54. Calculando probabilidades - Passei.com.br

A UA UL LA5454CalculandoprobabilidadesIntroduçãoevento E é:P(E) =Você já aprendeu que a probabilidade de umnº deresultadosfavoráveisnº totalderesultadospossíveisNesta aula você aprenderá a calcular a probabilidade de ocorrência de umevento e outro, bem como a ocorrência de um ou outro evento. Em muitassituações a ocorrência de um fato qualquer depende da ocorrência de um outrofato; nesse caso dizemos que são ocorrências dependentes. Em situações ondenão há essa dependência, precisamos calcular probabilidades de duas situaçõesocorrerem ao mesmo tempo.Para abordarmos situações como as que acabamos de descrever, utilizaremosvários exemplos durante esta aula. Leia-os com bastante atenção e procurerefazer as soluções apresentadas.Nossa aulaCálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de outroEXEMPLO 1Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem,escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é 1 . Nesse mesmo grupo, a5probabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é 5 . Qual a probabilidade6de escolhermos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saibajogar futebol?Solução:O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol,e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes.Considere então os eventos:A: ter média acima de 7,0.B: saber jogar futebol.A e B:ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.

Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1 5têm média acima de 7,0 e 5 6 sabem jogar futebol. Ora, 5 6 de 1 5 , ou seja, 5 6 · 1 5 = 1 6 ,sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 1 6 .Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então,concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver”um com o outro):P (A e B) = P (A) · P (B)A U L A54EXEMPLO 2Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus parao trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade deque ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho?Solução:Considere os eventos:A : ser canhotoB : ir de ônibus para o trabalhoÉ claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende emnada do outro. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamenteé calculada por P (A e B) = P (A) · P (B).Calculando:P (A) = 1030 = 1 3P (B) = 2530 = 5 6P (A e B) = P (A) · P (B) = 1 3 ·56 = 518A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 5 18 .EXEMPLO 3Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapasconsecutivas: natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atletaescolhido ao acaso termine a primeira etapa (natação) é 4 . Para continuar na7competição com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado anatação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a probabilidade de queum deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é 3 . Qual a probabilidade de4que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine aprimeira e a segunda etapas?

A U L A54Solução:A : terminar a 1ª etapa da prova (natação).B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1ª.Note que A e B não são eventos independentes pois, para começar a 2ª etapaé necessário, antes, terminar a 1ª.Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B depende (está condicionada)à ocorrência do evento A.Utilizamos então a notação B/A, que significa a dependência dos eventos,ou melhor, que o evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que Ajá ocorreu. No caso deste exemplo, temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida),sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação).E agora? Como calcular P (A e B)?É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B),usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A.O enunciado deste problema nos diz que P(A) = 4 7 e PαB/Aφ= 3 4 ; assim,P(A e B) = P(A) · PαB/Aφ=7·434 = 3 7A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1ª e a2ª etapas é 3 7 .Quando A e B não são eventos independentes a probabilidade deocorrência de A e B é calculada por:P (A e B) = P (A) · P (B/A)onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocorreu.EXEMPLO 4No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação naprova escrita é 9 . Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática10de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passarnessa prova prática é 2 . 3Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele sejaaprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?Solução:Considere os eventos:A: aprovação na prova escrita.B: aprovação na prova prática de direção.

A U L A EXEMPLO 654Uma empresa que fabrica suco de laranja fez uma pesquisa para sabercomo está a preferência do consumidor em relação ao seu suco e ao fabricadopor seu principal concorrente. Essa empresa é chamada SOSUMO, e seuconcorrente SUMOBOM. A pesquisa concluiu que dos 500 entrevistados, 300preferiam o SUMOBOM, 100 consumiam os dois, 250 preferiam SOSUMO e 50nenhum dos dois. Um dos entrevistados foi escolhido ao acaso. Qual aprobabilidade de que ele seja:a) consumidor de SOSUMO e SUMOBOM;b) consumidor de SOSUMO ou SUMOBOM.Solução:a) De acordo com a pesquisa dos 500 entrevistados, 100 consomem os doissucos. Logo, a probabilidade de que um entrevistado, escolhido ao acaso,consuma os dois sucos é: 100 = 1 .500 5 b) Usando o raciocínio do Exemplo 5, para saber a probabilidade da ocorrênciade um evento ou outro, somamos as probabilidades de os dois eventosocorrerem separadamente. Mas, neste exemplo, devemos tomar cuidadocom o seguinte: existem pessoas que consomem os dois sucos indiferentemente,compram o que estiver mais barato, por exemplo. Assim, nãopodemos contar essas pessoas (que consomem um e outro) duas vezes.Observe que a soma dos resultados é maior que o número de entrevistados(300 + 100 + 200 + 50 = 650), ou seja, há pessoas que, apesar depreferirem um dos sucos, consomem os dois. Para facilitar daremosnomes aos eventos:A :preferir o SOSUMOB: preferir o SUMOBOMA e B: consumir SOSUMO e SUMOBOMA ou B: consumir SOSUMO ou SUMOBOMRepare que este ou quer dizer: apenas o SOSUMO ou apenas o SUMOBOM.Fazendo P(A ou B) = P(A) + P(B) estamos contando duas vezes as pessoasque apesar de preferirem um dos sucos, consomem os dois. Logo, devemossubtrair de P(A) + P(B) o resultado de P(A e B) para retirar a “contagem dobrada”.Temos então:P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B)Calculando:P(A) = 250500 = 1 2P(B) = 300500 = 3 5P(A e B) = 100500 = 1 5P(A ou B) = 1 2 + 3 5 - 1 5 = 1 2 + 2 5 = 5 + 410 = 910A probabilidade de que o escolhido consuma um suco ou outro é 9 . 10

ObservaçãoEm exemplos como o que acabamos de ver há outras soluções possíveis.Observe que o evento A ou B (consumir um suco ou outro) deve incluir comocasos favoráveis todas as pessoas que não fazem parte do grupo dos que nãoconsomem esses es dois sucos.Sabíamos que dos 500 entrevistados, 50 pessoas consumiam nenhum dosdois e a probabilidade de escolhermos uma dessas pessoas ao acaso era 50 , 500ou seja, 1 . Assim, podíamos concluir que a probabilidade de10 não fazer partedesse grupo era 1 - 1 , raciocinando por exclusão.= 910 10A U L A54Uma representação gráficaNesses tipos de problema, geralmente usamos uma representação gráficapara visualizar melhor o enunciado.Representamos todos os entrevistados (todos os casos possíveis) por umretângulo e os eventos por círculos dentro deste retângulo, como na seguintefigura:A parte comum dos dois círculos corresponde ao evento (A e B). No exemploanterior, 100 pessoas consumiam os dois sucos e a representação seria assim:Como 300 consumidores preferiam SUMOBOM (evento B), 250 o SOSUMO(evento A) e já temos 100 pessoas contadas para cada um dos eventos, devemoscompletar o gráfico da seguinte maneira:

A U L A54Os 50 que ficariam fora dos dois círculos seriam aqueles que não consomemesses sucos. Observe que 150 + 100 + 200 + 50 é igual a 500, que é o número totalde entrevistados. Agora observe o cálculo de P(A e B) e P(A ou B):P(A e B) = 100500 = 1 5P(A ou B) =150 +100 + 200500= 450500 = 910e P (não (A ou B)) = 50500 = 110ou P (não (A ou B)) = 1 -910 = 110EXEMPLO 7Em uma sala do Telecurso 2000, 12 alunos gostam de vôlei, 13 gostam defutebol, 5 gostam dos dois esportes e outros 10 não gostam nem de vôlei nemde futebol. Sabendo que a turma tem 30 alunos, qual a probabilidade de que umaluno, escolhido ao acaso, goste de vôlei ou de futebol?Solução:Considere os eventosA: gostar de futebolB: gostar de vôleiVamos representá-los graficamente.Como o total de alunos é 30, temos P(A ou B) = 7 + 5 + 830= 2030 = 2 3ou ainda P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) =1230 + 1330 - 530 = 2030 = 2 3Resolvendo por exclusão, teríamos:P(A ou B) = 1 - P(não (A ou B)) = 1 - 1030 = 1 - 1 3 = 2 3Agora, resolva os exercícios propostos.

Exercício 1Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitanteescolhido ao acaso tenha televisão em casa é 11 . Já a probabilidade de esse121habitante ser um comerciante é . Escolhendo um habitante dessa cidade ao11acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e sejacomerciante?ExercíciosA U L A54Exercício 2Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola.Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de serem aprovadosnessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na provaprática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação naprova escrita é 1 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprovado4na escrita) é 2 , calcule a probabilidade de que um professor, escolhido ao3acaso, seja contratado.Exercício 3Em uma noite de sexta-feira, pesquisadores percorreram 500 casas perguntandoem que canal estava ligada a televisão. Desse modo, descobriram queem 300 casas assistiam ao canal VER-DE-PERTO, 100 viam o canal VER-MELHOR e outras 100 casas não estavam com a TV ligada. Escolhida umadas 500 casas, ao acaso, qual a probabilidade de que a TV esteja sintonizadano canal VER-DE-PERTO ou no canal VER-MELHOR?Exercício 4Dos 140 funcionários de uma fábrica, 70 preferem a marca de cigarrosFUMAÇA, 80 preferem TOBACO e 30 fumam ambas sem preferência.Sabendo que 20 funcionários não fumam, calcule a probabilidade de que umfuncionário, escolhido ao acaso:a) fume FUMAÇA e TOBACOb) fume FUMAÇA ou TOBACOExercício 5Com as mesmas informações do exercício anterior, calcule a probabilidadede que um funcionário, escolhido ao acaso:a) fume só FUMAÇAb) fume só TOBACOc) fume só FUMAÇA ou só TOBACOd) não fume nenhuma das duas marcas de cigarroe) não fume FUMAÇAf) não fume TOBACO