Click here to get the file

EDITORA ATLAS S.A.Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elísios)01203-904 São Paulo (SP)Tel.: (O 11) 3357-9144

Ermes da SilvaElio da SilvaWalter GonçalvesAfrânio Carlos MuroloEstatísticapara os cursos de:EconomiaAdministração eCiências ContábeisVolume 1PAULOEDITORA ATLAS S.A. -- 1999

1 994 by EDITORA ATLAS S.A.ed. 1995; 2. ed. 1996; 3. ed. 1999;Capa: AldoComposição: Formato Serviços de EditoraçãoLtda.Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)Estatística Ermes da Silva ... let - 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.Outros autores: Walter Gonçalves, ElioMurolo.ISBN 85-224-2236-2da Silva, Afrânio CarlosEstatística I. Silva, Ermes Medeiros. Gonçalves, Walter, 1942- 111.Silva, Elio da. Murolo, Afrânio Carlos. V. Título.94-41 77 CDD-519.5índice para catálogo sistemático:1. Estatística 51 9.5TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - É proibida a reprodução total ou parcial, dequalquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei9.61 0198) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal.Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decretode 1907.de 20 de dezembroImpresso noín Brazíl

Sumáriot CONCEITOS BASICOS, 111.1 Introdução, 111.2 Conceitos Fundamentais, 121.2.1 Objetivo, 121.2.2 População e Amostra, 121.3 Processos Estatísticos de Abordagem, 121.4 Dados Estatísticos, 141.5 Estatística Descritiva, 141.6 Dados Brutos, 151.7 Rol, 161.8 Exercícios Propostos, 17SÉRIES ESTAT~STICAS, I 82.1 Apresentação de Dados Estatísticos, 182.2 Distribuição de Frequência - Variável Discreta, 182.3 Distribuição de Frequência - Variável Contínua, 192.4 Construção da Variável Discreta, 202.5 Construção da Variável Contínua, 212.6 Exercícios Propostos, 262.7 Distribuição de Frequências - Variável Discreta, 292.7.1 Frequência Relativa de um Elemento da Série - fr, 292.7.2 Frequência Acumulada de um Elemento da Série - Fi, 302.7.3 Frequência Acumulada Relativa de um Elemento da Série - FR,, 312.8 Distribuição de Frequências - Variável Contínua, 322.8.1 Frequência Relativa de uma Classe - fh 322.8.2 Frequência Acumulada de uma Classe - Fi, 332.8.3 Frequência Acumulada Relativa de uma Classe - FR, 342.9 Exercícios Propostos, 35

6 Sumário2.1 0 Representação Gráfica de Séries Estatísticas, 382.10.1 Histograma - Variável Discreta, 392.10.2 Histograma - Variável Contínua, 402.11 Exercícios Propostos, 423 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 463.1 Introdução, 463.2 Somatório - Notação Sigma (C ), 463.3 Exercícios Propostos, 513.4 . Médias, 543.4.1 Média Aritmética Simples, 543.4.2 Média Aritmética Ponderada, 543.4.3 Média Geométrica Simples, 553.4.4 Média Geométrica Ponderada, 553.4.5 Média Harrnônica Simples, 553.4.6 Média Harmônica Ponderada, 563.5 Cálculo da Média Aritmética, 573.6 Exercícios Propostos, 603.7 Mediana, 663.8 Cálculo da Mediana, 663.9 Exercícios Propostos, 713.10 Moda, 743.11 Cálculo da Moda, 743.12 Utilização das Medidas de Tendência Central, 833.13 Exercícios Propostos, 854 MEDIDAS SEPARATRIZES, 894.1 Conceitos, 894.2 Cálculo das ~edidasseparatrizes, 904.3 Exercícios Propostos, 955 MEDIDAS DE DISPERSÃO, 1005.1 Introdução, 1005.2 Medidas de Dispersão Absoluta, 1015.3 Amplitude Total, 1015.4 Cálculo da Amplitude Total, 1015.5 Exercícios Propostos, 1025.6 Desvio Médio Simples, 103

Sumário 75.7 Cálculo do Desvio Médio Simples, 1035.8 Exercícios Propostos, 1085.9 Variância e Desvio Padrão, 1095.10 Cálculo da Variância e Desvio Padrão, 1105.11 Interpretação do Desvio Padrão, 1165.12 Exercícios Propostos, 1185.13 Medidas de Dispersão Relativa, 1215.14 Exercícios Propostos, 122i MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 1246.1 Introdução, 1246.2 Medidas de Assimetria, 1256.2.1 Coeficiente de Pearson, 1256.2.2 Coeficiente de Bowley, 1256.3 Medida de Curtose, 1266.4 Exercícios Propostos, 132- PROBABILIDADES, 1437.1 Introdução, 1437.1.1 Fenômenos Aleatórios, 1437.2 Teoria das Probabilidades - Espaço Amostral, 1457.3 Eventos, 1477.4 Operações com Eventos, 1487.5 Exercícios Propostos, 1497.6 Função de Probabilidade, 1517.7 Definição de Probabilidade, 1517.8 Exercícios Propostos, 1557.9 Probabilidade de um Evento, 1587.10 Exercícios Propos'tos, 1597.11 Axiomas de Probabilidade, 162i CÁLCULO DE PROBABILIDADES, 1638.1 Teoremas Fundamentais, 1638.1.1 Probabilidade do Conjunto Vazio, 1638.1 -2 Probabilidade do Complementar, 1638.1.3 Probabilidade da Reunião, 1638.1.4 Exercícios Propostos, 1658.1.5 Probabilidade Condicional, 165

8 Sumário8.1.6 Exercícios Propostos, 1708.1.7 Teorema da Probabilidade Total, 1728.1.8 Exercícios Propostos, 1748.1.9 Teorema de Bayes, 1768.1.1 0 Exercícios Propostos, 1788.2 Exercícios Gerais, 179Bibliografia, 189

PrefácioEstamos colocando a disposição dos colegas professores e aos inte-?ssados em estatística de modo geral uma coleção de livros da qual este é oprimeiro volume. O conteúdo deste volume apresenta os conceitos básicosiniciais de um curso de estatística, isto é, enfoca a estatística descritiva, asmedidas sobre uma distribuição, e coloca os principais estimadores necessáriosao desenvolvimento posterior de inferência estatística. Encerra o volumeo estudo do cálculo de probabilidades. Este conteúdo foi escolhido por algunsmotivos. A nossa experiência ao desenvolver cursos nesta área nos convenzude que este conteúdo pode ser desenvolvido com bom aproveitamentoum curso anual de 72 horas ou em curso semestral equivalente. Além disso,conteúdo está adequado ao novo currículo dos cursos de administração deempresa que estão sendo implantados nas diversas faculdades.Entretanto, o que nos parece mais importante é a maneira como oassunto foi desenvolvido. Uma crítica frequente de professores e alunos comrespeito aos textos de estatística é que eles apresentam os conceitos estatísticosdo ponto de vista matemático, com ênfase nos cálculos das medidas. Aconseqüência deste enfoque é que os estudantes, embora possam desenvolveros cálculos necessários a solução de problemas não são capazes derealizar o que nos parece fundamental em estatística, que é o conhecimento eas possíveis interpretações do fenômeno estatístico envolvido.Para atingir este objetivo procuramos desenvolver os conceitos dandoanfase a interpretação das medidas sobre o fenômeno estatístico. Desta foria,a apresentação de cada conceito é seguida de sua interpretação específia,completada por questões teóricas e práticas que fixem esse conhecimen-,a. A idéia é que fique claro o que o conceito significa do ponto de vistaestatístico e quais são as possíveis utilidades que ele pode ter, principalmenteno campo da Administração.Tendo em vista este objetivo, muitas vezes restringimos a abrangênciado conceito com a finalidade de torná-lo acessível ao estudante. Desta forma,os professores da área certamente notarão alguns conceitos particularizadosou pouco abrangentes. Achamos necessária esta restrição para não desviar oenfoque do significado do conceito e sua interpretação.

1/ Conceitos Básicos1 .I IntroduçãoO termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado originalmentepara denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar oEstado em suas decisões.Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valordos impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de umanova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas.(Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas,cavalos etc. dispunham após a última batalha.)Atualmente, a estatística é definida da seguinte forma:Estatística é um conjunto de métodos e processosquantitativos que serve para estudar e medir os fenômenoscoletivos.A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII,com os estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON,PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas característicasatuais.Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir narazão direta do desejo de investigação dos fenômenos coletivos.A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentidodo estudo de uma população. É considerada como método quando utilizadacomo instrumento por outra Ciência.A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência,solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se.Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quandoutilizada como instrumento de pesquisa.

12 Estatística 1Em especial esta última é a relação que a Estatística mantém com aAdministração, Economia, Ciências Contábeis, servindo como instrumento auxiliarna tomada de decisões.1.2 Conceitos Fundamentais1.2.1 OBJETIVOEstatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos.1.2.2 POPULAÇAO E AMOSTRAConceituaremos População como sendo o conjunto de todos os itens(pessoas, coisas, objetos) que interessam ao estudo de um fenômeno coletivosegundo alguma característica.Entenderemos por Amostra, qualquer subconjunto não vazio de umapopulação.Uma característica numérica estabelecida para toda uma população édenominada parâmetro.Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é denominadaestimador.Por exemplo: no fenômeno coletivo eleição para governador no Estadode São Paulo, a população é o conjunto de todos os eleitores habilitados noEstado de São Paulo. Um parâmetro é a proporção de votos do candidato A.Uma amostra ,é um grupo de 1000 eleitores selecionados em todo o Estado.Um estimador é a proporção de votos do candidato A obtida na amostra.Em aplicações efetivas, o número de elementos componentes de umaamostra é bastante reduzido em relação ao número de elementos componentesda população.1.3 Processos Estatísticos de AbordagemQuando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optarentre os seguintes processos estatísticos:a) Estimação.b) Censo.

Conceitos Básicos 13Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos9s componentes da população.Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base emIJm estimador através do cálculo de probabilidades.Propriedades Principais do Censo:i Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%.i É caro.i É lento.É quase sempre desatualizado.i Nem sempre é viável.Propriedades Principais da Estimação:i Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que100%.i É barata.i É rápida.i É atualizada.i É sempre viável.COMENTÁRIO:estatisticamente, a precisão de um valor numérico é avaliadaatravés do binômio: confiança e erro processual.Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro denatureza humana (erro de cálculo de avaliação, de anotação etc.), restaráapenas outro tipo de erro devido ao procedimento empregado.Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erroprocessual é zero, pois avaliamos um por um, todos os elementos componentesda População.Como o erro processual na avaliação é zero, a confiabilidade no parâmetroobtido é 100%. A precisão, no Censo é total.Na estimação, como avaliamos apenas parte e não todos os elementosque compõem a população, admitimos um erro processual positivo naavaliação do valor numérico e por conseqüência uma confiabilidade menorque 100%, sendo, portanto, menos precisa que o Censo.Como o número de elementos que compõem uma amostra é consideravelmentemenor que o número de elementos que compõem uma População,a Estimação é sempre bem mais barata que o Censo, é concluída maisrapidamente que o Censo e, portanto, mais atualizada.

14 Estatística 1Se a maneira de avaliar um elemento é um teste destrutivo, o Censose torna um processo inviável, pois destruiria a população objeto do estudo.Entretanto, na maioria das vezes em que o Censo é considerado inviávelé por razões econômicas e de tempo.Na sociedade moderna, a maioria dos problemas exigem decisões decurto prazo. Por isso, as informações estatísticas úteis a resolução destesproblemas devem ser obtidas rapidamente.Pela rapidez e facilidade da obtenção destas informações, a estimaçãotem sido cada vez mais utilizada como procedimento estatístico.1.4 Dados EstatísticosNormalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado alidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um Censoou de uma estimação.Estes valores numéricos são chamados dados estatisticos.No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para aobtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obterconclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões,através de dados estatisticos observados.Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas:a) Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por objetodescrever os dados observados.b) Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivoobter e generalizar conclusões para a população a partir de umaamostra, através do cálculo de probabilidade.O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência estatística.1.5 Estatística DescritivaA Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, tem asseguintes atribuições:a) A obtenção dos dados estatísticos.b) A organização dos dados.c) A redução dos dados.d) A representação dos dados.

Conceitos Básicos 15e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição dofenômeno observado.i A obtenção ou coleta de dados é normalmente feita através degm questionário ou de observação direta de uma população ou amostra.i A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quantoa correção dos valores observados, falhas humanas, omissões, abandono dedados duvidosos etc.i Redução dos dados - O entendimento e compreensão de grandequantidade de dados através da simples leitura de seus valores individuais éuma tarefa extremamente árdua e difícil mesmo para o mais experimentadopesquisador.A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a reduçãodo número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variáveldiscreta e variável contínua.i A representação dos dados - 0s dados estatísticos podem sermais facilmente compreendidos quando apresentados através de uma representaçãográfica, o que permite uma visualização instantânea de todos osdados.Os gráficos, quando bem representativos, tornam-se importantes instrumentosde trabalho.É ainda atributo da Estatística Descritiva a obtenção de algumas informaçõescomo médias, proporções, dispersões, tendências, índices, taxas,coeficientes, que facilitam a descrição dos fenômenos observados. Isto encerraas atribuições da Estatística Descritiva.Completando o processamento estatístico, no caso de uma Estimação,a Estatística Indutiva estabelece parâmetros a partir de estimadores usando ocálculo de probabilidade. Esta última etapa será desenvolvida posteriormente.1.6 Dados BrutosQuando fazemos n observações diretas em um fenômeno coletivo ouobservamos as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questionários,obtemos uma sequência de n valores numéricos.Tal sequência é denominada dados brutos.

16 Estatística 1Representando por X a característica observada no fenômeno coletivoou na pergunta dos questionários, então x, representa o valor da característicaobtida na primeira observação do fenômeno coletivo ou o valor da característicaobservado no primeiro questionário; x2 representa o valor da característicaX na segunda observação do fenômeno coletivo ou o valor da característicaXobservada no segundo questionário e assim sucessivamente.Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X: x,, x2,x3, ..., X".Esta sequência de valores assim obtida apresenta-se completamentedesordenada. De modo geral, podemos afirmar que:Dados brutos é uma. sequência de valores numéricosnão organizados, obtidos diretamente da observaçãode um fenômeno coletivo.1.7 RolQuando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os DadosBrutos passam a se chamar Rol.Portanto:Rol é uma sequência ordenada dos Dados Brutos.Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notasbimestrais em Matemática: 4; 8; 7,5; 6,5.Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser apresentadana forma:OUX 4;, 8; 7,5; 6,5. (Dados Brutos)X 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol)OBSERVAÇÃO:Após uma atenta leitura desta parte inicial, o interessadodeve responder as seguintes questões:

Conceitos Básicos 171.8 Exercícios Propostos'. O que é Estatística?2. O que é População?. O que é Amostra ?. O que é Parâmetro?5. O que é Estimador?3. Quais são os processos estatísticos de abordagem para o estudo de um fenômenocoletivo?: O que é Censo?2. O que é Estimação?3. Explique as propriedades principais do Censo.'O. Explique as propriedades principais da Amostragem.1. O que é Dado Estatístico?'2. O que é Estatística Descritiva e quais são suas tarefas?'3. O que é Estatística Indutiva?'4. O que são Dados Brutos?'5. O que é Rol?'6. Construa o Rol para sequência de dados brutos:a) X:2 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20.b) Y:3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18.c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7.d) W:8, 7,8, 7,8, 7, 9.RESPOSTAS

?f Séries Esta tis ficas2.1 Apresentação de Dados EstatísticosQuando lidamos com poucos valores numéricos, o trabalho estatísticofica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente teremos que trabalharcom grande quantidade de dados.Um dos objetivos da Estatística Descritiva neste caso, é obter umasignificativa redução na quantidade de dados com os quais devemos operardiretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de apresentaçãodestes dados.Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova eobtivemos os seguintes valores:Se entendermos como frequência simples de um elemento o númerode vezes que este elemento figura no conjunto de dados, podemos reduzirsignificativamente o número de elementos com os quais devemos trabalhar.Para isto organiza-se o conjunto de dados na forma de uma sérieestatística chamada variável discreta.2.2 Distribuição de Frequência - Variável DiscretaÉ uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamosna primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintosda série e na segunda coluna colocamos os valores das frequências simplescorrespondentes.Se usarmos f para representar frequência simples, a sequência (1)pode ser representada pela tabela:

Séries Estatísticas 19OBSERVAÇOES: (1) Note que a colocação de um índice i para x e para ftem a finalidade de referência. Deste modo, x, representao primeiro valor distinto da série, x2 representa osegundo valor distinto da série, f, representa a frequênciasimples do primeiro valor distinto da série, f2representa a frequência simples do 2Qalor distinto dasérie e assim sucessivamente.(2) Note que conseguimos reduzir de 30 elementos queconstituíam a série original para apenas 12 elementos.(3) Note também que a variável discreta só é uma formaeficiente de redução dos dados, quando o número deelementos distintos da série for pequeno.Devemos optar por uma variável discreta na representaçãode uma série de valores quando o númerode elementos distintos da série for pequeno.2.3 Distribuição de Frequência - Variável ContínuaSuponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos:3nduzisse aos seguintes valores:Observando estes valores notamos grande número de elementos dis-??tos, O que significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável-a redução de dados.

20 Estatística 1Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores,ficando a série com a seguinte apresentação:Classe1234Notas2 1 44 1 66 1 88 1 1 Ofi412104nua.Esta apresentação da série de valores é denominada variável contí-Devemos optar por uma variável contínua na representaçãode uma série de valores quando o númerode elementos distintos da série for grande.2.4 Construção da Variável DiscretaA construção de uma variável discreta é bastante simples. Basta observarquais são os elementos distintos da sequência, ordená-los, e colocá-losna primeira coluna da tabela. Em seguida computar a frequência simples decada elemento distinto e colocá-la na segunda coluna da tabela.Exemplo de construção de uma variável discreta: A sequência abaixorepresenta a observação do numero de acidentes por dia, em uma rodovia,durante 20 dias.x: 0,2,0,1,1,0,0,0,3,21,0,1,2,0,1,3,2,2,0.Os valores distintos da sequência são: O, 1, 2, 3.As frequências simples respectivas são: 8, 5, 5, 2.Portanto, a variável discreta representativa desta sequência é:

Séries Estatísticas 21.5 Construção da Variável ContínuaA construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns~nceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como exempli-:ação:ClasseIntervalo declassefi1. AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQUÊNCIA é a diferença entre oriaior e o menor elemento de uma sequência.Representando a amplitude total por A, o maior elemento da sequênciaXpor XmA, e o menor elemento por Xmín, a amplitude total é denotada por:No exemplo da sequência que deu origem a tabela (2), Xmáx = 9,5 eXmín = 2, portanto:A amplitude total representa o comprimento total da sequência e édada na mesma unidade de medida dos dados da sequência.2. INTERVALO DE CLASSE é qualquer subdivisão da amplitude totalde uma série estatística.No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude total em quatroclasses, obtendo os intervalos de classe 2 1- 4, 4 1- 6, 6 1- 8, 8 1- 10.Note que na realidade não trabalhamos com a At = 7,5 e sim com aamplitude total ajustada para 8 como justificaremos adiante.3. LIMITE DE CLASSE: cada intervalo de classe fica caracterizado9or dois números reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe eserá indicado por I. O maior valor é chamado limite superior da classe e seráIndicado por L. Por exemplo, na Classe 2 1- 4, I= 2 e L = 4.

22 Estatística 14. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE é a diferença entre olimite superior e o limite inferior da classe. Se usarmos h para representar aamplitude do intervalo de classe podemos estabelecer:OBSERVAÇOES: (1) Na realidade, as classes não precisam necessariamenteter a mesma amplitude como no exemplo acima.Porém, sempre que possível, devemos trabalhar comclasses de mesma-amplitude. Isto facilita sobremaneiraos cálculos posteriores.(2) Note que usamos para representar as classes, intervalosreais semiabertos a direita. Isto significa que o intervalocontém o limite inferior, masnão contém o limitesuperior, ou seja, o intervalo de classe 2 1- 4 contémos valores reais maiores ou iguais a 2 e menoresque 4.Desta forma, o último intervalo da série que é 8 1- 10não contém o valor 10. É por isso que não utilizamos aamplitude 7,5, pois se isto fosse feito, o limite superiorda última classe seria 9,5 e como o limite superior nãodeve pertencer a classe, o elemento 9,5 da sequênciaestatística original ficaria sem classificação.Como vamos utilizar este critério, precisaremos ajustarsempre o valor máximo da série ao definir a amplitudetotal.Outros critérios poderiam ser adotados como o interva-. lo real semiaberto a esquerda ou mesmo o intervaloreal aberto, mas nenhum destes critérios é melhor queo critério adotado.5. NÚMERO DE CLASSES: o número de classes a ser utilizadodepende muito da experiência do pesquisador e das questões que ele pretenderesponder com a variável contínua.Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio interessado ao longodesta exposição.Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz para adeterminação do número de classes.

Séries Estatísticas 23) CRITÉRIO DA RAIZSe a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por Knúmero de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz:Como o número K de classes deve ser necessariamente um númeroiteiro e como dificilmente 6, é um número inteiro, deixaremos como opçãoara o valor de K o valor inteiro mais próximo de fi, uma unidade a menos oumais que este valor.. No exemplo da tabela (2), n = 30 e conseqüentemente k = 1130 =,477, portanto o valor inteiro mais próximo de v% é 5. As opções para kntão são: 4 ou 5 ou 6.A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determinadada seguinte forma:8o portanto h = - = 2.4observe que a opção por quatro classes, foi feita em função de umvalor de h mais fácil de se operar.Se tivéssemos optado por cinco classes, o valor de h seria 8/5 = 1,6; sevéssemos optado por seis classes, o valor de h seria 8/6 = 1,3333 ...Veja que o melhor valor para se trabalhar em cálculos é o h = 2. Foi?or isto que optamos por quatro classes.Conhecendo-se o valor Xmin = 2 e a amplitude de classe h = 2, conclui-70s que o limite superior da primeira classe é 4. Portanto, a primeira classe ér! intervalo 2 1- 4. O limite inferior da segunda classe é 4. Somando-se azrnplitude de classe obteremos 6. Portanto, a segunda classe é 4 1- 6. A:srceira classe por analogia é 6 1- 8 e a quarta classe é 8 1- 10.6. FREQUÊNCIA SIMPLES DE UMA CLASSE fi: chama-se frequên-::a simples de uma classe ao número de elementos da sequência que sãoai ores ou iguais ao limite inferior desta classe e menores que o limite supe--3r desta classe.

24 Estatística 1No exemplo 2, a frequência simples da primeira classe é o número deelementos da sequência que são maiores ou iguais a 2 e menores que 4.Note que os valores da sequência nestas condições são os valores 3,2,5, 2, 3,5.Portanto, a frequência simples da primeira classe é 4.Da mesma forma determinamos as frequências simples das demaisclasses, completando o quadro representativo da variável contínua.COMENTÁRIO:Existem outros critérios para a determinação do número declasses, como por exemplo a fórmula de STURGES.Segundo STURGES, O número Kde classes é dado por:Para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais vantagensque o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximaçãodo valor de K.Como acreditamos que na prática a experiência do pesquisador é quena verdade vai determinar o número de classes, optamos pelo método maissimples que é o critério da Raiz.EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UMA VARIÁ VEL CONT~NUAUm teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada classede alunos de uma Faculdade deu origem a sequência de valoresPara a construção da variável contínua, devemos determinar o númerode elementos da sequência. Verificamos que a sequência possui n = 70 elementos.

Séries Estatísticas 25Pelo critério da raiz K = fi. No caso, K = .\170 = 8,37. O valor inteiroiis próximo é 8. Portanto, temos opção para construir a variável contínuam 7 ou 8 ou 9 classes.O maior valor da sequência é X , = 139 e o menor valor da sequên-[é Xmí, =61.Portanto, a amplitude total da sequência é At = 139 - 61 = 78. Notanto, sabemos que pelo fato de o critério adotado do intervalo de classer semi-aberto a direita, devemos ajustar o valor X,. Se ajustássemos'máx para 140, a amplitude ajustada passaria a ser At = 140 - 61 = 79. Este!alar não é divisível de forma inteira nem por 7 nem por 8 e nem por 9, queáo nossas opções de classes.Nesta situação devemos ajustar Xmáx para 141 obtendo a At = 141 -31 = 80 que é divisível exatamente por 8, obtendo-se ama amplitude do-itervalo de classe h dada por:Observe que o ajuste do valor Xmáx foi de duas unidades, passando de'39 para 141.A experiência do pesquisador, nesta situa~ão, o levaria a distribuir estesrro de duas unidades, iniciando a representação da série em 60 e terminan-29 em 140. A amplitude total ajustada para a série é: At = 140 - 60 = 80.O comprimento do intervalo de classe é h = 10 e o número de classesi K=8.Computando as frequências simples de cada classe, construímos a:ariável contínua representativa desta série.Classe12345678Intervalo declasse60 1 7070 1 8080 1 9090 1 1 O0100 1 110110 1 120120 1 130130 1 140fi156101219143A variável contínua é conceituada como uma representação tabular emx e colocamos na primeira coluna os intervalos de classe e na segundazz~luna os valores das frequências simples correspondentes.

26 Estatística 1A coluna "classe" tem a finalidade apenas de facilitar a referência asclasses, não fazendo parte da variável contínua.O quadro final tanto da variável discreta como da variável contínuarecebe o nome de distribuição de frequência.2.6 Exercícios Propostos1. Qual é o objetivo de agrupar os dados por frequência?2. O que é uma variável discreta?3. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de umavariável discreta ao se agrupar os dados por frequência?4. O que é uma variável contínua?5. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de umavariável contínua ao se agrupar os dados por frequência?6, Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade,revelou os seguintes valores:18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 1920, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 1819, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 1918, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 2018, 19, 19, 18, 20, 20, 18, 19, 18, 18Agrupe, por frequência, estes dados.7. Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscaisemitidas durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dólares:15.315,OO 23.440,OO 6.551,OO 13.253,OO 25.312,OO35.780,OO 42.320,OO 34.782,OO 27.435,OO 17.661,OO20.4 14,OO 23.3 13,OO 26.432,OO 30.5 15,OO 27.6 1 O, O08.598,OO 12.417,OO 22.300,OO 25.400,OO 21.200,OO16.820,OO 38.000,00 40.300,OO 15.800,OO 18.300,OO21.780,OO 32.414,OO 32.000,OO 18.700,OO 19.600,0022.540,OO 22.010,OO 30.000,OO 21.380,OO 24.780,OO29.000,OO 30.400,OO 12.3 19,OO 36.728,OO 36.483,OO27.312,OO 35.318,OO 18.620,OO 38.661,OO 40.681,OO19.302,OO 23.300,OO 21.350,OO 28.412,OO 21.313,OOAgrupe, por frequência, estes dados.8. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedoresautorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número dcunidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:

Séries Estatísticas 2710 15 25 21 6 23 15 21 26 329 14 19 20 32 18 16 26 24 207 18 17 28 35 22 19 39 18 2115 18 22 20 25 28 30 16 12 20Agrupe, por frequência, estes dados.9. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidadeselecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o númerode peças defeituosas. Obteve os seguintes dados:2 0 0 4 3 0 0 1 0 01 1 2 1 1 1 1 1 1 0o 0 3 0 0 0 2 0 0 11 2 0 2 0 0 0 0 0 0o 0 0 0 0 0 1 0Agrupe, por frequência, estes dados.10. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, emdeterminado dia, obtendo os seguintes saldos em dólares:52.500,OO 18.300,OO 35.700,00 43.800,OO 22.150,OO6.830,OO 3.250,OO 17.603,OO 35.600,OO 7.800,OO16.323,OO 42.130,OO 27.606,OO 18.350,OO 12.521,OO25.300,OO 3 1.452,OO 39.61 O, O0 22.450,OO 7.380,OO28.000,OO 21.000,OO 14.751,OO 39.512,OO 17.319,OOAgrupe, por frequência, estes dados.I (anos)xi1718192021Número de alunosfl3181784'. Uma solução com uma margem de erro mínima é:Classe1234567Valor da nota US$6.551 ,O0 1- 11.661 ,O011.661 ,O0 1- 16.771 ,O016.771 ,O0 1- 21.881 ,O021 .E81,O0 1- 26.991 ,O026.991 ,O0 1- 32.101 ,O032.1 O1 ,O0 1- 37.211 ,O037.211 ,O0 1- 42.321 ,O0Número de notasr,25131 O965

28 Estatística 1A, = 42.320,OO - 6.55 1,00 = 35.769,OOA, ajustada = 42.321.00 - 6.551,00 = 35.770,OOtK = v% 7 A melhor opção para dividir 35.770 é 7 * A = 5.1108. Uma solução com uma margem de erro mínima é:Classe1234567Número de carros5 1- 1 o10 1- 1515 1- 2020 1- 2525 1- 3030 1- 3535 1- 40Número de revendedoresf/331211632A,=39-6=33A, ajustada = 40 - 6 = 34, o que não é exatamente divisível por 6, nem por 7, nem por 8.Ajustamos a amplitude para 40 - 5 = 35 para distribuir o erro. Assim, A, ajustada é 35.Podemos optar por 5 ou por 7 classes. Obviamente, a melhor opção é por sete classes.Número de peçasdefeituosas por caixax/O.1234Número de caixasfi2812521ClasseNúmero de contas3.249,,00 I- 15.562,OO2 15.562,OO I- 27.875,OO 103 27.875,OO 1- 40.188,OO4 40.188.00 1- 52.501 ,O0 3A, ajustada 52.501 - 3.250 = 49.251, que não é divisível por forma inteira nem por 4, nem por 5 e nempor 6. Neste caso, consideramos a A, ajustada 52.501 - 3.249, para distribuir o erro. Assim:

Séries Estatísticas 292.7 Distribuição de Frequências - Variável DiscretaUma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de umadistribuição de frequência, ele poderá rapidamente obter algumas informaçõesadicionais e úteis para a compreensão da série, se considerar os seguintesconceitos:2.7.1 FREQUÊNCIA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE - f,É a divisão da frequência simples deste elemento pelo número total deelementos da série.Exemplo: Considere a variável discreta:O total de elementos desta série é 25. Portanto, a frequência relativa30 primeiro elemento distinto da série, que é 2, vale:A frequência relativa do segundo elemento distinto, que é 3, vale:Da mesma forma determinamos a frequência relativa dos elementosseguintes da série:

30 Estatística 1Note que estes valores representam a participação percentual de cadaelemento distinto na série. Assim, podemos fazer a interpretação: 12% dosvalores da série são iguais a 2; 28% dos valores da série são iguais a 3; 32%dos valores da série são iguais a 4; 24% dos valores da série são iguais a 6; e4% dos valores da série são iguais a 7.É a soma da frequência simples deste elementocom as frequênciassimples dos elementos que o antecedem.Desta forma, a frequência acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6 e 7valem respectivamente:Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma:- 3 elementos componentes da série são valores menores ou iguaisa 2.- 10 elementos componentes da série são valores menores ou iguaisa 3.- 18 elementos componentes da série são valores menores ou iguaisa 4.

Séries Estatísticas 31- 24 elementos componentes da série são valores menores ou iguaisa 6.- 25 elementos componentes da série são valores menores ou iguaisa 7.7.3 FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM ELEMENTO DASÉRIE - FR.IÉ a divisão da frequência acumulada deste elemento, pelo númeroal de elementos da série:Assim, a frequência acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e 7Aem respectivamente:Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma:- 12% dos valores da série são menores ou iguais a 2.- 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3.- 72% dos valores da série são menores ou iguais a 4.- 96% dos valores da série são menores ou iguais a 6.- 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7.Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a:e chamar distribui~áo de frequências. Para o exemplo estabelecido, a distri-I - So de frequências é:

32 Estatística 12.8 Distribuição de Frequências - Variável ContínuaNo caso da variável contínua, pelo fato de termos utilizado intervalosde classe, semi-aberto a direita, as interpretações são diferentes. Portanto,redefiniremos estes tipos de frequência.2.8.1 FREQDÊNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE - f,IÉ a divisão da frequência simples desta classe pelo número total deelementos da série.Exemplo: Considere a distribuição de frequência:Classe1234Int. cl.2 1 441 66 1 88 1 1 Ofi618106O total de elementos desta série é 40.Portanto, a frequência relativa da primeira classe é:

Séries Estatísticas 33A frequência relativa da segunda classe é:A frequência relativa da terceira classe é:é:f3 10f = - = - = 0,25 ou 25% e a frequência relativa da quarta classer3 n 40Observe que estes valores representam a participação percentual doselementos por classe. A interpretação para estes valores é:- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 2 e menores que4.- 45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que6.- 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que8.- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que10.2.8.2 FREQUÊNCIA ACUMULADA DE UMA CLASSE - FjÉ a soma da frequência simples desta classe com as frequênciassimples das classes anteriores.Desta forma, as frequências acumuladas para estas classes são:

34 Estatística 1Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrandoque são todos maiores ou iguais a 2.- 6 elementos da série são valores menores que 4.- 24 elementos da série são valores menores que 6.- 34 elementos da série são valores menores que 8.- 40 elementos da série são valores menores que 10.2.8.3 FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UMA CLASSE - FR.IÉ a divisão da frequência acumulada desta classe pelo número total deelementos da série:Deste modo, a frequência acumulada relativa para cada classe é:Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrandoque são todos maiores ou iguais a 2:- 15% dos valores da série são menores que 4.- 60% dos valores da série são menores que 6.- 85% dos valores da série são menores que 8.- 100% dos valores da série são menores que 10.Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa ase chamar distribui~ão de frequências. Para o exemplo estabelecido, a distribuiçãode frequências é:

~-~pSéries Estatísticas 35ClasseInt. cl.fif %'i5F %Ri12342 1 44 1 66 1 88 1 106181061545251562434401560851 O0Exercícios PropostosO que é amplitude total de uma sequência de dados?O que é limite inferior de uma classe?O que é frequência simples de um elemento?O que é frequência relativa de um elemento?O que é frequência acumulada de um elemento?O que é frequência acumulada relativa de um elemento?O que é frequência simples de uma classe?O que é frequência relativa de uma classe?O que é frequência acumulada de uma classe?O que é frequência acumulada relativa de uma classe?Construa a distribuição de frequências para a série representativa da idade de 50unos do primeiro ano de uma Faculdade.idade (anos)Xi171819202 1Número de alunosfi3181784I --cprefe os valores colocados na 3Vinha da distribui~ão de frequências doi --Yema anterior.-- -- - 1 molete o quadro.

36 Estatística 1Número deacidentes por diaxiO1234Númerode diasfi30531115. Interprete todos os valores da segunda linha da distribuição de frequências doproblema anterior.16. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa umaamostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.Classe12345Salários US$1.000,00 1- 1.200,oo1.200,OO 1- 1.400,OO1.400,OO 1- 1.600,OO1.600,OO 1- 1.800,OO1.800,OO 1- 2.000,OONúmero de funcionáriosfi261 O5217. Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuição de frequências doproblema anterior.18. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa o saldode 25 contas de pessoas fíçicas em uma agência em determinado dia.ClasseNúmero de funcionlrioso I- 10.000,0010.000,00 1- 20.000,003 20.000,OO 1- 30.000,OO4 30.000,OO 1- 40.000,OO 219. Interprete os valores da terceira linha da distribuição de frequências do problemaanterior.20. Complete o quadro de distribuição de frequências.Classe12345Int. cl.6 1- 1010 1- 1414 1- 1818 1- 2222 1- 26fi12f, YO25Fi14FR %90

Séries Estatísticas 37Idade (anos)xi171819202 1Número de alunosfl3181784frl %63634168FI321384650FRI %64276921 O0'2. Interpretações:19 - Há alunos nesta classe com 19 anos.'3.17 - Há 17 alunos nesta classe com 19 anos.34 - 34% dos alunos desta classe têm 19 anos.38 - Nesta classe há 38 alunos com 19 anos ou menos.76 - 76% dos alunos desta classe têm 19 anos ou menos.Número deacidentespor dia: xl -O1234Número de diasfl3053I1frl %7512,5732,s2.540$5. Interpretações:1 - Há dias em que ocorre um acidente por dia neste cruzamento.5 - Em cinco dias dos 40 observados, ocorreu um acidente por dia.12,5 - 12,5% dos dias observados ocorreu um acidente por dia.35 - Em 35 dias dos 40 observados ocorrereu um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento.87,5 - 87,5 % dos dias observados ocorreram um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento.' 6.ClasseSalários US$Número de frl % FI FRl %funcionáriosfi1 1.000,OO 1- 1.200,OO28 282 1.200,OO 1- 1.400,OO6 24 8 323 1.400,OO 1- 1.600,OO1 O 40 18 724 1.600,OO I- 1.800,OO5 20 23 925 1.800,OO 1- 2.000,OO28 25 1 O0FI3035383940FRi %7587,59597,51 O0

38 Estatística 117. Interpretações:18.4 - Estamos enfocando na ordem crescente a quarta classe de salários desta empresa.1.600,00 1-1.800.00 - 0s salários desta classe são maiores ou iguais a US$ 1.600,00 e menoresque US$1.800,00.5 - Há cinco funcionários com salários maiores ou iguais a US$ 1.600,00 e menores que US$1.800,OO.20 - 20% dos funcionários selecionados têm salários maiores ou iguais a US$1.600,00 e menores queUS$ 1.800,OO.23 - Há 23 funcionários entre os selecionados com salários menores que US$1.800,00.92 - 92% dos funcionários selecionados têm salários menores que US$ 1.800,OO.Classe1234Saldos10.000,OO 1-20.000,OO 1-30.000,OO 1-US$o I- 1 o.ooo,oo20.000,OO30.000,OO40.000,OONúmero decontasf,51 O82fr, %2040328FI5152325FRi %2060921 O019. Interpretações:3 - Estamos enfocando, na ordem crescente, a terceira faixa de saldos nas contas das pessoas físicas.20.000,OO 1-30.000,OO - Os valores desta faixa compreendem valores maiores ou iguais a US$20.000,OO e menores que US$30.000,00.8 - Há oito contas entre as pesquisadas com saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menoresque US$30.000,00.32 - 32% das contas pesquisadas têm saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menores que US$30.000,OO.23 - Há 23 contas entre as pesquisadas com saldos menores que US$30.000,00.92 - 92% das contas pesquisadas têm saldos menores que US$30.000,00.Int. cl.10 1-3 14 1- 18 8 404 18 1- 22 4 205 22 1- 26 2 1 O2.1 0 Representação Gráfica de Séries EstatísticasExistem muitas formas de se representar graficamente uma série estatística.Podemos citar entre elas: gráfico em linhas; em colunas; em barras, emsetores; em porcentagens complementares; gráficos polares; gráficos pictóricos,cartogramas etc.

Séries Estatísticas 39-10 entanto, a maioria deles são simplesmente gráficos de apresentacão,que o interessado com pequeno esforço poderá facilmente compreender.Nosso interesse estará completamente voltado para os gráficos deanálise da série estatística que são: Histograma, Polígono de frequência e acurva polida de frequência.Estas representações gráficas assumem aspectos diferenciados paravariável discreta e variável contínua.É um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordenadascartesianas que tem por base os valores distintos da série (xi) e por altura,valores proporcionais as frequências simples correspondentes destes elementos(fí).Exemplo: Se considerarmos a série:então o histograma assume a forma:fi t

40 Estatística 1É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um sistemade coordenadas cartesianas, cujas bases são os intervalos de classe ecujas alturas são valores proporcionais as frequências simples correspondentes.Exemplo: Se considerarmos a série:Classe12345Int. cl.o 1 22 1 44 1 66 1 88 1 1 Of,.36852então o histograma assume a forma:'i fi Observe que não colocamos o zero no eixo horizontal na origemdo sistema por uma questão de clareza da representação gráfica.Deixamos, intencionalmente, um espaço igual a um intervalo de classeno início e no final da representação gráfica.Se considerarmos este espaçamento inicial e final como sendo classesfictícias com frequência zero e unirmos os pontos médios das bases superioresdestes retângulos, obtemos uma nova figura chamada polígono defrequência.

Séries Estatísticas 41fi t0 2 4 6 8 1 0 lnt. cl.i Observe que a área do polígono de frequência é a mesma área do-,i~tograma.i Quando estamos lidando com um censo, o histograma representa!;retamente a distribuição de frequência da população, mas quando estamosdando com uma amostra, a histograma representa apenas a distribuição de-equência da amostra e não da população.No entanto, se imaginarmos o número n de elementos da amostraiumentando progressivamente, o número de classes iria aumentando pro-:ressivamente e a amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que-ansformaria o polígono de frequência praticamente em uma figura polida,:+amada curva polida de frequência.3920.Esta figura nos dará uma noção da distribuição de frequência da popu-0 2 4 6 8 1 0 lnt. cl.

42 Estatística 12.1 1 Exercícios Propostos1. Conceitue histograma para uma variável discreta.2. Conceitue histograma para uma variável contínua.3. Quando a série representa uma amostra qual é o principal objetivo da construçãodo histograma ?4. Construa um histograma para a distribuição de frequência:5. Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos doprimeiro ano de uma Faculdade:Idade (anos)Xl1718192021Número de alunosfl31817846. Construa um histograma para a série representativa do número de acidentes pordia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias:Número deacidentes por diaXlO1234Número de diasfi3053117. Construa um histograma para a série representativa de uma amostra dos saláriosde 25 funcionários selecionados em uma empresa.Classe12345Salários1.000,oo 1-1.200,OO 1-1.400,OO 1-1.600,OO 1-1.800,OO 1-US$1.200,oo1.400,OO1.600,OO1.800,OO2.000,OONúmero de funclon~riosfl2610528. Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.

Séries Estatísticas 43Construa um histograma para a série representativa do saldo de 25 contas depessoas físicas em uma agência em determinado dia.ClasseNúmero de contaso I-1 o.ooo,oo10.000,00 1- 20.000,0020.000,OO 1- 30.000,OO4 30.000,OO 1- 40.000,OO 2- 7 Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.

44 Estatística 1I .ooo,oo I .200,00 I .400,00 I .600,00 I .aoo,oo 2.000,00SaláriosI .I oo,oo 1.300,oo 1.500,oo 1.700,oo 1.900,ooSalários

Séries Estatísticas 45o I o.ooo,oo 20.oo0,oo 30.000,OO 40.000,OO Saldos

3f Medidas deTendência Central3.1 IntroduçãoNo estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumasmedidas que a caracterizam.Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informaçõesmuito valiosas com respeito a série estatística.Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação fornece-nosuma compreensão bastante precisa da série.Um destes valores é a medida de tendência central.É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendidoentre o menor e o maior valor da série. É também um valor em torno do qualos elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixohorizontal.Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer umnúmero no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra.As principais medidas de tendência central são: média, mediana emoda.No cálculo de várias medidas estatísticas, vamos utilizar somas de umgrande número de parcelas.Para facilitar a representação destas somas, introduziremos o conceitode somatório.3.2 Somatório - Notação Sigma (C )Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x, + x2+ ... + x, podemos codificá-la através da expressão:

Medidas de Tendência Central 471 ide:X - é utilizada para representar as operações de adição entre asparcelas.xi - é a parcela genéricaA parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em-:das as parcelas, no caso x. Para representar a parte variável em cadazsrcela, no caso os índices, utilizamos a letra i e indicamos a variação de i.'do exemplo i varia, segundo números inteiros consecutivos de 1 até n.)nA expressão C xideve ser lida "soma dos valores xi, para i varian-) de 1 até n." i= 1Para que uma soma possa ser representada por esta notação é funda-~ental que i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores2sdos. Assim, a soma:4X, + X2 + X4 # C XiExemplos:i= 1

48 Estatística 1Da mesma forma que codificamos a soma através da notação Sigma,podemos decodificar obtendo as parcelas componentes.Para obter a primeira parcela da soma: C (3xJi= 2basta substituir na parcela genérica 3x, a variável i pela valor indicado noextremo inferior, i = 2.A primeira parcela da soma é 3x2.Para obter a segunda parcela, basta substituir na parcela genérica 3x,a variável i por 3. A segunda parcela vale 3x3. A última parcela da soma éobtida quando substituímos na parcela genérica 3xi o valor de i por 4, que é ovalor indicado no extremo superior.A última parcela é 3x4.4Portanto, C (3x> = 3x2 + 3x3 + 3x4.i= 2Exemplos:433 33. C (x, b) = (x, - b) + (x2 - b13 + (x3 - b13, i= 1Apesar de ser apenas um código e não uma operação, a notaçãoSigma tem algumas propriedades que podem simplificar operações. Entreelas destacamos:

Medidas de Tendência Central 491. O somatório de uma soma é a soma dos somatórios.De fato, se desenvolvermos C (xi + yi) obtemos:i= 1nn2. O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios.A demonstração é análoga a anterior.3. O somatório do produto de uma constante por uma variável éo produto da constante pelo somatório da variável.Considerando a um número real qualquer e desenvolvendoobtemos:ni= I(a. x,),

50 Estatística 1nC (a. xi) = ax, +ax2+ax3+ ... +axn =i= 1 n= a. (x1 +x2+x3+... +xn) = a. C xii= 14, O somatório da divisão de uma variável por uma constante é adivisão do somatório da variável pela constante.De fato, desenvolvendonUm caso particular da notação Sigma é a representação de uma somacujas parcelas são todas iguais.Neste caso, as parcelas são constituídas por valores constantes e avariável iserá utilizada apenas para estabelecer o número de parcelas.O número de parcelas é determinado pela diferença entre o valor de iindicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, adicionando-seuma unidade.Assim, a soma 15 + 15 + 15 + 15 pode ser representado por:4 5 615 oupor C 15 oux 15i= 1 i= 2 i= 3--1 Notéque em todos os casos a diferença entre o valor de i indicado noextremo superior e o valor de i indicado no extremo inferior, acrescida de umaunidade conduz a 4, que é o número de parcelas.I

Medidas de Tendência Central 51Desta forma, 3 é constituída de (7 - 2) + 1 = 6 parcelas. Portanto:i= 2i Nas aplicações estatísticas estaremos sempre interessados nasoma de todos os valores da série. Portanto, i varia sempre de 1 a n econseqüentemente não precisaremos indicar na notação sigma a variação de i.Desta forma, identificaremos:Isto facilita a apresentação das fórmulas de cálculos.3.3 Exercícios PropostosI. Escreva na notação Sigma, as somas:a) xl+x2+x3+x4+x56) x3+x4+x5+xsc) (x, + 2) + (x* + 2) + (x3 + 2)d) (x,- 10)+(x2- 10)+(x3- 10)+(x4- 10)e) (xI - 3)2 + (x2 - 312 + (x3 - 3)'(x,-15ff,+(x2-15ff2+(x3-15ff32. Escreva as parcelas da soma indicada.

52 Estatística 13. Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas:I4. Usando as propriedades do somatório, desenvolva:5. Usando a tabela do problema 3, verifique que:

Medidas de Tendência Central 53SESPOSTAS3. a) C xi fi = 60 C xi C fi = 252. Portanto, xi fi # C xi fic) C 4 = 125 (C x$ = 441. Portanto, 4 + (C xj2

54 Estatística 13.4 MédiasDo ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculadospara uma massa de dados.Focalizaremos neste estudo as médias aritméticas geométricas e harmônicas.3.4.1 MÉDIA ARITMETICA SIMPLESPara uma sequência numérica X x,, x2, ......, x,simples, que designaremos por Xé definida por:a média aritmética2+0+5+3Exemplo: Se X 2, 0, 5, 3, então X =- 4Para uma sequência numérica X x,, x2: ...... , xn afetados de pesos p,,p2, ......., pn, respectivamente, a média aritmetica ponderada, que designaremospor X, é definida por:Exemplo: Se X: 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, então:

Medidas de Tendência Central 553.4.3 MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLESPara uma sequência numérica X xl, x2, ......, xn, a média geométricasimples, que designaremos por % é definida por:Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, então:3.4.4 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADAPara uma sequência numérica X: xl,x2, ..., X, afetados de pesos pl,c)2,..2 pn respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremospor Xg é definida por:Exemplo: Se X: 1, 2,5 com pesos 3, 3, 1 respectivamente, então:3.4.5 MÉDIA HARMONICA SIMPLESPara uma sequência numérica de elementos não nulos X: x,, x2, ..., x,,a média harmônica simples, que designaremos por %, é definida por:

Note que a média harmônica é o inverso da média aritmética dosinversos dos elementos.Exemplo: Se X: 2, 5, 10, então:3.4.6 MÉDIA HARMONICA PONDERADA. .Para uma sequência numérica de elementos não nulos X: xl, x2, ..., xnafetados de pesos pl, p2, ... p, respectivamente, a média harmônica ponderadaque designaremos por xh é definida por:

Medidas de Tendência Central 57Exemplo: Se X: 2, 4, 12 com pesos 3, 2,2 respectivamente, então:Observando-se que:1. A média harmônica aplica-se naturalmente quando se quer a obtençãode uma média cuja unidade de medida seja o inverso daunidade de medida dos componentes da sequência original.2. A média geométrica só é indicada para representar uma série devalores aproximadamente em progressão geométrica.3. Os casos anteriores não são muito frequentes nas aplicações. Vamosrestringir o desenvolvimento de médias ao caso de médiaaritmética, que é a média mais utilizada nas aplicações.I3.5 Cálculo da Média AritméticafTaso - DADOS BRUTOS OU ROLNeste caso, devemos utilizar uma média aritmética simples:Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20,Interpretagão: O valor médio desta série é 12, ou seja, os valoresdesta série concentram-se em torno do valor 12.

58 Estatística 12Taso - VARIÁVEL DISCRETASe os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências simplesfi como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes.C x, P,A fórmula de cálculo de Xque originalmente era 2 = 7rnser escrita como:L ripassa aExemplo: Determinar a média da distribuição:Solução: Inicialmente devemos somar a coluna de frequências simplespara obter o número total de elementos da série: C fi = 10 elementos.Em seguida, utilizamos a própria disposição da tabela para efetuar osprodutos xi f, acrescentando estes valores dispostos em uma nova coluna.Em seguida somamos os valores desta coluna.Na sequência substituímos estes valores na expressão Xobtendo:

Medidas de Tendência Central 59Interpreta~ão: O valor médio da série é 5,6, isto é, 5,6 é o ponto de::~centração dos valores da série.F Caso - VARIÁVEL CONT~NUASe os dados estão apresentados na forma de uma variável continua,-:-izaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências sim-: ss das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas: asses.O ponto médio, de cada classe é definido por:A fórmula de cálculo de Rque originalmente era 2 =sr escrita como:2 Xi Pi- passa aL PiExemplo: Determinar a média da distribuição:Classe1234Int. cl.2 1 55 1 88 1 1111 I 14fi11081Solu~ão: Inicialmente, devemos somar a coluna das frequências simples,obtendo fj. = 20.Na sequência, calculamos os pontos médios de classe: o ponto médioda primeira classe é = 3,5; O ponto médio da segunda classe é= 6,5; o ponto médio da terceira classe é = 9,5 e o ponto médio da211+14 quarta classe é 2- - 12,5.

60 Estatística 1Estes valores serão dispostos em uma nova coluna na tabela. Comono caso anterior, usaremos a própria tabela para a sequência de cálculos.Classe1234Int. cl.2 1 55 1 88 1 1111 I 14fi11081xi3,56,59,512,5xi fi3,5657612,5- xj fiPortanto, X = - - - 157 -7,8520C fiInterpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valorem torno do qual os elementos desta série se concentram.COMENTÁRIO: Quando agrupamos os dados na disposição de umavariável contínua, passamos a trabalhar com os dados sem conhecimento deseus valores individuais.Note no exemplo acima, que o máximo que podemos afirmar comrespeito ao menor valor desta série é que ele é um valor maior ou igual a 2 emenor que 5. Mas não conhecemos seu valor individualizado.O mesmo ocorre com todos os outros valores da série.Este fato é que nos leva a substituir as classes pelos seus pontosmédios ao calcular a média da série.3.6 Exercícios Propostos1. Calcule a média aritmética da série:(a)X: 1,2,8, 10, 12, 16,21,30.(b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.(c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.2. Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. Olote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos.Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,O; 3,5; 4; 5;5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?3. Calcule a média geométrica para as séries:X: 1, 2, 4, 7, 16Y: 81, 26, 10, 3, 1

Medidas de Tendência Central 612 Calcule a média harmônica da série:I Um produto é vendido em três supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg e $13,50/kg. Determine quantos $/kg se paga em média pelo produto.I Um produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $ 135/kg.Determine, em média quantos quilos do produto se compra com $1,00.- Calcule a média harmônica da série 130, 132, 135.? Calcr~le a média aritmética da série:I. Calcule a média geométrica da série anterior.' :. Calcule a média harmônica da série anterior.- Verifique pelos cálculos anteriores qual relação é válida entre estas médias.'2. Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializadadestes produtos vale respectivamente $200,00; $300,00; $500,00;$ 1.000,OO; $ 5.000,OO. A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada poresta loja?-3. Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kgcada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kgcada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50kg. (a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagensa caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passarápela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?1 '2. Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinadaFaculdade, em anos.

7-62 Estatística 1Idade (anos)Xl171819202 1NQ de alunosfl318178415. Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.Nqe acidentespor dia: x,O1234NQ de diasfr30531116. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadroabaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.Classe123456Salários $400,OO 1-500,OO 1-600,OO 1-700,OO 1-800,OO 1-900,OO 1-500,OO600,OO700,OO800,OO900,OO1.000,OONQ de funcionhriosr,1215831117. Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadroabaixo:Classe12345Aluguel $O I- 200,OO200,OO 1- 400,OO400,OO 1- 600,OO600,OO 1- 800,OO800,OO 1- 1 .OOO,OONQ de casasfl30522873Calcule o aluguel,médio para estas residências.18. Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mãode-obragasto na revisão completa de um motor de jato.O seguinte quadro foi obtido:Classe12345Tempo de mão-de-obra(horas)o I- 44 1- 88 I- 1212 1- 1616 1- 20No de motoresf~151 O124

Medidas de Tendência Central 63a) Determine o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revisãode cada motor.b) Com base nesta informação, qual deve ser o tempo total de mão-de-obra paraa revisão de dez motores que aguardam revisão?c) Se a empresa dispõe no momento de dois homens trabalhando 12 horas pordia nestas revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez motores emquatro dias??. Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levantamentodo consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo emdeterminado mês, a tabela:Classe123456Número de unidadesconsumidasO I- 1.0001.000 1- 2.0002.000 1- 3.0003.000 1- 4.0004.000 1- 5.0005.000 I- 6.000No de supermercadosDetermine o consumo médio deste produto'por supermercado pesquisado.13. Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, emtermos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foisubstituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso segundoa tabela:fi1 o5020032015030Classe12Aumento de pesoem kgo 1- 11 I-22 I- 33 1- 44 1- 5Ng de animaisfi15353728a) Calcular o aumento médio de peso por animal.b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médiode peso de 3.100 kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser consideradamais eficiente?1'. Refaça o problema anterior acrescentando a todos os limites de classe mais 2 kg.Compare a média com a média anterior,-1 =xercicios Especiais2. Prove que se X: x,, x2 ,,.., xn e a E R, então x + a = X + a13. Prove que se X: x,, x2 ,..., xn e a E R, então x - a = x - a22. Prove que se X: x,, x2 ,..., xn e a E R, então CX = a . F25. Prove que se X: x,, x2 ,..., xn , a E R e a # 0, então = 'Ya

64 Estatística 126. Mostre que a média geométrica simples X = 4 x, x2 ... xn também pode ser9calculada porZ ln xi- -X = e n9 C fi27. Mostre que a média geométrica ponderada kg = 4 x, '1 x,% . . . xnfn tambémpode ser calculada por:-XZ (f, ln X)= e "'i9 z xifi28. Mostre que a média ponderada 2 = - pode também ser calculada no casode uma variável continua pela fórmula: ' finonde: xo é o ponto médio de classe de uma classe qualquer escolhida.Iai são valores de uma nova variável obtidos pela transformação ai = - hEsta fórmula é chamada Processo Breve do Cálculo da Média.29. Calcule a média da tabela do problema 16, usando o Processo Breve.30. Calcule a média da tabela do problema 17, usando o Processo Breve.RESPOSTAS1. a) 12,5 b) 9,857 c) 8,1452. Sim. = 4,253. a) 3,8946 b) 9,12254. a) 9,6 b) 3,365. 13,33/kg6. O, 0075585 kg/$7. 132,3015kg8. 3,69. 3,4781 O. 3,35217. d12. 682,35/peça13. a) Não b) 6,385 kg14. 18,84 anos/aluno15. 0,45 ac/dia1 6. $572,5/f17. $335/res18. a)11,625h b) 116,25h C) não19. 3.342,l unid.20. a) 3.37 7 kg b) Sim.21. a) 5,311 kg. A m6dia da nova série é a média da série antiga acrescida de duas unidades.b) Sim.

Medidas de Tendência Central 65L xi na C xi--- +-=-+a=F+an n nDa mesma forma demonstram-se, usando propriedades do somatório, os próximos exercícios.- nX = 4 xl 3 . . . x, . Portanto,- 1In Xg = In (x, 3 . . . x,) n . Usando as propriedades do logaritmo:1ln Xg = - (ln x,+In %+...+h x,)n- ClnxiInX =- n. Aplicando a operação antilogaritmo, obtemos:- - C'i- . x = 4 x, '1 3% ... xntn . portanto,9-ln Xg = ln (x,'1 $5 .. x,'n)q . Usando as propriedades do logaritmo:- 1 fln X = - ln (xlfi~5 ... x,n) =g C'i- 1 f fIn Xg= -(In x,l+In x22+ ...+ Inx,'n)=C 'i- 1ln X = - (f, In x, f, + In x2 + ... + f, ln x,) =g Cf,- CfiInxjInX =- . Aplicando a operação antilogaritmo obtemos:g C'i- Z a, 5 xj xo23. X = xo + -. h. Como q = -, substituindo-se, obtém-se:L r;h1- [ h f xOC~+-C(xj-xJf,hhX=xo+.h =Cf,Cf,

66 Estatística 13.7 MedianaÉ um valor real que separa o rol em duas partes deixando a suaesquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a medianaé um valor que ocupa a posição central em uma série.Notação: A mediana será denotada por md3.8 Cálculo da Mediana1" Caso - DADOS BRUTOS OU ROLInicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos,obtendo o Rol.Em seguida determinamos o número n de elementos do Rol.1.1. Se n é impar - O Rol admite apenas um termo central queocupa a posição + " ' Y 0 valor do elemento que ocupa esta posição é a(71mediana.Exemplo: Determinar a mediana do conjunto:Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12,20, 20,23.O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é[F] 0 = 40.A mediana é o quarto elemento do Rol: md = 12.O valor 12 deixa a sua esquerda e à sua direita o mesmo número deelementos, sendo, portanto, o elemento central da série.Quando lidamos com sériss com urn grailde número de elementos, aquantidade de elementos à esquerda é â direita é aproximadamente 50% dototal de elementos, o que conduz a veguinie interpreta~ão genérica para amediana: "50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e50% dçzs valores da série são valor?s maiores ou iguais a 12".1.2. Se n é par - Neste caso, o rol admite dois termos centrais queocupam as posições ("/2)O e ("/2 + l)O. A mediana é convencionada comosendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais.

Medidas de Tendência Central 67.Exemplo: Determinar a mediana da série:X:7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13.Solução: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: X 7, 8, 9, 10, 13,-3, 15,21:O número de elementos é n = 8 (par).As posições dos termos centrais são: (8/2)" 44" e (8/2 + 1)" s5"O elemento que ocupa a quarta posição na série é 10 e o elementoz.ie ocupa a quinta posição é 13. Portanto,Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a-:,5 e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5.P Caso - VARIÁVEL DISCRETASe os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,5'ss já estão naturalmente ordenados.Assim, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ouizr e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior.Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a frequênsacumulada da série.Exemplo 1: Determinar a mediana da série:Solução: O número de elementos da série é n = C fi = 23 (ímpar).Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição341 o-)- = 129.2Construindo a frequência acumulada podemos localizar com facilidade: décimo segundo elemento da série.

68 Estatística 1Note que o elemento que ocupa a primeira posição na série é 2. Emseguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam nasérie as posições de segundo a quinto. Depois aparecem mais dez elementosiguais a 8 que ocupam na série as posições de sexto a décimo quinto.Conseqüentemente, o elemento que ocupa a décima segunda posiçãovale 8, e podemos afirmar que md= 8.Interpretação: 50% dos valores da série são menores'ou iguais a 8 e50% dos valores da série são maiores ou iguais a 8.Exemplo 2: Calcular a mediana da série:Solução: O número de elementos da série é 32 (par) e a série admitedois termos centrais que ocupam as posições: (32/2)" leO e (32/2 + l)o = 17°..Para localizar estes elementos, construímos a frequência acumulada da série.

Medidas de Tendência Central 692 3.As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos iguaisDa quarta a oitava posição os elementos são iguais a 1. Da nona a:+cima sexta posição os elementos são iguais a 2. Da décima sétima a- lésima sexta posição os elementos valem 3.Portanto, o elemento que ocupa a décima sexta posição é 2 e o ele--rnto que ocupa a décima sétima posição é 3 e, consequentemente, a me-: ma é:Interpreta@o: 50% dos valores da série são valoreqmenores ou iguaisi e 50% dos valores da série são valores maiores ou i&ais a 2,5.F Caso - VARIÁVEL CONT~NUASe a dados são apresentados na forma de uma variável contínua, o~ciocínio anterior não pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada azzsição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa estaixição não é identificável.Utilizaremos um exemplo, para generalizar a fórmula de cálculo da-ediana.Considere a distribuição de frequência:Classe12345Int. cl.3 1 66 1 99 1 1212 1 1515 1 18fj25831O número de elementos da série é n = Ç fí = 19.A mediana, por definição, separa o número de elementos da série emdois grupos, contendo cada um deles 50% dos elementos.Portanto, a posição da mediana na série é "/2. No exemplo (I%)" 9,5".,O valor decimal 9,5 indica que a mediana é um elemento posicionadorntre o nono e o décimo elemento da série.

70 Estatística 1Construiremos a frequência acumulada para identificar em qual classeestão situados o nono e o décimo elemento da série.Classe12345Int. cl.3 1 66 1 99 1 1212 1 1515 1 18fi25831fA27151819Note que o nono e o décimo elementos estão posicionados na terceiraclasse, o que indica que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12. Aclasse que contém a mediana será identificada como classe mediana.Este intervalo de três unidades contém oito elementos. Supondo queeles estão uniformemente distribuídos neste intervalo, então poderemos dividireste intervalo de modo proporcional a posição da mediana na série.15-7 9,5-7Ou seja: -- -. Simplificando:3 XPortanto:md=9+xObservando na fórmula em destaque acima que:- 9 é o limite inferior da classe mediana.- 9,5 é a metade dos elementos da série, isto é, "/2.- 7 é a frequência acumulada da classe anterior a classe mediana.- 8 é a frequência simples da classe mediana.

Medidas de Tendência Central 71- 3 é a amplitude do intervalo de classe, poderemos generalizar afórmula de cálculo da mediana para variável contínua:- limite inferior da classe mediana.Im,n - número de elementos da série.Fant- Frequência acumulada da classe anterior a classe mediana.- frequência simples da classe mediana.fmdh - amplitude do intervalo de classe.COMENTÁRIO: Devido as condições impostas na obtenção da fórmuada mediana, fica evidente que o valor obtido pela fórmula é um valorzproximado do verdadeiro valor da mediana da série.De modo geral, todas as medidas calculadas para uma variável contíluaserão valores aproximados para estas medidas, uma vez que ao agrupar-70s os dados segundo uma variável contínua, há perda de informações quan-:3 a identidade dos dados.3.9 Exercícios Propostos. Calcule a mediana da sequência:a) X:2,5,8, 10, 12, 15,8,5, 12b) Y:3,4;5,2;4,7;6;8,4;9,3;2,1;4,82. Interprete os valores obtidos no exercício anterior.3. Calcule a mediana da distribuição.

72 Estatística 14. Calcule a mediana da distribuição do número de acidentes por dia, observados emdeterminado cruzamento, durante 40 dias.por diade dias4 15. Interprete o valor da mediana obtida no problema anterior:6. Calcule a mediana para a série representativa da idade de 50 alunos de umaclasse do primeiro ano de uma Faculdade.7. Inferprete o valor obtido para a mediana no problema anterior.8. Uma máquina produz peças que são embaladas em caixas contendo 48 unidades.Uma pesquisa realizada com 59 caixas, revelou a existência de peças defeituosasseguindo a tabela:NQ de peçasdefeituosaspor caixao12345Número decaixas201512642Determine o valor mediano da série.9. Interprete o valor obtido no problema anterior.10. Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de25 funcionários selecionados em uma empresa.

IMedidas de Tendência Central 73Classe Salários $ N P de funcionários1 .ooo,oo 1- 1.200,oo01.400,OO 1.200,OO 1- 1.400,OO 1.600,OO 104 1.600,OO 1- 1.800,OO 55 1.800,OO 1- 2.000,OO 2' '. Interprete o valor mediano obtido no problema anterior.-2. Uma loja de departamentos, selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante umdia, e obteve o seguinte quadro:Classe123456Consumo por nota $O I-5050 1- 1 O0100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300No de notas1 O2812211Determine o valor mediano da série.- 3. Interprete o valor obtido.-4 O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumentode produtividade de seus vendedores, resolveu, premiar com um aumento de5% no salário, a metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez umlevantamento de vendas semanais, por vendedor, obtendo a tabela:Classe Vendas $ N P de vendedores10.00010.000 1- 20.0003 20.000 1- 30.000 274 30.000 1- 40.000 315 40.000 1- 50.000 1 OA partir de qual volume de vendas o vendedor será premiado?- -2. O consumo de energia elétrica verificado em 250 residências de famílias da classemédia, com dois filhos, revelou a distribuição:Classe1234567Consumo kwhO I-5050 1- 1 O0100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300300 1- 350NQ de familias2153247508024Calcule a mediana da distribuição.' 3. Interprete o valor obtido.

74 Estatística 1RESPOSTAS1. a)m,=8 b)m,=52. a) 50% dos valores da série são menores ou iguais a 8 e 50% são valores maiores ou iguais a 8.b) 50% dos valores da série são menores ou iguais a 5 e 50% dos valores da série são maiores ouiguais a 5.3. m, = 5.4. md= O5. Em 50% dos dias observados não ocorreu acidente e em 50% dos dias observados ocorre O ou maisacidentes por dia.6. md=19.7. 50% dos alunos desta sala tem 19 anos ou menos e 50% têm 79 anos ou mais.9. 50% das caixas contêm uma ou nenhuma peça defeituosa e 50% contêm uma ou mais peças defeituosas.10. md=$ 1.490.11. 50% dos funcionários desta empresa recebem $1.490 ou menos e 50% recebem $1.490 ou mais.12. m, = $80,36.13. 50% das notas apresentavam consumo menor ou igual a $ 80, 36 e 50% apresentavam consumomaior ou igual a $80,36.14. md=$30.161,2915. md = 229 Kwh.16. 50% das residências da classe m6dia com dois filhos consomem 229 kwh ou menos e 50% consomem229 kwh ou mais.3.10 ModaÉ o valor de maior frequência em um conjunto de dados.Nota~ão: A moda será denotada por m,.3.1 1 Cálculo da Moda1" Caso - DADOS BRUTOS OU ROLBasta identificar o elemento de maior frequência.Exemplos:1. X:2,8,3,5,4,5,3,5,5,1O elemento de maior frequência é 5. Portanto, m,unimodal.5. É uma sequência

Medidas de Tendência Central 75Esta sequência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como ele--o~tos de maior frequência. Portanto, mo = 6 e mo = 10. É uma sequência: -odal.Poderemos encontrar sequências trimodais, tetramodais e assim 'su---e-,=sivamente. Estas sequências serão chamadas de forma genérica por se-:: 3ncias polimodais.Observe que todos os elementos da série apresentam a mesma fre-113ncia.Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior--lquência, e diremos que a série é amodal.P Caso - VARIÁVEL DISCRETAEste caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável1 screta, as frequências já estão computadas na segunda coluna. Basta identi-'xr o elemento de maior frequência.Exemplos:A maior frequência observada na segunda coluna é 8 e corresponde20 elemento 3 da série. Portanto é, uma série unimodal com mo = 3.2.

76 Estatística 1A maior frequência observada na segunda coluna é 5 e correspondeaos valores 2 e 4. Portanto, é uma série bimodal com mo = 2 e mo= 4.Observe que todos os elementos da série possuem a mesma frequência.Portanto, a série é amodal.Para determinar a moda de uma variável contínua, podemos optar porvários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda deKing e a moda de Czuber.1" Processo: MODA DE PEARSONSegundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtidaatravés do valor da média e da mediana:Classe Int. cl. fj1 o 1 1 o 12 10 1 20 33 20 1 30 64 30 1 40 2

Medidas de Tendência Central 77Solupão:Cálculo da média:Classe1234Int. cl.0 1 1010 1 2020 1 3030 1 40fi1362xi5152535xi fj54515070Cálculo da mediana:Classe1234Int. cl.o 1 1010 1 2020 1 3030 1 40fi1362Fi141 O12A mediana corresponde ao sexto elemento da série. o sexto elementoia série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale:

78 Estatística 1Conseqüentemente:Note que a moda está situada na terceira classe que é a classe demaior frequência da série.A classe de maior frequência será chamada de classe modal.2" Processo: MODA DE KINGKING levou em consideração, em sua fórmula, a frequência simples daclasse anterior e a frequência simples da classe posterior a classe modal.onde:Imo - limite inferior da classe modal.fpost - frequência simples da classe posterior a classe modal.fant - frequência simples da classe anterior a classe modal.h - amplitude do intervalo de classe.Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuição:Classe1234Int. cl.o 1 1 o10 1 2020 1 3030 1 40fj1362Solução: A classe modal é a de maior frequência portanto é a terceiraclasse e a moda vale:2mo = 20 + -.I0 = 243+2~ Interpretação: 24 é o valor mais frequente nesta distribuição.

Medidas de Tendência Central 793" Processo: MODA DE CZUBERCZUBER levou em consideração, em sua fórmula a frequência simplesda classe anterior, a frequência simples da classe posterior, além da frequênciasimples da classe modal.É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King.onde:Imo- limite inferior da classe modal.fmo - frequência simples da classe modal.fant - frequência simples da classe anterior a classe modal.fpost - frequência simples da classe posterior a classe modal.h - amplitude do intervalo de classe.Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuição:Classe1234Int. cl.o 1 1010 1 2020 1 3030 1 40fj1362Soluqão: A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:Interpreta~áo: 24,29 é o valor mais frequente nesta distribuição.COMENTÁRIO: A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico.Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula dePearson é a mais trabalhosa.A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.A fórmula de Czuber é mais precisa que a fórmula de King, pois levatambém em consideração a frequência da classe modal.

80 Estatística 1Observe que no exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três processosdeterminou três valores diferentes.É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verdadeirovalor da moda.Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber.As fórmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo semelhante,com o histograma da distribuição.a) Fórmula de KingIdentifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (frequência)e caracteriza-se a seu limite inferior I e seu limite superior Lmomo'Projeta-se a frequência da classe posterior na reta representativa dafrequência da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se apartir do L no sentido vertical, uma distância igual a frequência da classemo'anterior obtendo o ponto B.O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontalno-ponto P, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes.Se chamarmos a prime.ira parte de x, então a segunda parte será h - x.

Medidas de Tendência Central 81Assim, observando a figura concluímos que:Como os triângulos ACP e PDB são semelhantes (A, A, A), os lados530 proporcionais.Então,AC X -DB h-x'Usando propriedade das proporções, podemos afirmar:de onde conclui-se que:Lembrando que AC = fpOst e que DB = Gnt, obtém-seX =fpoçt.hfant + fpoçtSubstituindo o valor de x na expressão mo = I + x obtém-se:mo

82 Estatística 1Imo M Lmo Int. cl.Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior I e omoseu limite superior L .mnUnindo-se os pontos A e D e os pontos B e C, os segmentos de retadeterminados se interceptam no ponto P.Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal obtendoo ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes.Se chamarmos a primeira parte de x, então a segunda parte será h - x.Estes valores correspondem as alturas dos triângulos ABP e CDPrespectivamente. *Como estes triângulos são semelhantes (A, A, A), os lados e as alturassão proporcionais. Então:AB X -CD h-x'Usando a propriedade das proporções, podemos afirmar:

Medidas de Tendência Central 8313 onde se conclui que:Lembrando que AB = AE - BE = f - fant e que CD = CF - DF =- fp, , obtém-se: moIfmo - fantIx = h =fmo - fant+ fmo - fpostmo- fant*fmo - (hnt+ $os>.hComo a moda é identificada como sendo o ponto M da figura, poderiosafirmar que:Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expressão, amoda fica escrita:m = I,fmo - ( fant + fpost)OBSERVAÇÃO: Se a classe modal for a primeira classe, então fant = Oe se a classe modal for a última então fpost = 0.3.12 Utilização das Medidas de Tendência CentralNa maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidasde tendência central.Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizaro centro da série.Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?

84 Estatística 1A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioriados dados da série.Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, amediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delasrepresentará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá naprática.Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série econseqüentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da sérieque se situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação aovalor da medida não serão bem representados por ela.Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados emsua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas emsua área central representando bem a série como na figura a). Como a maisconhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. Concluindo,devemos optar pela média, quando houver forte concentração dedados na área central da série.iSe uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, amediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representandobem esta concentração. A média que é fortemente afetada por algunsvalores posicionados no final da série se deslocará para a direita destaconcentração não a representando bem.Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta seráa medida indicada neste caso.A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração dedados em seu final.Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentraçãode dados no início ou no final da série.A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenasem séries que apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja frequênciaé muito superior a frequência dos outros elementos da série.

Medidas de Tendência Central 853.1 3 Exercícios Propostos. Calcule a moda das séries abaixo:a) X:2,3,5,4,5,2,5,7b) Y:4, 12,5, 9, 12,4, 3c) J: 7, 7, 7, 7, 7d) Z:4,5,6,6, 6, 7,8,8,8,9, 10, 10, 10, 11e) t:2 5, 9, 8, 10, 12.2. Interprete os valores obtidos na 1 "uestão.3. Calcule a moda da distribuição:4. Interprete o valor obtido no problema anterior:5. Calcule a moda da série:6. Calcule a moda da distribuição do número de acidentes diários, observados emum cruzam-ento, durante 40 dias:NQ de acidentespor diaO1234NQ de dlas3053117. Interprete o valor obtido no problema anterior.8. Calcule a moda da série representativa da idade de 50 alunos de uma classe deprimeiro ano de uma Faculdade:Idade (anos) N Q de alunos209. Interprete o valor obtido no problema anterior.

86 Estatística 110. Calcule a moda de King para a distribuição representativa dos salários de 25funcionários selecionados em uma empresa.Classe Salários $ NQde funcionários1 .ooo,oo 1- 1.200,oo1.200,OO 1- 1.400,OO1.400,OO 1- 1.600,OO 1 O4 1.600,OO 1- 1.800.00 55 1.800,OO 1- 2.000,OO 211. Calcule a moda de Czuberpara a tabela do problema anterior.12. Interprete o valor da moda obtida no problema anterior.13. Calcule a moda de King para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidasna mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:Classe123456Consumo por nota $O 1- 5050 1- 1 O0100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300No de notas10281221114. Calcule a moda de Czuber para a tabela do problema anterior.15. Interprete o valor obtido no problema anterior.16. Calcule a moda de Czuber para a distribuição abaixo que representa a nota de 60alunos em uma prova de Matemática:Classe Notas NQ de alunos4 1-4 6 1- 208 1- 1 O 317. Interprete a moda de Czuber do problema anterior.18. A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho, por dia, emuma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a Moda de Czuberpara a distribuição.Classe11 4 6,8NQde acidenteso I- 22 1- 44 1- 6NQ de dias2063119. Interprete o valor obtido no problema anterior.

Medidas de Tendência Central 8720. A distribuição abaixo representa as alturas de 70 alunos de uma classe. Calcule amoda de Czuber para esta distribuição:Classe123456Alturas (cm)150 1- 160160 1- 170170 1- 180180 1- 190190 1- 200200 1- 21 ONQ de alunos215181816121. Interprete o valor obtido no problema anterior.22. A distribuição abaixo representa o consumo, em kg, de um produto colocado emoferta em um supermercado, que limitou o consumo máximo por cliente em 5 kg.Calcule a Moda de King.N" de clientes2 1-4 3 1- 325 4 1- 5423. Calcule a Moda de Czuber para a tabela do problema anterior.24. Interprete o valor obtido no problema anterior.25. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema5?26. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema6?27. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema13?28. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema16?29. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema10?'30. Qual é a medida de tendência central que melhor representa a série do problema20?RESPOSTAS1.a) mo =5b) mo = 4; mo = 12C) mo= 7d) m,=6;m0=8;m0=10e) Amodal.

88 Estatística 12. a) O valor rnais frequente da série X é 5.b) Os valores mais frequentes da série Y são: 4 e 12.c) O valor mais frequentes da série W é 7.d) Os valores mais frequentes da série Zsão: 6, 8 e 10.e) A série não admite um elemento mais repetitivo.3. mo =34. O valor mais frequente da série é 3.5. mo =5;mo = 66. mo=O7. O número de acidentes mais frequente neste cruzamento é zero.8. m0=189. A idade mais frequente nesta sala é 18 anos.10. mo = $ 1.490,91.11. mo=$ 1.488,89.12. O salário mais frequente entre os funcionários selecionados é $ 1.488,89.13. mo = $77,27.14. mo=$76,47.15. O consumo, por nota, mais frequente é $76,47.16. m0=3,30;m0=6,64.17. As notas mais frequentes nesta prova foram 3,30 e 6,64.18. mo= 1,18.19. O número de acidentes mais frequente por dia nesta indústria é 1,18.20. mo = 180.21. A altura mais frequente nesta sala é 180 cm.22. mo = 4.23. mo = 4,29.24. O consumo rnais frequente por cliente é 4,29 kg.25. Média.26. Moda.27. Mediana.28. Média.29. Média.30. Média.

4/ Medidas Separa trizes4.1 ConceitosSão números reais que dividem a sequência ordenada de dados em=.artes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.Desta forma, a mediana que divide a sequência ordenada em doisgrupos, cada um deles contendo 50% dos valores da sequência, é tambémJma medida separatriz.Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremossão: quartis, quintis, decis e percentis.Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma ficará com35% de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são chamados quartis.Assim, o primeiio quartil, que indicaremos por Q1, separa a sequência~denada deixando 25% de seus valores a esquerda e 75 % de seus valores ajireita.O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a sequência ordeiada,deixando 50% de seus valores a esquerda e 50% de seus valores adireita.Note que o Q2 é a mediana da série.O terceiro quartil, que indicaremos por Q3, separa a sequência ordenadadeixando a sua esquerda 75% de seus elementos e 25% de seus elementosa direita.Se dividirmos a sequência ordenada em cinco partes, cada uma ficarácom 20% de seus elementos.0s elementos que separam estes grupos são chamados quintis.Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1, separa a sequênciaordenada, deixando a sua esquerda 20% de seus valores e a sua direita 80%de seus valores.De modo análogo são definidos os outros quintis.

90 Estatística 1Se dividirmos a sequência ordenada em dez partes, cada uma fic2-Ecom 10% de seus valores.Os elementos que separam estes grupos são chamados decis.Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1 separa a sequênc'rordenada, deixando a sua esquerda 10% de seus valores e 90% de sec:valores a direita.De modo análogo são definidos os outros decis.Se dividirmos a sequência ordenada em 100 partes, cada uma ficar?com 1 % de seus elementos.Os elementos que separam estes grupos são chamados centis OLpercentis.Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por P1, separa a sequênciaordenada deixando a sua esquerda 1% de seus valores e 99% de seusvalores a direita.De modo análogo são definidos os outros percentis.Note que o Q4, K5, DI.? Plo0 são elementos que deixam a sua esquerda100% dos valores da sequencia ordenada e correspondem diretamente aoúltimo valor da sequência.Se observarmos que os quartis, quintis e decis são múltiplos dos percentis,então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas asoutras medidas podem ser identificadas como percentis.Desta forma:4.2 Cálculo das Medidas Separatrizes12 Caso - DADOS BRUTOS OU ROLRol.Devemos ordenar os elementos, caso sejam Dados Brutos obtendo o

1 Medidas Separatrizes 91Identificamos a medida que queremos obter com o percentil correspon-:ente, Pi.Calculamos i % de n, ou seja,?o Rol.para localizar a posição do percentil iEm seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição.Note que se for um número inteiro, então Pi que estamos procuran-3'0 identificar é um dos elementos da sequência ordenada.Se não for um número inteiro, isto significa que o Pi é um elemento100itermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por'alta e por excesso do valor S. Neste caso, o Pi é definido como sendo anédia dos valores que ocupam estas posições aproximadas.Exemplo 1. Calcule o Q1 da sequência X: 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12,11, 13, 15.Solução: Ordenando a seqüência, obtemos o Rol:do:X 1,2, 5, 5,5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.Identificamos Q1 = P25.Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série obten-Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é O terceiroelemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol obtém-se 5.Portanto, Q1 = PZ5 = 5.Interpretação: 25% dos valores desta sequência são valores menoresou iguais a 5 e 75 % dos valores desta sequência são valores maiores ouiguais a 5.do:Exemplo 2. Calcule o KJ da sequência X: 2; 8; 7,5; 6; 10; 12; 2; 9.Solução: Ordenando a seqüência. obtemos: X: 2; 2; 6; 7,5; 8; 9; 10; 12.Identificamos K3 = PC0.Calculamos 60% de 8, que é o número de elementos da série, obten-Este valor não-inteiro indica que o P60 é um valor situado entre oquarto e o quinto elemento da sequência.

92 Estatistica 1Observando diretamente no Rol, os elementos que ocupam a quarta ea quinta posição obtemos 7,5 e 8. Portanto,Interpretação: 60% dos valores da sequência são valores menores ouiguais a 7,75 e 40% dos valores da sequência são valores maiores ou iguais a7,75.Note que se o número de elementos da sequência for menor que 100?alguns percentis podem coincidir em valores tornando estas interpretaçõesnão totalmente verdadeiras.2Waso - VARIÁVEL DISCRETASe os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,eles já estão naturalmente ordenados.Identifica-se a medida que queremos obter com o percentil correspondente:P,Iix nCalcula-se i% de n ou seja, - para localizar a posição do percentil i1 O0na série.Em seguida utilizamos a frequência acumulada da série para localizaro elemento que ocupa esta posição.O valor deste elemento é o Pi.Exemplo I. Calcule o D4 para a série:Solução: O número de elementos da série é Z fi = 24Identificamos D4 = P40 e calculamos 40% de 24, ou seja,

Medidas Separatrizes 93IIEsta posição não-inteira significa que o P40 é um valor compreendidoi-tre o nono e o décimo elemento da série.Construindo a frequência acumulada:zbservamos que o nono elemento é 5, e o décimo elemento também é 5.5+5Assim, D4 = P40 = - = 5.2Interpretação: 40% dos valores desta série são valores menores ouguais a 5 e 60% dos valores desta série são valores maiores ou iguais a 5.3" Caso - VARIÁVEL CONT~NUASe os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua,eles já estão naturalmente ordenados e o número de elementos da série én= E$.Para se obter uma fórmula geral para o cálculo dos percentis, vamosgeneralizar a fórmula da mediana:Identificando md = P50, podemos obter uma fórmula particular para o'50-Note que a classe que contém a mediana é a mesma classe quecontém o P50.Portanto, identificamos o limite inferior da classe que contém a Mediana(I ) com o limite inferior da classe que contém o PS0 (I5&.md

94 Estatística 1n50 x nO termo - pode ser representado na linguagem do PS0 como -2 100 'A frequência simples da classe mediana (f ) é a mesma frequênc 2mdsimples da classe que contém o P50 (f50).A frequência acumulada da classe anterior a classe mediana (F,,,) é Ffrequência acumulada da classe anterior a classe que contém o PS0. ES'Ftermo não se modifica, assim como h, que é a amplitude do intervalo c:classe.Assim, a fórmula da mediana, adaptada para a linguagem do P50 podcser escrita:Substituindo-se 50 pelo índice i, generalizamos a fórmula para o cálculode qualquer percentil:onde:Pi - Percentil i (i= 1, 2, 3, ... ,99).li - limite inferior da classe que contém o percentil i.n - número de elementos da série.Fant - frequência acumulada da classe anterior a classe que contém oPi.fi - frequência simples da classe que contém o percentil i.h - amplitude do intervalo de classe.Exemplo: Calcule o Q3 da série:Classe12345Int. cl.0 1- 1010 1- 2020 1- 3030 I--- 4040 1- 50fi1618243512

Medidas Separatrizes 95O número de elementos da série é dado por C fi= 105. Identificamosixn -xe:Iniciamos o cálculo do valor P75 lembrando que neste caso i = 75 e--ixn-75x1051 O0 1 O0= 78,75.Isto nos dá a posição do P75 na série.Construindo a frequência acumulada da série obtemos:Classe12345Int. cl.O I- 1010 1- 2020 I- 3030 I- 4040 1- 50fi1618243512Fi16345893105A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na série é3 quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.Substituindo os valores indicados na fórmula, obtém-se:Portanto Q3 = P75 = 35,93Interpretação: 75% dos valores da série são menores ou iguais a 35,93e 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 35,93.4.3 Exercícios PropostosI. Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam a esquerdade cada uma das medianas separatrizes:a) 0, b) Q, c) K, d) D2 e) K3) os S) K4 h) Q2 0 D8 P70

96 Estatistica 1 12. Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam a direitacada uma das medidas separatrizes:a) D4 b, '80 c) Q3 d) K2e) p20 f) D5 g) Q1 h) p23. Qual é o percentual de elementos de uma série ordenada que se situam entre:a) Ql eQ3b, P10eP90C) D2 e D6d' Q1eK3e) D3e K40 K2eDg9) K3 e Q34. Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos que se situam:a) Acima do PZob) abaixo do K3c) acima do Q3d) abaixo do Pgoe) entre o Pl o e o PBOf) entreoQ1eQ3g) entre o Q3 e PBoh) entre o PgO e Pg25. Dada a série X: 3, 15, 6, 9, 10, 4, 12, 15, 17, 20, 29, calcule:a) Q1 b, K2 c) O4 4 Q3 e) '906. A distribuição de frequência abaixo representa idade de 50 alunos de uma classede primeiro ano de uma Faculdade.Idade (anos) Ng de alunos2021Calcule:a) Ql b) K3

Medidas Separatrizes 977. A distribuição de frequência abaixo representa o consumo por nota de 54 notasfiscais emitidas durante um dia em uma loja de departamentos.Classe12345' 6Calcule:Consumo por nota US$O I- 5050 1- 1 O01 O0 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300No de notas1 O2812211a) Q, 6) K, c) 03d) Q3 e) D7 0 "988. Interprete os valores obtidos no problema anterior.9. Tomando como amostra a tabela do problema ne 7, o gerente desta loja dedepartamentos decidiu premiar a nível promocional com um brinde, 10% dosfregueses que mais consumirem, nos próximos 30 dias. A partir de qual valor deconsumo da nota fiscal os clientes seriam premiados?10. Uma empresa estabelece o salário de seus vendedores com base na produtividade.Desta forma, 10% é fixo e 90% são comissões sobre venda. Uma amostra desalários mensais nesta empresa revelou o quadro abaixo. Se a empresa decidir; anível de incentivo, fornecer uma cesta básica para 5% dos vendedores que piordesempenho tiveram durante o próximo mês com base nesta amostra, qual será omaior salário que receberá esta cesta básica?Classe123456Salários US$70 1- 120120 1- 170170 1- 220220 1- 270270 1- 320320 1- 370No de vendedores82854321261 I. A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora na primeirasemana de março.Classe123456Preço unitário US$O 1- 1 O10 1- 2020 1- 3030 1- 4040 1- 5050 1- 60NQde livros comercializados4.00013.50025.60043.24026.8001.750Determine:a) Q1 b) Q3 C) "90 4 P1O12. Interprete os valores obtidos no problema anterior.

98 Estatística 113. A tabela abaixo representa o número de faltas anuais dos funcionários de urrempresa.NQ defaltaso12345678Determine:NQ deempregados20425312584401432a) D3 b) K3 C) '90d) Q3 e) Q1 PIO14. Interprete os valores obtidos no problema anterior.15. Uma amostra do tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte distribuição:NQ de horas (vida útil)O I- 1 O01 O0 1- 200200 1- 300300 1- 400400 1- 500500 1- 600NQ de peças64286127648Se o produtor deseja estabelecer uma garantia mínima para o múmero de horasde vida útil de uma peça, trocando a peça que não apresentar este númeromínimo de horas, qual é a garantia, se ele está disposto a trocar 8% das peças?RESPOSTASa) 10% b) 25% c) 20% d) 20% e) 60%f) 75% g) 80% h) 50% i) 80% j) 70%a) 60% b) 20% c) 25% d) 60%e) 80% f) 50% g) 75% h) 98%a) 50% b) 80% c) 40% d) 35%e) 50% f) 40% g) 15%a) 144 b) 108 c) 45 d) 162e) 126 f) 90 9) 9 h) 4a) 5 b) 9,5 C) 9,5 d) 16 e) 18,5a) 18 b) 19 c) 18 d) 19 e) 21a) 56,25 b) 70,71 c) 61,07d) 11442 e) 99,64 f) 246a) 25% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$56,25 e 75% indicavam consumo maiorou igual a US$56,25.

i7Medidas Separatrizes 99j3Icb) 40% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$70,71 e 60% indicavam consumo maiorou igual a US$70,71.c) 30% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$61,07 e 70% indicavam consumo maiorou igual a US$61,07.d) 75% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$ 110,42 e 25% indicavam consumomaior ou igual a US$ 110,42.e) 70% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$99,64 e 30% indicavam consumo maiorou igual a US$99,64.f) 98% das notas indicavam consumo menor ou igual a US$246,00 e 2% indicavam consumo maiorou igual a US$246,00.. US$ 144,17..O. US$113,75.*I. a)US$24,38 b)US$39,96c) US$46,37 d) US$15,5572. a) 25% dos livros vendidos tinham preço unitário menor ou igual a US$ 24,38 e 75% dos livrosvendidos tinha preço unitário maior ou igual a US$24,38.b) 75% dos livros vendidos tinham preço unitário menor ou igual a US$ 39,96 e 25% dos livrosvendidos tinham preço unitário maior ou igual a US$39,96.c) 90% dos livros vendidos tinham preço unitário menor ou igual a US$ 46,37 e 10% dos livrosvendidos tinham preço unitário maior ou igual a US$46,37.d) 10% dos livros vendidos tinham preço unitário menor ou igual a US$ 15,55 e 90% dos livrosvendidos tinham preço unitário maior ou igual a US$ 15,55.13. a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 2 0 714. a) 30% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 2 e 70% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maior ou igual a 2.b) 60% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 3 e 40% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maior ou igual a 3.c) 90% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 5 e 10% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maior ou igual a 5.d) 75% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 4 e 25% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maior ou igual a 4.e) 25% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 2 e 75% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maiores ou iguais a 2.f) 10% dos empregados tiveram um número de faltas anuais menor ou igual a 1 e 90% dosempregados tiveram um número de faltas anuais maior ou igual a I.15. 149.14 horas.

5/ Medidas de Dispersão5.1 IntroduçãoUma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permitenos concluir que elas não são 'suficientes para caracterizar totalmente urr~sequência numérica.Se observarmos as sequências:concluiremos que todas possuem a mesma média 13.No entanto, são sequências completamente distintas do ponto de vistzda variabilidade de dados.Na sequência Znão há variabilidade de dados.A média 13 representa bem qualquer valor da série.Na sequência Y, a média 13 representa bem a série, mas existemelementos da série levemente diferenciados da média 13.Na sequência X existem muitos elementos bastante diferenciados damédia 13.Concluímos que a média 13 representa otimamente a sequência Z,representa bem a sequência Y, mas não representa bem a sequência X.O nosso objetivo é construir medidas que avaliem a representatividadeda média. Para isto usaremos as medidas de dispersão.Observe que na sequência Z os dados estão totalmente concentradossobre a média 13.Não há dispersão de dados. Na sequência Y há forte concentraçãodos dados sobre a média 13, mas há fraca dispersão de dados. Já na série Xhá fraca concentração de dados em torno da média 13 e forte dispersão dedados em relação a média 13.

Medidas de Dispersão 101f .2Medidas de Dispersão Absoluta-As principais medidas de dispersão absolutas são: amplitude total,:wio médio simples, variância e desvio padrão.5.3 Amplitude TotalÉ a diferença entre o maior e o menor valor da sequência.3.4 Cálculo da Amplitude Total'- Caso - DADOS BRUTOS OU ROLBasta identificar o maior e o menor valor da sequência e efetuar aiferença entre estes valores.Exemplo: Determine a amplitude total da sequência X: 11, 12, 9, 10,:O, 15.Solução: O maior valor desta sequência é 15 e o menor valor é 9.=ortanto, a amplitude total da sequência é A, = 15 - 9 = 6 unidades.2" Caso - VARIÁVEL DISCRETAComo os valores já se apresentam ordenados, a amplitude total é adiferença entre o último e o primeiro elemento da série.Exemplo: Determine a amplitude total da série.1 Solução: O maior valor da série é 7 e o menor valor da série é 2.Portanto, a amplitude total da série é A, = 7 - 2 = 5 unidades.

102 Estatística 1Nesta situação, por desconhecer o maior e o menor valor da ri~devemos fazer um cálculo aproximado da amplitude total da série.Consideraremos como maior valor da série o ponto médio da iclasse e como menor valor da série o ponto médio da primeira classamplitude total é a diferença entre estes valores.IExemplo: Determine a amplitude total da série:Classe12345Int. cl.2 1- 44 1- 66 1- 88 1- 1 O10 1- 12fi5102072Solução: O ponto médio da última classe é 11 e o ponto médio rrprimeira classe é 3. Portanto, At = 11 - 3 = 8 unidades.COMENTÁRIO: Apesar da facilidade de obtenção da amplitude totsesta medida apresenta a inconveniência de depender apenas de dois valor~sda série. É possível modificar completamente a dispersão ou a concentra@:dos elementos em torno da média, sem alterar a amplitude total da série. fuma medida que tem pouca sensibilidade estatística.5.5 Exercícios Propostos1. Calcule a amplitude total da série:X: 2, 8, 10, 15, 20; 22, 30.2. Calcule a amplitude total da série:V: 12,9, 15, 40,22, 34, 8.3. Calcule a amplitude total da série:

Medidas de Dispersão 103- Zalcule a amplitude total da série:Classe SalBrlos US$ NP de vendedores1 70 1- 120 82 120 1- 170 283 170 1- 220 544 220 1- 270 325 270 I- 320 126 320 1- 370 6- Considerando as série X e Y da 1" e 2Questões, qual delas apresenta maiordispersão absoluta?IiIIA, = 28 unidades.A, = 32 unidades.A, = 17 unidades.A, = US$250.A série Y, pois A, da série Y é maior que A, da série X.5.6 Desvio Médio SimplesO conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemáticode distância.A dispersão dos dados em relação a média de uma sequência podeser avaliada através dos desvios de cada elemento da sequência em relação anédia da sequência.O desvio médio simples que indicaremos por DMS é definido comosendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para amédia da série.5.7 Cálculo do Desvio Médio Simples1" Caso - DADOS BRUTOS OU ROLCalculamos inicialmente a média da sequência. Em seguida identificamosa distância de cada elemento da sequência para sua média. Finalmente,calculamos a média destas distâncias.

104 Estatística 1Se a sequência for representada por X x,, x2, ..., x,admite como fórmula de cálculo:então o DMSExemplo: Calcule o DMS para a sequência:X 2, 8, 5, 6.Solução: Determinamos inicialmente a média da série:em seguida determinamos as distâncias de cada elemento da série para c.média da série:O DMS é a média aritmética simples destes valores.3,25 + 2,75 + 0,25 + 0,75 7DMS = - -4 - 4 = 1,75Interpretação: Em média, cada elemento da sequência está afastadodo valor 5,25 por 1,75 unidades.2? Caso - VARIÁVEL DISCRETANo caso da apresentação de uma variável discreta, lembramos que afrequência simples de cada elemento representa o número de vezes que estevalor figura na série. Conseqüentemente, haverá repetições de distânciasiguais de cada elemento distinto da série para a média da série. Assim, amédia indicada para estas distâncias é uma média aritmética ponderada.

Medidas de Dispersão 105A fórmula para o cálculo do DMS é:DMS =xixi - xi fiExemplo: Determine o DMS para a série:Solu$ío: O número de elementos da série é n = C fi = 10.A média da série é:Usaremos a disposição da tabela, acrescentando novas colunas para3 resolução dos cálculos.A média da série é:O DMS é dado por:DMS =C lx: - Xl f:IC fjI

106 Estatística 1Incluiremos outra coluna para efetuar estes cálculos:O desvio médio simples é:XIxi-XIfi. 8DMS = -- - = 0,8 unidades.10C fiInterpretação: Em média, cada elemento da série está afastado c:valor 3 por 0,8 unidade.3" Caso - VARIÁVEL CONT~NUANesta situação, por desconhecer os valores individuais dos elementoscomponentes da série, substituiremos estes valores X, pelos pontos médiosde classe.Desta forma, o desvio médio simples tem por cálculo a fórmula:DMS =Xixi - XI fjonde Xj é o ponto médio da classe i.Exemplo: Determine o DMS para a série.Classe1234Int. cl.2 1- 44 1- 66 1- 88 1- 10fi51 O41

Medidas de Dispersão 107Soluçáo: O número de elementos da série é n = C t;. = 20.Usaremos a disposição da tabela acrescentando as colunas necessá--3s para a resolução dos cálculos.Inicialmente acrescentamos a coluna dos pontos médios das classes:Classe Int. cl. fi1 2 I- 4 52 4 1- 6 103 6 1- 8 44 8 1- 10 1xi3579ç xi 4Em seguida, calculamos a média da série: X = - C f;.Classe1234Int. cl.2 1- 44 I- 66 1- 88 1- 10fi xi xifi5 3 151 O 5 504 7 281 9 9c fi= 20 C xit;.= 102IA média da série é:Classe Int. cl. fi xi xjfi lxi-Xl fj1 2 I- 4 5 3 15 10,502 4 1- 6 10 5 50 1 ,O03 6 I- 8 4 7 28 7,604 8 I- 10 1 9 9 3,90ç lxi - x i fiO DMS = -- - 23 = 1,15 unidades.C fi 20

108 Estatística 1Interpretagão: Em média, cada elemento da série está afastado de 5.-por 1,15 unidades.COMENTÁRIO: O desvio médio simples depende de cada componerteda série. Se mudarmos .o valor de um único elemento da série, mudamcrtambém o DMS. Portanto, o desvio médio simples tem perfeita sensibilidad~estatística. A maior dificuldade desta medida é envolver módulos, cujas prcpriedades,em geral não são suficientemente conhecidas pelos estagiáricsque normalmente desenvolvem estes cálculos.5.8 Exercícios Propostos1. Calcule o DMS da série:X: 3, 8, 12, 3, 9, 7.2. Interprete o valor obtido na 1 Wuestão.3. Calcule o DMS da série:Y: 2; 2,5; 3,5; 7; 10; 14,5; 20.4. Interprete o valor obtido na 3" Questão.5. Calcule o DMS da série:6. Interprete o valor obtido na 5Wuestão.7, Calcule o DMS da série:Classe123456Salários US$70 1- 120120 1- 170170 1- 220220 1- 270270 1- 320320 1- 370NVe vendedores82854321268. Interprete o valor obtido na 7Wuestão.9. Responda, justificando: Qual das série X e Y da 1% e3" questões possui maiordispersão absoluta?10. Qual das variáveis da 5% 7" questões possui maior dispersão absoluta?

Medidas de Dispersão 109RESPOSTAS- DMS = 2,67.. Os valores da série estão afastados de 7, em média, por 2, 67 unidades.i. DMS = 5,43.. Os valores da série estão afastados de 8,5, em média, por 5,43 unidades.. DMS = 1,13.. Em média, os valores da série estão afastados de 5 por 1.13 unidades.. DMS = US5 45,20.. Em média, os salários dos vendedores estão afastados de US$205,71 por US$45,20.. A série Y, pois o DMS da série Y é maior que o DMS da série X.'O. A variável contínua, pois o DMS da variável contínua 6 maior que o DMS da variável discreta.5.9 Variância e Desvio PadrãoIntrodução: Observamos no item anterior que a dificuldade em seoperar com o DMS se deve a presença do módulo, para que as diferençasxi - 2 possam ser interpretadas como distâncias.Outra forma de se conseguir que as diferenças xi - 2 se tornem semprepositivas ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças, isto é:(x, - x )~.Se substituirmos, nas fórmulas do DMS a expressão Ix, - 21 por(x, - x)', obteremos nova medida de dispersão chamada variância.Portanto, variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadradosdos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média.O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.Em particular, para estas medidas levaremos em consideração o fatode a sequência de dados representar toda uma população ou apenas umaamostra de uma população.No final desta secção justificaremos esta necessidade.Notações: Quando a sequência de dados representa uma Populaçãoa variância será denotada por 02(x) e o desvio padrão correspondente porW).Quando a sequência de dados representa uma amostra, a variânciaserá denotada por z(x) e o desvio padrão correspondente por s(x).

110 Estatística 15.1 0 Calculo da Variância e Desvio Padrão1Waso - DADOS BRUTOS OU ROLa) Se a sequência representa uma População, a variância é calcu'zdapela fórmula:8, 5.Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão da sequência: X: 4, 5.A sequência contém n = 4 elementos e tem por média:0s quadrados das diferenças (xi - x ) valem: ~Somando-se estes valores obtem-se: Z (x,- x ) = ~ 9.Substituindo esses valores na fórmula da variância, teremos:2o (x) =z(x,-~)~- - g= 2,25.n 4Como o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância,G(X) = d z= i/Zi5 = 1,5 unidades.b) Se a sequência anterior representasse apenas uma amostra, avariância seria denotada por s2(x) e o desvio padrão por s(x).

Medidas de Dispersão 111Neste caso,Note que a Única diferença entre a fórmula de 02(x) (indicado paraPopulações) e z(x) (indicado para amostras) é o denominador.Assim,Z(X,-X)~ g?(x) = - - = 3 e o desvio padrão s(x) = 6 = 1,73.n- 1 32" Caso - VARIÁVEL DISCRETAComo há repetições de elementos na série, definimos a variânciacomo sendo uma média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios doselementos da série para a média da série.a) Se a variável discreta é representativa de uma População, então avariância é dada por:e o desvio padrão é:

11 2 Estatística 1b) Se a variável discreta é representativa de uma amostra, então =variância é:e o desvio padrão é:Exemplo 1: Calcule a variância da série abaixo, representativa de umapopulação.Solução: O número de elemento da série é n = C fi= 20.z xi 5A média desta série é 2 = - z 4- CXi$A média da série é X = - --73 - 3,65c fj 20

Medidas de Dispersão 11 33or:Como estamos trabalhando com uma População a variância é dada2 (xi- fio (x) =2 fiDesenvolvendo nova coluna para estes cálculos, obtém-se:A variância é:e o desvio padrão correspondente é o(* = = 0,963.Exemplo 2: Se a variável discreta fosse representativa de uma amostra,a variância seria indicada por $(x) e seria calculada por:O desvio padrão seria calculado por s(x) = 110,9763= 0,988.Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da série, substituiremosnas fórmulas anteriores estes valores pelos pontos médios de classe.A fórmula da variância para uma variável contínua representativa deuma população é:71o (x) =2 fionde xi é o ponto médio da classe i.

114 Estatística 1Se a variável contínua representa uma amostra então a variâncici -deriotada por s2(x) e sua fórmula de cálculo é:Exemplo I: Calcule a variância e o desvio padrão para a série reprFsentativa de uma População:Classe1234Int. cl.o 1- 44 1- 88 1- 1212 1- 16fi1351Solugão: O número de elementos da série é n = C fi= 10.C xi 5A média da série é 2 = - onde xi são os pontos médios declasse.C fiClasse1234Int. cl.o 1- 44 1- 88 I- 1212 1- 16fi1351xi261 O14xifi2185014A média da série é:Como a variável contínua é representativa de uma população, então avariância é dada por:2x (xi - x)* fio (x) =C fi

-Medidas de Dispersão 11 5Classe1234Int. cl.O I- 44 I- 88 1- 1212 1- 16fi1351xi261 O14xifi2185014(x,-E)* fi40,9617,2812,8031.36A variância é, portanto:2 z(xi-x)*fj 102,4o (x) = - 10- 10,24C fie o desvio padrão é: o(x) = = 3,2.Exemplo 2: Se a variável contínua fosse representativa de uma amostra,a variância seria indicada por 2(x) e sua fórmula de cálculo seria:Desta forma, Z(X) = - - 11,38 e o desvio padrão seria93,373.s(x) = m=1. No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença(xi- i), a unidade de medida da série fica também elevada ao quadrado.Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medidada série.Se os dados são expressos em metros, a variância é expressa emmetros quadrados.Em algumas situações, a unidade de medida da variância nem fazsentido.É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em litros. Avariância será expressa em litros quadrados.Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamentecom os dados da série, ou seja: variância não tem interpretação.2. Exatamente para suprir esta deficiência da variância é que sedefine o desvio padrão.

11 6 Estatística 1Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio padr2:terá sempre a mesma unidade de medida da série e portanto admite interprctação.5.11 Interpretação do Desvio PadrãoO desvio padrão é, sem duvida, a mais importante das medidas dfdispersão.É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido drdesvio padrão com os dados da série.Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamentesimétrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o intervalcp- o, ?+ o] contém aproximadamente 68% dos valores da série.O intervalo p- 20, %+ 201 contém aproximadamente 95% dos valoresda série.

Medidas de Dispersão 11 7O intervalo E- 30, X+ 301 contém aproximadamente 99% dos valores?a série.Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpretação poderãomais tarde ser comprovados, com maior precisão, no estudo da distri-Suição normal de probabilidades.Para uma compreensão inicial do desvio padrão, estas noções sãosuficientes.Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica estes percentuaisapresentam pequenas variações para mais ou para menos, segundo o caso.De modo que, quando se afirma que uma série apresenta média x =100 e desvio padrão o(x) = 5, podemos interpretar estes valores da seguinteforma:1. Os valores da série estão concentrados em torno de 100.2. O intervalo [95, 1051 contém aproximadamente, 68% dos valoresda série.série.série.O intervalo [90, 1101 contém aproximadamente 95% dos valores daO intervalo [85, 1151 contém aproximadamente 99% dos valores daÉ importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tamanho dointervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido no intervalo.Adiante verificaremos que é possível controlar o tamanho do intervalode modo que contenha exatamente o percentual que queremos.3. As medidas de dispersão vistas até agora são medidas absolutase portanto avaliam a dispersão absoluta da série. Todas elas são diretamenteproporcionais a dispersão absoluta.

F-11 8 Estatística 1Assim, se a série Xapresenta x = 20 e o(x) = 3 e se a série Y apreser- 1ta y= 22 e o(y) = 2, podemos afirmar, comparando os desvios padrão, que ? ,:série Xapresenta maior dispersão absoluta.4. Para justificar que o denominador da variância amostra1 dev~ser n - 1 e não n, usaremos o seguinte argumento:O modelo matemático que calcula a variância de uma amostra nãcpode serz (xi- x)*2o (x) =n 'pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar a variânciapara qualquer tamanho de amostra.Suponha uma amostra constituída de um único elemento X,.O valor médio da amostra também é xl.Calculando a variância pelo modelo acima, teremos:2o (x) =C (xi - X J~1= o.I:1:ItSeríarnos induzidos a afirmar que a dispersão da população de ondeprovém a amostra é zero, isto é, a população é constituída em sua totalidadepor elementos idênticos. O que é, em geral, uma afirmação falsa.Para corrigir o modelo matemático, basta colocar no denominadorn - 1. O modelo é escrito então:IObserve que agora o modelo é coerente. Mesmo quando a amostrativer apenas um elemento xl, o cálculo de s2(x) leva-nos a uma indeterminaçáodo tipo i. O que significa que a variância existe, mas não está determinada.Significa também que amostras de apenas um elemento não nos forneceinformações sobre a variância da série.5.1 2 Exercícios Propostos1. Calcule a variância e o desvio padrão da População:X:2, 3, 7, 9, 11, 13.

Medidas de Dispersão 1 192. Calcule a variância e o desvio padrão da População:Y: 5, 12, 4, 20, 13, 17.3. Calcule a variância e o desvio padrão da amostra:Z: 15, 16, 17, 20, 21.4. Calcule a variância e o desvio padrão da amostra:T:6, 5, 10, 12, 19.5. Calcule a variância e o desvio padrão da população:Idade (anos)No de alunos202 16. Calcule a variância e o desvio padrão para o número de acidentes diários, observadosem um cruzamento, durante 40 dias. (Amostra.)NQ de acidentespor diaNVedias3 14 17. Calcule a variância e o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notasfiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos.(Amostra.)Classe123456Consumo por nota US$O I- 5050 1- 1 O0100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300NQ de notas1 O28122118. Calcule a variância e o desvio padrão para as alturas de 70 alunos de uma classe(Amostra.)Classe123456Alturas (cm)150 1- 160160 1- 170170 1- 180180 1- 190190 1- 200200 1- 21 ONQ de alunos21518181619. Interprete os valores obtidos na Questão 6.10. Interprete os valores obtidos na Questão 7.

120 Estatística 11 I. Interprete os valores obtidos na Questão 8.12. Uma série estatística X simétrica apresenta: k = 10, d(x) = 4 e o(x) = 2.Interprete estes valores.13. Uma série estatística Y simétrica apresenta: y = 20, = 6,25 e o(y) = 2,5.Interprete estes valores.RESPOSTASd(x) = 1592 3 e o(x) = 3,99 u= 33,81 2 e o ~ = 5,sl ) ud(y)?(z) = 6,70 4 e s(z) = 2,59 us2(0 = 31,30 3 e $0 = 5,59 ud(x) = 1,05 a2 e o(x) = 1,03 a$(x) = 0,87 ( a~)~ e s(x) = 0,93 ac?(x) = 2.446,72 (us$)~ e ç(x) = US$49,46&x)=141,28cn? e s(x)=11,89cma) variancia não tem interpretação.b) desvio padrão:Aproximadamente 68% dos dias ocorrem entre O e 1,38 acidYdiaAproximadamente 95% dos dias ocorrem entre O e 2,31 acid/daAproximadamente 99% dos dias ocorrem entre O e 3,24 acid/diaAs aproximações neste caso não são razoáveis, pois a série é muito assimétrica.a) variância não tem interpretaçãob) desvio padrão:Aproximadamente 68% das notas têm valor entre US$37,58 e US$136,50Aproximadamente 95% das notas têm valor entre US$ O e US$185,96Aproximadamente 99% das notas tem valor entre US$ O e US$235,42As aproximações neste caso são apenas razoáveis, pois a série é assimétrica.a) variância não tem interpretaçãob) desvio padráo:Aproximadamente 68% dos alunos têm altura entre 167,97 cm e 191,75 cm.Aproximadamente 95% dos alunos têm altura entre 156,08 cm e 203,64 cm.Aproximadamente 99% dos alunos têm altura entre 144,19 cm e 215,53 cm.As aproximações neste caso são bem razoáveis, pois a curva é praticamente simétrica.-a) X = 10. Os valores da série estatistica X estão concentrados em torno de 10 unidades.b) $(x) = 4. Varíãncia não tem interpretação.C) 6(X) = 2:68% dos valores da sbrie estão compreendidos entre 8 e 12 unidades.95% dos valores da s6rie estão compreendidos entre 6 e 14 unidades.-99% dos valores da s6rie estão compreendidos entre 4 e 16 unidades.a) Y = 20.0s valores da série estatística Y estão concentrados em torno de 20 unidades.b) d(y) = 6.25. Variância não tem interpretação.C) o(y) = 2,5:68% dos valores da série estão compreendidos entre 17,5 e 22,s unidades.95% dos valores da série estão compreendidos entre 15 e 25 unidades.99% dos valores da série estão compreendidos entre 12,5 e 27,5 unidades.

Medidas de Dispersão 1215.1 3 Medidas de dispersão relativaIntrodução: Se uma série X apresenta X= 10 e o(x) = 2 e uma sérieY apresenta y= 100 e o(y) = 5, do ponto de vista da dispersão absoluta, asérie Y apresenta maior dispersão que a série X.No entanto, se levarmos em consideração as médias das séries, odesvio padrão de Y que é 5 em relação a 100 é um valor menos significativoque o desvio padrão de Xque é 2 em relação a 10.Isto nos leva a definir as medidas de dispersão relativas: coeficiente devariação e variância relativa.por:O coeficiente de variação de uma série Xé indicado por C?,)definidoA variância relativa de uma série Xé indicada por V(x) e definida por:Note que o coeficiente de variação, como é uma divisão de elementosde mesma unidade, é um número puro. Portanto, pode ser expresso empercentual.Este fato justifica a utilização do denominador ( x ) na ~ definição deV(x).Deste modo, se calcularmos o coeficiente de variação da série Xcitadano início obteremos:Calculando o coeficiente de variação da série Y obteremos:Comparando os valores destes dois coeficientes concluímos que asérie X admite maior dispersão relativa.Como a medida de dispersão relativa leva em consideração a medidade dispersão absoluta e a média da série, é uma medida mais completa que amedida de dispersão absoluta.

122 Estatística 1Portanto, a medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida ridispersão absoluta. Podemos afirmar que a série que tem a maior disperss:relativa, tem de modo geral a maior dispersão.Concluindo o exemplo anterior:A série Y apresenta maior dispersão absoluta.A série Xapresenta maior dispersão relativa.Portanto, a série Xapresenta maior dispersão.5.1 4 Exercícios PropostosResponda, justificando em cada caso, as questões abaixo:a) Qual das séries apresenta maior dispersão absoluta?b) Qual das séries apresenta maior dispersão relativa?c) Qual das séries apresenta maior dispersão?RESPOSTAS1. A série B possui maior dispersão absoluta, pois apresenta maior desvio padrão.A série B possui maior dispersão relativa, pois apresenta maior coeficiente de variação.A série B possui maior dispersão, pois a dispersão relativa prevalece sobre a dispersão absoluta.2. A série B apresenta maior dispersão absoluta, pois apresenta maior desvio padrão.A série A apresenta maior dispersão relativa, pois apresenta maior coeficiente de variação.A série A apresenta maior dispersão, pois a dispersão relativa prevalece sobre a dispersão absoluta.

Medidas de Dispersão 1233. A série B apresenta maior dispersão absoluta, pois apresenta maior desvio padrão.A série A apresenta maior dispersão relativa, pois apresenta maior coeficiente de variação.A série A apresenta maior dispersão, pois a dispersão relativa prevalece sobre a dispersão absoluta.4. A série A apresenta maior dispersão absoluta, pois apresenta o maior desvio padrão.A série A apresenta maior dispersão relativa, pois apresenta maior coeficiente de variação.A série A apresenta maior dispersão, pois a dispersão relativa prevalece sobre a dispersão absoluta.5. As duas séries apresentam a mesma dispersão absoluta, pois os desvios padrão são iguais.A s6rie A apresenta maior dispersáo relativa, pois apresenta maior coeficiente de variação.A série A apresenta maior dispersão, pois a dispersão absoluta prevalece sobre a dispersão relativa.6. A série B apresenta maior dispersão absoluta, pois apresenta maior desvio padrão.As séries A e B apresentam mesma dispersão relativa, pois apresentam mesmo coeficiente de variação.As séries A e B apresentam a mesma dispersão, pois a dispersão relativa prevalece sobre a dispersãoabsoluta.

Medidas deAssimetria e Curtose6.1 Introduçãotria.Para conceituar assimetria, obviamente precisamos conceituar sime-Diremos que uma distribuição é simétrica quando k = Md = M,Se isto de fato ocorrer, a curva de frequência tem a seguinte característicagráfica:trica.Se uma distribuição não for simétrica, será classificada como assimé-Existem duas alternativas para uma distribuição assimétrica:No caso (a) A distribuição é classificada de assimétrica positiva.No caso (b) A distribuição é classificada de assimétrica negativa.

Medidas de Assimetria e Curtose 125:.2 Medidas de Assimetria-2.1 COEFICIENTE DE PEARSONIrma:Se A, = O então a distribuição é simétrica.Se A, < O então a distribuição é assimétrica negativa.Se A, > O então a distribuição é assimétrica positiva.Segundo este critério, as distribuições são classificadas da seguinteSe A, 5 -1 : assimétrica negativa forte.Se -1 < A, < O : assimétrica negativa fraca.Se A,=O : simétrica.Se O c A, < 1 : assimétrica positiva fraca.Se A,> 1 : assimétrica positiva forte.6.2.2 COEFICIENTE DE BOWLEYSe A, = O então a distribuição é simétrica.Se A, < O então a distribuição é assimétrica negativa.Se A, > O então a distribuição é assimétrica positiva.O coeficiente de Bowley é um valor que varia de -1 a 1.Por este critério, as distribuições são classificadas da seguinte forma:-1 5 A, < -0,3 assimétrica negativa forte.-0,3 < A, < -0,l assimétrica negativa moderada.-0,l I A, < O assimétrica negativa fraca.

126Estatística 1A,=OO < A, I 0,lsimétrica.assimétrica positiva fraca.0,l < A, < 0,3 assimétrica positiva moderada.0,3 5 A, I assimétrica positiva forte.6.3 Medida de CurtoseObservando a concentração dos valores de uma série em torno de sczmoda, podemos observar três situações especiais.1"aso - Os dados estão fortemente concentrados em torno da modc.o que faria a curva de frequência ser bastante afilada, como na figura:29aso - Os dados estão razoavelmente concentrados em torno damoda, o que faria a curva de frequência ser razoavelmente afilada, como nafigura:3Qaso - Os dados estão fracamente concentrados em torno damoda, o que faria a curva de frequência ser fracamente afilada, como nafigura:

Medidas de Assimetria e Curtose 127II*MoX(curva achatada no centro)A medida de curtose procura classificar estes tipos de curvas comrespeito ao afilamento ou achatamento de sua área central.Para isto, padroniza-se a curva do 2"aso.Este tipo de curva é classificada como mesocúrtica.A curva do 1%aso, bastante afilada em sua área central, é denominadaleptocúrtica, e a curva do 3" caso, bastante achatada em sua área central,é denominada platicúrtica.Para classificar uma distribuição quanto a sua curtose, podemos utilizaro coeficiente de curtose dado por:Se K= O a distribuição é mesocúrtica.Se K > O a distribuição é leptocúrtica.Se K< O a distribuição é platicúrtica.OBSERVAÇÃO:1) O valor 3, que figura na fórmula de K, representa ovalor da curtose para uma distribuição teórica de probabilidadeschamada distribuição normal padrão, quecaracteriza a distribuição mesocúrtica. Esta distribuiçãoserá estudada na sequência do curso.Se uma distribuição apresenta,C (xi- x14 4ela é mesocúrtica e conseqüentemente K = O.

128 Estatística 12) A medida de curtose tem a finalidade de complemeri-za caracterização da dispersão em uma distribuição.Exemplos:1. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo :Coeficiente de Pearson.Cálculo de %Cálculo da M,: Mo = 2

Medidas de Assimetria e Curtose 129Cálculo de o(x):Substituindo-se estes valores obtém-se:É uma distribuição assimétrica positiva fraca.2. Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo segundo ocoeficiente de Bowley.Classe12345Int. cl.o 1- 22 1- 44 1- 66 1- 88 1- 10fi2512151Cálculo de Q3:75 x 351 O0 - %nt 26,25 - 19Q3 = P75 = G5 + .h= 6+ 15. 2 = 6,97f75

130 Estatística 1Cálculo de Q,:25 x 351 O0 - 'ant 8,75 - 7. 2 = 4,29$512Q, = P2, = I,, + h = 4+Cálculo de M;50 x 35 -Substituindo-se estes valores, obtém-se:É uma distribuição assimétrica negativa fraca.3. Classifique, quanto a curtose, a distribuição abaixo:PopulaçãoClasse12345Int. cl.3 1- 55 1- 77 1- 99 1- 1111 I- 13fj121331Solução:Cálculo de k

Medidas de Assimetria e Curtose 131!2345sseInt. cl.3 I- 55 I- 771--99 1- 1111 I- '13f;121331x;4681012xifj4121043012- 4(x;-X) f;282,576138,89620,001339,0963231,3441- 2(xí-X) f;16,818,820,1310,8315,215Z(X~-X)~Cálculo de: - 591 ,914 = 29,5957c f; - 20Iz(~~-k)~fj 51,8Cálculo de: 04(x): 02(x) = ---z fi - 20- 2,59Substituindo-se estes valores, obtém-se:Como K > O a distribuição é leptocúrtica.4. Suponha que a tabela do exemplo 1 representasse apenas umaamostra de uma população.Neste caso, não conhecemos o desvio padrão populacional o(*.Devemos substituir o(x) por s(x) nas fórmulas que dependem de o(x).Desta forma, o coeficiente de Pearson para amostras é escrito:e o coeficiente de curtose para amostras é escrito:

132 Estatística 1Com estas considerações, para o exemplo 1z (x,.- x )~ fi2(x) = - 38'64 - 1,61 e s(x) = jr;61 = 1,27xfi-1 25-1O coeficiente de Pearson é:A distribuição é assimétrica positiva fraca.Quanto ao exemplo 3, se a tabela representa apenas uma amostra dapopulação, então:Portanto,O coeficiente de curtose vale:Como K > O, a distribuição é leptocúrtica.6.4 Exercícios Propostos1. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente dePearson.População

Medidas de Assimetria e Curtose 1332. Classifique, quanto a curtose a distribuição do problema anterior.3. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente deBo wleyAmostra1 o11104. Classifique, quanto a curtose, a distribuição do problema anterior.5. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente dePearson.Amostraclasse I Int. cl. I f;6. Classifique, quanto a curtose, a distribuição do problema anterior.7. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente deBowleyAmostraClasseInt. cl.7 1-4 9 1- 11 195 11 1- 13 178. Classifique quanto a curtose, a distribuição do problema anterior.RESPOSTAS- 5 51. x = 5: Mo = 5; o(x) = 1,53. A, = - = O. Distribuição simétrica.133- E (xi-i)4 4642. x= 5; ---- 34 - 13,6471; o(x) = 153; 04(x) = 5,4798. K = -0,51. Distribuição platicúriica.L 'i8+6,5-143. Q3=8;Q,=6,5;Md=7;A,= = 0,33. Distribuição assimétrica positiva forte.8 - 6,5

134 Estatística 1- 6,35 - 5,435. x = 6,35; Mo = 5,43; s2(x) = 15,87; ~(x) = 3,98; A, =fraca.3,98= 0,23. Distribuição assimétrica pos? ?A distribuição é leptocúrtica.7. Q, = 10,58; Q, = 5,875; M, = 8,33. A, = -0,044. Curva assimétrica negativa fraca.Exercícios Gerais1. Uma empresa produz caixas de papelão para embalagens e afirma que o númerde defeitos por caixa se distribui conforme a tabela:PopulaçãoPede-se:1.1. O número médio de defeitos por caixa.1.2. A distribuição de frequências.1.3. A porcentagem de caixas com dois defeitos.1.4. A porcentagem de caixas com menos que três defeitos.1.5. A porcentagem de caixas com mais que três defeitos.1.6. O histograma.1.7. O número mediano de defeitos por caixa.1.8. A moda.1.9. A amplitude .total da série.1.10. O desvio médio simples.1.1 1. A variância.1.12. O desvio padrão.1.13. O coeficiente de variação,1.14. A variância relativa.1.15. Q,.1.16. Q3.1.17. PIO.1.18. D6.

Medidas de Assimetria e Curtose 1351.19. Pgo.1.20. K4.1.21. O percentual de elementos da série situados entre Q1 e K4.1.22. O número aproximado de caixas entre o Plo e Q3.1.23. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente dePearson.1.24. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente deBo wley1.25, Classifique, quanto a curtose, a distribuição.2. Uma amostra aleatória de 250 residências de famílias, classe média, com doisfilhos, revelou a seguinte distribuição do consumo mensal de energia elétrica.Classe1234567Consumo mensal (kwh)O I- 5050 1- 1 O0100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300300 1- 350NQ de famíiias2153247508024ePede-se:2.1. O consumo médio por residência.2.2. A distribuição de frequências.2.3. A porcentagem de famílias com consumo mensal maior ou igual a 200 emenor que 250 kwh.2.4. A porcentagem de famílias com consumo mensal menor que 200 kwh.2.5. A porcentagem de famílias com consumo maior ou igual a 250 kwh.2.6. O histograma e o polígono de frequência.2.7. O consumo mediano.2.8. A moda.2.9. A amplitude total da série.2.10. O desvio médio simples.2.11. A variância.2.12. O desvio padrão.2.13. O coeficiente de variação.2.14. A variância relativa.2.15. Q,.2.16. Q3.2.17. P,,.2.18. D6.2.19. Pgo.

136 Estatlstica 12.20. K4.2.21. O percentual de famílias classificadas entre Q1 e K4.2.22. O número aproximado de famílias classificadas entre PIO e Q3.2.23. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente dePearson.2.24. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente de Bowley2.25, Classifique, quanto a curtose, a distribuição.Uma rede de lojas afirma que as vendas diárias de televisores obedecem a seguintedistribuição:PopulaçãoClasse123456Pede-se:NQe televiçoresldiao I- 2020 1- 4040 1- 6060 1- 8080 1- 1 O01 O0 1- 1203.1. O número médio de televisores vendidos por dia.3.2. A distribuição de frequências.NVe dias3.3. A porcentagem de dias em que a venda de televisores é maior ou igual a 60e menor que 80.3.4. A porcentagem de dias em que a venda de televisores é menor que 60.3.5. A porcentagem de dias em que a venda de televisores é maior ou igual a 80.52540151 O53.6. O histograma e o polígono de frequência.3.7. O número mediano de televisores vendidos.3.8. A moda.3.9. A amplitude total da série.3.10. O desvio médio simples.3.11. A variância.3.12. O desvio padrão.3.13. O coeficiente de variação.3.14. A variância relativa.3.15. Q,.3.16. Q3.3.17. Pl ,.3.18. D,.3.19. P,.3.20. K4.3.21, O percentual de dias entre Ql e K4.

Medidas de Assimetria e Curtose 1373.22. O número aproximado de dias entre P1 e Q3.3.23. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente dePearson.3.24. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente dei30 wley3.25. Classifique a distribuição, quanto a curfose.4. Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscaisemitidas durante um mês. Esta amostra apresentou a seguinte distribuição:Classe1234567Valor da notaio3 $7 1- 1212 1- 1717 1- 2222 1- 2727 1- 3232 1- 3737 1- 42NWe notas251310965Pede-se:4.1. O valor médio das notas.4.2. A distribuição de frequências.4.3. A porcentagem de notas com valor maior ou igual a $ 17.000 e menor que$22.0004.4. A porcentagem de notas com valor menor que $32.000.4.5. A porcentagem de notas com valor maior ou igual a $32.000.4.6. O histograma e o polígono de frequência.4.7. O valor mediano das notas.4.8. A moda.4.9. A amplitude da série.4.10. O desvio médio simples.4.11. A variância., 4.12. O desvio padrão.4.13. O coeficiente de variação.4.14. A variância relativa.4.15. Q,.4.16. Q3.4.17. PIO.4.18. D6'4.19. Pgo.4.20. K4.4.21. O percentual de notas entre Q1 e K4.

138 Estatística 1 i4.22. O número aproximado de notas entre PIO e Q3. 14.23. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente dc IPearson.I4.24. Classifique, quanto a assimetria, a distribuição segundo o coeficiente c-r IBo wley4.25. Classifique a distribuição quanto a curtose.RESPOSTAS-1.1. x= 11.2.XlO12345fl322811431fr!'Yo32/79 40,5128/79 35,44I 1/79 13,924/79 5,063/79 3,801/79 1,27Fl326071757879Fr,'Yo32/79 40,5160/79 75,9571/79 a9,8775/79 94,9378/79 98,7379/79 I 001.7. Md= 11.8. M,=O1.9. A, =51.70. DMS = 0,811.1 1. C?(* = 1,291.12. o(* = 1,141.13. Cyii>= 1,141.14. V(X) = 1.291.15. Q, =O1.16. Q3= 11.17. P,, =O

Medidas de Assimetria e Curtose 1391.18. D, = 11.19. P9,=2,51.20. K, = 21.21. 55%1.22. 521.23 A, = 0,88. Assimétrica positiva fraca.1.24. A, = -1. Assimétrica negativa forte.1.25. K = 1,54. Leptocurtica.2.1. 217,82.2.XI1234567Int. CI.O I- 5050 1- 100100 1- 150150 1- 200200 1- 250250 1- 300300 1- 350fl2153247508024f.; 7021250 0,80151250 6,OO321250 12.80471250 18,80501250 20,OO801250 32,OO241250 9,60FI2174996146226250FR, 7021250 0,80171250 6,80491250 19,60961250 38,401461250 58,402261250 90,402501250 100,OO

140 Estatística 12.17. 112,52.18. 252,52.19. 299,382.20. 283,752.21. 55%2.22. 1632.23. - 0,69. Assimétrica negativa fraca.2.24. 0,159. Assimétrica negativa moderada.2.25. - 0,65. Platicúrtica.3.1. 533.2.Classe123456No detelevisores1 diaO I- 20201- 4040 1- 60601- 8080 1- 100100 1- 120N9dedias2254015105f.,Yo511 O0 5251100 25401100 4015l100 15101100 10511 O0 5FI530708595100F.,Yo51100 5301100 30701100 70851100 85951100 951001100 100

Medidas de Assimetria e Curtose 14166,6724559073,3355%650,23. Assimétrica positiva fraca.0,087. Assimétrica positiva fraca.- O, 031. Platicúrtica.$25.200Classe Valor da nota Ne de103 $ notasfr, 'XO F~ F~i %1 7 1- 12 2 2/50 4 2 2/50 42 121- 17 5 5/50 10 7 7/50 143 171- 22 13 13/50 26 20 20150 404 22 1- 27 10 10/50 20 30 30150 605 27 1- 32 9 9150 18 39 39/50 786 32 1- 37 6 6/50 12 45 45/50 907 371- 42 5 5/50 10 50 50150 100

142 Estatística 14.13. 32%4.14. 10,29%4.15. $ 19.115,384.16. $31.166,674.17. $ 15.000,OO4.18. $27.000,004.19. $37.000,004.20. $32.833,334.21 55%4.22. 334.23. 0,56. Assimétrica positiva fraca.4.24. 0,106. Assimétrica positiva moderada.4.25. - 0.85. Platicúrtica.

7.1 IntroduçãoQuando solicitados a estudar um fenômeno coletivo, verificamos anecessidade de descrever tal fenômeno por um modelo matemático que permitaexplicar da melhor forma possível este fenômeno.A teoria das probabilidades permite construir modelos matemáticosque explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornecem estratégiaspara a tomada de decisões.Iniciaremos o estudo da teoria das probabilidades enfocando o objetode estudo do cálculo de probabilidades.Entendemos por fenômeno qualquer acontecimento natural.Se observarmos os fenômenos com respeito a seus possíveis resultados,podemos classificá-los em dois tipos:a) determinísticos;b) aleatórios.a) Fenômenos determinísticos - são aqueles que repetidos sobmesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado. As condiçõesiniciais determinam o único resultado possível do fenômeno.b) Fenômenos aleatórios - são aqueles que repetidos sob mesmascondições iniciais podem conduzir a mais que um resultado. As condiçõesiniciais não determinam o resultado do fenômeno.COMENTÁRIO: Embora teoricamente tenhamos exigido as repetições,nas mesmas condições iniciais, isto na prática dificilmente ocorre. Mesmoquando procuramos manter as mesmas condições iniciais, pequenas variaçõescertamente ocorrerão. Isto provocará alterações no resultado final.

144 Estatística 1i Se estas alterações forem mínimas, para a maioria das aplicaçõespráticas elas poderão ser desprezadas. Poderemos afirmar que cresultado final é único, e classificar o fenômeno como determinísti-CO.i Se estas alterações forem significativas, então o fenômeno seráclassificado de aleatório.Exemplos:1. Se deixarmos uma massa M cair em queda livre de uma altura de1 metro sobre uma superfície, poderemos anotar o tempo t, de queda livre.Ao tentarmos repetir o fenômeno, dificilmente conseguiremos as mesmascondições iniciais. Certamente repetiremos o fenômeno em condiçõesmuito próximas das iniciais.Estas pequenas alterações nas condições iniciais provocarão pequenasalterações no tempo de queda. Para a maioria das aplicações, estaspequenas alterações no tempo de queda podem ser desprezadas e afirmamosque o resultado é único. O fenômeno é classificado como determinístico.2. Se lançarmos um dado sobre uma superfície, podemos anotar onúmero de pontos da face superior do dado.Da mesma forma que no exemplo anterior, dificilmente conseguiremosrepetir o lançamento nas mesmas condições anteriores.Estas pequenas variações que certamente ocorrerão na repetição dolançamento podem provocar substanciais mudanças no número de pontosapresentados na face superior do dado.Estas mudanças não podem em geral ser desprezadas e consequentementeo fenômeno admitirá, por repetição, mais que um resultado. Destaforma, este fenômeno é classificado como aleatório.Quando um fenômeno é determinístico, a teoria das probabilidadesnão fornece um modelo adequado para a explicação do fenômeno.A teoria das probabilidades só é útil e deve ser aplicada quando lidarmoscom um fenômeno aleatório.Portanto, o objeto de estudo da teoria das probabilidades são os fenômenosaleatórios.Para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos matemáticosmais sofisticados, vamos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenosaleatórios chamados experimentos.Os experimentos são fenômenos aleatórios que possuem as seguintescaracterísticas:

Probabilidades 145a) repetitividade;b) regularidade.a) Repetitividade: é a característica de um fenômeno de poder serrepetido quantas vezes quisermos.Se por algum motivo não pudermos repetir sistematicamente o fenômeno,ele não será classificado como experimento.b) Regularidade: é a característica que diz respeito a possibilidadeda ocorrência dos resultados do fenômeno. A avaliação numérica da possibilidadede ocorrência destes resultados dará origem as probabilidades.7.2 Teoria das Probabilidades - Espaço AmostralComo o objeto de nosso estudo são os experimentos e eles admitemmais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveisresultados do experimento.Este conjunto será denotado por S e denominado espaço amostral doexperimento.Exemplos: O experimento consiste em:1. Lançar uma moeda e anotar a face superior.Se representamos cara com a letra c e coroa com a letra k, então oespaço amostral do experimento é S = {c, k}OBSERVAÇÃO: Para evitar complicações, recomendamos que o interessadosempre raciocine em termos de materiais ideais.A moeda que utilizamos no caso anterior deve ser imaginada comoduas calotas coladas adequadamente com as faces cara e coroa convencionadaspor duas cores distintas. O material, é claro, deve ser homogêneo.O dado idealizado, com o qual trabalharemos no próximo exemplo,deve ser um cubo perfeito com o número de pontos convencionado por cores.2. Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior.O espaço amostral é: S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).3. Retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas e anotar onaipe da carta selecionada.O espaço amostral é: S = {paus, copas, ouros, espadas}

146 Estatística 14. Lançar duas moedas e observar as faces superiores.1O espaço amostral é: S = {cc, ck, kc, kk}.I5. Lançar uma moeda sucessivamente, até que se obtenha a primeiraface cara. Anota-se como resultado do experimento a sequência de caras ecoroas do primeiro ao último lançamento.O espaço amostral é: S = {c, kc, kkc, kkkc, ...}.6. Escolher um ponto P ao acaso no intervalo [3, 121 e anotar adistância do ponto escolhido P ao ponto 5.O espaço amostral é: S = {d E R I O I dá 7).Os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos.Os exemplos 1, 2, 3 e 4 apresentam espaços amostrais finitos.Os exemplos 5 e 6 apresentam espaços amostrais infinitos.Para evitar recursos matemáticos mais sofisticados, vamos estudarapenas os espaços amostrais finitos.Uma excelente técnica para não omitirmos resultados do experimentona construção de seu espaço amostral está baseada no princípio fundamentalda contagem, que estabelece:Se um procedimento A pode ser realizado de n maneiras diferentes eum procedimento B pode ser realizado de rn maneiras diferentes, então oencadeamento dos procedimentos A e B pode ser feito de n.m maneirasdiferentes.Isto sugere uma disposição gráfica chamada diagrama de árvore.O espaço amostral do exemplo 4, lançamento de duas moedas eobservação das faces superiores, pode ser obtido utilizando-se esta técnica.Para efeito da observação das faces superiores, lançar simultaneamenteduas moedas é o mesmo que-lançar uma moeda duas vezes.No primeiro lançamento há duas ocorrências possíveis. No segundolançamento há também duas ocorrências possíveis. A sequência dos doislançamentos terá 2.2 = 4 ocorrências possíveis, que podem ser representadasna forma do diagrama de árvore:lQ lançamentoZQ lançamento

Probabilidades 1470s possíveis resultados estão estabelecidos em cada ramo da árvore:S = {cc, ck, kc, kk}.7.3 EventosEvento é qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento.Exemplo: Se considerarmos o lançamento de um dado e a observaçãola face superior, então o espaço amostral do experimento é: S = (1, 2, 3, 4, 5,5).Note que A = {I, 2); B = (2, 4, 6); C = {~ortanto são eventos.j; S são subconjuntos de S eOs eventos podem ser enunciados na linguagem usual. Assim, enunciaremosA como: sair face 1 ou face 2 no lançamento de um dado.Há, normalmente, várias maneiras equivalentes de se enunciar ummesmo evento.O evento A também poderia ser enunciado como: sair face menor que3 no lançamento de um dado.O evento B é enunciado como: sair face 2 ou face 4 ou face 6 nolançamento de um dado. Isto é equivalente a afirmar: sair face par no lançamentode um dado.Para enunciar o evento C, basta usar qualquer propriedade que nãocaracterize nenhum dos valores de S.Deste modo, C pode ser enunciado como: sair face 8 no lançamentode um dado.Note que cada elemento que constitui o evento é um possível resultadodo experimento.Assim sendo, quando realizamos o experimento uma só vez, apenasum dos elementos do espaço amostral irá ocorrer não ocorrendo os demais.Diremos então que um evento A ocorre quando ocorrer, como resultadodo experimento, um dos elementos de A.De modo resumido, podemos afirmar que um evento A ocorre quandoocorrer um de seus pontos.No exemplo inicial, se lançarmos o dado e sair face 4, diremos que:não ocorreu o evento A; ocorreu o evento B; não ocorreu o evento C; ocorreuo evento S.O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Portanto, emqualquer espaço amostral C = { } é sempre um evento.

148 Estatística 1Observe que o evento C = { ) não possui elementos, portanto esteevento nunca ocorrerá. Neste sentido, C é denominado evento impossível.Note também que todo conjunto é subconjunto de si próprio.Desta forma, o próprio espaço amostra1 S é sempre um evento.Como S contém todos os possíveis resultados do experimento, S certamenteocorrerá.Neste sentido, S é denominado evento certo.7.4 Operações com EventosComo eventos são conjuntos, podemos usar as operações de conjuntospara os eventos.Assim:Exemplo: Se considerarmos o lançamento de um dado e a observaçãoda face superior, então S = {I, 2, 3, 4, 5, 6}.Se A = {I, 2, 3); B = {2,3 ,6); C = {2, 3, 4) então:AU B={l, 2, 3, 6)A n C={2, 3)CA = (4, 5, 6)CB= {I, 4,s)C(A u B) = (4,s)Quando um evento possui apenas um elemento, ele é chamado eventosimples.Eventos com mais de um elemento são chamados eventos compostos.Se considerarmos o lançamento de um dado e a observação da facesuperior, então S = {I, 2, 3, 4, 5, 6). A = (21, B = (51, C = {3} são exemplos deeventos simples.Os eventos D = { 2, 31, E = (4, 61, F = {2, 3, 4, 5) são exemplos deeventos compostos.Observando os eventos D = (2, 3} e B = (5) notamos que eles nãopossuem elemento comum, isto é, D n B = { }.

Probabilidades 149Portanto, se D ocorre, B não pode ocorrer ao mesmo tempo; e. se Bocorrer, D não pode ocorrer ao mesmo tempo.Dizemos então que a ocorrência de D exclui a possibilidade de ocorrênciade A e a ocorrência de A exclui a possibilidade de ocorrência de B. Elesse excluem mutuamente. Portanto, são mutuamente exclusivos.De modo geral, se A e B são eventos quaisquer, diremos que:A e B são mutuamente exclusivos se A n B = 07.5 Exercícios Propostos1. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da facesuperior.Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos:a) A: sair face par.b) 9: sair face primo.c) C: sair face maior que 3.d) D: sair face maior que 6.e) E: sair face múltipla de 3.f) F: sair face menor ou igual a 4.2. Considere o espaço amostral S = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) e os seguinteseventos:A = 12, 3, 4)B = {I, 3, 5, 7, 9)c = {5}D = {1, 2, 3)E = 12, 4, 6)Determine:a) AuBb) AnBC) CAd) CBe) C(A u B)f) AnC3. Dos eventos A, B, C, D e E do problema anterior, quais são mutuamente exclusivos?4. O experimento consiste em lançar dois dados e observar a soma dos pontos dasfaces superiores.Determine o espaço amostral (Sugestão: use o diagrama de árvore).

150 Estatística 15. O experimento consiste em lançar dois dados e observar a diferença dos pontosIdas faces superiores. Determine o espaço amostral do experimento. (Sugestão:use o diagrama de árvore).6. O experimento consiste em lançar dois dados e observar o produto dos pontosdas faces superiores. Determine o espaço amostral do experimento. (Sugestão:use o diagrama de árvore).7. O experimento consiste em lançar dois dados e observar, em módulo, a diferençados pontos das faces superiores. Determine o espaço amostral do experimento.(Sugestão: use o diagrama de árvore).8. O experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre onúmero de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento. (Sugestão: useo diagrama de árvore).9. O experimento consiste em retirar duas cartas de um baralho comum e anotarordenadamente os naipes destas cartas. Determine o espaço amostral do experimento,(Sugestão: use o diagrama de árvore).10. Uma urna contém duas peças defeituosas e três peças boas. Uma a uma aspeças serão retiradas sem reposição, e analisadas. O experimento será encerradoquando as peças defeituosas forem identificadas.Anota-se como resultado do experimento a sequência de peças boas e defeituosasanalisadas. Determine o espaço amostral do experimento (Sugestão: useo diagrama de árvore).RESPOSTAS1. a) A={2,4,6)b) B = (2, 3, 5)C) C = {4, 5, 6)d) D={ )e) E = (3, 6)i) F={1, 2,3,4)2. a) AuB={1,2,3,4,5,6,7,9)b) A v B = {3)C) CA = {I, 5, 6, 7, 8, 9, 10)d) Cs={2,4, 6,8, 10).e) C(AUB)={~,~, 10)i) AvC={ )3. AeC;BeE;CeD;CeE.4. S={2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)5. S={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5)6. S={l,2, 3,4,5,8, 9, 10, 12, 15, 16, 18,20,24,25, 30,3617. S={O, 1,2,3,4,5}8. S={-3,-1, 1.3)9. Espadas = E, Paus = F! Ouros = O, Copas = C; S = {CC, CE, CF: CO, PC, PE, PF: PO, EC, EE, EF: EO,oc, OF: OE, 00)10. S = {BBB, BBDB, BBDD, BDBB, BDBD, BD4 DBBB, DBBD, DBD, DO)I

Probabilidades 1517.6 Função de ProbabilidadeUma vez identificado o espaço amostral S = {a,, a2, ..., a,} de um experimento,podemos associar a cada elemento a,, a2, ..., a, sua possibilidade deocorrência.Do ponto de vista matemático, esta associação é uma função chamadafunção de probabilidade, que definiremos da seguinte forma:Função de probabilidade é uma função definida no espaço amostral S1 do experimento, assumindo valores reais, com as seguintes propriedades:COMENTÁRIO: O valor p(aJ é denominado probabilidade de ocorrênciado resultado ai.É evidente que quando um elemento não tem possibilidade de ocorrer,dizemos que sua probabilidade de ocorrer é zero. E quando um elementoocorrerá certamente, dizemos que sua probabilidade de ocorrência é 100% ou 1.Por outro lado, quando somarmos as probabilidades de ocorrências detodos os elementos do espaço amostral, isto deve corresponder a probabilidademáxima possível, que é 100%.Veja na sequência como determinar os valores p(aJ.1 7.7 Definição de ProbabilidadeExistem três formas de se definir probabilidade. A escolha da formadepende da natureza da situação.1Aplica-se as situações em que os resultados que compõem o espaçoamostral ocorrem com mesma regularidade, ou seja, os resultados são equiprováveis.Deste modo definimos:

152 Estatística 1onde:n(ai) é o número de casos favoráveis a realização de a,n é o número total de casos possíveis.2" Forma: PROBABILIDADE FREQUENCIALISTAIIdos.Deve ser aplicada quando não se conhece a regularidade dos resulta-Este processo baseia-se na evolução da frequência relativa do resultadoa, a medida que o número de repetições do experimento cresce. Matematicamente:r - 7P(aJ =lim (fr (ai))38 Forma: PROBABILIDADE PERSONALISTAHá situações em que os resultados do experimento não ocorrem commesma regularidade e não há possibilidade de se repetir sucessivamente oexperimento, ou seja, não podemos aplicar nem a forma clássica e nem aforma frequencialista de probabilidades.Nesta situação, devemos socorrer-nos de um especialista neste tipo deexperimento, para que ele nos dê sua opinião pessoal a respeito do valor daprobabilidade de cada resultado.Este é um processo subjetivo de avaliação de probabilidades.Exemplos:1. O experimento consiste no lançamento de uma moeda e na observaçãoda face superipr. Determine o espaço amostral do experimento e afunção de probabilidades.veis.Solu~ão: O espaço amostral é S = {c, k}.Os elementos c e k que compõem o espaço amostral são equiprová-Usando o conceito clássico de probabilidades, avaliamos:

Probabilidades 153Portanto, a função de probabilidade neste caso é:2. O experimento consiste no lançamento de um dado e na observaçãoda face superior. Determine o espaço amostral do experimento e a funçãode probabilidade.Solução: O espaço amostral é S = {I, 2, 3, 4, 5, 6). Os elementos quecompõem o espaço amostral são equiprováveis.Usando o conceito clássico de probabilidades, avaliamos:A função de probabilidade neste caso tem a apresentação:3. O experimento consiste no lançamento de duas moedas e na observaçãodo número de caras obtidas neste lançamento. Determine o espaçoamostral e a função de probabilidade.Solução: O espaço amostral do experimento é S = {O, 1,2}.O resultado O (zero) caras só ocorre quando ocorrer (k, k) no lançamentodas moedas.O resultado 2 só ocorre quando ocorrer (c, c) no lançamento das moedas.O resultado 1 ocorre quando ocorrer (c, k) ou (k, c) no lançamento dasmoedas.Portanto, o resultado 1 tem o dobro de possibilidade de ocorrer que oresultado 2 ou o resultado zero.

154 Estatística 1A função de probabilidade neste caso é:SR1 ~(0) = '4 (k, k)2 ~(1)='/2 (c,k)(k,c)3 p(2)='4 (c,c)4. O experimento consiste no lançamento de dois dados e na observaçãoda soma dos pontos das faces superiores. Determine o espaço amostraldo experimento e a função de probabilidade.Solução: O espaço amostral do experimento é S = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12}.Estes resultados não são equiprováveis, pois há várias combinaçõesque conduzem a soma 6, enquanto apenas uma combinação conduz a soma2.A função de probabilidade é:5. O experimento consiste em selecionar ao acaso uma família eobservar o número de filhos do casal. Determine o espaço amostral do experimentoe a função de probabilidade.Solução: O espaço amostral do experimento é S = {O, 1, 2, 3, ..., n}.Estes resultados não são equiprováveis e, embora haja regularidadedos resultados, esta regularidade não pode ser avaliada pelo processo clássico.Como o experimento pode ser facilmente repetido, recorremos ao conceitofrequencialista de probabilidades.

IProbabilidades 155Vejamos como calcular a probabilidade do primeiro resultado. Os demaispodem ser obtidos exatamente da mesma maneira.Selecionamos inicialmente 10 famílias e verificamos a frequência relativade famílias com zero filho.Aumentamos o número de famílias para 20 e novamente calculamos afrequência relativa de famílias com zero filho.Aumentamos sucessivamente o número de famílias para 30, 40, 50,100, sempre recalculando a frequência relativa de famílias com zero filho.Com isto, obtemos uma sequência de valores para a frequência relativade famílias com zero filho que convergirá rapidamente para um valor real c,isto é,lim fqO) =cn+-Diremos então que P(0) = c.IEste procedimento pode ser adotado em todos os casos onde o conceitoclássico de probabilidades é aplicado. No entanto, é um processo maiscaro, mais demorado e mais trabalhoso.6. O experimento consiste em verificar o resultado da tramitação deum projeto de lei na Câmara dos Deputados. Determine o espaço amostral e afunção de probabilidade associada.do).Solução: O espaço amostral do experimento é S = {aprovado, reprova-A regularidade destes resultados não pode ser avaliada pelo conceitoclássico de probabilidade.A repetição do experimento neste caso não é um processo eficientedevido a diferença entre as naturezas dos projetos julgados.Só nos resta a possibilidade de usar o processo personalista de probabilidade.Devemos consultar um especialista neste tipo de assunto que iráavaliar a probabilidade de o projeto ser aprovado ou rejeitado.7.8 Exercícios Propostos1. Considere o seguinte espaço amostral de um experimento: S = 12, 3, 5, 8). Verifiquese a função:

156 Estatística 1S- P R2- p(2) = 0,253- p(3) = 0,255- p(5) = O, 158- p(8) = 0,05pode ser uma função de probabilidade associada a este espaço amostral.2. Considere o seguinte espaço amostral de um experimento: S = {I, 2, 4, 7, 8).Verifique se a função:S ~ R1- ~(1) = o, 12- ~(2) = 024- ~(4) = 047- ~(7) = o, 78- ~(8) = Orapode ser uma função de probabilidade associada, a este espaço amostral.3. Considere o seguinte espaço amostral de um experimento: S = {O, 2, 4, 5)Verifique se a função:S ~ Ro- ~(0) = 0,32- ~(2) = 024- ~(4) = 0,35- ~(5) = 02pode ser uma função de probabilidade associada a este espaço amostral.4. O experimento consiste em lançar dois dados e observar o dobro da soma dospontos das faces superiores. Determine a função de probabilidade.5. O experimento consiste em lançar dois dados e observar a diferença dos pontosdas faces superiores. Determine a função de probabilidade.6. O experimento consisfe em lançar dois dados e observar, em módulo, a diferençados pontos das faces superiores. Determine a função de probabilidades.7. O experimento consiste em lançar dois dados e observar o produto dos pontosdas faces superiores. Determine a função de probabilidade.8. O experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre onúmero de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento. Determine afunção de probabilidade.9. O experimento consiste em retirar ao acaso uma bola de uma urna que contém 20bolas iguais em peso e volume; sendo 5 bolas brancas, 8 bolas pretas e 7 bolasamarelas, e anotar sua cor. Determine a função de probabilidade.10. O espaço amostral de um experimento é S = {1, 2, 7, 10). Se as probabilidades deocorrência destes valores são diretamente proporcionais aos respectivos valores,determine a função de probabilidade associado a este espaço amostral.

Probabilidades 157RESPOSTAS1. Não, pois L p(aJ + 12. Não, pois L p(aJ # 13. Sim, pois as condições (1) O l p(aJ S 1 e (2) L p(aJ = 1 estão satisfeitas.

158 Estatística 17.9 Probabilidade de um EventoA probabilidade de ocorrência de um evento A, que indicaremos porp(A), é a soma das probabilidades dos elementos que pertencem a A.Exemplo: O experimento consiste no lançamento de um dado e naobservação da face superior. Determine a probabilidade de cada um doseventos abaixo:a) Sair face 2 ou face 3.b) Sair face ímpar.c) Sair face maior que 1.d) Sair face 5.e) Sair face 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.f) Sair face múltiplo de 9.Solução: Inicialmente, determinaremos o espaço amostral e a funçãode probabilidade.O espaço amostral é S = {I, 2, 3, 4,5, 6).A função de probabilidade é dada por:

Probabilidades 159a) A = (2, 3). Segundo a definição de probabilidade de um evento,P(A) = ~ (2) + ~(3).1 1A função de probabilidade estabelece que p(2) = - e p(3) = -.6 6Desta forma,b) B = (1, 3, 5) e p(B) = p(1) + p(3) + p(5). Portanto:7.1 0 Exercícios Propostos1. No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das facessuperiores, determine a probabilidade de cada um dos eventos seguintes:1.1. A-Asomaserpar.1.2. B - A soma ser ímpar.1.3. C - A soma ser múltiplo de 3.1.4. D -A soma ser número primo.1.5. E -A soma ser maior ou igual a 7.1.6. F - A soma ser maior que 12.

160 Estatística 12. No lançamento de dois dados e na obsen/ação do produto dos pontos das face:superiores determine a probabilidade dos seguintes eventos:2.1. A - O produto ser menor que 10.2.2. B - O produto ser um número de 5 a 12.2.3. C - O produto ser um número entre 5 e 12.2.4. D - O produto ser menor ou igual a 10.2.5. E - O produto ser no máximo 20.2.6. F - O produto ser múltiplo de 4.3. O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de urconjunto de 50 deputados presentes em uma reunião.HMCasadoSolteiroDesquitadoDivorciado1 O5788354Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos:3.1. A - Ser um homem.3.2. B - Ser uma mulher.3.3. C - Ser uma pessoa casada.3.4. D - Ser uma pessoa solteira.3.5. E - Ser uma pessoa desquitada.3.6. F - Ser uma pessoa divorciada.4. O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 30 mulheres, segundoo estado civil e a cor dos cabelos:Cor dos cabelos Loira MorenaRuivaCasadaSolteiraViúvaDivorciada52O384113111Uma mulher é sorteada neste grupo. Determine a probabilidade dos eventos:4.1. A - Ser casada.4.2. B - Não ser loira.4.3. C - Não ser morena nem ruiva.4.4. D - Ser viúva.4.5. E - Ser solteira ou casada.4.6. F- Ser loira e casada.4.7. G - Ser morena e solteira.4.8. H - Ser viúva e ruiva.

Probabilidades 1615. Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada(I a 20).Determine a probabilidade dos seguintes eventos:5.1. A - Ser sorteado um número par.5.2. B - Não ser sorteado múltiplo de 5.5.3. C - Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3.5.4. D - Ser sorteado um número menor que 7 e múltiplo de 4.5.5. E - Ser sorteado um número menor que 13, maior que 8 e múltiplo de 7.5.6. F - Ser sorteado um número real.RESPOSTAS

162 Estatística 17.1 1 Axiomas de ProbabilidadeO cálculo de probabilidades pode ser desenvolvido a partir de trêsaxiomas que o interessado aceitará facilmente, tendo em vista o que foi expostoanteriormente.1) OIP(A)I12) P(S) = 13) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então,P(A u B) = P(A) + P(B).

Cálculo deProbabilidades8.1 Teoremas Fundamentais8.1.1 1 P(0) = O I PROBABILIDADE DO CONJUNTO VAZIOProva: De fato, como o conjunto 0 não possui elementos, S u 0 = S.Eventos iguais possuem os mesmos elementos e portanto a mesmaprobabilidade de ocorrência. Portanto, P(S u 0) = P(S).Com relação ao primeiro membro da igualdade, S e 0 são eventosmutuamente exclusivos, e pelo axioma (3), P(S u 0) = P(S) + P(0).Substituindo na expressão anterior, obtemos:8.1.2 1 HCA) = 1 - HA) I PROBABILIDADE DO COMPLEMENTARProva: A u CA = S. Eventos iguais possuem os mesmos elementos eportanto a mesma probabilidade de ocorrência: P(A u CA) = P(S). Comrelação ao primeiro membro da igualdade, A e CA são eventos mutuamente. exclusivos, portanto, pelo axioma (3), P(A u CA) = P(A) + P(CA). Com relaçãoao segundo membro, pelo axioma (2), P(S) = 1. Substituindo estes valores,obtém-se:P(A) + P(CA) = 1P(CA) = I - P(A)8.1.3 PROBABILIDADE DA REUNIÁOSe A e B são eventos quaisquer, então:

164 Estatística 1Prova: observando o diagramaverificamos que: A u B = (A - B) u 9. Eventos iguais possuem os mesmoselementos e portanto a mesma probabilidade de ocorrência:Com relação ao segundo membro, A - B e B são eventos mutuamenteexclusivos e, pelo axioma (3),Substituindo este valor na expressão anterior obtém-se:Por outro lado, (A - B) u (A n B) = A. Eventos iguais possuem osmesmos elementos e portanto a mesma probabilidade de ocorrência:q(A - B) u (A n B)] = P(A).Com relação ao primeiro membro, A - B e A n B são eventos mutuamenteexclusivos e, pelo axioma (3),q(A - B) u (A n B)] = P(A - B) + P(A n B)Substituindo-se este valor na expressão anterior obtém-se:P(A - B) + P(A n B) = P(A). Então:P(A - B) = P(A) - P(A n B)

Cálculo de Probabilidades 165Portanto, P(A u B) = P(A) - P(A n B) + P(5)P(A u 5) = P(A) + P(B) - P(A n 5)8.1.4 EXERC~CIOS PROPOSTOS1. Se P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 e P(A n B) = 0,1, determine P(A u B).2. Se P(A) = 0,5, P(A n B) = 0,2 e P(A u B) = 0,9, determine P(B).3. Se P(A u B) = 0,8, P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5, determine P(A n 13).4. Se P(A u B) = 0,8, P(A) = 0,7 e P(B) = 0,4, os eventos A e B são mutuamenteexclusivos ?5. Se P(A u B) = 0,9, P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, os eventos A e B são mutuamenteexclusivos ?6. Se P(A u B) = 0,7 e P(A) = 0,2, determine P(B), sendo A e B eventos mutuamenteexclusivos.7. Se a probabilidade de não chover em determinada data é 0,25, qual é a probabilidadede chover nesta mesma data?8. Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças. Qual é aprobabilidade de se selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa?9. Qual é a probabilidade de sair face 4 ou 5 em um lançamento de um dado?10. Qual é a probabilidade de não sair face 4 ou 5 em um lançamento de um dado?Respostas1. 70%2. 60%3. 30%4. Não.5. Sim.6. 50%7. 75%a 8. 5/89. 1/310. 2138.5 Probabilidade CondicionalIntrodução: Considere o lançamento de um dado e a observação daface superior.O espaço amostra1 do experimento é S = (1, 2,3, 4,5, 6) e a função deprobabilidade é:

168 Estatística 1Os valores Pfb/,) = I/' no primeiro exemplo e P(TA) = 2/4 no segundoexemplo poderiam ser obtidos mais facilmente, sem a necessidade de reduziro espaço amostral nem redefinir a função de probabilidade.Podemos usar so o espaço amostral original e a função de probabilidadeoriginal se considerarmos a seguinte definição:Se P(A) z 0:Assim, no primeiro exemplo, A = (2, 3, 5, 6) e B = (1, 2}As probabilidades simples de A e B são: P(A) = 4/6 e P(B) = */6.A intersecção de A e B é A n B = {2} e P(A n B) =A probabilidade condicional de B em relação a A é:No segundo exemplo, A = (2, 3, 4, 5) e B = (1, 3, 4)As probabilidades simples de A e B são: P(A) = 96 e P(B) = 76.A intersecção de A e B é A n B = (3, 4) e P(A n B) = 2/6.A probabilidade condicional de B em relação a A é:Da expressãopodemos obter a fórmula de cálculo da probabilidade para a intersecção deeventos:

Cálculo de Probabilidades 169RA B) = RB/~) -44Esta fórmula pode ser generalizada para vários eventos segundo umaregra baseada na associatividade de eventos:Em particular, se A e B são eventos independentes, entãoP(B/A) = P(B), e substituindo-se o valor na fórmula de P(A n B), obtém-se:Se A B, C e D são eventos independentes, então:EXERC~CIOS RESOLVIDOS1. Os estudantes de um colégio, presentes em uma reunião, foram classificadospor sexo e por opção da área de formação segundo o quadro abaixo:MFADMCCEC1068854Calcular as probabilidade de que:a) Alunas optem por Administração.b) Aluno opte por Economia.c) Seja aluno sabendo-se que optou por Ciências Contábeis.d) Aluno opte por Ciências Contábeis

MFADM 10 8 18CC 6 5 11EC 8 4 122. Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmiossorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual é a probabilidadede ganhar os dois prêmios?Soluçáo:G, : Ganhar o primeiro prêmioG2: Ganhar o segundo prêmio8.1.6 EXERC~CICIS PROPOSTOSI. Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolasbrancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade deque:a) ambas sejam pretasb) ambas sejam vermelhasc) ambas sejam da mesma cord) ambas sejam de cores diferentes.2. Resolva o problema anterior considerando as retiradas com reposição.

Cálculo de Probabilidades 1713. Se P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 e P(A n B) = 0,1, os eventos A e B são independentes?4. Se P(A u B) = 0,8 e P(A) = 0,5, determine P(B) sendo A e B independentes.5. Se P(A u B) = 0,8, P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5, os eventos A e B são independentes?6. Uma empresa garante, na embalagem de seu produto, que apenas 2% das peçasproduzidas por ela são defeituosas. Se adquirirmos uma caixa contendo 12 peçasproduzidas por esta empresa, qual é a probabilidade de que as duas primeiraspeças selecionadas ao acaso desta caixa sejam defeituosas?7. Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dosDeputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dosDeputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidadede ser aprovado no Senado é 80%. Calcule a probabilidade deste projeto sertransformado em lei.8. As pesquisas de opinião apontam que 20% da população é constituída por mulheresque votam no partido X. Sabendo-se que 56% da população são mulheres,qual é a probabilidade de que uma mulher selecionada ao acaso na populaçãovote no partido X?9. Uma empresa avalia em 60% a sua probabilidade de ganhar uma concorrênciapara o recolhimento do lixo em um bairro A da capital. Se ganhar a concorrênciano bairro A, acredita que tem 90% de probabilidade de ganhar outra concorrênciapara o recolhimento do lixo em um bairro B próximo a A.Determine a probabilidade de a empresa ganhar ambas as concorrências.10. No primeiro ano de uma faculdade, 25% dos estudantes são reprovados emMatemática, 15% são reprovados em Estatística e 10% são reprovados em ambas.Um estudante é selecionado ao acaso, nesta faculdade. Calcule a probabilidadede que:a) Ele seja reprovado em Matemática, sabendo-se que foi reprovado em Estatística.b) Ele não seja reprovado em Estatística, sabendo-se que foi reprovado emMatemática.RESPOSTAS1. (a) l/15 fb) %2. (a) %OO (b) V43. Não4. 0,65. Sim6. 0,00047. 0,32a. 5/149. 0,5410. (a) 93 (b) 0,6(C) '%5 (4 31/45(c) 38/100 (d) 62/100

172 Estatística 18.1.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTALIntrodução: Suponha que o espaço amostral S de um experimentoseja dividido em três eventos RI, R2, R3 de modo que:R, n R2 = 0R2 n R3 = 0RI n R3 = 0R, u R2 u R, = Se considere um evento B qualquer. O evento B pode ser escrito como:B= Bn S.Como S= RI u R2 u R3, então B= Bn (R, u R2 u R3) ouP(B) = P[(Bn R,) u ( Bn R2) u ( Bn R,)]Pelo fato de (B n R,), (B n R2), (B n R3) serem eventos mutuamenteexcIusivos,P(B) = P(Bn R,) + P(Bn R2) + P(Bn R3).As intersecções do 2Wembro podem ser desenvolvidas segundo afórmula P(A n B) = P(A/s) . P(B).Assim:e R,.Nesta dedução, dividimos o espaço amostral S em três partes, R,, R2O resultado final P(B) independe do número de divisões do espaçoamostral.

Cálculo de Probabilidades 173Assim, se tivéssemos dividido S em duas regiões apenas, R, e R2,então P(B) seria dado por:Se tivéssemos dividido S em quatro regiões R,, R2, R3 e R4, entãoP(B) seria dado por:O teorema da probabilidade total pode ser escrito de forma geral:Exemplos:1. Um piloto de Fórmula Um tem 50% de probabilidade de vencerdeterminada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chovadurante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço deMeteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida,qual é a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida?Solugáo: Definindo os eventos:G: o piloto ganhar a corridaCh: chover durante a corridaNCh: não chover durante a corridaEntão:2. A experiência com testes psicotécnicos para habilitação de motoristasindica que 90% dos candidatos a habilitação aprovados no primeiroleste tornam-se excelentes motoristas.70% dos candidatos reprovados no primeiro teste tornam-se péssimos'motoristas. Admitindo-se a classificação dos motoristas apenas em excelentesou péssimos, responda:

174 Estatística 1a) Um candidato acaba de ser reprovado em seu primeiro teste psicotécnico.Qual é a probabilidade de que se torne um excelentemotorista?b) Um candidato acaba de ser aprovado em seu primeiro teste psicotécnico.Qual é a probabilidade de que se torne um péssimo motorista?c) Um indivíduo acaba de fazer um teste psicotécnico. Se 80% doscandidatos são aprovados neste teste, qual é a probabilidade deque se torne um excelente motorista?Solução: Definindo os eventos:A: o candidato ser aprovado no primeiro testeR: o candidato ser reprovado no primeiro testeE: o candidato tornar-se excelente motoristaP: o candidato tornar-se péssimo motoristaEntão:a) P(VR) = 1 - -(?R) = 1 - 0,70 = 0,30 OU 30%b) P(qA) = 1 - P(VA) = 1 - 0,90 = 0,10 OU 10%C) P(E) = P(%) . P(A) + P(%) . P(R)P(E) = 0,90 . 0,80 + 0,30 . 0,20P(E) = 0,78 ou 78%8.1.8 EXERC~CIOS PROPOSTOS1. As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30% respectivamente da produçãode uma empresa.A máquina A produz 2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peçasdefeituosas.Calcule o percentual de peças defeituosas na produção desta empresa.2. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho.A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de umapesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que consiga resolvera questão é de 70%.Se a probabilidade do aluno fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade deque consiga resolver a questão.

Cálculo de Probabilidades 1753. Uma junta apuradora de votos recebe 50 urnas. Sabe-se que cinco urnas são debairros habitados por indivíduos da classe A, 15 urnas de bairros habitados porindivíduos da classe B e 30 urnas são de bairros habitados por indivíduos daclasse C. A última pesquisa realizada mostrou o quadro de intenções de votos:Intenção de votos por bairros (%)Candidato BAIRRO A BAIRRO B BAIRRO CIVentarolaCalcule a probabilidade de que:~a) O primeiro voto anunciado seja do candidato Ventarola.b) O primeiro voto anunciado não seja do candidato H. C,4. Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos de plantas, P,, P2, P3 e P4.Plantados canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de todas germinaremé de 40% para P1, 30% para P2, 25% para P3 e 50% para P4.Um canteiro-piloto é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade de que todas assementes ali plantadas tenham germinado?5. Um médico plantonista está examinando uma vítima de envenenamento queacaba de dar entrada no hospital. Um rápido exame preliminar leva o médico aconcluir que o envenenamento é devido a ingestão de uma das drogas A ou B ouC. Ele dispõe de dois tipos de medicamentos com o seguinte quadro de eficácia:Eficácia específica (%)MedicamentoDroga ingeridaABCMi704080MP509060Qual é o medicamento que o plantonista deve ministrar, se a urgência da situaçãonão lhe permite outras opções?IIRESPOSTAS1. 3,8%2. 64%3. a) 5,5%b) 72%4. 36,25%5. O medicamento M2'

176 Estatística 18.1.9 TEOREMA DE BAYESNote que no caso da determinação de P(B) através da utilização doteorema da probabilidade totalP(B) = P(B/R,).P(R1) + P('/R~).P(R~) +-..+ P(B/RJ.P(R~),precisamos obviamente conhecer as probabilidades condicionaisP(B/n), P(B/n,),..., P(B/~), que representaremos de modo genérico por P(9,para i = 1, 2 ,..., n.Se desejarmos avaliar uma probabilidade condicional do tipo P(Ri/&,devemos utilizar o teorema 4. Assim,A expressão do numerador P(Ri n B) pode ser desenvolvida para:e a expressão do denominador P(B) pode ser desenvolvida pelo teorema 5.Substituindo-se estes valores, obtém-se:Esta particular combinação dos teoremas 4 e 5 é denominada teoremade Bayes.EXERC~CIOS RESOLVIDOS1. As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40% respectivamente, daprodução de uma empresa.Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3%e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produçãodesta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzidapela máquina B3

Cálculo de Probabilidades 177Solução: Definidos os eventos:A: a peça ter sido produzida pela máquina A.B: a peça ter sido produzida pela máquina B.d a peça ser defeituosa.Então:Uma empresa de material cerâmico está desenvolvendo um modelo decaneca para chope e deverá lançá-la numa tradicional festa do chope emSanta Catarina. Esta empresa sabe que uma concorrente está desenvolvendoum projeto similar com as mesmas intenções e acredita que aprobabilidade de o concorrente lançar o produto ainda este ano é de 40%.Um fornecedor comum se oferece para bisbilhotar a concorrente parasaber ao certo se o lançamento será ou não efetuado este ano. A empresaacredita que se ele confirmar o fato, há 60% de probabilidade dele estarcorreto. Caso o fornecedor não confirme o lançamento, a probabilidade deestar correto é de 90%. Avalie a nova expectativa da empresa:a) No caso de o fornecedor confirmar o evento.b) No caso de o fornecedor negar o evento.Solução: Definindo os eventos:L: A empresa concorrente lançar o produto este ano.NL: A empresa concorrente não lançar o produto este ano.DS: O fornecedor dizer que a concorrente lançará o produto este ano.DM O fornecedor dizer que a concorrente não lançará o produto este ano.

178 Estatística 18.1.1 0 EXERC~CIOS PROPOSTOSI. Em uma agência bancária, 30% das contas são de clientes que possuem chequeespecial, O histórico do banco mostra que 3% dos cheques apresentados sãodevolvidos por insuficiência de fundos e que dos cheques especiais, 1% sãodevolvidos por insuficiência de fundos. Calcule a probabilidade de que:a) Um cheque não especial que acaba de ser apresentado ao caixa seja devolvido.b) um cheque seja especial, sabendo-se que acaba de ser devolvido.2. A associação das seguradoras de veículos afirma que 40% dos veículos emcirculação possuem seguro e que dos veículos sinistrados 45% possuem seguro.O Departamento de Trânsito informa que 8% dos veículos sofrem algum tipo desinistro durante um ano. Calcule a probabilidade de que um veículo segurado nãosofra um sinistro durante um ano.3. Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos de plantas, P,, P2, P3 e Pq.Plantados canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de todas germrnaremé de 40% para P,, 30% para P2, 25% para P3 e 50% para P,.a) Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que nem todas as sementeshaviam germinado. Calcule a probabilidade de que o canteiro escolhido seja ode sementes de P,.b) Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que todas as sementes haviamgerminado. Calcule a probabilidade de que o canteiro escolhido seja o desementes de P,.4. Um candidato e seus correligionários têm uma expectativa de 90% de que ganharãoas próximas eleições. Um auxiliar de campanha resolveu por conta própriafazer uma pesquisa sobre o fato, entrevistando indivíduos do comitê do candidatoe de pessoas que lá compareciam para pedir favores em troca de votos.Se o resultado desta pesquisa confirmar o fato, nada se altera ou seja, a probabilidadede a pesquisa acertar o resultado é de 90%.Se o resultado não confirmar a expectativa, o ambiente se modifica, já que nestascircunstâncias, a pesquisa tem credibilidade quase total. Considerando estes fatos,ele atribui a pesquisa uma probabilidade de 98% de acertar, se concluir peladerrota nas eleições., Se este fato ocorrer, qual é a nova expectativa do candidato?5. O encarregado de uma agência de detetives comenta com uma cliente: Se chegarmosa conclusão de que seu marido é infiel, pode acreditar, pois nossa margem deerro é de apenas 5%. Entretanto, se as provas que conseguirmos não foremconvincentes, diremos que ele é fiel. Neste caso, nossa margem de erro é 30%. Acliente diz ter quase certeza de que o marido é infiel, isto é, acha que a probabilidadedisto ocorrer é de 90%.a) Se a investigação concluir que o marido é infiel, qual é a nova expectativa dacliente ?b) E se a investigação concluir que não?

Cálculo de Probabilidades 179RESPOSTAS8.2 Exercícios GeraisOs funcionários de uma empresa foram classificados de acordo com seu grau deescolaridade e nível salarial segundo o quadro abaixo:--lo Grau3" GrauNível lNível IINível IIINível IVUm funcionário é escolhido ao acaso. Determine a probabilidade de que:1. Tenha somente o primeiro grau.2. Tenha o segundo grau.3. Tenha somente o segundo grau.4. Tenha nível salarial I1 e 2"grau.5. Tenha nível salarial 111 sabendo-se que tem 3"grau.6. Tenha 2"grau sabendo-se que tem nível salarial 111.7. Tenha 3" grau e nível salarial I.8. Tenha nível salarial 111 ou 2" grau.9. Tenha nível salarial menor que 111.10. Tenha 1" ou 2Qrau sabendo-se que tem nível salarial maior que 11.I I. Uma empresa produz 4% de peças defeituosas. O controle de qualidade daempresa é realizado em duas etapas independentes. A primeira etapa acusauma peça defeituosa com 80% de probabilidade de acerto. A segunda etapaacusa uma peça defeituosa com 90% de probabilidade.Calcule a probabilidade de que:a) Uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade.b) Ao adquirir uma peça produzida por esta empresa, ela seja defeituosa.

180 Estatística 112. Uma pesquisa realizada sobre a preferência dos consumidores por três categoriasde veículos A, B e C de uma indústria automobilística revelou que dos 500 entrevistados,2 10 preferiam o veículo A230 preferiam o veículo B160 preferiam o veículo C90 preferiam o veículo A e B90 preferiam os veículos A e C70 preferiam os veículos B e C.120 dos entrevistados não preferiam nenhuma das três categorias.Um consumidor é selecionado ao acaso entre os entrevistados. Calcule a proba-bilidadede que:a) Ele prefira as três categorias.b) Ele prefira somente uma das categorias.c) Ele prefira pelo menos duas categorias.13. As fábricas A, B e C são responsáveis por 50%, 30% e 20% do total de peçasproduzidas por uma companhia. Os percentuais de peças defeituosas na produçãodestas fábricas valem respectivamente 1%, 2% e 5%. Uma peça produzida poresta companhia é adquirida em um ponto de venda. Determine a probabilidade deque:a) A peça seja defeituosa.b) A peça tenha sido produzida pela fábrica C, sabendo-se que é defeituosa.c) Não tenha sido produzida pela fábrica A se ela é boa.14. Uma pessoa compra três bilhetes de uma rifa de 100 bilhetes, que dá váriosprêmios. Calcule a probabilidade de que esta pessoa:a) ganhe o prêmio do primeiro sorteio.b) ganhe o prêmio do segundo sorteio, se ela não ganhou o prêmio do primeirosorteio.c) ganhe os prêmios do primeiro e do segundo sorteios.d) não ganhe nenhum dos prêmios dos cinco sorteios realizados.e) ganhe pelo menos um prêmio nos cinco sorteios realizados.15. Uma máquina produz parafusos e sabe-se que o percentual de parafusos defeituososproduzidos é de 0,5%. Sabendo-se que a fabricação constitui um processoindependente, calcule a probabilidade de:a) Aparecer dois parafusos defeituosos em sequência.b) Aparecer um parafuso defeituoso e um parafuso perfeito, em sequência nestaordem.c) Aparecer um parafuso perfeito e um parafuso defeituoso em sequência.d) Aparecer três parafusos perfeitos em sequência.

Cálculo de Probabilidades 18116. Uma junta apuradora de votos recebe 50 urnas, dos quais 5 vindas de bairroclasse A, 15 de bairros classe B e 30 de bairros classe C, A última pesquisarealizada mostrou o quadro de intenções de votos:Intenção de votos por bairros (%)Candidato BAIRRO A BAIRRO B BAIRRO CVentarolaO primeiro voto anunciado foi do candidato HC. Um partidário de LALÚ disse queo voto é de um indivíduo da classe A. Qual a probabilidade de ele estar certo?1 7. Uma pesquisa realizada entre 200 clientes de uma agência de automóveis mostrouque 150 preferem carros nacionais, 100 preferem carros populares e 80preferem carros populares nacionais. Calcule a probabilidade de que o próximocliente a ser atendido nesta agência:a) solicite um carro nacionalb) não solicite um carro popularc) solicite um carro popular ou nacional18. No dapartamento de métodos quantitativos de uma Faculdade, 60% dos professoreslecionam Matemática, 30% lecionam Estatística e 20% dos professores deMatemática também lecionam Estatística. Calcule a probabilidade de que um professorselecionado ao acaso no Departamento:a) lecione Matemática e Estatísticab) lecione Matemática e não lecione Estatísticac) lecione Estatística e não Matemáticad) lecione Matemática ou Estatísticae) não lecione Matemática, sabendo-se que leciona Estatística.19. O departamento de desenvolvimento de projetos de uma empresa emprega cincoengenheiros. O encarregado deste departamento foi informado da presença de umespião industrial entre eles, e organizou um teste que identifica o espião.Se o teste for aplicado mais que duas vezes, por problemas de intercomunicação,ele perde 80% de sua eficácia a cada vez que é aplicado. Calcule a probabilidadede que:a) O espião seja identificado no máximo no segundo testeb) O espião seja identificado somente no terceiro testec) O espião não seja identificado pelo teste.20. A probabilidade de que um carro apresente problemas de carburação é de 40%, ede distribuição é de 30%.Se o problema for de carburação, a probabilidade de conserto no local é de 80%.Se o problema for de distribuição, a probabilidade de conserto no local é de 60%.Se o problema for de outra natureza, a probabilidade de conserto no local é de10%.

182 Estatística 1Um carro acaba de apresentar problemas. Calcule a probabilidade de que sejaconcertado no local.21. Uma pessoa deseja fazer sua barba de manhã.Ele possui para isto apenas um barbeador elétrico que funciona com um conversarligado a rede elétrica, ou com duas pilhas.A probabilidade de que não haja problemas de energia elétrica no momento é de90%.Caso haja problemas de energia elétrica, ele possui duas pilhas usadas, cujaprobabilidade individual de funcionamento é de 40%.Calcule a probabilidade de que esta pessoa consiga fazer sua barba de manhã.22. Uma empresa está desenvolvendo três projetos. Uma avaliação no estágio atualde desenvolvimento dos projetos resultou na tabela abaixo:ABCProbabilidade determinar no prazo- Otimista -80%70%50%Probabilidade determinar no prazo- Pessimista -40%20%5%Qual é a probabilidade de a empresa terminar pelo menos dois projetos no prazo,se:a) O avaliador é otimistab) O avaliador é pessimista23. Em determinada corrida, a chance de um piloto vencer é, segundo os especialistas,de "3 para 2".Calcule a probabilidade de que:a) o piloto vença a corridab) o piloto não vença a corrida, se um defeito inesperado reduzir sua chance para"40 para 100".24. Um defeito na fabricação produziu um dado cuja probabilidade de apresentar facepar em um lançamento é o dobro da probabilidade de apresentar face ímpar.Efetua-se um lançamento deste dado e observa-se o número de pontos da facesuperior.a) Defina a função de probabilidade associada ao espaço amostra1 do experimento.b) Calcule a probabilidade de se obter um número primo.c) Calcule a probabilidade de em dois lançamentos deste dado obtermos a somados pontos observados maior que 9.d) Calcule a probabilidade de que em dois lançamentos destes dados a somados pontos seja ímpar, sabendo-se que o número de pontos no primeirolançamento é superior a 4.

Cálculo de Probabilidades 18325. Uma peça é processada em três máquinas A, B e C. A probabilidade de cada umadelas acarretar defeitos na peça é de 1 %, 2% e 3% independentemente. Calcule aprobabilidade de que:a) Uma peça seja processada sem defeitosb) Exatamente duas peças entre três processadas apresentem defeitoc) Apenas uma em mil peças processadas em um dia seja defeituosa.26. Uma fábrica de bonecas tem três linhas de produção. Um levantamento no final dodia forneceu as informações:Linha Produção Nqe peçasdefeituosasCalcule a probabilidade de que uma boneca escolhida ao acaso:a) Não apresente defeitosb) Apresentando defeitos, seja proveniente da linha A.27. Os jogadores A e B jogam 12 partidas de xadrez. A vence seis, B vence quatro eduas terminam empatadas. Eles irão disputar mais três partidas constantes de umtorneio. Qual é a probabilidade de:a) A vencer as três partidas.6) Duas partidas terminarem empatadas.c) B vencer pelo menos uma partida.28. Uma pessoa foi contactada por uma agência de turismo afirmando que ela haviasido sorteada e ganho uma viagem de graça para a cidade de Natal. A pessoaacredita que haja uma probabilidade de 70% de a proposta ser séria. Consultandoum amigo familiarizado com estas promoções, ele afirmou que a proposta eraséria. A expectativa de que o amigo acerte um caso afirmativo é de 90% e emcaso negativo é de 50%. Qual é a nova confiança da pessoa na lisura da proposta?29. Uma empresa de consultoria, especialista em solucionar problemas relativos alançamentos de produtos, classifica os problemas apresentados em três categoriasA, B e C.50% dos problemas são classificados na categoria A, 40% na categoria B e orestante na categoria C.A capacidade histórica de resolver problemas das diversas categorias é de 80% seo problema for da categoria A, 90% se for da B e 10% se for da C.Calcule a probabilidade de que:a) A empresa consiga solucionar o primeiro problema a dar entrada no dia dehoje.b) A empresa consiga solucionar os três problemas que entraram no dia de hoje.c) Um dos problemas que entraram hoje, acaba de ser resolvido. Qual é aprobabilidade que seja da categoria C?

184 Estatística 130. Uma imobiliária trabalha com os vendedores A e B.A probabilidade de A vender um imóvel é de 5% e a de B vender é de 8%.Operando normalmente, qual é a probabilidade de que:a) um deles venda um imóvelb) apenas um deles venda um imóvelc) nsnhum deles venda31. Dois homens e três mulheres disputam um torneio de pôquer. As pessoas domesmo sexo são igualmente hábeis porém sabe-se que historicamente a probabilidadede um homem ganhar o torneio é o dobro da probabilidade de uma mulherganhar. Calcule a probabilidade de que:a) Uma mulher vença o torneio.b) Se existe entre os participantes apenas um homem solteiro e uma mulhersolteira, uma pessoa solteira ganhe o torneio.32. Uma urna contém dois cartões vermelhos numerados 1 e 2 e dois cartões pretostambém numerados 1 e 2. Os cartões são idênticos, exceto na cor e no índiceanotado. Dois cartões são selecionados ao acaso sem reposição.a) Determine o espaço amostra1 do experimento.b) Determine a função de probabilidade associada.c) Determine a probabilidade de que ambos sejam vermelhos.d) Determine a probabilidade de cores e índices diferentes.e) Determine a probabilidade de que ambos sejam vermelhos, sabendo-se que oprimeiro é vermelho.f) Determine a probabilidade de que ambos tenham o mesmo índice, dado quetêm a mesma cor.33. Um grupo de 150 modelos disputam um concurso de beleza. Elas foram classificadaspor estatura e cor dos cabelos.MédiaBaixaCabelosLoiraMorenaRuiva 20A ordem de entrada das concorrentes para o desfile é feita por um sorteio executadopelo apresentador.Calcule a probabilidade de que:a) A próxima concorrente a desfilar seja loira.b) Se a próxima concorrente a desfilar for ruiva, ter estatura baixa.c) A próxima concorrente a desfilar seja alta e que tenha cabelos morenos ouruivos.34. Se os eventos A e B são tais que: P(A) = 0,3, P(B) = 0,6, calcule:

Cálculo de Probabilidades 185a) P(A n B) se A e B são independentes,b) P(A u B) se A e B são mutuamente exclusivos.C) P(%) se P(A n B) = 0,2.d) P(A u B) se P(A n B) = 0,2.35. No lançamento de um dado e na observação do número de pontos da facesuperior, os eventos:A = 12, 3, 4, 51B = 13, 6)a) são mutuamente exclusivos?b) são independentes?36. No lançamento de dois dados e na observação do número de pontos ,das facessuperiores, determine a probabilidade de que:a) O número de pontos de uma face supere a outra em mais que duas unidades.b) O número de pontos de uma face seja o dobro do número de pontos da outraface.37. O espaço amostral de um experimento é S = {2,4,3, 71 e a probabilidade de cadaelemento é diretamente proporciona/ ao valor destes elementos.a) Determine a função de probabilidade associada ao espaço amostral.b) Se A = {2, 31, determine P(A).c) determine P(CA)d) Se B = 12, 71, determine P(A u B).38. Se A e B são eventos, com P(A) = 0,2 e P(B) = 0,3, e A e B são independentes,calcule:a) P(CA)b) P(CB)C) P(A U S)d) P( B/~)39. Numa igreja, 60% dos fiéis são mulheres. Das mulheres, 30% são iniciantes. Entreos homens, 80% são veteranos. Levando-se em conta esta classificação, o pastorsorteia grupos de duas pessoas, para diretoria e tesouraria de uma quermesse.a) Qual é o espaço amostral deste experimento em função da classificaçáo?b) Qual é a probabilidade de que um casal sorteado ao acaso tenha dois veteranos?c) Qual é a probabilidade de que um grupo sorteado ao acaso tenha dois iniciantes?40. Um par é escolhido ao acaso do produto cartesiano A x B, onde:A = {1, 2, 3) e B = {I, 2, 3, 4). Descreva os eventos:a) E, ={(x,y)~ AxBIx=y)b) E,={(x,y)~ AxBlx+y=4}

186 Estatística 1Se os pares ordenados do produto cartesiano A x B são igualmente prováveis,determine a probabilidade do seguinte evento:C) E, ={(x,~)QAxBI~=)?}RESPOSTAS

Cálculo de Probabilidades 187~21. 91.60%22. a) 75%b) 10,2%23. a) 60%b) 28,57%24. a) P(l) = (P3) = P(5) = 1/9P(2) = P(4) = P(6) = 24b) 4/9c) 17/81d) 4/2725. a) 94,11%b) 0,98%c) zero26. a) 87.5%b) 60%27. a) 1/8b) 5/72c) 19/27I28. 80,77%29. a) 77%b) 45,65%C) 1,30%30. a) 12,60%I b) 12,20%I C) 87,4%31. a) 3/76) 3/732. a) V1V2, VIP,, V,P,, V,Vl, V2Pl, V2P2PlV1, P1V2, PlP2, p2v7, p2v* P2P,b) P(Vl V,) = P(VIPl) = ... = P(P2P,) = 1/12C) 1/6 d) 7/3 e) 1/633. a) 30%b) 37,5%C) 14.67%34. a) 18%b) 90%C) 1/3d) 0,7, 35. a) Não" b) Não-'. 36. a) 1/3b) 1/637. a) P(2) = 2/16, P(4) = 4/16, P(3) = 3/16, P(7) = 7/16b) 5/16C) 11/!6d) 75%38. a) 80%b) 70%

188 Estatística 1

BibliografiaBUSSAB, W. O., MORETIN, F? A. Estatística básica. 3. ed. São Paulo : Atual,1986.CHACON, P. E. Curso breve de estatística. 2. ed. Universidad de Duesto, 1965.CLARKE, A. B., DISNEY, R. L. Probabilidade e processos estatísticos. Rio deJaneiro : LTC, 1979.COSTA NETO, F? L. O. Estatística. São Paulo : Edgard Blucher, 1977.FONSECA, J. S., MARTINS, G. A. Curso de estatística. 3. ed. São Paulo : Atlas,1984.GATTÁS, R. R. Elementos de probabilidades e inferência. São Paulo : Atlas,1978.GÓES, L. A. C. Estatística: uma abordagem decisorial. São Paulo : Saraiva,1980. v. 1.GUERRA, J. G., DONAIRE, D. Estatística indutiva. 4. ed. São Paulo : LCTE,1990.KARMEL, F? H., POLASEK, M. Estatística geral e aplicada a economia. 2. ed.São Paulo : Atlas, 1976.MARTINS, G. A., DONAIRES, D. Princ@ios de estatística. São Paulo : Atlas,1979.MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações a estatística. Rio de Janeiro : LTC,1 969.SPIEGEL, M. R. Estatística. 2. ed. São Paulo : McGraw-Hill, 1985.STEVENSON, W. J. Estatktica aplicada a administração. São Paulo : Harbra,1981.WONNACOTT, T. H., WONNACOTT, R. J. Estatística aplicada a economia eadministração. Rio de Janeiro : LTC, 1981.