MAE 121 - IntroduçËao `a Probabilidade e `a Estatıstica I 3a Lista de ...
MAE 121 - IntroduçËao `a Probabilidade e `a Estatıstica I 3a Lista de ...
MAE 121 - IntroduçËao `a Probabilidade e `a Estatıstica I 3a Lista de ...
- No tags were found...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>MAE</strong> <strong>121</strong> - Introdução à <strong>Probabilida<strong>de</strong></strong> e à Estatística I<strong>3a</strong> <strong>Lista</strong> <strong>de</strong> Exercícios1. A tabela abaixo fornece dados <strong>de</strong> concentração <strong>de</strong> ozônio na gran<strong>de</strong> SãoPaulo, em partes por bilhão (ppb).6.6 6.0 4.2 4.4 5.6 2.5 5.4 4.43.5 4.0 2.4 3.0 5.6 4.7 6.5 11.74.1 3.4 10.8 5.3 4.7 7.4 5.7 3.0∑xi = 124.9 and ∑ x 2 i = 769.73(a) Calcule a concentração média e a concentração mediana do ozônio.(b) Calcule o <strong>de</strong>svio padrão da concentração <strong>de</strong> ozônio.(c) Construa um histograma dos dados acima com as seguintes classes<strong>de</strong> frequência:2 ⊢ 3 ; 3 ⊢ 4 ; 4 ⊢ 5 ; 5 ⊢ 6 ; 6 ⊢ 7 e 7 ⊢ 12 .(d) Baseado nos resultados acima, qual é a melhor medida <strong>de</strong> tendênciacentral para esta situação ? Justifique sua resposta.2. A ida<strong>de</strong> mediana dos paulistas é <strong>de</strong> 41,3 anos. Se numa pesquisa <strong>de</strong> mercado10 paulistas são escolhidos aleatoriamente, calcule a probabilida<strong>de</strong><strong>de</strong> que pelo menos 8 <strong>de</strong>les tenham menos que 41,3 anos.3. Numa sala temos 5 crianças com ida<strong>de</strong>s iguais a 3, 3, 4, 4 e 5. Trêscrianças são escolhidas, ao acaso e sem reposição, para participar <strong>de</strong> umjogo. Sejam X e Y as ida<strong>de</strong>s da criança mais nova e da mais velha,respectivamente.(a) Determine a distribuição conjunta <strong>de</strong> X e Y. (Ou seja, <strong>de</strong>termineP (X = k, Y = l) para todos os valores <strong>de</strong> k e l.)(b) Determine o coeficiente <strong>de</strong> correlação entre X e Y.4. Um fotógrafo submete algumas fotos para uma revista mensalmente segundoo seguinte acordo: Ao final <strong>de</strong> cada mês as fotos não publicadas são<strong>de</strong>volvidas e a revista não paga pelas fotos não publicadas. Por cada fotopublicada o fotógrafo ganha R$ 500,00. Neste mês ele submeteu 4 fotos eele sabe que a chance <strong>de</strong> qualquer uma das suas fotos ser publicada é <strong>de</strong>0,4 in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da foto.(a) Calcule a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ele receba R$ 1000,00 este mês.(b) Qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ele receba mais que R$ 500,00 estemês?(c) Qual é o valor esperado da remuneração <strong>de</strong>ste fotógrafo por mes?5. Numa fábrica <strong>de</strong> parafusos, as máquinas A, B, C produzem respectivamente20, 30 e 50 por cento do total. De sua produção, 6, 8, e 7 por centosão <strong>de</strong>feituosos. Um parafuso é retirado ao acaso da produção e se verificaque o mesmo está <strong>de</strong>feituoso. Quais é a probabilida<strong>de</strong> que ele tenha sidomanufaturado pela máquinas A?1
6. Três prisioneiros são informados pelo carcereiro, que nunca mente, que um<strong>de</strong>les foi escolhido ao acaso para ser executado ao amanhecer enquanto osoutros dois irão ser libertados. O prisioneiro A pe<strong>de</strong> ao carcereiro quelhe diga confi<strong>de</strong>ncialmente o nome <strong>de</strong> um dos que vai ser solto entre osoutros dois, argumenta ele que isto não lhe trará informação alguma, vistoque pelo menos um dos outros dois vai ser solto. O carcereiro recusa,argumentando que se A souber isto, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>le ser executadoque era 1/3 passa a ser <strong>de</strong> 1/2. Algum dos dois tem razão ? Construa ummo<strong>de</strong>lo a<strong>de</strong>quado a esta situação.7. A função distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> acumulada <strong>de</strong> uma variável aleatóriaX, F X (x) = P (X ≤ x para x ∈ R, é dada por⎧0, x < 1,⎪⎨ 1F X (x) = P (X ≤ x) = 6 , 1 ≤ x < 4,1⎪⎩3 , 4 ≤ x < 6,1, x ≥ 6.a) Determine P (X ≤ 1). b) Determine P (2 ≤ X < 5). c) DetermineP (2 ≤ X < 5|X > 1). c) Determine E(X), o valor esperado <strong>de</strong> X.8. Retira-se aleatoriamente uma bola <strong>de</strong> uma urna contendo 3 bolas vermelhase 2 bolas brancas, invertendo-se a sua cor (ou seja, se a bola escolhidafor vermelha, <strong>de</strong>volvemos à urna uma bola branca e, se a bola escolhidafor branca, <strong>de</strong>volvemos à urna uma bola vermelha). Feito isto, retira-se,com reposição, 2 bolas <strong>de</strong>sta urna. Seja X: o número <strong>de</strong> bolas vermelhasencontradas <strong>de</strong>ntre estas duas bolas. Calcule P [X = 2] e E[X]. Faça omesmo para o caso <strong>de</strong> amostragem sem reposição.9. Uma moeda prateada é lançada duas vezes. Por cada cara obtida, umamoeda dourada é lançada uma vez.a) Qual é o número medio total <strong>de</strong> caras (somadas as duas moedas)?b) Se soubermos que saiu exatamente uma cara na moeda dourada, qual éa probabilida<strong>de</strong> que a moeda prateada tenha produzido exatamente duascaras?10. Sejam X 0 , X 1 v.a. in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, X 0 ∼ Poisson(λ 1 ), X 1 ∼ Poisson(λ 2 ).Qual é a distribuição <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Z = X 0 + X 1 ?11. Num lago há N peixes. Um biologo coletou b peixes, i<strong>de</strong>ntificou-os comuma pequena e inofensiva marca e os <strong>de</strong>volveu ao lago. No dia seguinte,passou a re<strong>de</strong> no lago e <strong>de</strong>ntre n peixes pescados. Faça as hipóteses queachar necessárias e <strong>de</strong>termine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>le encontrar k peixes marcados<strong>de</strong>ntre os n pescados em função <strong>de</strong> N e b. Suponha agora que N,o número <strong>de</strong> peixes no lago é <strong>de</strong>sconhecido mas que esse biólogo sabe queb = 100 (há 100 peixes marcados no lago), n = 100 (na segunda coletaforam pescados 100 peixes) e que ele observou k = 10 (10 peixes marcados<strong>de</strong>ntre os 100 pescados). Qual é sua estimativa <strong>de</strong> N a partir <strong>de</strong>ssesdados? Justifique sua estimativa.2