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MAE 121 - Introdução à Probabilidade e à Estatística I3a Lista de Exercícios1. A tabela abaixo fornece dados de concentração de ozônio na grande SãoPaulo, em partes por bilhão (ppb).6.6 6.0 4.2 4.4 5.6 2.5 5.4 4.43.5 4.0 2.4 3.0 5.6 4.7 6.5 11.74.1 3.4 10.8 5.3 4.7 7.4 5.7 3.0∑xi = 124.9 and ∑ x 2 i = 769.73(a) Calcule a concentração média e a concentração mediana do ozônio.(b) Calcule o desvio padrão da concentração de ozônio.(c) Construa um histograma dos dados acima com as seguintes classesde frequência:2 ⊢ 3 ; 3 ⊢ 4 ; 4 ⊢ 5 ; 5 ⊢ 6 ; 6 ⊢ 7 e 7 ⊢ 12 .(d) Baseado nos resultados acima, qual é a melhor medida de tendênciacentral para esta situação ? Justifique sua resposta.2. A idade mediana dos paulistas é de 41,3 anos. Se numa pesquisa de mercado10 paulistas são escolhidos aleatoriamente, calcule a probabilidadede que pelo menos 8 deles tenham menos que 41,3 anos.3. Numa sala temos 5 crianças com idades iguais a 3, 3, 4, 4 e 5. Trêscrianças são escolhidas, ao acaso e sem reposição, para participar de umjogo. Sejam X e Y as idades da criança mais nova e da mais velha,respectivamente.(a) Determine a distribuição conjunta de X e Y. (Ou seja, determineP (X = k, Y = l) para todos os valores de k e l.)(b) Determine o coeficiente de correlação entre X e Y.4. Um fotógrafo submete algumas fotos para uma revista mensalmente segundoo seguinte acordo: Ao final de cada mês as fotos não publicadas sãodevolvidas e a revista não paga pelas fotos não publicadas. Por cada fotopublicada o fotógrafo ganha R$ 500,00. Neste mês ele submeteu 4 fotos eele sabe que a chance de qualquer uma das suas fotos ser publicada é de0,4 independentemente da foto.(a) Calcule a probabilidade de que ele receba R$ 1000,00 este mês.(b) Qual é a probabilidade de que ele receba mais que R$ 500,00 estemês?(c) Qual é o valor esperado da remuneração deste fotógrafo por mes?5. Numa fábrica de parafusos, as máquinas A, B, C produzem respectivamente20, 30 e 50 por cento do total. De sua produção, 6, 8, e 7 por centosão defeituosos. Um parafuso é retirado ao acaso da produção e se verificaque o mesmo está defeituoso. Quais é a probabilidade que ele tenha sidomanufaturado pela máquinas A?1

6. Três prisioneiros são informados pelo carcereiro, que nunca mente, que umdeles foi escolhido ao acaso para ser executado ao amanhecer enquanto osoutros dois irão ser libertados. O prisioneiro A pede ao carcereiro quelhe diga confidencialmente o nome de um dos que vai ser solto entre osoutros dois, argumenta ele que isto não lhe trará informação alguma, vistoque pelo menos um dos outros dois vai ser solto. O carcereiro recusa,argumentando que se A souber isto, a probabilidade dele ser executadoque era 1/3 passa a ser de 1/2. Algum dos dois tem razão ? Construa ummodelo adequado a esta situação.7. A função distribuição de probabilidade acumulada de uma variável aleatóriaX, F X (x) = P (X ≤ x para x ∈ R, é dada por⎧0, x < 1,⎪⎨ 1F X (x) = P (X ≤ x) = 6 , 1 ≤ x < 4,1⎪⎩3 , 4 ≤ x < 6,1, x ≥ 6.a) Determine P (X ≤ 1). b) Determine P (2 ≤ X < 5). c) DetermineP (2 ≤ X < 5|X > 1). c) Determine E(X), o valor esperado de X.8. Retira-se aleatoriamente uma bola de uma urna contendo 3 bolas vermelhase 2 bolas brancas, invertendo-se a sua cor (ou seja, se a bola escolhidafor vermelha, devolvemos à urna uma bola branca e, se a bola escolhidafor branca, devolvemos à urna uma bola vermelha). Feito isto, retira-se,com reposição, 2 bolas desta urna. Seja X: o número de bolas vermelhasencontradas dentre estas duas bolas. Calcule P [X = 2] e E[X]. Faça omesmo para o caso de amostragem sem reposição.9. Uma moeda prateada é lançada duas vezes. Por cada cara obtida, umamoeda dourada é lançada uma vez.a) Qual é o número medio total de caras (somadas as duas moedas)?b) Se soubermos que saiu exatamente uma cara na moeda dourada, qual éa probabilidade que a moeda prateada tenha produzido exatamente duascaras?10. Sejam X 0 , X 1 v.a. independentes, X 0 ∼ Poisson(λ 1 ), X 1 ∼ Poisson(λ 2 ).Qual é a distribuição de probabilidade de Z = X 0 + X 1 ?11. Num lago há N peixes. Um biologo coletou b peixes, identificou-os comuma pequena e inofensiva marca e os devolveu ao lago. No dia seguinte,passou a rede no lago e dentre n peixes pescados. Faça as hipóteses queachar necessárias e determine a probabilidade dele encontrar k peixes marcadosdentre os n pescados em função de N e b. Suponha agora que N,o número de peixes no lago é desconhecido mas que esse biólogo sabe queb = 100 (há 100 peixes marcados no lago), n = 100 (na segunda coletaforam pescados 100 peixes) e que ele observou k = 10 (10 peixes marcadosdentre os 100 pescados). Qual é sua estimativa de N a partir dessesdados? Justifique sua estimativa.2