Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

ResumoSinais e SistemasSistemas Lineares e Invariantes noTempoLuís Caldas de Oliveiralco@ist.utl.ptInstituto Superior TécnicoSLITs discretos.O somatório de convolução.SLITs contínuos.A convolução contínua.Propriedades dos SLITs.Representação por equações diferenciais.Representação por equações às diferenças...Sinais e Sistemas – p.1/32Sinais e Sistemas – p.2/32Representação de SequênciasResposta ao ImpulsoQualquer sequência pode ser expressa em termos de umasoma de impulsos unitários escalados e deslocados notempo:x(n) =+∞∑k=−∞x(k)δ(n − k)Resposta de um sistema a um impulso localizado noinstante k:h k (n) = S (δ(n − k)) , ∀ nRepresentação da entrada como uma soma de impulsos:x(n) =+∞∑k=−∞x(k)δ(n − k)..Saída do sistema:⎛y(n) = S ⎜⎝+∞∑k=−∞⎞x(k)δ(n − k) ⎟⎠Sinais e Sistemas – p.3/32Sinais e Sistemas – p.4/32

SLITsSomatório de Convolução⎛y(n) = S ⎜⎝+∞∑k=−∞⎞x(k)δ(n − k) ⎟⎠y(n) = x(n) ∗ h(n) =+∞∑k=−∞x(k)h(n − k).Sistema Lineary(n) =+∞∑x(k)S (δ(n − k)) =+∞∑k=−∞k=−∞Invariância Temporal:h k (n) = h(n − k) −→ y(n) =+∞∑k=−∞x(k)h k (n)x(k)h(n − k).Num SLITdiscreto, conhecida a sua resposta impulsiva épossível calcular a resposta a qualquer sinal de entradaatravés do somatório de convolução.Realização gráfica de h(n − k) = h(−(k − n))1. reflectir h(k) em relação à origem para obter h(−k);2. deslocar a origem da sequência reflectida para k = n.Sinais e Sistemas – p.5/32Sinais e Sistemas – p.6/32Convolução GráficaPropriedades da Convoluçãoz(n) = x(n) ∗ y(n) =+∞∑m=−∞x(m)y(n − m)A operação de convolução é comutativa:x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)...x(m)...A operação de convolução é associativa:0 1 2 3 4 5 6 734438 9my(n−m)8 90 1 2 3 4 5 6 7 m...x(n) ∗ (h 1 (n) ∗ h 2 (n)) = (x(n) ∗ h 1 (n)) ∗ h 2 (n)A operação de convolução é distributiva em relação àadição:...1221z(n)...x(n) ∗ (h 1 (n) + h 2 (n)) = x(n) ∗ h 1 (n) + x(n) ∗ h 2 (n).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n.Sinais e Sistemas – p.7/32Sinais e Sistemas – p.8/32

Representação de Sinais ContínuosSistemas ContínuosUsando a propriedade da amostragem do impulso:x(t)δ(t − t 0 ) = x(t 0 )δ(t − t 0 )Resposta de um sistema a um impulso localizado noinstante τ:h τ (t) = S (δ(t − τ)) , ∀t ∈ .é possível representar qualquer sinal contínuo na forma dointegral de impulsos:x(t) = x(t)==∫ +∞−∞∫ +∞−∞∫ +∞−∞δ(t − τ)dτx(t)δ(t − τ)dτx(τ)δ(t − τ)dτ.Representação da entrada como impulsos:Saída do sistema:x(t) =y(t) = S∫ +∞−∞(∫ +∞−∞x(τ)δ(t − τ)dτ)x(τ)δ(t − τ)dτSinais e Sistemas – p.9/32Sinais e Sistemas – p.10/32SLITs ContínuosIntegral de ConvoluçãoSistema Lineary(t) = S(∫ +∞−∞)x(τ)δ(t − τ)dτy(t) = x(t) ∗ h(t) =∫ +∞−∞x(τ)h(t − τ)dτNum SLIT contínuo, conhecida a sua resposta impulsivay(t) =∫ +∞−∞x(τ)S (δ(t − τ)dτ) =∫ +∞−∞x(τ)h τ (t)dτé possível calcular a resposta a qualquer sinal de entradaatravés do integral de convolução.Invariância Temporal:.h τ (t) = h(t − τ) −→ y(n) =∫ +∞−∞x(τ)h(t − τ)dτ.Sinais e Sistemas – p.11/32Sinais e Sistemas – p.12/32

Convolução GráficaExemploz(t) = x(t) ∗ y(t) =......∫ +∞−∞0 1 2 3 4 5 6 7x(τ)y(t − τ)dτ8 9x( τ)...τy(t− τ)...10Considere o SLIT com resposta impulsiva h(n):h(t) = u(t)sabendo que a sua entrada vale:x(t) = e −at u(t), a > 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9τdetermine a saída:.z(t)... ...0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t.Solução:y(t) = x(t) ∗ h(t)y(t) = 1 a (1 − e−at )u(t)Sinais e Sistemas – p.13/32Sinais e Sistemas – p.14/32Associação em Cascata de SLITsAssociação em Paralelo de SLITsx(t)✲h 1 (t)w(t)✲h 2 (t)y(t)✲✲h 1 (t)h(t) = h 1 (t) ∗ h 2 (t)x(t)✲h 2 (t)✎☞ ❄ y(t) ✲✍✌✻h(t) = h 1 (t) + h 2 (t)..Sinais e Sistemas – p.15/32Sinais e Sistemas – p.16/32

SLITs Com e Sem MemóriaInvertibilidade de SLITsSLITs discretos sem memória:a resposta ao impulso tem de ser um impulso:h(n) = Kδ(n).o somatório de convolução resume-se a umtermo: y(n) = Kx(n).SLITs contínuos sem memória:a resposta ao impulso tem de ser um impulsocontínuo: h(t) = Kδ(t).o integral de convolução resume-se a: y(t) = Kx(t).A cascata de um SLIT com o seu inverso tem de verificar:h(n) ∗ h i (n) = δ(n)No caso contínuo:h(t) ∗ h i (t) = δ(t)..Sinais e Sistemas – p.17/32Sinais e Sistemas – p.18/32Causalidade de SLITsEstabilidade de SLITsPara um SLIT ser causal a sua resposta ao impulso temde ser causal:No caso contínuo:h(n) = 0, para n < 0h(t) = 0, para t < 0Sabendo que |x(n)| < B, ∀n:|y(n)| ≤≤+∞∑k=−∞+∞∑Bk=−∞|h(k)||x(n − k)||h(k)|..O SLIT discreto é estável se a resposta ao impulso forabsolutamente somável:+∞∑k=−∞|h(k)| < ∞Sinais e Sistemas – p.19/32Sinais e Sistemas – p.20/32

Estabilidade de SLITsResposta ao Escalão DiscretoO SLIT contínuo é estável se a resposta ao impulso forabsolutamente integrável:∫ +∞−∞|h(τ)|dτ < ∞Sendo s(n) a resposta ao escalão discreto:s(n) = u(n) ∗ h(n)A resposta ao escalão e ao impulso relacionam-se entre si:n∑s(n) = h(k)ek=−∞..h(n) = s(n) − s(n − 1)Sinais e Sistemas – p.21/32Sinais e Sistemas – p.22/32Resposta ao Escalão ContínuoEquações DiferenciaisSendo s(n) a resposta ao escalão contínuo:s(t) = u(t) ∗ h(t)A resposta ao escalão e ao impulso relacionam-se entre si:s(t) =e∫ t−∞h(τ)dτUma equação diferencial dá um especificação implícita dosistema:N∑ d k y(t)M∑ d k x(t)a k = bdt k kdt kk=0k=0.h(t) = ds(t)dt.Sinais e Sistemas – p.23/32Sinais e Sistemas – p.24/32

Solução da Eq. DiferencialExemploA solução decompõe-se numa solução particular mais asolução da equação homogénea (resposta natural dosistema):N∑ d k y(t)a k = 0dt kk=0A solução só fica completamente especificada dado umconjunto de condições iniciais. Iremos assumir na maiorparte dos casos, que o sistema se encontra em repousono instante t 0 :Considere o SLIT descrito pela equação diferencial:dy(t)dt+ 2y(t) = x(t)Determine y(t) sabendo que x(t) tem a forma geral:x(t) = Ke 3t u(t).y(t 0 ) = dy(t 0)dt= . . . = dN−1 y(t 0 )dt N−1 = 0.Sinais e Sistemas – p.25/32Sinais e Sistemas – p.26/32Equações às DiferençasSolução RecursivaA contrapartida discreta das equações diferenciais são asequações às diferenças:N∑a k y(n − k) =k=0M∑b k x(n − k)A solução divide-se também numa solução particular e nasolução da equação homogénea:k=0As equações às diferenças podem adicionalmente seremresolvidas de forma recursiva:y(n) = 1 ⎤M∑N∑a⎡⎢⎣ b k x(n − k) − a k y(n − k) ⎥⎦0k=0Conhecidas a entrada no instante n e anteriores e assaídas anteriores, a solução recursiva permite obter y(n).k=1.N∑a k y(n − k) = 0k=0.Sinais e Sistemas – p.27/32Sinais e Sistemas – p.28/32

Resposta Impulsiva FinitaExemploNo caso particular em que N = 0 e a 0 = 1 a saída noinstante n só depende da entrada:y(n) =M∑b k x(n − k)Neste caso a resposta ao impulso tem duração finita(sistema FIR):k=0Considere a equação às diferenças:y(n) − 1 y(n − 1) = x(n)2Considerando que o sistema se encontra em repousoinicial, determine a sua saída quando a entrada for:x(n) = Kδ(n).h(n) ={bk 0 ≤ n ≤ M0 no caso contrário.Sinais e Sistemas – p.29/32Sinais e Sistemas – p.30/32Diagrama de Blocos (Discreto)Diagrama de Blocos (Contínuo)x(n)b✲✎☞✲✍✌✻y(n)✲❄x(t)b/a✲✎☞✲✍✌✻y(t)✲❄DD−a✛y(n − 1)−1/a✛dy(t)dty(n) = bx(n) − ay(n − 1)dy(t)dt= bx(t) − ay(t)..Sinais e Sistemas – p.31/32Sinais e Sistemas – p.32/32