Modelos Lineares - iscte-iul

1Macroeconometria 1Mestrado em Economia Monetária e FinanceiraMestrado em EconomiaISCTE-IUL, Dep. de EconomiaMÉTODOS TRADICIONAIS DE PREVISÃOLuís Filipe Martinsluis.martins@iscte.pthttp://iscte.pt/~lfsmDepartamento de Métodos Quantitativos,ISCTE-IUL, Escola de GestãoLisboa, Setembro de 2009

1 Introdução: Medidas de erro deprevisão Diferentes métodos de previsão produzem diferentes resultados,pelo que um dos critérios possíveis (e fundamental) para aselecção de um modelo é a precisão relativa das suas previsões. Erro de previsão (diferença entre a observação real/efectiva dey no período genérico t e o valor previsto para a variável nesseperíodo ^y t ; obtido pelo modelo e com base nas observaçõespassadas):e t = y t by t : by t by tjt h , previsão para o período t obtida no período t h(h = 1; 2; :::): Notação alternativa: by t+h by t+hjt ou mesmo by t+hby t+h 1jt 1 :1 Normalmente, usa-se o erro a um passo by tjt 1 ; onde h = 1: Asequência Tby tjt 1 t=1 gera fe tg T t=1 : e t 0 se o modelo for razoável (o modelo descreve bem opadrão comportamental da série, restando apenas utuaçõesaleatórias/erráticas pouco signicativas que têm elas própriasorigem em fenómenos não previsíveis). Na estimação do modelo, bem como a comparação entremodelos de previsão, usam-se critérios de minimização da2

3função dos erros de previsão. Entre outras medidas... Erro Absoluto Médio (EAM)P Tt=kEAM =je tj; k = 1; 2; :::; TT k + 1 Erro Percentual Absoluto Médio (EPAM)P Tt=kje t jyEP AM =tT k + 1 100Este critério relativo permite ainda avaliar a precisão de umdado método relativamente a séries diferentes. Erro Percentual Médio (EPM)P Tt=ke tyEP M =tT k + 1 100Pode ser utilizado como medida do enviesamento previsional(sub ou sobre-previsão). Assume-se e t com igual sinal (casocontrário, podem-se anular erros de diferente sinal mas deigual magnitude. Eg: 10 + 10 = 0!) Erro Quadrático MédioEQM =P Tt=k e2 tT k + 1A raíz quadrada deste valor, REQM =q PTt=k e2 t= (T k + 1)pode ser utilizada como estimativa do desvio padrão do erro deprevisão a um passo, quando representado por e t .

onde I(:) é uma função indicatriz que assume os valores 0 e 1consoante a condição entre (.) é vericada ou não. Teste de Diebold-Mariano (DM)Este teste utiliza igualmente os diferencias das medidas deerro de previsão. Considere-se o diferencial médiod = 1 mXd jme a hipótese nula de que os diferenciais são nulos (H 0 : d = 0):Em rigor, a hipotese nula é E (d j ) = 0 A estatística de teste éDM =sendo ! estimado através dej=1d p !d! N(0; 1); sob H0 ;b! =Xh 1i= (h 1)b i (d);sendo b i (d) as autocovariâncias amostrais dos d j : No caso deerros a 1 passo (h = 1); b! = b 0 ; a variância amostral de d j : Esquemas alternativos para estimar os parametros dosmodelos usados para construir as previsões (para o caso,h = 1) :– Recursive: Estimar com t = 1; :::; R !prever by R+1 !Re-estimar com t = 1; :::; R + 1 usando by R+1 !preverby R+2 ! :::5

– Rolling: Estimar com t = 1; :::; R !prever by R+1 !Re-estimar com t = 2; :::; R + 1 usando by R+1 !preverby R+2 !Re-estimar com t = 3; :::; R + 2 usandoby R+2 !prever by R+3 ! :::– Fixed: Estimar com t = 1; :::; R !prever by R+1 ! preverby R+2 usando a estimativa obtida! prever by R+3 usando aestimativa obtida! :::2 Análise de Decomposição É usual, quando se analisa uma série temporal, considerá-lacomo o produto de um conjunto de efeitos/padrões/componentes.Importa então identicar esses efeitos (ou combinação deefeitos) e a partir daí construir previsões. Uma série temporal pode, em geral, ser descrita através dosseguintes componentes:(1) Tendência: Efeitos persistentes/permanentes sobre o nívelda série durante um período longo de tempo. Esses efeitostraduzem-se num movimento ascendente ou descendenteda série, ou seja, de crescimento/decrescimento de longoprazo da série. Quando não existe uma tendência claramentedenida, diz-se que a série é estacionária (embora seja maiscorrecto referirmos uma série sem tendência)(2) Componente sazonal: Referente às oscilações em relação àtendência, mas com periodicidade anual ou infra-anual. Só6

7é detectável em séries com uma frequência inferior ao ano,tendo origem em causas naturais (clima, por exemplo) ousociais (hábitos de consumo, etc.)(3) Componente cíclica: Flutuações recorrentes com prazosuperior a um ano, medindo-se normalmente de pico a pico(recessão a recessão, por ex.). Em séries económicas, aperiodicidade é pouco denida e geralmente é complicada deanalisar formalmente.(4) Componente residual/irregular/errática: Designa movimentoserráticos que não têm um padrão bem denido. As causas sãoatribuídas a inuências não controláveis, não mensuráveis oudesconhecidas, pelo que imprevisíveis. Em suma, são todosos efeitos não explicados pelos componentes anteriores. Objectivo: Procurar identicar os padrões 1, 2 e 3, sempre queestes estejam presentes, ”decompondo” a série de forma a queo que ca por explicar sejam apenas movimentos irregularese sem padrão, com propriedades estatísticas adequadas(próximas do ”ruído branco”). Esta perpectiva é apresentada de uma forma sistematizadae intuitiva. Formalmente, esta análise traduz-se no modelogenéricoy t = f(T t ; S t ; C t ; " t );em que a previsão de y t é feita através de by t = f( b T t ; b S t ; b C t );ou seja, numa primeira fase procede-se a uma decomposição,

8e depois a uma ”recomposição” na fase de previsão:y 1 ; y 2 ; :::; y T8> :y 1 ; y 2 ; :::; y T8> :T 1 ; :::; T TS 1 ; :::; S TC 1 ; :::; C T" 1 ; :::; " T Dado que nenhuma das componentes é directamente observável,é necessário produzir estimativas, isto é,^T1 ; :::; ^T9T^S 1 ; :::; ^S T>=^C 1 ; :::; ^C T^y T +h^" 1 ; :::; ^" TDecomposição7 !7 !7 !7 !^T T +h^S T +h^C T +hF (" T +h )Previsão>;Recomposição;onde F (:) designa a eventual distribuição de " t , isto é,assume-se que o erro é uma variável aleatória (métodos nãodeterminísticos). Em geral, o erro " t deverá ter as propriedades de ”ruido branco”(white noise=processo puramente aleatório e imprevisível):2E(" t ) = 0 e Cov(" t ; " t+s ) = " ; s = 00; s 6= 0 ; 8t: Esta componente é essencial em todo o processo de modelaçãoe previsão. Assim, é através de testes às hipóteses/premissasrelativas ao comportamento de " t que se avalia a adequaçãodo modelo estimado. Dado que a componente residual não éobservada, socorremo-nos das suas estimativas (os resíduos

do modelo) para efectuar esses testes. Se estas estimativas seafastarem dessas hipóteses, signica que algo está a escapar aoanalista, pois as utuações não serão erráticas. Será necessárioretomar a fase inicial de modelação. Contudo, é usualconcentrar a atenção apenas nos indicadores condensados quenos dão uma medida dos erros de previsão. Para operacionalizar este este método, distinguem-se três tiposde modelo:(1) Modelo Aditivo (os efeitos não são interdependentes,adicionando-se simplesmente): y t = T t + S t + C t + " t(2) Modelo Multiplicativo (efeitos interdependentes, p.e., sasonalidadecrescente/decrescente ao longo do tempo): y t =T t :S t :C t :" t(3) Modelo Misto: y t = T t :S t + C t + " t A escolha do tipo de modelo prende-se sobretudo com o padrãoda sazonalidade (constante ou variável com o tempo). Tomaras diferenças entre máximo e mínimo para cada ano, fazendodepois uma regressão sobre as médias anuais da variável. Se acorrelação for signicativa, então um modelo multiplicativo éo mais adequado.2.1 Tipos de tendência(1) Modelo sem tendência (tendência constante):T t = a + t9

sendo a constante e t um ruído branco. Como se podeperceber, o nível da série é globalmente constante.(2) Modelo sem tendência, nível estocástico (”random walk” oupasseio aleatório):T t = T t1 + tO nível da série é igual ao do período anterior, mais umaperturbação aleatória de média nula. O nível da série oscila(sendo estocástico), mas a série tende a ser localmenteconstante.(3) Tendência linear:T t = 0 + 1 t + tAdequado para séries em que se detecta um crescimento/decrescimentomais ou menos constante durante operíodo amostral. Modelo com tendência estocástica10T t = T t 1 + b t 1 + tb t = b t 1 + tem que T t é o nível da sucessão no momento t, sendo b tdeclive da tendência (que muda com t):(4) Outros:1 o- Tendência quadrática: T t = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + t ; quando osacréscimos da série variam com t;- Tendência exponencial: T t = ab t ; b > 0; para séries com

11taxas de crescimento constantes;- Tendência logarítmica: T t = b 0 + b 1 log t + t ; paraprocessos com crescimento a taxas decrescentes.3 Previsão para séries sem sazonalidade3.1 Médias Móveis3.1.1 Séries sem tendência OLS a y t = a + t :min (a) =TX(y t a) 2 =) ^a =1PytT : A função de previsão a h passos é dada por ^y T +h = ^a; h =1; 2; ::: Isto equivale a, no processo de estimação, atribuir a todas asobservações o mesmo peso (1=T ); independentemente da sua”idade” (localização na amostra). Naguns casos, porém, issopode não fazer sentido, sobretudo quando estamos peranteum modelo localmente constante. Assim, é preferível atribuirmaior peso às observações mais recentes, conduzindo aométodo das Médias Móveis.Médias Móveis simples

12 Para o momento T;P Tt=TN+1 y t^a(T ) = M T = y T + y T 1 + ::: + y T N+1=;NNonde N é o número de observações incluídas em cada média(período da média móvel). Portanto,M T = M T 1 + y T y T N:NPara o período t genérico, temosque varia com tM t = N 1 (y t + y t 1 + ::: + y t N+1 ); Objectivos: (1) Utilizar apenas, como informação relevante, osdados mais recentes; (2) Filtrar a série de utuações aleatórias,”alisando a série” através do operador média, permitindo assimidenticar um padrão dos dados, expurgado de utuações(mais alisada quando maior for N): Porém, N não deve sertão grande de modo a que se perca informação relevante sobreo padrão da série. A escolha de N é subjectiva, embora umcritério que se pode usar é o da minimização de uma medida doerro de previsão (EQM, REQM, etc). Supõe-se que o melhorN para o período amostral será também razoável para previsão(hipótese de estabilidade da série)! Regra: N elevado quando o nível da série for razoavelmenteconstante; N pequeno se o nível da série não for estável (umavez que M t demora N períodos a ser consistente com o novo

13nível). A função de previsão a um passo é dada por ^y t+1 = M t ;enquanto que a h passos teremos^y T +h = ^a(T ) = M T ; h = 1; 2; :::;ou seja, previsões constantes para todo o h:Médias Móveis centradas Trata-se de uma técnica utilizada sobretudo para ltrar osdados (usar informação futura), não para previsão. A fórmula genérica depende de N ser par ou impar:- N imparCM t = 1 N [y t+ + y N 12 t+N 121 + ::: + y t + ::: + y tN 1]2qX= (2q + 1) 1j= qy t- N par: calculam-se duas médias simples em que aobservação central muda de posição. Ex: N = 4; MCM t =(1) = y t+1+y t +y t 1 +y t 24M (2) = y t+2+y t+1 +y t +y t 1CM t = M (1) + M (2):423.1.2 Séries com tendência linearMédias Móveis Duplasj

Suponha-se que o processo é gerado pory t = b 0 + b 1 t + " t ;sendo a previsão dada por ^y T +1 = M T : Facilmente se provaN 1que E(M T ) = b 0 + b 1 T2 b 1; ou seja, o erro de previsão éE(y T +1 M T ) = b 1 + N+12 b 1; o que demonstra o enviesamentode M T para prever valores futuros de uma tendência linear. Uma forma de corrigir este enviesamento é obter estimativasdos parâmetros b 0 e b 1 . Um método simples é considerartambém Médias Móveis Duplas, ou seja, uma média móveldas últimas N médias móveis:M [2]T= M T + M T 1 + ::: + M T N+1NM [2]T= M [2]T 1 + M T M T NN Mostra-se que E(M [2]E(M T ) = b 0 + b 1 TN 1a b 0 e b 1 obtém-se=P Tt=TN+1 M tN14T ) = b 0 + b 1 T (N 1)b 1 : Juntando2 b 1 e resolvendo o sistema em ordemb 0 = 2E(M T ) E(M [2]T ) b 1T2hib 1 = E(M T ) E(M [2]TN 1) ;

o que nos fornece estimadores centrados:^b0 = 2M T M [2]T^b1 T2h i^b1 = M T M [2]T:N 1 Função de previsão para y T é dada por^y T = ^b 0 (T ) + ^b 1 (T ):T = 2M T M [2]T :Para previsão a h passos, teremos^y T +h = ^y T + ^b 1 h = 2M T M [2]T + 2hN 1 (M T M [2]T ):Extrapola-se a partir de ^a(T ) uma recta com declive ^b 1 :^y T +h = ^a(T ) + ^b 1 (T )h;^a(T ) = 2M T M [2]T É possível estabelecer uma fórmula recursiva para as estimativasdos b 0 s com base nas fórmulas recursivas de M T eM [2]T : Um dos principais problemas com esta abordagem é o facto deas médias móveis serem inluenciadas por outliers durante Nperíodos.3.2 Alisamento Exponencial É mais razoável assumir que a informação mais recenteserá mais útil para obter previsões, já que nos dá uma umamelhor perspectiva do nível actual da série. Nesse sentido, as15

observações recentes terão um peso maior que as antigas. Ométodo do alisamento exponencial simples permite-nos isso.3.2.1 Séries sem tendência Em T 1, temos a estimativa do nível da série ^a(T 1): EmT , obtemos y T ; pelo que podemos rever ^a(T 1): A novaestimativa do nível da série pode ser obtida como resultado deuma média ponderada entre a informação mais antiga, contidaem ^a(T 1), e a informação mais recente, y T ; da seguinteforma:^a(T ) = y T + (1 )^a(T 1); 0 < < 1;o que nos dá uma expressão recursiva para actualizar aestimativa do nível da série (e consequentemente fazerprevisão para o próximo período). Como e T = y T ^a(T 1);^a(T ) = ^a(T 1) + [y T ^a(T 1)] = ^a(T 1) + e T :Designando ^a(T ) = S T ;S T = S T 1 + (y T S T 1 ) = y T + (1 )S T 1 ;ou seja, o método ajusta, através de (a constante dealisamento), S T (a estatística alisada) tendo em conta o erro deprevisão mais recente. Como ^y T +1 = S T = y T + (1 )S T 1 ; a previsão para opróximo período (estimativa mais recente do nível da série) é16

uma média ponderada (por ) da observação mais recente (y T )e da previsão para o período corrente (S T 1 = ^y T ): S T é uma sucessão de valores alisados/ltrados (i.e., semcomponente errática), tratando-se de uma sequência demédias móveis ponderadas (ponderação decresce exponencialmente/geometricamentecom antiguidade, com soma dos pesos1):S T = y T + (1 )S T 1= y T + (1 )y T 1 + (1 ) 2 S T 2 = :::XT 1= (1 ) j y T j + (1 ) T S 0j=0 S 0 é a estimativa inicial do nível da série. Este valor podeser obtido como média das primeiras k observações, ou, maissimplesmente, S 0 = y 1 : Prova-se que, para T grande,E(S T ) = a;V (S T ) =2 2 ";pelo que ^a(T ) = S T é um estimador centrado do nível da série. Tal como anteriormente, função de previsão a um passo é dadapor^y t+1 = S t ;17

enquanto que a h passos teremos^y T +h = ^a(T ) = S T ; h = 1; 2; :::: Quanto maior , menor o alisamento efectuado sobre asérie e, em princípio, melhor a capacidade previsional. Porém,existirão problemas se a alteração se deve apenas a movimentosirregulares ou observações extemporâneas, e não a verdadeirasalterações nos parâmetros. Usualmente, é escolhido combase na minimização de uma função dos erros de previsão. Existe uma correspondência entre o Método das MédiasMóveis simples e o alisamento exponencial, ou seja, é semprepossível encontrar o alisamento exponencial correspondenteao alisamento por médias móveis de período N. Contudo, ocontrário não se verica.3.2.2 Séries com tendência: Alisamento exponencial duplo(método de Brown) Se a série em estudo tiver um comportamento global ascendenteou descendente, uma possibilidade é considerar ummodelo de tendência linear y t = b 0 + b 1 t + " t ; b 0 ; b 1 constantes.Uma hipótese é estimar o modelo por OLS e efectuar previsõesdo tipo^y T = ^b 0 + ^b 1 T;^y T +h = ^y T + ^b 1 h: Contudo, quando o comportamento da série oscila este18

modelo pode revelar-se demasiado rígido, pelo que sepodem utilizar técnicas de alisamento exponencial.O valor deS T = ^a(T ) = y T + (1 )S T 1 é um estimador enviesado(prevê sistematicamente atrasado) porque1 E(S T ) = E(y T ) b 1:Portanto, fazer como no caso das Médias Móveis obtendoestimativas de b 1 : ComoE(y T +h ) = b 0 + b 1 (T + h) = b 0 + b 1 T + b 1 h;voltando a alisar exponencialmente a série, obtemosonde, se pode mostrar queS [2]T = S T + (1 )S [2]T 1 ;E(S [2]T ) = b 0 + b 1 (T ) 2 1 b 1: Conjugando S T e S [2]T ;E(S T ) E(S [2]T ) = b 1 1 ;pelo que^b1 (T ) =1 (S T S [2]T ): O nível actual da sucessão (b 0 +b 1 T ) pode ser estimado através19

de ^a(T ) = 2S T S [2]T(note-se que ^a(T ) = ^y T); pois2E(S T ) E(S [2]T ) = b 0 + b 1 T: Uma estimativa do termo independente b 0 é^b0 (T ) = ^y T T^b 1 (T ) = 2S T S [2]TT 1 (S T S [2]T ): Assim, a previsão a um passo far-se-á como^y T +1 = ^a(T ) + ^b 1 (T );enquanto que a h passos teremos^y T +h = ^a(T ) +^b 1 (T )h = ^b 0 (T ) +^b 1 (T )(T +h); h = 1; 2; ::: Necessário inicializar a sucessão S [2]T com os valores S 0 e S [2]0 :Estes podem ser obtidos a partir de estimativas iniciais de ^b 0 (0)e ^b 1 (0) utilizando OLS e depoisS 0 = ^b 1 0^b1; S[2] 0 = ^b 1 0 2^b 1 :3.3 Alisamento exponencial: método de Holt Viu-se que para uma tendência linear,^y T +h = ^y T + ^b 1 (T ):h: Outro método possível para obter essas estimativas é o métodode Holt em que utiliza duas fórmulas/equações recursivas (uma20

para ^y T (^a(T )), e outra para ^b 1 (T )) :^y T = y T + (1 )[^y T 1 + ^b 1 (T 1)]; 0 < < 1;ponderação entre a observação real e a última previsão para onível da série no período T; e^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1); 0 < < 1;ponderando a previsão anterior e uma outra estimativa dodeclive dada por ^y T ^y T 1 : Duas constantes de alisamento, e , o que aumenta aspossibilidades de escolha (mas também a arbitrariedade). Prova-se que o método de Brown é um caso particular dométodo de Holt, ou seja, para uma qualquer inicialização e umdado ; existe uma representação em termos de e de Holt,nomeadamente = (2 ) e = 2 : [ = Método de Brown] e são escolhidos minimizando uma função dos erros deprevisão. A inicialização da recursão poderá ser feita como nos métodosanteriores, ou então xar ^y 2 = y 2 e ^b 1 (2) = y 2 y 1 ; ou seja, arecursão tem início em t = 3; até t = T:3.4 Alisamento exponencial: tendência amortecida Os métodos propostos consideram apenas duas alternativas de21

extrapolação no nível de tendência (constante e crescimentolinear). Contudo, a experiência empírica tem vindo a mostrar que estesmétodos tendem a sobrestimar os valores reais observados,sobretudo para séries com tendência e para horizontes médiose longos. Isso signica que a opção de crescimento linearnão será a mais correcta, sobretudo se a série apresnta umcomportamneto curvilíneo acentuado. Uma possibilidade é com modelos de tendência polinomialde ordem superior a 1. Um exemplo é o modelo de tendênciaquadráticay t = 0 + 1 t + 2 t 2 + " t :Neste caso aplicar-se-iam alisamentos de terceira ordem(com médias móveis ou alisamento exponencial), ou seja,poder-se-iam considerar as estatísticas M [3]T= P M [2]t =N eS [3]T= S[2] T+ (1 )S[3]T 1: A construção de previsões é emtudo semelhante ao exposto anteriormente. Alternativa que permite tornar a metodologia do alisamentoexponencial mais robusta e exível (generalização do métodode Holt): Alisamento exponencial com tendência amortecida(damped). Lógica: Extrapolação do nível da série de modoa que o efeito da tendência se vai atenuando consoante ohorizonte de previsão cresce. Para tal, introduz-se no métodode Holt um parâmetro adicional que actua como constante de22

23ajustamento à estimativa do declive da tendência. Estimador recursivo do nível da tendência será^y T = y T + (1 )[^y T 1 + ^b 1 (T 1)]:A ponderação da última estimativa disponível do declive datendência pode ser diferente de 1 (Holt). Estimador do declive da tendência:^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1): Função de previsão é^y T +h = ^y T +hX j^b1 (T ): A inuência da estimativa do declive da tendência variacom o horizonte e previsão. Assim, teremos quatro tipo deextrapolações, em função do valor de :- = 0: Neste caso, o efeito do declive da tendência é nulo(alisamento exponencial simples);- 0 < < 1: O efeito do declive manifesta-se, masde forma exponencialmente decrescente, ou seja, os acréscimos/decréscimosde ^b 1 (T ) vão-se atenuando com h;j=1- = 1: Acréscimos de ^b 1 (T ) constantes (Método de Holt);- > 1: ^b 1 (T ) é ponderado de forma exponencialmentecrescente com h, pelo que a extrapolação é ”explosiva”. Na

prática, as séries económicas raramente apresentarão estecomportamento, mas pode acontecer (ex: índices da bolsaamericana a partir de 1997). A escolha de é feita da mesma forma que para os parâmetrosanteriores, ou seja, minimizando uma função dos erros deprevisão a um passo. A formulação de tendência amortecida é facilmente extensívelao método de Brown:^y T = ^y T 1 + ^b 1 (T 1):4 Intervalos de Previsão Até aqui, viram-se alguns métodos que permitem a construçãode previsões pontuais para a série em estudo. Contudo, étambém conveniente ter uma medida da incerteza associada àprevisão, ou seja, dos possíveis erros de previsão. De facto, aprobabilidade de o valor previsto coincidir com o valor real évirtulamente nula. Para tal, utilizam-se intervalos de conança para as previsões,ou seja, intervalos de previsão, em que apresentam valores quese crê irem conter o valor futuro da série, com uma determinadaprobabilidade. Nalgumas circunstâncias, é possível apresentarintervalos de previsão que terão uma estrutura do tipo24Previsão ”nível de conança”raíz da variância do erro de

25previsão. Alisamento exponencial simples (y t = a + " t , " t n:i:d(0; 2 "); ruído branco gaussiano):^y T +h z =2r22 ^ "; h = 1; 2; :::em que z é o valor crítico retirado da Normal com nívelde conança e ^ " é uma estimativa do desvio-padrão dacomponente residual. Uma outra forma de construir intervalos de previsão (a umpasso) baseia-se na utilização do Erro Absoluto Médio (EAM).Assim, assumindo erros normais, o intervalo de previsão a(1 ) % pode ser construído como^y T +1 z =2 1:25 EAM:Para previsão a h passos, a constante 1.25 altera-se. O intervalode previsão é facilmente actualizável à medida que chega novainformação, uma vez queM t+1 = tEAM t + je t+1 j; e t+1 = y t+1 S t :t + 15 Previsão para séries com sazonalidade Séries económicas observadas com uma frequência inferiora um ano (mensais ou trimestrais, normalmente). Efeitossazonais? Tomá-los em conta nas previsões!

Modelo multiplicativo y t = T t S t " t Versus Modelo aditivoy t = T t + S t + " t : Necessário estimar os efeitos/factores sazonais S t (extender oque vimos anterior, incluindo também S t ):5.1 Dessazonalização com médias móveis5.1.1 Modelo Multiplicativo Considere-se L o n o de ”estações” no ano, ou períodos sazonais(12 se forem dados mensais, 4 se trimestrais, etc.). Modelo multiplicativo: S t é do tipo (1 + j), com j > 1denindo a taxa de acréscimo (j > 0) ou decréscimo (j < 0)do nível da série no respectivo período, devido ao efeitosazonal. Por exemplo, j = 0:12 signica S t = 1:12, ou seja,um efeito sazonal expansivo sobre o nível da série (12% destenível). Se j = 0:12; S t = 0:88; ou seja, um efeito sazonaldepressivo de 12% sobre o nível da série. Deste modo,LXS t = L:t=1 Médias móveis centradas de período L;CMA t = L 1 [y t (L 1)=2 + ::: + y t + ::: + y t+(L 1)=2 ]26

ou as correspondentes versões para L parM t1 = L 1 [y t L=2+1 + ::: + y t + ::: + y t+L=2 ];M t2 = L 1 [y t L=2+2 + ::: + y t + ::: + y t+L=2+1 ];CMA t = (M t1 + M t2 )=2: Estimador do nível da sucessão no momento t (^y t = CMA t )uma vez que ltra as componentes sazonal e irregular; Osrácios z t = y t =CMA t permitem obter estimativas dascomponentes sazonal e irregular; Para eliminar a componenteirregular, volta-se a ltrar a série através das médias relativas acada período sazonal. Trimestrais:S1 = (z 1 + z 5 + ::: + z T 3 )S2 = (z 2 + z 6 + ::: + z T 2 )S3 = (z 3 + z 7 + ::: + z T 1 )S4 = (z 4 + z 8 + ::: + z T ) Sj são estimativas não normalizadas dos factores sazonais, jáltrados de efeitos residuais. Por vezes, a soma dos Sj não éigual a L, pelo que se procede à sua normalização: Dessazonalizar a série y t :^S j = S j L= X S j :y D t= y (j)t = ^S j : Previsões: Utilizar a série dessazonalizada ytD para efectuarprevisões do nível da tendência (método mais adequado -27

constante vs. tendência linear, médias móveis vs. alisamentoexponencial). Com base nestas previsões ^yT D +h, controem-se asprevisões para a série original y t repondo a sazonalidade, istoé,^y T +h = ^y T D (j)+h: ^ST +h ;ondeT + h:(j) ^ST +h5.1.2 Modelo Aditivorepresenta o factor sazonal referente ao período Coecientes sazonais S t representam o número de unidades davariável y t a adicionar ou a subtrair ao nível da série para terem conta os efeitos depressivos ou expansivos periódicos queafectam a variável. Desse modo, a soma desses efeitos duranteo ano é nula, isto é, os efeitos compensam-se:LXS t = 0:t=1 Estimação dos coecientes sazonais (ver o procedimentoanterior) mas z t = y t CMA t (= T t +S t +" t^Tt ' S t +" t ): Filtrando a série através das médias relativas a cada períodosazonal, eliminamos a componente errática e obtemos estimativasnão standardizadas Sj . A standardização é feita atravésdeX^S j = Sj Sj =L;28

29pelo que a série dessazonalizada vemy D t= y (j)tDepois de efectuada a previsão sobre a série dessazonalizada,as previsões para a série original obtém-se através de^y T +h = ^y D T +h +^S j :^S(j)T +h : Criticas: (1) S j mantém-se constante sobre a amostra e nofuturo! (2) Poderão existir problemas se a série se desviar docomportamento constante ou de tendência linear implícitosno método, uma vez que nessas circunstâncias o estimadorCMA t será pouco ável.5.2 Método Holt-Winters Extensão do método de alisamento exponencial de Holtaplicado à estimação de factores sazonais, apresentando avantagem de não considerar um padrão sazonal xo.5.2.1 Modelo Multiplicativo Considere-se o modelo y t = ( 0 + 1 t)S t + " t ; ou seja,retirada a sazonalidade, temos um modelo de tendêncialinear. Teremos, portanto, equações recursivas para estimar onível actual da série (^y t ), o declive da tendência ( 1 (t)) e acomponente sazonal S t :^y T = y T^S(T L) + (1 )[^y T 1 + ^b 1 (T 1)];

30ponderando a estimativa deste nível efectuada em T 1(^y T 1 + ^b 1 (T 1)) e a série dessazonalizada. (ver método de Holt)^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1); 0 < < 1:^S T = y T^y T+ (1 ) ^S T L ; 0 < < 1;ponderando a última estimativa para período homólogo ( ^S T L )e uma outra estimativa dessa componente, dada por y T^y T: A função de previsão virá^y T +h = [^y T + ^b 1 (T ):h]: ^S T +h L ;ou seja, trata-se da função de previsão para a componente detendência devidamente multiplicada pela previsão do factorsazonal.5.2.2 Modelo Aditivo O modelo subjacente é y t = 0 + 1 t + S t + " t :^y T = [y T^S(T L)] + (1 )[^yT 1 + ^b 1 (T 1)];^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1); 0 < < 1;^S T = (y T ^y T ) + (1 ) ^S T L ;

vindo a função de previsão^y T +h = ^y T + ^b 1 (T ):h + ^S T +h L : Para além da inicialização de 0 (0) e 1 (0); é tambémnecessário inicializar S 0 : Esta pode ser feita através deS j = y j (y 1^b1;L+1 (j 1)); j = 1; :::; L:5.3 Tendência Amortecida Viu-se anteriormente uma forma exível e robusta de preverséries com tendência através da generalização do método deHolt. Esta metodologia pode igualmente ser aplicada a sériescom sazonalidade, quer multiplicativa, quer aditiva. Modelo Multiplicativoy T^y T = ^S(T L) + (1 )[^y T 1 + ^b 1 (T 1)];^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1);^S T = y T+ (1 )^y ^S T LThX^y T +h = [^y T + j^b1 (T )]: ^S T +h L :j=131

32 Modelo Aditivo^y T = (y T^ST L ) + (1 )[^y T 1 + ^b 1 (T 1)];^b1 (T ) = (^y T ^y T 1 ) + (1 )^b 1 (T 1);^S T = (y T ^y T ) + (1 ) ^S T LhX^y T +h = ^y T + j^b1 (T ) + ^S T +h L :j=1