Curvas de Preenchimento Espacial - IEM - Unifei

349167258258167349943761852852761943Figura 2 - Curva de Peano com 6 divisões por ladoNa Figura 3 pode-se observar a curva de Peano com o quadrado tendo suas facesdivididas em 9 e 27 partes.Figura 3 - Curvas de Peano com 9 e 27 divisões nas faces3 Variações da curva de PeanoSagan (1991, p.44) mostra que o matemático Walter Wunderlich (1910-1998), entrediversas outras contribuições, enumerou outras três curvas que satisfazem as condiçõespara a geração de curvas de preenchimento espacial. Na Figura 4 tem-se a curva Peano-S(switch-back type). Na Figura 5 é exibida a curva Peano-R (também denominada switchbacktype). A curva da Figura 6 é denominada Meander type (Peano-M).3

Figura 4 - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-S)Figura 5 - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-R)Figura 6 - Curva de Peano Meander Type (Peano-M)4

4 Outras curvas de preenchimentoEmbora Peano tenha descoberto a primeira curva de preenchimento espacial foi omatemático David Hilbert (1862-1942) que difundiu esse campo da geometria (SAGAN,1991, p.10). A Figura 7 mostra a geração da curva de Hilbert e onde pode-se perceber que olado do quadrado é dividido em múltiplos de 2.Figura 7 - Criação da curva de preenchimento espacial de HilbertNa Figura 8 tem-se a construção da curva de Moore que recebeu esse nome emhomenagem ao matemático Eliakim Hastings Moore (1862-1932). Segundo Sagan (1991,p.24) Moore mostrou que o caminho de Hilbert não era o único para alinhar ossubquadrados após sucessivos particionamentos em 2 2n réplicas. Nota-se que enquanto acurva de Hilbert parte do extremo de uma face e termina no extremo oposto da mesma face,a curva de Moore parte do centro de uma face e encerra na mesma posição.Figura 8 - Criação da curva de preenchimento de MooreO matemático russo Waclaw Sierpinski (1882-1969) introduziu um outro tipo de curvade preenchimento espacial, como mostra a Figura 9.5

Figura 9 - Construção da curva de SierpinskiTanto a Figura 10 quanto a Figura 11 apresentam variações da curva de Sierpinski.Figura 10 - Construção da curva modificada de SierpinskiFigura 11 - Construção da curva modificada de SierpinskiSagan (1991, p.26) também cita definições tridimensionais das curvas de Peano,Hilbert e Sierpinski. A Figura 12 apresenta a construção da curva de Hilbert no espaço 3D.6

Fonte: Liu e Snoeyink (2003, p.7)Figura 12 - Construção da curva de Hilbert em 3DReferênciasALENCAR, H.; SANTOS, W. (2003). Geometria diferencial das curvas planas. Pós-Graduação do Instituto de Matemática da UFRJ.Disponível em: .Acessado em: 08 Jun. 2005.MELLO, L. F. O. (2002). Curvas planares, da intuição à perplexidade. Semana daMatemática da UNIFEI (Universidade Federal de Itajubá). Disponível em:.Acesso em: 08 Jun. 2005.SAGAN, H. (1991). Space-filling curves. Universitext, Springer-Verlag, New York.Links relacionadoshttp://www2.isye.gatech.edu/~jjb/mow/mow.htmlhttp://www.ece.rutgers.edu/~parashar/Papers/sc97html/index.htmhttp://www.caip.rutgers.edu/TASSL/Projects/GrACE/sfc.htmlhttp://math.nist.gov/phaml/reftree.htmlhttp://www.dcs.bbk.ac.uk/~jkl/BNCOD2000/slides.htmlhttp://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/PSFChttp://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFChttp://www.nirarebakun.com/graph/ehila1.htmlhttp://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Peano.htmlhttp://lcni.uoregon.edu/~mark/Geek_art/Binary_fractals/Binary_fractal_images.html#R-treehttp://caute.egloos.com/tag/pathologicalcurve/page/1Obs: adaptado do texto original de Gorgulho Júnior (2007), Análise do desempenho dos arranjosfísicos distribuídos em ambiente de roteamento de tarefas com flexibilidade de fabricação,Tese (Doutorado), EESC-USP, p.290-296.7