Cálculo Vetorial I - Unesp

Campos Vetorias, integrais de linhaLista 4Cálculo Vetorial IVersão do 14-6-20121) Seja F o campo quadrado inverso. Encontre o trabalho realizado po F para deslocar uma partícula aolongo de um reta que une os pontos (1,2,0) e (2,4,0).C √5(W =10 J )2) A força em um ponto (x,y,z) em três dimensões é dada por F(x,y,z) = y i+zj+xk. Ache o trabalhorealizado por F(x,y,z) ao longo da cúbica x=t, y=t², z=t³ de (0,0,0) a (2,4,8).(W = 412/15 Fernando Tiago de Souza Ribeiro)3) Calcule a integral ∫ C(x+2y )ds , se C for a semicircunferência de raio 3.(I = 36 m², André Bianch Laraia)4) Calcule a integral ∫ Cy 2 dx+ x 2 dy , onde C é a metade superior da elipse0. (I = − 4 3 ab2 )x 2a + y2=1 2 2, a > 0, b>b5) Calcule a integral ∫ Cxydx+( x− y)dy , onde C consiste nos segmentos de reta de (0,0) a (2,0) ede (2,0) a (3,2).(I = 17/3, Victor Pollo Deonizio)6) Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x,y)=y²i-xyj ao se mover uma partícula ao longode um quarto de círculo r(t) = cos(t)i+sin(t)j, 0≤t≤ π 2 .Independência do percurso(W = -1J)7) Se F(x,y,z) = y²cos x i + (2ysinx+e 2z ) j + 2ye 2z k mostre que F(x,y,z) é conservativo e acheseu potencial escalar f(x,y,z). ( f (x, y ,z)= y²sinx+ ye 2z +C Bianca Tieko Watanabe)8) a) Determine se o campo vetorial F(x,y) = (e x+ y +1) i + e x+ y j é ou não conservativo.b) Determine o trabalho exercido para ir do ponto (1,0) até o ponto (1,1).(W= e(e-1), Vilma Mauro)9) Mostre que F(x,y) = (e x cos( y)+ yz) i + (xz−e x sin( y)) j + (xy+z) k é conservativo eemcontre sua função potencial.(f(x,y,z) = e x cos y+xyz+ z2+c , Ivylin Tafarello)210) Considere o campo vetorial F(x,y,z) = yze xyz i + xze xyz j+ xye xyz k.a) Encontre sua função potencialb) Calcule o trabalho de F ao longo da espiral descrita pelo caminho g(t) = 5 cos(t) i + 5sin(t) j +t² k,

0≤t≤ π 4 (f(x,y,z) = e xyz +c , W =25 π 2e32 −1 )Teorema de Green11) Calcule as seguintes integrais utilizando o Teorema de Green:a) ∫ cx² ydx−xy² dy , onde C é o círculo x²+y²=4 orientado no sentido anti-horário.(I = −8π m², Vitor de Oliveira Facio)b) ∫ c3xy 2 dx+4x 2 y dy , onde C é constituida pela parábola y =x² de (0,0) a (2,4) e pelas retas de(2,4) a (0,4) e de (0,4 a 0,0) (I = 64/3 m², Everton Lincoln Veara)c) ∫ cy 3 dx+ ( x³+ 3xy²)dy , onde C é o caminho de (0,1) para (1,1) ao longo de y = x³, e de (1,1)para (0,0) ao longo de y = x.(I = 1/4 m²)d) ∫ C( y+e √x )dx +(2x+cosy²)dy , onde C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas y =x² e x = y². (I =1/3 m², Gustavo José Gonçalves Mollica)12) Verifique ambas as partes do teorema de Green para o campo F(x,y) = (x-y)i +xj e a região Ddelimitada pela circunferência unitária. (I = 2π m².)Rotacional, divergente e Laplaciano14) Calacule o rotF para determinar se os seguintes campos são conservativos ou não:a) F(x,y,z)=2x²yi +5xzj+x²y²k (Não)b) F(x,y,z)=(3+2xy)i+(x²+3y²)j (Sim, Jéssica Porfírio)15) Determine se o campo F(x,y,z)=xzi +xyzj-y²k admite um potencial vetorial.(Não, Elton Carlos Nogueira)16) Calcule o Laplaciano de f (x)=xy+e yz ( ∇ 2 f =(z 2 + y 2 )e yz , Eduardo Vaz)