variações médias de y decorrentes de variações …nitas de x em tornode a são dadas por:y = f (a + x) f (a) f 0 (a) x = df (a) xIntuitivamente, essa aproximação torna-se uma igualdade quando as variações são in…nitesimais: se dx denotauma variação in…nitesimal da variável x e dy uma variação in…nitesimal da função y, entãody = f 0 (a) dxEssa é a notação usual para diferencial de uma função; ela é sugestiva e útil na heurística da solução deproblemas por aproximação linear.Observação 11 Diferencial é um operador linear e derivada é um número; eles estão relacionados entre sicomo um operador linear está relacionado com sua representação numa base do espaço vetorial onde estáde…nido.No caso de funções de uma variável, a diferencial e a derivada se confundem porque sempre pensamosem R como um corpo e não como um espaço vetorial; além disso, mesmo quando tratamos R como espaçovetorial, naturalmente o representamos na base canônica de…nida pelo vetor 1!Para funções de várias variáveis essa confusão deixa de ocorrer porque o espaço euclideano multidimensionalé naturalmente tratado como um espaço vetorial; nesse caso, …xa explíscita a diferença entre adiferencial de uma função com sua representação numa base do espaço - embora a representação na basecanônica seja a mais comum.Observação 12 A linearização de uma função de…ne sua melhor aproximação linear possível; para detalhesveja: R.L. Finney, M.D. Weir, F.R. Giordano, Cálculo de G.B. Thomas Jr - volume 1, Addison Wesley,2003: exercícios 45 e 46 da p.300.5

1.3 Derivadas de funções elementaresTabela de derivadas de funções elementares 2Exemplo 13 Usando queprove a derivada das funções potênciasdcdx= 0 ; (c 2 R)dxdx = 1ddx (xn ) = rx r 1 ; 8r 2 R dsin (x)dx= cos (x)dcos (x)dx= sin (x)dexp (x) = exp (x)dx1.4 Propriedades da derivadaddx ln (x) = 1 xb a = e a ln(b) ; 8a 6= 0; 8b > 0i) ddx xa = ax a 1 (a 6= 0) ; ii) ddx (bx ) = ln (b) b x (b > 0)Na prática, nós não calculamos derivadas partindo da de…nição, mas sim usando duas tabelas: uma depropriedades gerais das derivadas e outra das derivadas de algumas funções elementares.Teorema 14 (propriedades algébricas da derivada) Sejam f; g : I ! R funções de…nidas num intervaloI R.Se f e g são deriváveis em a 2 I, então:i) Para toda constante c 2 R, cf é derivável em a e valeii) f + g é derivável em a e valeiii) fg é derivável em a e valed adx (cf) = c dfdx (a) ; (cf)0 (a) = cf 0 (a)(f + g) 0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)(fg) (a) = g (a) f 0 (a) + f (a) g 0 (a)iv) Se g (a) 6= 0, f=g é derivável em a e vale 0 f= g (a) f 0 (a) f (a) g 0 (a)gg 2 (a)Prova. A prova consiste de veri…car as identidades pela análise da de…nição de derivada.Exemplo 15 Prove a fórmula para a derivada do quociente de funções (iv) usando a fórmula para a derivadado produto (iii) junto com a derivada da função j (x) = x 1 ; x 2 Rn f0g.2 O cálculo das derivadas das funções elementares é apresentado exaustivamente no livro: D.M. Flemming, M.B. Gonçalves,Cálculo A, Prentice Hall Brasil, 2006: p.184-204.6

Exemplo 16 Prove a fómula para a derivada de uma potência inteira usando a fórmula para a derivada doproduto (iii),ddx (xn ) = nx n 1 ; 8n 2 Z A derivada de uma composição de funções deriváveis é determinada pela regra da cadeia:Teorema 17 (Regra de Cadeia) Sejam f : I ! R e g : J ! R funções de…nidas em intervalos tais quef (I) J.Se f é derivável em a 2 I e g é derivável em f (a), então g f é derivável em a e vale(g f) 0 (a) = g 0 (f (a)) f 0 (a)Prova. A prova consiste de veri…car a identidade pela análise da de…nição de derivada.Exemplo 18 Determine a derivada da seguinte funçãof : R ! R ; f (x) := e x2Para funções bijetoras deriváveis com inversas deriváveis temos que a derivada da função inversa é oinverso da derivada da função, calculados em pontos correspondentes:Teorema 19 (derivada de funções inversas) Seja f : I ! J uma bijeção entre dois intervalos I; J R.Se f é derivável em a 2 I e f 0 (a) 6= 0, então sua inversa f 1 é derivável em b = f (a) 2 J e valef 1 0(b) =1f 0 (a) ; b = f (a)Prova. Para provar que f 1 é derivável em b, temos que analisar a de…nição de derivada.Considerando que f 1 é derivável em b, a identidade do teorema pode ser veri…cada diretamente pelaaplicação da regra de cadeia:x = f 1 f (x) ; 8x 2 I ) 1 = f 1 f 0 x=a = f 1 0 f(a) f 0 (a)) f 1 0(f (a)) = 1=f 0 (a)Outra prova da identidade consiste em interpretar geometricamente as derivadas: se 2 ( =2; =2) éo ângulo em relação ao eixo-x da reta tangente ao grá…co de f em (a; f (a)), então =2 é o ângulo emrelação ao eixo-x da reta tangente ao grá…co de f 1 no ponto f 1 (a) ; a , portanto:f 1 0(b) = tan 21 =tan () = 1f 0 (a)Exemplo 20 Calcule a derivada da função x 1=2 no intervalo (0; 1), considerando-a como uma inversa dafunção x 2 .Exemplo 21 Calcule a derivada da função arcsin (x) no intervalo (inversa da função sin (x).=2; =2), considerando-a como uma7

1.4.1 Derivação implícitaDada uma função de duas variáveis F (x; y) com domínio D R 2 e uma constante c 2 R, sob certas condiçõesuma equação do tipoF (x; y) = cde…ne um subconjunto no domínio D que eventualmente é uma curva diferenciável –i.e., que pode localmenteser identi…cada com o grá…co de uma função derivável. Para cada ítem, calcule a derivada implícita dy=dxno ponto p indicado (se possível):i) xy = 1 ; p = (2; 1=2) p2ii) x 2 + y 2 = 1 ; p =2 ; p 22iii) xye x+y = 1 ; p = (1; 1)iv) sin (xy) + 2 cos (xy) = 2x= ; p = (; 4)v) y + x = arctan (xy) ; p = (0; 0)8

1.5 Teorema do Valor MédioO teorema de Rolle e o teorema do Valor Médio são teoremas de existência, i.é, teoremas garantindo que“sob certas condições existem certos elementos satisfazendo certas propriedades”; esses teoremas não dizemcomo calcular aquilo que garantem que existe, mas há algoritmos gerais que realizam isso (tal como o métodode Newton, quando adaptado para esse objetivo).Geometricamente, para uma função derivável que se anula nos extremos do intervalo em que está de…nida,o teorema de Rolle garante que seu grá…co possui um ponto cuja reta tangente que é paralela ao eixo-x:Teorema 22 (Rolle) Seja f : [a; b] ! R uma função contínua em [a; b] e derivável em (a; b).Se f (a) = f (b) = 0, então existe um ponto c 2 (a; b) tal que f 0 (c) = 0.Geometricamente, para uma função derivável de…nida num intervalo, o teorema do Valor Médio garanteque seu grá…co possui um ponto cuja reta tangente é paralela à secante que une os pontos (a; f (a)) e (b; f (b)):Teorema 23 (Valor Médio) Seja f : [a; b] ! R uma função contínua em [a; b] e derivável em (a; b).Então existe um número c 2 (a; b) tal quef 0 (c) = f (b)bf (a)aO teorema do Valor Médio possui diversas consequências importante; as principais são as seguintes:Corolário 24 Seja f : [a; b] ! R uma função contínua em [a; b] e derivável em (a; b).i) Se existe M > 0 tal que jf 0 (x)j M 8x 2 (a; b), entãojf (b) f (a)j M (b a)ii) Se a derivada de f é identicamente nula, então f é uma função constante:f 0 0 () f = c 2 Riii) Se a derivada de f é positiva, então f é uma função crescente:f 0 > 0 ) f é crescenteSe a derivada de f é negativa, então f é uma função decrescente:f 0 < 0 ) f é decrescente9

1.6 Fórmulas de Cauchy e L’HôspitalAs derivadas podem ser úteis no cálculo de limites que apresentam indeterminações; o resultado fundamentalsão as regras de L’Hôpital, que são deduzidas do teorema do valor médio de Cauchy.Teorema 31 (Teorema do Valor Médio de Cauchy) Sejam f; g : [a; b] ! R funções contínuas em [a; b]e deriváveis em (a; b).Se g 0 não se anula em (a; b), então existe c 2 (a; b) tal quef 0 (c)g 0 (c) = f (b)g (b)f (a)g (a)Prova. Primeiro, provamos usando o teorema do Valor Médio que g (b) 6= g (a)! Depois, provamos atese do teorema aplicando o teorema de Holle na função f (b) f (a)h : [a; b] ! R ; h (x) := f (x) f (a)(g (x) g (a))g (b) g (a)Teorema 32 (Regras L’Hôpital) Sejam f; g : I ! R funções contínuas e deriváveis no intervalo I R,exceto possivelmente num ponto 3 c 2 I.fSe lim x!c f (x) = lim x!c g (x) = 0 ou 1 e lim 0 (x)x!c g 0 (x)= L, entãof (x)limx!c g (x) = lim f 0 (x)x!c g 0 (x) = LProva. Caso c 2 R e lim x!c f (x) = lim x!c g (x) = 0. Nesse caso, de…na as funções^f; ^g : I [ fcg ! R ; f (x) ; x 2 In fcg^f (x) = 0 ; x = cg (x) ; x 2 In fcg^g (x) =0 ; x = cEntão, aplicando o teorema de Cauchy às funções ^f e ^g, temos que para todo x 2 In fcg existe c x 2 I entrex e c tal que f (x) =g (x) = f 0 (c x ) =g 0 (c x ); portantof (x)limx!c g (x) = lim f 0 (c x )x!c g 0 (c x ) = lim f 0 (y)y!c g 0 (y) = LCaso c = 1 e lim x!c f (x) = lim x!c g (x) = 0. Esse caso reduzimos ao anterior:f (x)limx!1 g (x) = lim f (1=y)y!0 g (1=y) = lim f 0 (1=y)y!01=y 2g 0 (1=y) ( 1=y 2 ) = limx!1f 0 (x)g 0 (x)Caso lim x!c f (x) = lim x!c g (x) = 1. A tese do teorema para esse caso também pode ser deduzidada fórmula de Cauchy, mas o argumento é bem mais complexo! 4Exemplo 33 Calcule o limitelim 1 + 1 xx!1 xExemplo 34 Calcule os limites:i) limx!0sin (x) xe x + e x 2ii)limx!1e x 1x 3 + 4x3 O ponto c também pode pertencer aos extremos do intervalo I (mesmo que esse seja aberto) ou representar 1 (situaçãopossível quando I for um intervalo in…nito)!4 Para uma demonstração completa, vide: L. Leithould, O Cálculo com Geometria Analítica: p.504-513.11

2 Linearização de funções deriváveisAlém de justi…car a de…nição de linearização de funções de uma variável, o seguinte teorema é importanteporque servirá como motivação para a de…nição de diferenciação de funções de várias variáveis:Teorema 35 (Caracterização das funções deriváveis) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervaloI R.Então, f é derivável em a 2 I se e somente se existe um número c 2 R tal que a seguinte função de…nidanuma vizinhança de ar a (x) := f (x) f (a) (x a) ctende a zero mais rapidamente do que seu argumento, i.é,Nesse caso, temosr a ()lim = 0!0 c = f 0 (a)Portanto, uma função derivável num ponto pode ser aproximada por uma função linear nas vizinhançasdesse ponto; chamamos essa aproximação de linearização da função:De…nição 36 (Linearização) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo I R e derivável ema 2 I.A linearização de f em a é a função a…m que no ponto a assume o valor f (a) e tem a inclinação f 0 (a):L a : R ! R ; L a (x) := f (a) + (xa) f 0 (a)O erro linear em a é de…nido pela diferença entre f e sua linearização:r a : I ! R ; r a (x) := f (x)L a (x)A linearização L a (x) de…ne a reta tangente ao grá…co de f no ponto a e a função erro linear r a (x) nosdá a “medida”de quanto o grá…co de f se afasta dessa reta tangente:f (x) = f (a) + (x a) f 0 (a) + r a (x)| {z } | {z }linearizaçãoerro linear; 8x 2 IO teorema do Valor Médio nos permite fazer estimativas do erro linear:Proposição 37 Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo I R e derivável em a 2 I.Se r a é a função erro linear para f no ponto a, então para todo x 2 I existe c entre a e x tal que qr a (x) = [f 0 (c) f 0 (a)] (x a)Consequentemente, se a derivada de f é limitada por um número M > 0,então o erro linear pode ser estimado por M:jf 0 (x)j M ; 8x 2 Ijr a (x)j 2M jxaj ; 8x 2 IProva. Para x 2 I; x 6= a, pelo Teorema do Valor médio existe algum c 2 I entre a e x tal quePortanto,r a (x)x a=f (x) f (a)(x a)f 0 (a) = f 0 (c)r a (x) = [f 0 (c) f 0 (a)] (x a)f (a)12

Observação 38 (Linearização e Diferencial) A relação entre a variação de uma função devido à umavariação do argumento pode ser aproximado pela variação de sua linearização:f (x) f (a) = f 0 (a) (x a) + r a (x) ) f ' f 0 (a) xQuando x é su…cientemente pequeno para que o erro linear seja desprezível, escrevemosdf = f 0 (a) dxNa prática, muitos problemas envolvendo funções deriváveis podem ser resolvidos mais facilmente quandosubstituimos a função por sua linearização (isso ocorre frequentemente na Física).Exemplo 39 Estime o volume de material presente em uma embalagem cilíndrica de 30cm de algura, 6cmde raio e 0; 5cm de espessura.Exemplo 40 Suponha que você deva construir uma esfera com volume 10m 3 ; sabendo que o volume de umaesfera de raio r é 4 3 r3 , determine o erro máximo na medida do raio para que o erro no volume dessa esferaseja inferior a 1%.Exemplo 41 Determine aproximadamente a variação relativa da energia relativística de uma partícula devidoa 0; 1% de incremento na sua velocidade inicial de 90% da velocidade da luz. Assuma que a energiarelativística de uma partícula de massa de repouso m 0 e com velocidade v é dada porE =m 0 c 2p1 v2 =c 213

3 Pontos Críticos e ExtremosSegundo Leibniz, o Criador, por ser bom, escolheu dentre todos os mundos logicamente possíveisde existir criar aquele onde o bem fosse máximo. Isso não signi…ca que esse mundo demáxima bondade esteja isento de maldade; signi…ca apenas que nele toda maldade deve servirpara a realização de um bem maior. Pode ser que o estudante de Cálculo não concorde comLeibniz, mas talvez seja uma motivação imaginar que a criação do mundo dependeu da resoluçãode um problema de otimização.TopologiaEm topologia, a propriedade de compacidade é preservada por aplicações contínuas; no caso particularde funções reais contínuas de…nidas em subconjuntos de R, isso signi…ca o seguinte teorema, que nos garantea existência de pontos de minimo global e máximo global:Teorema 42 (Compacidade) Seja f : [a; b] ! R uma função contínua de…nida num intervalo fechado.Então f possui pontos de mínimo global e máximo global em [a; b], i.é:9x 0 ; x 1 2 [a; b] = f (x 0 ) f (x) f (x 1 ) ; 8x 2 [a; b]TerminologiaA seguinte terminologia é útil na análise dos pontos críticos de funções deriváveis:De…nição 43 (Pontos Críticos e Extremos Locais) Seja f : U ! R uma função derivável de…nidanum intervalo I R; seja p 2 I.i) p é chamado ponto crítico de f quando a derivada de f se anula em p,f 0 (p) = 0ii) p é chamado ponto de mínimo local de f quando f (p) é o valor mínimo de f numa vizinhança de p,i.é:9" > 0 = x 2 I; jx pj < " ) f (x) f (p)iii) p é chamado ponto de máximo local de f quando f (p) é o valor máximo de f numa vizinhança de p,i.é:9" > 0 = x 2 U; jx pj < " ) f (x) f (p)iv) p é chamado ponto de sela de f quando p é um ponto crítico de f que não é mínimo local ou máximolocal;v) Se f é duas vezes derivável em p, dizemos que p é um ponto crítico não-degenerado de f quandof 0 (p) = 0 e f 00 (p) 6= 0;vi) Se f é duas vezes derivável, dizemos que p é um ponto de in‡exão de f quando f 00 (p) = 0 e suasegunda derivada muda de sinal em p.14

Teorema 44 (Pontos Extremos) Seja f : I ! R uma função de…nida num intervalo I R que é derivávelno interior de I.Se p 2 I é um extremo local de f (máximo local ou mínimo local), então p é um ponto na fronteira de Iou é um ponto crítico de f no interior de I.Prova. Para provar o teorema basta mostrar que se p não é um ponto de fronteira e f 0 (p) 6= 0 então pnão pode ser um extremo local de f! Esse fato segue da aproximação linear de f em torno de p:f (x) = f (a) + f 0 (a) (xa) + r (x) (8x 2 I); limx!ar (x)x a = 0Esse teorema mostra que para funções deriváveis, todo ponto extremo local interior é um ponto crítico,embora nem todo ponto crítico seja um ponto extremo local (porque pode ser um ponto de sela); assim, todoponto crítico é de um dos três tipos: ou ponto de mínimo local, ou ponto de máximo local, ou ponto de sela.Quando o ponto crítico é não-degenerado, podemos classi…cá-lo a partir da derivada segunda de f em p:Teorema 45 (classi…cação dos pontos críticos) Seja f : I ! R uma função derivável de…nida numintervalo aberto I R; seja p 2 I um ponto crítico de f.Teste da primeira derivada:i) Se f 0 é negativa numa vizinhança à esquerda de p e positiva numa vizinhança à direita de p, então pé um ponto de mínimo local de f;ii) Se f 0 é positiva numa vizinhança à esquerda de p e negativa numa vizinhança à direita de p, então pé um ponto de máximo local de f;iii) Se f 0 tem o mesmo sinal numa vizinhança à esquerda e à direita de p, então p não é extremo localde f.Teste da segunda derivada: considerando que f seja duas vezes derivável em p, então:iv) f 00 (p) > 0 ) p é ponto de mínimo local de f;v) f 00 (p) < 0 ) p é ponto de máximo local de f.Como o teorema considera apenas as derivadas da função nas vizinhanças de um ponto, ele só podenos dar informações locais; portanto, para determinar extremos globais é necessário fazer uma análise maisampla da função, além de simplesmente caracterizar seus pontos críticos.Exemplo 46 Considere a seguinte funçãoi) Determine e classi…que os pontos críticos de f;ii) Determine os extremos globais de f;iii) Veri…que se f possui pontos de in‡exão.f : [ 3; 3] ! R ; f(x) := x 2p 9 x 215

4 Análise de Grá…cosInclinação e ConvavidadeEsboço de grá…cos de funções duas vezes deriváveis pode ser determinado pela análise do sinal de suaprimeira e segunda derivadas:Teorema 47 Seja f : I ! R uma função derivável. Então:Caracterização do crescimento:i) f é crescente nos subintervalos de I onde sua derivada f 0 é positiva; eii) f é decrescente nos subintervalos de I onde sua derivada f 0 é negativa;Caracterização da concavidade:iii) A concavidade de f está voltada para cima nos subintervalos de I onde sua derivada é crescente –sef for duas vezes derivável, essa condição equivale à propriedade da derivada segunda f 00 ser positiva; eiv) A concavidade de f está voltada para baixo nos subintervalos de I onde sua derivada é decrescente –se f for duas vezes derivável, essa condição equivale à propriedade da derivada segunda f 00 ser negativa.AssíntotasDe…nição 48 (Assíntota) Dada uma função f : I ! R de…nida num subconjunto I R, uma assíntota dográ…co de f é uma reta do plano cartesiano para a qual tende o grá…co de f; há apenas três casos possíveis:Assíntota vertical: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo x = a. Esse caso acontedequando f possui algum limite lateral in…nito num ponto de acumulação a 2 R do domínio I, i.e.lim f (x) = 1x!aAssíntota horizontal: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo y = b. Esse caso acontecequando o domínio de f é ilimitado e f possui limite …nito em 1 ou +1, i.e.lim f (x) = L 2 Rx!1Assíntota oblíquia: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo y = x + com 6= 0.Esse caso acontece quando o domínio de f é ilimitado e se veri…cam, para cada uma das possibilidades, asduas condiçõesNesse caso,lim f (x) = 1 ex!1 =lim [f (x) x]x!1lim f (x)= 2 Rx!1 x2 RAlguns fatos óbvios sobre assíntotas estão coletados no seguinte teorema:Teorema 49 (propriedades das assíntotas) i) Seja f : (a; b) ! R injetiva. Se f possui assíntota lateralvertical em a, então sua inversa possui uma assíntota horizontal em lim x!a+ f (x). Analogamente para ocaso em que f possui assíntola lateral vertical em b.ii) Seja g : (a; +1) ! R injetiva. Se g possui assíntota horizontal em +1 dada pela reta y = c, entãosua inversa possui uma assíntota vertical em c. Analogamente para o caso em que o domínio de g é da forma( 1; b) e g possui assíntota horizontal em 1.iii) Seja h : (a; +1) ! R injetiva. Se h possui assíntota oblíqua em +1 dada pela reta y = x + ( 6= 0), então sua inversa possui assíntota oblíqua em +1 (se > 0) ou 1 (se < 0) dada pela retay = (1=) x. Analogamente para o caso em que o domínio de h é da forma ( 1; b) e h possui limite oblíquaem 1.16

Exemplo 50 Determine e desenhe as assíntotas das seguintes funções:a) f (x) = ax + b b) g (x) = sec (x) c) h (x) =sin (x)xd) y (x) = p x 2 1 e) z (x) = x + 1ln (x) 1Exemplo 51 Faça um esboço do grá…co da funçãof : [ 3; 3] ! R ; f(x) := x 2 9 x 2Exemplo 52 Faça esboços dos grá…cos das funções trigonométricas hiperbólicas.17

5 AplicaçõesDecaimento RadioativoExperimentalmente, veri…ca-se que a taxa de desintegração de um material radioativo é diretamenteproporcional à quantidade do material (ainda não-desintegrado) na amostra: se M (t) é a massa do materialradioativo no instante t, então a variação dessa massa devido à desintegração num intervalo de tempo t édada aproximadamente porM (t) ' kM (t) tonde k > 0 é uma constante característica do material.diferencial para M (t):dM= kMdtPara resolver essa equação 5 , consideramos os seguintes fatos:Tomando o limite t ! 0, obtemos a equaçãoLema 53 Se f : R ! R é uma função derivável cuja derivada é uma constante a, então f (x) = ax + c,para algum c 2 R.Prova. Diretamente do teorema do Valor Médio.Lema 54 Se f : R ! R + é uma função positiva derivável cuja derivada é af, então f (x) = c exp (ax), paraalgum c 2 R.Prova. De…na g (x) := ln (f (x)); então: g 0 = f 0 =f = a; pelo lema anterior, concluimos que g (x) =ax + c 1 , para algum c 1 2 R; portanto, f (x) = exp (g (x)) = c exp (ax), onde c = exp (c 1 ).Pelo lema 2, a solução da equação para o decaimento radioativo deve ser (onde M 0 é a massa de materialradioativo no instante t = 0):M (t) = M 0 e kt ; t 2 RDe…nimos a meia-vida do elemeno radioativo é pelo intervalo de tempo que uma quantidade de materialradioativo demora para reduzir sua massa à metade; nesse caso, concluimos pela lei de decaimento exponencialque temos que a meia-vida é dada porln (2) =kLeis da Re‡exão e RefraçãoA Lei da Re‡exão e a Lei da Refração da luz podem ser deduzidas por um argumento de otimização peloPrincípio de Fermat:Princípio de Fermat: O caminho percorrido pela luz ligando dois pontos é aquele queminimiza o tempo de percurso dentre todos os possíveis caminhos ligando os mesmos pontos.Para uma dedução elementar dessas leis, vide: A.E. Motter, Uma Introdução à Formulação Variacionalda Óptica Geométrica, Revista Brasileira de Ensino de Física, 19 (2) (1987): pp.189-200.Calor especí…co 6A teoria quântica determina a seguinte fórmula para o calor especí…co de uma substância em função datemperatura T (medida em Kelvin), onde h; N A ; k são constantes e é uma variável …xada,c v = 3kN Ae h=kT 2 he h=kT 1 2kT5 Considerando alguns teoremas sobre equações diferenciais, essa é uma equação diferencial fácil de ser resolvida; ao nívelelementar, o lema 1 e o lema 2 servem para ilustrar o tipo dos fatos que subjazem a teoria das equações diferenciais.6 Exercício do livro: Eisberg-Resnik, Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, Editora Campus,1979 (10a. edição), p.523.18

Mostre quelim c v = 0 ;T !0+limT !1 c v = 3kN AAnálise de um problema de corrente elétricaA corrente elétrica que percorre um circuito com resitência R ohms, indutância L henrys e força eletromotrizE volts aos t segundos após ter sido fechado é dada porI (t) = E R1 e Rt=LPara um instante t > 0 …xado, considerando E e L constantes, calcule o valor limite da corrente elétricaI (t) quando a resistência R tende a zero:Elim1 e Rt=LR!0 RProblemas para pesquisar1. Os raios que incidem numa parábola paralalamente a seu eixo se re‡etem no foco.2. O cabo de suspensão de uma ponte toma a forma de uma parábola quando o peso total é uniformementedistribuído segundo o eixo horizontal da ponte.19

6 ProblemasOs problemas desta lista estão divididos em três categorias: problemas computacionais, problemasconceituais e problemas aplicados. Os objetivos desses problemas são distintos, mas todossão importantes: os problemas computacionais visam desenvolver a percepção e capacidade demanipulação algébrica, os problemas conceituais visam consolidar e articular as idéias do cálculodiferencial, os problemas aplicados visam ilustrar possibilidades de aplicações práticas dessateoria.6.1 Problemas computacionaisProblema 55 Determine e classi…que os pontos críticos das funções, determine os pontos de in‡exão e façaum esboço dos grá…cos:i) f (x) = x 4 4x 3 ii) g (x) = x 2=3 (6 x) 1=3 iii) h (x) =6.2 Problemas conceituais2xpx2 + 1iv) k (x) =2xProblema 56 Considerando funções deriváveis f (x), g (x) e h (x), prove que vale:ddx ff (x) g (x) h (x)g = f 0 (x) g (x) h (x) + f (x) g 0 (x) h (x) + f (x) g (x) h 0 (x)Generalize a propriedade acima para o produto de n 2 N funções.p1 x2 v) y (x) = x3 + 3 xProblema 57 Considerando funções deriváveis f (x) e g (x), prove que vale:d 2dx 2 ff (x) g (x)g = f 00 (x) g (x) + 2f 0 (x) g 0 (x) + f (x) g 00 (x)i) Generalize essa propriedade para uma ordem de derivação m 2 N .ii) Generalize essa propriedade para o produto de n 2 N funções.Problema 58 i) Determine com justi…cativa todas as funções f : R ! R que sejam 2 vezes deriváveis esatisfaçam a equação diferencial (a 2 R é uma constante):f 00 = aii) Determine todas as funções f : R ! R que sejam 3 vezes deriváveis e satisfaçam a equação diferencial(a 2 R é uma constante):f 000 = aProblema 59 Determine com justi…cativa todas as soluções da equação diferencialyy 0 = 0Problema 60 Calcule os limites e determine o valor positivo de x que maximiza xp xlim xp x ;x!0+lim xp xx!1Problema 61 Demonstre a seguinte identidade:jarctan (a) arctan (b)j ja bj ; 8a; b 2 R20

6.3 Problemas de aplicação6.3.1 Modelagem MatemáticaProblema 62 Um balão esférico está sendo in‡ado de tal forma que seu volume aumenta a uma taxa de7 m 3 = min. Qual é a taxa de crescimento do diâmetro do balão quando ele mede 13 m?Problema 63 Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m= s. Um farol estálocalizado no chão a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantido focalizada na direção do homem.Qual a velocidade de rotação do farol quando o homem está a 15 m do ponto do caminho mais próximo? Emque ponto da trajetória a velocidade de rotação do farol será máxima?Problema 64 (Mecânica I: problema do balde) Determina a forma geométrica da superfície de umlíquido contido num balde de raio R que gira com velocidade angular constante !.Problema 65 (Mecânica II: lei de Torricelli) Considere uma caixa d’água na forma de cilindro circularreto com raio da base R e altura H, medidos em metros. Supondo que a caixa não possui tampa, determinea taxa de variação da altura h da coluna de água contida na caixa supondo que ela recebe água na taxaconstante de v litros por segundo e perde água através de uma pequena abertura com área a na sua base.(Discuta a in‡uência da tampa da caixa no problema.) 7Problema 66 (Lei de Snell) Quando um raio de luz atravessa a superfície de separação entre dois meiostransparentes (homogêneos e isotrópicos) sua trajetória sofre um desvio que depende das características físicasdos dois meios; a relação entre o ângulo i do raio incidente proveniente do meio A e o ângulo r do raiorefratado que penetra no meio B, medidos com relação à direção normal à superfície no ponto de incidência,é dada porn A sin i = n B sin ronde n A e n B são os índices de refração dos meios A e B, respectivamente. Considerando essa relação,determine:1. A taxa de variação do ângulo do raio refratado em relação ao ângulo do raio incidente.2. Se n A > n B , existe um ângulo de incidência máximo m a partir do qual não mais ocorre refração;determine o valor desse ângulo e a taxa de variação do ângulo refratado em relação ao ângulo deincidência nesse ponto.6.3.2 OtimizaçãoProblemas GeométricosProblema 67 8 Determine a menor distância do ponto (3; 5) à hipérbole x 2 y 2 = 9.Problema 68 Resolva e discuta a relação entre os seguintes problemas: 91. Determine a área máxima que pode ser delimitada por um retângulo de perímetro P .2. Determine a área máxima que pode ser delimitada por um triângulo-retângulo de perímetro P .Problema 69 Resolva e discuta a relação entre os seguintes problemas: determine as dimensões da lata naforma de cilindro circular reto com tampa tal que1. Para uma área …xada, o volume seja máximo.7 Solução: dh=dt = a p 2gh=R 2 , onde g é a aceleração da gravidade no local.8 Este é um problema prototípico daqueles que os astrônomos frequentemente têm que resolver na análise das trajetórias deplanetas, cometas e satélites.9 Estes são problemas típicos de otimização, chamados isoperimétricos; o caso mais geral e interessante, mas relativamentecomplicado, considera todas as curvas fechadas: qual é a área máxima que pode ser delimitada por uma curva fechada deperímetro P ? A resposta desse problema é P 2 =4, delimitada pelo círculo de raio r = P=2.21

2. Para um volume …xado, tenha área mínima.Problema 70 10 Dado um triângulo retângulo, dentre os retângulos inscritos no triângulo com os ladosparalelos aos catetos, determine aquele que possui área máxima.Problema 71 Dentre os triângulos com dois lados a e b dados, determine aquele que possui área máxima.Problema 72 Dentre os triângulos que têm área A e um lado a dados, determine aquele que possui perímetromínimoProblema 73 (Teorema de Hierão) Seja L uma reta no plano e sejam P e Q dois pontos no interior domesmo semi-plano de…nido por L. Determine o menor caminho que liga os pontos P e Q tocando em L.Problema 74 Encontre o retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados inscritos na elipse seguinte eque tenha área máxima para essas condições:x 2a 2 + y2b 2 = 1Problema 75 Um …o de comprimento l é cortado em dois pedaços; com um deles se fará um círculo e como outro um quadrado. Determine o corte para que a soma das áreas compreendidas pelas …guras seja (a)mínima e (b) máxima.Problema 76 Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qualé o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?Problema 77 Considere uma pessoa que observa uma estátua colocada sobre um pedestal e sejam a e b asalturas do pé da estátua do topo da estátua em relação à altura dos olhos do observador, respectivamente;seja x a distância (horizontal) entre o observador a localização da estátua; deduza que a expressão para oângulo entre a linha de visão do pé da estátua e a linha de visão do topo da estátua vistos pelo observadore calcule a distância na qual esse ângulo é máximo,Otimização …nanceira a = arctanx barctanxProblema 78 Considere que um pecuarista queira fazer um cercado para cabras na forma de um retângulo;denote por S e A o perímetro e a área desse cercado, respectivamente.1. Suponha que o pecuarista tenha uma quantidade limitada de tela, de modo que o tamanho da cercaesteja …xado; determine as dimensões do cercado que tem área máxima (para cercar o maior númeropossível de cabras);2. Suponha que o cercado esteja destinado a separar as cabras prenhas do resto do rebanho e que porisso tenha sua área previamente …xada; determine as dimensões do cercado que tem perímetro mínimo(para que o gasto com a cerca seja o menor possível).3. Discuta a relação entre esses dois problemas.Problema 79 (Otimização I) Uma fazenda possui 60 jovens avestruzes que no dia de hoje pesam 90Kgem média e todo dia aumentam 0; 25Kg de peso em média consumindo R$15 em alimentos; considerandoo preço do avestruz por kilo vivo é R$32 no dia de hoje, mas que o mesmo cai R$0; 10 por dia, determinedaqui a quantos dias a fazenda deve vender seus avestruzes para obter lucro máximo.10 Este problema do triângulo têm aspectos interessantes, como uma resolução utilizando somente dobraduras; para umadescrição dessa solução tão criativa, veja o artigo: R.R. Paterlini, O problema do triângulo retângulo inscrito, Revista doProfessor de Matemática no.47.22

Problema 80 (Otimização II) Uma barcaça para transporte de passageiros e carga paga a seus tripulantesR$675,00 por hora de navegação e gasta com combustível um valor proporcional ao cubo da velocidade empregada(em reais por hora). Determine a velocidade que a barcaça deve empregar para minimizar seus custospor kilômetro navegado, considerando que o custo com combustível é de R$100,00 quando sua velocidade éde 10 kilômetros por hora.Problema 81 (Balística) Um projétil é lançado do solo por um canhão com velocidade v; considerando aaceleração da gravidade g e desprezando a força de resistência do ar, determine:1. A altura máxima que o projétil pode atingir e o correspondente ângulo de lançamento em relação aonível do solo.2. A distância máxima que o projétil pode alcançar e o correspondente ângulo de lançamento em relaçãoao nível do solo.Problema 82 (Otimização mecânica) Um bloco de massa M desliza sobre numa superfície horizontalcom coe…ciente de atrito cinético devido à ação de uma força de tração; denote por o ângulo que essaforça faz com o plano horizontal.1. Mostre que a intensidade da força necessária para manter o movimento uniforme em função de édada porgMF () = sin () + cos ()2. Mostre que o ângulo para o qual essa força F () é mínima é dado por min = arctan ()3. Veri…que que valem os limites e interprete-os …sicamentelim F ( min) = 0 ; lim F ( min) = gM!0 !14. Se uma pessoa parada puxa o bloco por uma corda de modo que mantenha seu movimento uniforme,determine o trabalho realizado por ela para deslocar o bloco de uma distância a até uma distância b desi mesma (a > b).Problema 83 (Absorção de radiação 11 ) Podemos ter alguma idéia sobre a absorção da radiação pelamatéria considerando um sistema de oscilador harmônico forçado e amortecido. Considere uma partícula demassa m, em um meio viscoso, sujeita a uma força dissipativa proporcional à sua velocidade (f dissip = v)e ligada a uma parede por uma mola de constante elástica k = m! 2 0.1. Uma força harmônica externa f = f 0 cos (!t) é aplicada à partícula, na mesma direção de seu movimento.Descreva o comportamento de P com ! sabendo que a potência média transferida para partículapor período 2=! vale:f0 P 2 ! 2=2m 2 (! 2 ! 2 0 )2 + 2 ! 22. Considere agora que a partícula não está mais ligada à parede. Nessa situação, qual é a potência médiaP ?11 Problema 3 da IX Olimpíada de Ibero-Americada de Física (Brasil-2004), publicado em: M.G.R. Martins (coord.) et al,Olimpíada Ibero-Americana de Física: problemas e resoluções, São Paulo: Sociedade Brasileira de Física, 2005: p.49.23

Problema 84 (Toca-discos-de-vinil) Um toca-discos-de-vinil é composto por duas partes básicas: umrotor munido de um suporte para os discos e um braço de 30cm de comprimento; o braço possui umaextremidade …xada num eixo e a outra contêm uma agulha captadora, conforme esboçado na …gura abaixo;também os discos-de-vinil têm duas partes básicas: um anel externo onde os sons são gravados analogicamente(para serem lidos pela agulha captadora), e um disco interno concêntrico com informações impressas sobreo disco. Considere que o toca-discos gira à velocidade constante de 48rpm. Suponha que um disco-de-vinilpadrão tem seu raio e o raio do seu disco interno medindo respectivamente 25cm e 5cm, e que leva 45 minpara ser tocado completamente. Nesse caso:1. Qual é a velocidade angular média e qual é a função velocidade angular instantânea do braço do tocadiscos?2. Qual é a velocidade linear média e qual é a função velocidade linear instantânea da agulha captadorado toca-discos?3. É fácil perceber que a quantidade de informação reproduzida por segundo decresce à medida que a agulhacaptadora se aproxima do centro do disco-de-vinil, num toca-discos-de-vinil cujo rotor gire comvelocidade angular constante – porque velocidade linear da agulha diminui. Para contornar esse problema,podemos imaginar um rotor com velocidade angular variável: determine a velocidade angular dorotor do toca-discos em função da posição do braço de modo que a velocidade linear da agulha captadoraseja mantida constante, igual à sua velocidade linear quando está na linha externa de um disco padrãotocado à velocidade de 48rpm.24