Introdução elementar às técnicas do cálculo diferencial e integral

Introdução elementar às técnicas do cálculodiferencial e integralCarlos E. I. Carneiro, Carmen P. C. Prado e Silvio R. A. SalinasInstituto de Física, Universidade de São Paulo,São Paulo, SPSegunda edição – 8/8/2011

SumárioPrefácio da segunda ediçãoIntroduçãovvii1 Limites 11.1 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Definição mais precisa de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Derivadas 52.1 Definição de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Propriedades mais comuns das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Integrais 153.1 O conceito de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Propriedades das integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1 Demonstração pouco rigorosa do TFC . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Cálculo de integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 As funções logaritmo e exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 Algumas técnicas de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7.1 Integral de uma derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7.2 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7.3 Mudança de variável de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8 O que fazer quando nada funciona? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Vetores 394.1 Conceito de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Componentesemódulodeumvetor;versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1 Soma ou subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2 Produto de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Funções vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48iii

ivSUMÁRIO5 Expansões em séries de potências. 535.1 Definições, séries geométrica e de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 A exponencial complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3 O oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 Equações diferenciais simples 636.1 Solução de equações diferenciais simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A Soluções dos exercícios 73A.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.5 Expansões em séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.6 Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Prefácio da segunda ediçãoNa sua primeira edição este livro pretendia apresentar as idéias básicas do cálculo diferenciale integral aos estudantes do primeiro ano dos cursos de física e engenharia. Com istoem mente, tentamos nos restringir ao essencial para que o aluno adquirisse uma visão deconjunto, embora superficial, do cálculo, além de uma habilidade operacional mínima nomanejo de derivadas e integrais. Definir o que é essencial não é uma tarefa fácil e algunstópicos importantes não foram incluídos na primeira edição.Nesta segunda edição tentamos preencher algumas lacunas. Incluimos uma seçãosobre as funções logaritmo e exponencial, que aparecem de forma essencial e intensiva nafísica, matemática e engenharia. Incluimos também algumas técnicas para a resolução deintegrais, entre elas a integração por partes e a mudança da variável de integração. Semo conhecimento destas duas técnicas o número de integrais que podem ser calculadas émuito limitado.Aexistência debelostextosintrodutóriosdefísica, comoasaulasdeRichardFeynman,que utilizam variáveis complexas para tratar oscilações e circuitos com corrente alternada,levou-nos a adicionar uma seção sobre a exponencial complexa e outra sobre sua utilizaçãona resolução de equações diferenciais. Incluímos também um capítulo sobre a resoluçãode equações diferenciais de primeira ordem com a propriedade de separação de variáveis.Evidentemente estes tópicos não são tão elementares como o resto do material cobertoneste livro. Porém, fizemos um grande esforço para torná-losbem acessíveis. Quem quiserapenas uma visão geral do cálculo, mais próxima em espírito da primeira edição, pode lero livro até o item 5.1 sobre séries de Taylor e omitir o restante.Finalmente, nesta edição foram acrescentadas listas de exercícios no final de cadacapítulo. As soluções de todos os exercícios, algumas em detalhe, são apresentadas nosapêndices. As listas não são extensivas e visam apenas verificar se os conceitos básicosforam bem assimilados.v

viPREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO

IntroduçãoEssas notas introdutórias sobre cálculo diferencial e integral, elaboradas há vários anos,eram distribuídas em forma manuscrita para complementar a primeira disciplina de física,sobre fenômenos mecânicos, oferecida aos alunos dos cursos de ciências básicas e engenhariada USP em São Paulo. Elas devem ser lidas e estudadas em paralelo com um bomtexto introdutório de física, como o primeiro volume da coleção de H. Moysés Nussenzveig[1]. Nessas notas são introduzidos os conceitos de limite, derivada e integral, demaneira intuitiva e sem qualquer preocupação com o rigor matemático. Esses conceitos– e os teoremas matemáticos pertinentes – serão apresentados com mais rigor e detalhenas disciplinas de cálculo ou análise matemática.Nãotemosapretensãodesubstituir asaulasdecálculo. Noentanto, numcurso universitárioé importante desde o início trabalhar com as leis do movimento utilizando recursosdo cálculo diferencial e integral, que foram inventados pelo próprio Newton para formulara mecânica há cerca de trezentos anos. Nos textos de física os conceitos de derivada e develocidade instantânea são inseparáveis. Como encontrar a equação horária, mesmo dosmovimentos mais simples, ou calcular o trabalho de uma força sem introduzir o conceitode primitiva, ou integral, de uma função? Nessas notas também vamos apresentar umapanhado de noções básicas sobre vetores (velocidade, aceleração eforça são grandezas vetoriais),incluindo as definições de produto escalar e produto vetorial, bem como a análisedo movimento circular em coordenadas polares. Na seção final discutimos a expansão deTaylor, ferramenta importante nas aplicações do cálculo diferencial.Muitas vezes certos conceitos outécnicas básicas são ensinados em diversas disciplinas,em épocas distintas, em níveis diferentes. Na nossa opinião isso apenas reforça o processode aprendizagem. é possível que alguns alunos já tenham estudado as operações básicasdo cálculo diferencial ou já tenham sido expostos às noções de limite e derivada. Nessecaso o nosso texto vai ser um mero reforço operacional. Pretendemos ensinar apenasas idéias mais intuitivas e algumas técnicas simples. Todo o cálculo necessário parao acompanhamento dos problemas da física deve ser visto no decorrer das disciplinasintrodutórias dos cursos de ciência ou tecnologia. Temos a esperança de que as aulas demecânica possam contribuir para um primeiro contato com esses métodos matemáticos.OhistoriadordaciênciaAlexandreKoyré, enfatizandoaconexãoentreafísicamodernae a matemática, escreve que “um experimento é uma pergunta que fazemos à naturezae que deve ser formulada numa linguagem apropriada. A revolução galileana pode serresumida na descoberta dessa linguagem, na descoberta de que as matemáticas são agramática da ciência física. Foi esta descoberta da estrutura racional da natureza queformou a base a priori da ciência experimental moderna e tornou possível a sua constitutição.”A ciência moderna representa antes de tudo um profundo rompimento comas idéias do cosmos aristotélico. O universo moderno é aberto, indefinido e até infinito,vii

viiiINTRODUÇÃOunificado e governado pelas mesmas leis naturais. Desaparecem da perspectiva científicatodas as considerações baseadas no valor, na perfeição, na harmonia, na significação ouno desígnio. É nesse contexto que a matemática se faz realidade e que as leis da físicaclássica encontram valor e aplicação.O estabelecimento de modelos matemáticos - no estilo das antigas leis de Kepler ou deGalileu - ganhou uma dimensão extraordinária na segunda metade do século XX. Antes seobservava, classificava e especulava. Agora se dá ênfase ao valor de teorias ou de modelos,em geral formulados com o auxílio da matemática, em vários ramos das ciências e dastecnologias, incluindo atéasciênciashumanascomoasociologiaeapsicologia. Esperamosque o nosso estudo das equações do movimento constitua um exemplo de alcance maisgeral, e que a conexão entre a matemática, as ciências e a tecnologia esteja presente emtodo o ensino moderno das engenharias.

Capítulo 1Limites1.1 Limite de uma funçãoO conceito de limite de uma função vai ser tratado com rigor nas disciplinas de análisematemática. Vamos apresentar aqui um resumo com algumas idéias que serão úteis nocálculo de derivadas e de integrais em problemas de interesse físico.O limite de uma função f(x) quando seu argumento x tende a x 0 é o valor L para oqual a função se aproxima quando x se aproxima de x 0 (Note que a função não precisaestar definida em x 0 .).Sef(x)estádefinidaemx 0 eseugráficonãoapresentadescontinuidades nemoscilaçõesmuito fortes (como ocorre com a função sen(1/x) próximo de x = 0) é natural escreverlim f(x) = L ≡ f(x 0 ),x→x 0ou seja, o limite é igual ao valor da função em x 0 .Exemplos(a) Com f (x) = 3x 3 +2x+4, temoslim f(x) = f (2) =x→2 3×23 +2×2+4 = 32,f(x) = f (0) = 4.limx→0(b) Com f (x) = 2senx+3cos3x, temoslimf(x) = 2sen 0+3cos0 = 3,x→0f(x) = 2sen π +3cos3π = −3.limx→πEm alguns casos, no entanto, a função não é bem definida e pode haver problemassérios. Por exemplo, para que valor tende a funçãof(x) = x3 −27x−3 , x ≠ 3,1

2CAPÍTULO 1. LIMITESquando x → 3? Esse tipo de limite pode parecer um tanto artificial, mas é exatamenteo tipo de problema que temos que resolver para calcular a velocidade ou a aceleraçãoinstantâneas, que são expressas por uma fração em que tanto o numerador quanto odenominador vão para zero. Se calcularmos f(3) obteremosf(3) = 33 −273−3 = 0 0e temos problemas sérios pela frente. No entanto, com uma calculadora de bolso é possíveltraçar um gráfico de f(x) contra x nas vizinhanças de x = 3. A partir dos valores databela abaixo, traçamos o gráfico da figura 1.1.f(x)x f(x)2,997 26,97327,0272,998 26,9822,999 26,99127,0003,000 −3,001 27,00926,9913,002 27,0183,003 27,027 x2,999 3,000 3,001Figura 1.1Observando os valores numéricos dessa tabela, apesar da função não estar definidapara x = 3, dá para desconfiar que à medida que nos aproximamos de x = 3,f(x) = x3 −27x−3−→ 27,não sendo necessário que a função esteja definida em x = 3. Observe que, para x ≠ 3,sempre podemos escreverf(x) = x3 −27x−3 = (x−3)(x2 +3x+9)= x 2 +3x+9.(x−3)Como x 2 +3x+9 = 27 para x = 3, há uma motivação muito forte para escrever L = 27.Paralidarcomsituaçõescomoessacriou-seumadefinição delimiteonde oqueaconteceexatamente no ponto em que sedeseja calcular olimite não éimportante. Importa apenaso que ocorre nasvizinhanças desse ponto. Isso permite o cancelamento dos fatorescomunsno numerador e no denominador como acabamos de fazer. Assim,x 3 −27limf(x) = limx→3 x→3 x−3 = limx→3 (x2 +3x+9) = 27.As funções da mecânica clássica são em geral muito bem comportadas. Porém, hásituações em que as funções são tão mal comportadas que o limite não existe mesmo. Porexemplo, vamos considerar a função

1.2.DEFINIÇÃO MAIS PRECISA DE LIMITE 3f(x) ={ +1 para x > 1,−1 para x < 1,que pode ser representada pelo gráfico da figura 1.2.f(x)+10 1x−1Figura 1.2Quando x → 1 o limite é claramente indefinido. Se fizermos x → 1 por valores maioresdo que 1 obtemos +1; se fizermos x → 1 por valores menores do que 1 obtemos −1. Noteque f(x) pode ser escrita na formaf(x) = x−1|x−1| = sgn(x−1),em que sgn é a “função sinal”, sgn(x) = 1 se x > 0 e sgn(x) = −1 se x < 0. Ainda épossível trabalhar com casos desse tipo, pois não há muitos dificuldades na presença deuma descontinuidade isolada.1.2 Definição mais precisa de limiteDepoisdessesexemplosintuitivosemeioóbvios, valeapenaapresentarumadefiniçãomaisformal de limite, com todos os épsilons e deltas. Considere uma função f(x) definida nodomínio x 1 < x < x 0 e x 0 < x < x 2 (não precisando, portanto, estar definida no pontox 0 ).A função f se aproxima do limite L próximo de x 0 (lim x→x0 f(x) = L) separa todo ǫ > 0 existe um δ > 0 tal que, para todo x, se 0 < |x−x 0 | < δentão |f(x)−L| < ǫ.Na prática isso significa que, quando o limite existe, se for dado um “limite detolerância” ε > 0 arbitrariamente pequeno (tão pequeno quanto se queira), podemossempre encontrar um outro número δ > 0 tal que, para qualquer valor de x entre x 0 −δe x 0 +δ , o valor da função estará dentro do “limite de tolerância”, ou seja, f(x) estaráentre L−ε e L+ε. Isto funciona quer f(x) seja definida ou não no ponto x 0 .Por exemplo, vamos considerar o limite da função f(x) = 2x 2 para x → x 0 = 3. Éclaro que

4CAPÍTULO 1. LIMITESlimx→3 (2x2 ) = 18 ≡ L.Dando o “limite de tolerância” ε = 0,1 temos2x 2 1 = 18−0,1 −→ x 1 = 2,991655... = 3−0,008344...,2x 2 2 = 18+0,1 −→ x 1 = 3,008321... = 3+0,008321....É claro que, para δ = 0,008, temos|f(x)−18| < ε = 0,1 quando 0 < |x−3| < δ = 0,008.Adotando um “limite de tolerância” menor obviamente vamos ter que encontrar um valorde δ menor também (para ε = 0,01 é fácil perceber que tudo funciona com δ = 0,0008, eassim por diante).Finalmente, a partir da idéia de limite podemos definir continuidade de uma função.A função f é contínua em x 0 seExercícios(1) Mostre quelim f(x) = f(x 0 ).x→x 0(a) limx→2x 2 −5x+6x−2= −1, (b) limx→2x(x−2) = 0,(c) limx→0(x 3 −4x+1 ) = 1,(d) limy→5y 2 −25y −5 = 10.(2) Calcule o valor dos seguintes limites:(a) limx→5x−5x 2 −25 ,(b) limx→1x 2 −x−2 x+5, (c) limx 2 −1 x→5 x 2 −25 ,(d) limx→05x 3 +8x 23x 4 −16x 2,1(e) limx→0 x 2.Note que há limites que não existem ou que vão para o infinito 1 .1 Dizemos que lim x→a f(x) = ∞ se para qualquer N existe um δ > 0 tal que para todo x, se 0 N. Analogamente, lim x→a f(x) = −∞ se para qualquer N existe um δ > 0 talque para todo x, se 0 < |x−a| < δ então f(x) < N.

Capítulo 2Derivadas2.1 Definição de derivadaO cálculo diferencial foi inventado por Leibnitz e Newton, que sempre disputaram aprimazia das suas propostas! Embora usasse uma notação um tanto complicada, Newtondesenvolveu o conceito de derivada e percebeu a sua utilidade na formulação matemáticada mecânica. Tecnicamente a derivada de uma função não passa de um caso especialde limite. A velocidade instantânea (que é a derivada da posição em relação ao tempo)corresponde ao limite da velocidade média para um intervalo de tempo muito pequeno(que tende a se anular).Para calcular a derivada de uma função f (x) num certo ponto x 0 , nós inicialmentedamos um acréscimo ∆x em x 0 e calculamos a diferençae a razão∆f = f (x 0 +∆x)−f (x 0 )∆f∆x = f(x 0 +∆x)−f(x 0 ).∆xA derivada no ponto x 0 , designada por (df/dx) x=x0, é dada pelo limite( ) df ∆f= limdx ∆x→0x=x 0∆x = lim∆x→0f(x 0 +∆x)−f(x 0 ).∆xExemplos(a) Calcular a derivada de f(x) = 3x 2 num certo ponto x 0 .Temosf(x 0 ) = 3x 2 0ef(x 0 +∆x) = 3(x 0 +∆x) 2 ,de onde vem que∆f ≡ f(x 0 +∆x)−f(x 0 ) = 3(x 0 +∆x) 2 −3x 2 0 = 6x 0 ∆x+3∆x 25

2.1.DEFINIÇÃO DE DERIVADA 7(c) Calcular a derivada de f (x) = cosx no ponto x 0 .No ponto x 0 temosede onde vem quef(x 0 ) = cosx 0f(x 0 +∆x) = cos(x 0 +∆x) = cosx 0 cos∆x− senx 0 sen∆x,∆f∆x = cosx 0cos∆x− senx 0 sen∆x−cosx 0.∆xTomando o limite de forma ingênua, isto é, colocando diretamente ∆x = 0 nessaexpressão, tem-se uma indeterminação (zero sobre zero!). No entanto, para ∆xmuito pequeno temoscos∆x ≈ 1 e sen∆x ≈ ∆x,que conduz ao resultado∆f∆x ≈ −senx 0.Temos então a regra de derivaçãof (x) = cosx =⇒ dfdx = −senx.Também é fácil obter uma regra para a função seno,f(x) = senx =⇒ dfdx = cosx.Uma justificativa mais adequada para essas fórmulas será apresentada durante oprimeiro curso de cálculo (veja também a seção final, sobre séries de Taylor).Ao invés de continuar com mais exemplos, vamos dar uma relação das derivadas maiscomuns no curso de física (veja a tabela 2.1). Certamente você vai aprender a justificativade todas essas fórmulas nas disciplinas de cálculo. Note que as funções exponencial,f(x) = exp(x), e logaritmo natural, f(x) = lnx, são muito usadas em física.

8CAPÍTULO 2. DERIVADASTabela 2.1: Algumas derivadas fundamentaisf(x) df/dxconstante zerox nsenxcosxe xnx n−1cosx−senxe xlnx 1/xcoshx senhxsenhx coshxO cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico são dados porcoshx = 1 2(e x +e −x)esenhx = 1 2(e x −e −x) .É muito importante conhecer os gráficos de todas essas funções. Em particular, na figura2.1 esboçamos os gráficos da função exponencial, e x ≡ expx, e da função logaritmo, lnx.Vamos estudá-las em mais detalhe no capítulo 3 (Integrais).yy1e xlnxx1xFigura 2.1Sugerimos agora que você trace gráficos de mais algumas funções: (i) f(x) = exp(−x);(ii) f(x) = tanx = senx/cosx, que é a função tangente trigonométrica; e (iii) f(x) =tanhx = senhx/coshx, que é a função tangente hiperbólica. Todas essas funções sãomuito úteis em física.2.2 Propriedades mais comuns das derivadasVamosrelacionaralgumaspropriedades, facilmentedemonstráveis, quesimplificamenormementeo cálculo das derivadas.

10CAPÍTULO 2. DERIVADAS(4) Dado o quociente de duas funções, f(x) = f 1 (x)/f 2 (x), temosdfdx = 1 [ ] df1f22 dx f df 22 −f 1 .dxFaça um esforço para demonstrar essa propriedade.(5) Muitas vezes temos que calcular a derivada de uma “função de função”. Vamosconsiderar a função f = f(y) onde y = y(x). A derivada é dada pela “regra dacadeia”,dfdx = df dydydx .Vale a pena demonstrar essa regra. Vamos então escrever∆f = f [y(x 0 +∆x)]−f [y(x 0 )].Somando e subtraindo y(x 0 ) também temos∆f = f [y(x 0 +∆x)−y(x 0 )+y(x 0 )]−f [y(x 0 )].Agora vamos usar a notação abreviada y(x 0 ) = y 0 e y(x 0 +∆x)−y(x 0 ) = ∆y. Então∆f∆x = f[y 0 +∆y]−f[y 0 ]∆xTomando o limite ∆x → 0, vem( ) dfdxx=x 0== f[y 0 +∆y]−f[y 0 ]∆y( ) ( ) df dy,dyy=y 0dxx=x 0∆y∆x .ou seja,como queríamos demonstrar.dfdx = df dydydx ,Na tabela 2.2, onde a, b e c são constantes, apresentamos um resumo destas propriedades.

2.2. PROPRIEDADES MAIS COMUNS DAS DERIVADAS 11Tabela 2.2: Propriedades importantes das derivadas(1)(2)(3)(4)(5)d{cf} = cdfdx dxddx {af 1 +bf 2 } = a df 1dx +bdf 2dxddx {f 1f 2 } = df 1dx f df 22 +f 1dx{ }d f1= 1 [ ] df1dx f 2 f22 dx f df 22 −f 1dxd df dy{f (y(x))} =dx dydxExemplos(a) f(x) = Ax 4 +Bx 2 +Cx+D.O cálculo da derivada é imediato,dfdx = 4Ax3 +2Bx+C.(b) f(x) = (Ax 4 +Bx 2 +Cx+D) 3 .Basta fazer f(y) = y 3 , y = Ax 4 +Bx 2 +Cx+D e aplicar a “regra da cadeia”:dfdx = df dydydx = ( 3y 2)( 4Ax 3 +2Bx+C ) == 3 ( Ax 4 +Bx 2 +Cx+D ) 2(4Ax 3 +2Bx+C ) .(c) f(t) = exp(at 2 +b).Basta fazer f(y) = exp(y) com y = at 2 +b. Entãodfdt = df dydy dt = ey (2at) = 2atexp ( at 2 +b ) .

12CAPÍTULO 2. DERIVADAS(d) f(t) = (t+1) 2 (t 2 +2t) −3 .Basta fazer f(t) = f 1 (t)f 2 (t), comEntão,de onde obtemosf 1 (t) = (t+1) 2 ; f 2 (t) = ( t 2 +2t ) −3.df 1dt = 2(t+1); df 2dt = −3( t 2 +2t ) −4(2t+2),dfdt = 2(t+1)( t 2 +2t ) [ −3+(t+1)2−3 ( t 2 +2t ) ]−4(2t+2) .2.3 Interpretação geométrica da derivadaA derivada de uma função y = y(x) num certo ponto x 0 corresponde ao valor da tangenteda curva y contra x no ponto x 0 . Isso pode ser facilmente visualizado através de umargumento gráfico (veja a figura 2.2).y 1yy 2y 3y 0θ 3θ 2θ 1x 0 x 3 x 2 x 1xFigura 2.2Considere três pontos obtidos através de acréscimos em x 0 . Para o maior acréscimo,x 1 −x 0 , temos∆y∆x = y 1 −y 0= tanθ 1 .x 1 −x 0Para x 2 , temos∆y∆x = y 2 −y 0x 2 −x 0= tanθ 2 .

2.3.INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 13Da mesma forma, para x 3 escrevemos∆y∆x = y 3 −y 0x 3 −x 0= tanθ 3 .A partir dessa construção, fica óbvio que, à medida que ∆x diminui, a razão ∆y/∆x vaise aproximando de tanθ, onde θ é o ângulo formado entre a reta tangente à curva y(x),passando pelo ponto de coordenadas (x 0 ,y 0 ), e o eixo x. Então temos( ) dy ∆y= limdx ∆x→0x=x 0∆x = tanθ.Essa interpretação da derivada tem inúmeras utilidades. Por exemplo, dada a equaçãode uma trajetória unidimensional, x = x(t), a velocidade é dada por v = dx/dt. Graficamenteisto significa que a velocidade é a tangente da curva num gráfico de x contrat. Dada a velocidade em função do tempo, v = v(t), a aceleração é definida através daderivada a = dv/dt, que pode ser interpretada como a tangente da curva no gráfico de vcontra o tempo t.Exemplo: movimentos retilíneosVamosutilizaroconceito dederivadaparaobterasequaçõesdosmovimentos retilíneosmais simples.(a) No movimento retilíneo uniforme (MRU) a velocidade é constante,Temos então a aceleração,v = v 0 = constante.a = dvdt = 0.A equação horária do MRU é dada pela expressãox = v 0 t+constante.Portanto, podemos verificar a expressão da velocidade,dxdt = d dt [v 0t+constante] = v 0 .Fazendo t = 0 na equação horária, percebemos que a constante é a posição inicial.Em resumo, o MRU com x = x 0 no instante inicial t = 0 é caracterizado pelasequaçõesx = v 0 t+x 0 ; v = v 0 e a = 0 .

14CAPÍTULO 2. DERIVADAS(b) O movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) é definido por umaaceleração constante,a = a 0 = constante.No ensino médio os alunos devem ter aprendido que a equação horária do MRUV édada pela expressãox = x 0 +v 0 t+ 1 2 a 0t 2 ,onde a constante v 0 é a velocidade inicial (no instante de tempo t = 0) e a aceleraçãoa 0 é uma contante. Então é fácil obter a velocidade,v = dxdt = d [x 0 +v 0 t+ 1 ]dt 2 a 0t 2 = v 0 +a 0 te verificar que a aceleração é dada pela constante a 0 ,a = dvdt = d dt [v 0 +a 0 t] = a 0 .(c) Vamos agora considerar agora um movimento descrito pela equação horáriax = 1 6 ct3 +v 0 t+x 0 ,a velocidade instantânea de um corpo que executa esse movimento é dada pore a aceleração porv = dxdt = 1 2 ct2 +v 0a = dvdt = ct.Essa é portanto a equação horária de um corpo sujeito a uma aceleraçãoque varia linearmente com o tempo. Note que as constantes x 0 e v 0 são aposição e a velocidade no instante inicial.ExercícioCalcule a derivada em relação a x ou a t das funções abaixo, onde a, b, c, ω e φ sãoconstantes.y 1 (x) = (x 2 +5) 8 ; y 2 (t) = cos(ωt+φ); y 3 (t) = [cos(ωt)] 2 ;y 4 (x) = sen(ax 2 +bx); y 5 (t) = exp(ωt); y 6 (x) = exp(ax 2 +bx);y 7 (x) = ln(ax 2 +bx+c); y 8 (x) = √ 1ax 2 +bx+c; y 9 (x) = √ax2 +c .

Capítulo 3Integrais3.1 O conceito de integralDada a equação horária x = x(t), já vimos que é possível obter a velocidade instantâneav(t) tomando a derivada de x em relação a t, isto é,v(t) = d dt x(t).Frequentemente temos que resolver o problema inverso: dada a velocidade v = v(t),precisamos calcular o espaço percorrido entre um instante inicial t i e um instante final t f ,isto é x(t f )−x(t i ) ≡ x f −x i . Esse problema tem uma solução gráfica muito simples, queconduz ao conceito de integral.Vamos considerar o gráfico de v contra t indicado na figura 3.1.v¯v 3∆t 1∆t 2 ∆t 3∆t 40000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111t i = t 0 t 1 t 2 t 3 t f = t 4tFigura 3.1Se o gráfico de v contra t fornecesse a velocidade média v ti →t fa solução do problemaseria trivial; nesse caso o espaço percorrido seria dado porx f −x i = v ti →t f(t f −t i ).Mas a velocidade média não é conhecida. No entanto, se o intervalo t f −t i fosse bempequeno, a velocidade média v ti →t fseria muito aproximadamente igual a qualquer valor15

16CAPÍTULO 3. INTEGRAISda velocidade v(t) nesse intervalo. Usualmente o intervalo entre t i e t f não é pequeno, massempre pode ser dividido num certo número de subintervalos (na figura 3.1 escolhemosapenas quatro intervalos menores, de comprimentos ∆t 1 = t 1 −t 0 , ∆t 2 = t 2 −t 1 , ∆t 3 =t 3 −t 2 e∆t 4 = t 4 −t 3 ). Numsubintervalogenérico (entret 2 et 3 , porexemplo), avelocidademédia é definida comov t2 →t 3= x(t 3)−x(t 2 )= x 3 −x 2,t 3 −t 2 ∆t 3de onde vem quex 3 −x 2 = v t2 →t 3∆t 3 .Vamos simplificar um pouco a notação, escrevendoEntãov t2 →t 3= v 3 .x 3 −x 2 = v 3 ∆t 3 .A partir dessas considerações, é fácil perceber que a distânciaserá dada porx(t f )−x(t i ) ≡ x f −x i ≡ x 4 −x 0x f −x i = (x 4 −x 3 )+(x 3 −x 2 )+(x 2 −x 1 )+(x 1 −x 0 )= v 4 ∆t 4 +v 3 ∆t 3 +v 2 ∆t 2 +v 1 ∆t 1 ,onde x i = x 0 e x f = x 4 . Essa expressão pode ser escrita numa forma bem mais compacta,x f −x i =4∑v j ∆t j .j=1Ao invés de considerar apenas 4 subdivisões, poderíamos ter subdividido o intervalot f −t i em N subintervalos bem menores. Nesse caso teríamosx f −x i =N∑v j ∆t j .j=1Note que esta expressão é exata. O problema é que não conhecemos as velocidades médiasv j . Porém, no limite de N muito grande e quando o maior ∆t j vai a zero 1 , v j tende àvelocidade instantânea v j ≡ v(t j ), e a soma das inúmeras parcelas, que se denominaintegral definida, costuma ser escrita na formax f −x i = lim∆t→0N∑j=1v j ∆t j = lim∆t→0N∑v j ∆t j ≡j=1∫ tft iv(t)dt,em que ∆t → 0 significa que todos os intervalos ∆t j vão a zero. Observe que a soma∑ virou um S estilizado. Ao invés de um índice j que assume valores discretos, háuma variável de integração contínua em t (a velocidade instantânea v j é substituída pela1 Consequentemente, todos os ∆t j vão a zero.

3.1. O CONCEITO DE INTEGRAL 17velocidade instantânea v(t), e ∆t j passa a ser um “intervalo infinitesimal” dt). À medidaque N aumenta, é fácil perceber que a soma ∑ Nj=1 v j∆t j corresponde cada vez maisfielmente à área sob a curva do gráfico de v contra t. Nesse limite a soma, ou melhor,a integral definida, corresponde exatamente à área sob a curva da função v = v(t) entret = t i e t = t f . Dessa forma, a integral é o caso particular de um limite — é um tipo delimite em que as parcelas de uma soma tendem a zero, mas o número de parcelas tendea infinito.Os matemáticos são mais cuidadosos. Para funções contínuas, ao invés de usarem avelocidade média na somatória, eles definem duassomas: aprimeira soma usando omenorvalor da velocidade em cada subintervalo ∆t j ; a segunda soma usando o maior valor davelocidade em cada subintervalo ∆t j . No limite em que N → ∞ e ∆t j → 0 para todos ossubintervalos, se essas duas somas convergirem para um mesmo valor, fica então definidaa integral de Riemann desta função.Exemplos(a) Dada a velocidade v(t) = v 0 (constante), qual o espaço percorrido entre t i e t f ?Graficamente, v(t) é dada pela figura 3.2.v 0v0000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111t i t ftEntão∫ tfFigura 3.2x f −x i = v(t)dt = área hachurada = v 0 (t f −t i ).t iTomando x i = 0 para t i = 0 e um ponto genérico x f = x para t f = t, temosou seja,que é a conhecidíssima equação do MRU.x−x 0 = v 0 t,x = x 0 +v 0 t,(b) Dadaavelocidade v(t) = v 0 +at, ondev 0 easãoconstantes, qualoespaçopercorridoentre os instantes t i e t f ?Vamos observar o gráfico da figura 3.3, em quetanθ = d v(t) = a.dt

18CAPÍTULO 3. INTEGRAISv 0vθ0000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111t i t ftFigura 3.3Entãox f −x i =∫ tft iv(t)dt = área hachurada.Usando a fórmula da área de um trapézio, temosx f −x i = área hachurada = v(t f)+v(t i )(t f −t i )2= 1 2 [v 0 +at f +v 0 +at i ](t f −t i ) = v 0 (t f −t i )+ 1 2 a( t 2 f −t 2 i).Tomando de novo x i = 0 para t i = 0 e um ponto genérico x f = x para t f = t,recuperamos a famosa equação horária do MRUVx = x 0 +v 0 t+ 1 2 at2 .Até agora vimos dois exemplos muito simples, sem nenhuma dificuldade para calculara “área sob a curva” (e encontrar o valor da integral definida). As situações práticas, noentanto, podem ser bem mais complicados. Há poucas figuras geométricas cujas áreaspodem ser calculadas tão facilmente. Na grande maioria das vezes temos que utilizaralgumaspropriedadesgeraiseumarsenaldetruquesparacalculardiretamenteasintegraisdefinidas (e obter, portanto, o valor das “áreas sob as curvas”). Com este objetivo,vamos apresentar algumas propriedades muito simples das integrais e enunciar o “teoremafundamental do cálculo”.3.2 Propriedades das integrais definidasÉ interessante apontar as seguintes propriedades das integrais definidas:(1) Quebra dos limites de integração:∫ tft if(t)dt =∫ tmt if(t)dt+∫ tft mf(t)dt.Para t i ≤ t m ≤ t f , essa propriedade é meio óbvia. Para se convencer disso, bastaobservar a figura 3.4; a área total é a soma das áreas.

3.2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS 19f00000 111110100000 111110100000 1111101000000000111111111 00000 11111 0101000000000111111111 00000 11111 0101000000000111111111 00000 11111 0101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101000000000111111111 00000 11111 010101t i t m t ftFigura 3.4(2) Inversão dos limites:∫ baf(t)dt = −∫ abf(t)dt.Trocando os limites de integração a integral muda de sinal.Como a integral provém de uma soma, o lado esquerdo representa o limite da soma,desde t = a até t = b , com b > a , sendo todos os subintervalos ∆t j positivos(∆t j > 0). No entanto, indo de b para a (com b > a ), todos os subintervalos ∆t jserão negativos. Não há dúvidas, portanto, que a troca dos limites de integraçãoacarreta apenas a multiplicação por −1.Éfácil verificar que essa propriedade acaba garantindoavalidadeda propriedade (1)para qualquer t m (isto é, mesmo para t m > t f ). Portanto, no cálculo das integraisdefinidas é preciso levar em conta o sinal algébrico das “áreas sob as curvas”.(3) Mesmos limites de integração:∫ aaf(t)dt = 0.Essa propriedade é obvia, pois não há área sob “um único ponto da curva”.(4) Multiplicação por uma constante:∫ t2∫ t2Af(t)dt = A f(t)dt,t 1 t 1onde A é uma constante (ou uma função independente de t). Essa propriedadetambém é obvia, bastando considerar uma soma em que todas as parcelas estejammultiplicadas pela constante A.

20CAPÍTULO 3. INTEGRAIS(5) Linearidade:∫ t2t 1[Af(t)+Bg(t)]dt = A∫ t2t 1f(t)dt+B∫ t2t 1g(t)dt,onde A e B são constantes. Essa propriedade também é óbvia, pois a soma éassociativa, isto é, as parcelas sempre podem ser agregadas. Essa propriedade indicaque a integração é uma “operação linear”.3.3 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)Como o espaço percorrido é dado pela integral da velocidade (que, por sua vez, é aderivada do espaço), a integração deve corresponder a uma operação inversa da derivação.O “teorema fundamental do cálculo” torna esta idéia mais precisa.Teorema: Se a função F(x) for dada porF(x) =onde a é uma constante arbitrária, entãodF(x)dx∫ xaf(t)dt,= f(x).A função F(x) se chama primitiva de f(x). A sua derivada coincide com o integrandof(t)nopontot = x. Estamostomandobastantecuidadocomanotação—comoointervalode integração vai de a até x, estamos usando o símbolo t como variável de integração (noextremo inferior, t = a; no extremo superior, t = x ). é claro que poderíamos ter escolhidoqualquer outra letra (y, z, w, etc) como variável de integração.3.3.1 Demonstração pouco rigorosa do TFCDada a expressãotemosEntãoF(x+∆x) =∫ x+∆xaF(x) =∫ xaf(t)dt =F(x+∆x)−F(x) =f(t)dt,∫ xaf(t)dt+∫ x+∆xx∫ x+∆xxf(t)dt.f(t)dt.Esta última integral é a área sob a curva do gráfico de f(t) contra t entre t = x et = x+∆x. Para ∆x muito pequeno, temos∫ x+∆xxf(t)dt = área ≈ f(x)∆x.

3.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC) 21EntãodF(x)dxcomo queríamos demonstrar. ❚F(x+∆x)−F(x)= lim∆x→0 ∆x= f(x),Vamos verificar como este teorema funciona em dois casos conhecidos.Exemplos(a) Seja f(t) = A, com A constante.f(t)A0000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111a x tFigura 3.5Nesse caso basta calcular a área sob o gráfico da função constante f(t) = A, entret = a e t = x,F(x) =Então é fácil verificar que∫ xaf(t)dt =dF(x)dx∫ xa= A = f(x).Adt = A(x−a).(b) Seja f(t) = A+Bt, com A e B constantes.f(t)A+BxA+Ba0000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111a x tFigura 3.6Nesse caso, considerando a figura 3.6, temos

22CAPÍTULO 3. INTEGRAISF(x) =∫ xaf(t)dt =∫ xa(A+Bt)dt = área do trapézio == (A+Bx)+(A+Ba) (x−a) = A(x−a)+ 1 22 B( x 2 −a 2) .Então é claro quedFdx= A+Bx = f(x).Agora vai ser fácil descobrir o que acontece num caso mais complicado, em que nãoseja trivial obter a área. Vamos tomar, por exemplo,f(t) = A+Bt+Ct 2 ,com A, B e C constantes. Temos então que calcularF(x) =∫ xaf(t)dt =∫ xa(A+Bt+Ct 2 )dt.Obviamente fica complicado apelar para uma fórmula que dê a área sob a curva def(t) entre t = a e t = x. Mas, a partir do “teorema fundamental do cálculo” temosf(x) = dF(x)dx= A+Bx+Cx 2 .Então épossível usar as“regrasdederivaçãoaocontrário”para“garimpar”afunçãoF(x). De fato, é simples verificar queF(x) = Ax+ 1 2 Bx2 + 1 3 Cx3 +k,ondek éuma constante arbitrária (poisaderivada de uma constante ésempre nula).Para encontrar a constante k é muito fácil. Basta notar queF(x = a) =∫ aaf(t)dt = 0.EntãoAa+ 1 2 Ba2 + 1 3 Ca3 +k = 0,de onde finalmente obtemosF(x) = Ax+ 1 2 Bx2 + 1 3 Cx3 −Aa− 1 2 Ba2 − 1 3 Ca3 .

3.4. INTEGRAIS INDEFINIDAS 233.4 Integrais indefinidasPara cada valor da constante k na expressãoG(x) = Ax+ 1 2 Bx2 + 1 3 Cx3 +ktemos uma função G(x) diferente. Cada uma dessas funções é chamada primitiva dafunçãof(x) = A+Bx+Cx 2 ,pois dG/dx = f(x) para qualquer valor de k.Essas primitivas formam uma família de funções que são normalmente simbolizadascomo∫G(x) = f(x)dx ,sem a preocupação de especificar os limites de integração. Isso é o que se chama integralindefinida. Como dG/dx = f(x), é claro queF(x) =com dF(x)/dx = dG(x)/dx = f(x).∫ xaf(x)dx = G(x)−G(a),O “teorema fundamental do cálculo” pode então ser reescrito na formaG(x)−G(a) =∫ xaf(t)dt ,em que G(x) é uma primitiva genérica de f(x). Note que a constante aditiva k, distinguindoas diferentes primitivas, desaparece quando se faz a diferença G(x)−G(a).Exemplos(a) Dada a função f(x) = senx, calcular a sua primitiva G(x). Temos∫G(x) = senxdx.Portanto, olhando a tabela de derivação “ao contrário”, obtemosG(x) = −cosx+k.é claro queG(x)−G(a) = −cosx+cosa.(b) Dada a função f(x) = cosx, calcular G(x). É simples perceber que∫G(x) = cosxdx = senx+k.

24CAPÍTULO 3. INTEGRAIS(c) a função f(x) = x 4 −10x 2 , calcular G(x). Temos∫ ∫ (xG(x) = f(x)dx =4 −10x 2) dx = 1 5 x5 − 10 3 x3 +k.(d) No MRUV, é dada a aceleração a(t) = a (constante). Obter v(t) e x(t), com ascondições iniciais v(t 0 ) = v 0 e x(t 0 ) = x 0 .A velocidade será dada porComo v(t 0 ) = v 0 , temos∫v(t) =adt = at+k 1 .at 0 +k 1 = v 0 ,de onde obtemos a constante k 1 . Podemos então escrever a expressão da velocidadeem termos mais usuais,v(t) = v 0 +a(t−t 0 ).A equação horária é obtida a partir de uma integração da velocidade,∫x(t) = v(t)dt = v 0 t+ 1 2 at2 −at 0 t+k 2 .A constante k 2 é definida pela condição inicial,x 0 = v 0 t 0 + 1 2 at2 0 −at 2 0 +k 2 .Portanto, podemos escrever a equação horária do MRUV na forma bem conhecida,x(t) = x 0 +v 0 (t−t 0 )+ 1 2 a(t−t 0) 2 .Na tabela abaixo registramos algumas integrais indefinidas razoavelmente simples quevão aparecer em problemas de física. Note que a e k são constantes arbitrárias. Não deixede verificar que está tudo correto, conferindo com a tabela das derivadas.

3.5.CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS 25Tabela 3.1: Algumas integrais indefinidasf(x)x n , n ≠ −1sen(ax)cos(ax)exp(ax)1xsenh(ax)cosh(ax)G(x) = ∫ f(x)dx1n+1 xn+1 +k− 1 a cos(ax)+k1a sen(ax)+k1a exp(ax)+klnx+k1a cosh(ax)+k1a senh(ax)+k3.5 Cálculo de integrais definidasA partir do “teorema fundamental do cálculo” temosF(x) = G(x)−G(a) =∫ xaf(t)dt,onde G(x) é uma primitiva genérica de f(x). Então, para x = b, vemG(b)−G(a) =∫ baf(t)dt.Para calcular uma integral definida basta achar uma primitiva G(x) e encontrar osseus valores nos extremos do intervalo de integração.É comum utilizarmos a notaçãoCom essa nova notação, temos∫ ba∫ bG(b)−G(a) = G(x) |b|= dG,aaf(x)dx = G(x) |b| a= G(b)−G(a).Exemplos

26CAPÍTULO 3. INTEGRAIS(a) Calcular a área hachurada na figura 3.7, definida pela funçãoentre x = 1 e x = 2.f(x)f(x) = 2 x 2,210.5000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111111 2 xFigura 3.7Essa área hachurada será dada porA =∫ 21f(x)dx =∫ 212x 2 dx.Mas a primitiva de f(x) = 2/x 2 é G(x) = −2/x + k. Note que no cálculo dasintegrais definidas podemos omitir a constante k, que vai ser sempre cancelada nadiferença G(b)−G(a), onde a e b são os limites de integração. Então temosA =(− 2 )∣ ∣∣∣2x +k =(− 2 )2 +k −(−2+k) = 1.1(b) Calcularotrabalhoexecutado pelaforçaF(x) = −4x+x 2 nopercursoentrex 1 = −1ex 2 = +1(porsimplididade, nãoestamosnospreocupandocomasunidadescorretasde distância, trabalho, etc).Nessas condições, o trabalho é dado por∫ x2W 1→2 = F(x)dx =x 1=(−2x 2 + 1 )∣ ∣∣∣+13 x3 =−1∫ +1−1(−4x+x 2 )dx(−2+ 1 3)−(−2− 1 )= 2 3 3 .

3.6. AS FUNÇÕES LOGARITMO E EXPONENCIAL 27(c) Calcular a área entre a parábola y(x) = 4−x 2 e o eixo x no intervalo −2 ≤ x ≤ 2.A área vai ser dada pela expressão∫ +2(A =) 4−x2dx =(4x− 1 )∣ ∣∣∣+2−2 3 x3 =−2(= 8− 8 ) (− −8+ 8 )= 323 3 3 .(d) A equação de estado de um mol de um fluido é PV = RT, onde P é a pressão, Vé o volume, R = 8,3 J/(K·mol) é a constante universal dos gases. Num processotermodinâmico isotérmico, à temperatura T = 300 K, o gás se expande de umvolume inicial V A = 2 l até um volume final V B = 4 l. Calcule o trabalho W A→Brealizado para ir de A até B.W A→B =∫V BV AP dV =∫V B= 2,49×10 3 ln(2) J .V ARTV dV = RT ln(V) |V B| VA= RT ln(VBV A)3.6 As funções logaritmo e exponencialA partir do que apresentamos até agora não é difícil concluir que integrar é bem maisdifícil do que derivar. De fato, a derivada de qualquer combinação de funções simples(funções trigonométricas, potências, etc) é sempre uma combinação de funções simplese pode ser calculada facilmente usando as regras de derivação que apresentamos nastabelas 2.1 e 2.2 nas páginas 8 e 11, respectivamente. Derivada é o nome de um tipode limite, e calculamos seu valor calculando o valor desse limite. Em contraste, nãoexistem regras como as apresentadas nas tabelas 3.1 e 3.2 para calcular integrais. Integraltambém é o nome dado a um tipo de limite, mas em geral é impossível calcular o valordesse limite diretamente. Calculamos uma integral quando somos capazes de encontrara sua primitiva. A maioria das técnicas de integração apenas transformam o integrandooriginal de modo inteligente, conveniente, para que se torne mais simples vislumbrar umaprimitiva. Além disso, a maioria das integrais com integrandos que são combinações defunções simples não possuem primitivas que são combinações de funções simples. Isto nãoquer dizer que a integral não existe (ou seja, que o limite não existe), mas apenas que elanão pode ser expressa como uma combinação de funções simples. Se uma integral destetipo aparece com muita frequência, então ela recebe um nome especial. Este é o caso dafunção logaritmo.A função logaritmo na base e, ln(x), também conhecida como logaritmo neperiano, ousimplesmente logaritmo, é definida através da integral

28CAPÍTULO 3. INTEGRAISln(x) =Da expressão acima decorre imediatamente que∫ x11dt, com x > 0. (3.1)tln(1) = 0.Do “teorema fundamental do cálculo” vemd ln(x)dx= 1 x(3.2)Olhando o gráfico da função ln(x) na página 8 não é difícil ver que esta função temuma inversa (geometricamente, a inversa pode ser obtida rebatendo-se o gráfico da funçãoatravés da bissetriz do primeiro e terceiro quadrandes). A função exponencial exp(x),também escrita como e x , é por definição a inversa da função logaritmo:exp ≡ ln −1 . (3.3)Vamos calcular a derivada da exponencial. Pela definição de inversaln(e x ) = x =⇒ d ln(ex )dxUsando a “regra da cadeia” (propriedade (5) na pág. 11) podemos calcular derivada= 1.d ln(e x )dx= d ln(y)dy|| y=e xde xdx = 1 de xe x dx= 1 =⇒dexdx = ex . (3.4)A função exponencial e sua inversa, a função logaritmo, são extremamente importantes.Elas aparecem com muita frequência em todas as áreas da física e da matemática.É importante que você se familiarize com seus gráficos (veja a página 8) e as propriedadeslistadas na tabela 3.2.Vamos demonstrar que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.Logaritmo do produto.ln(xz) = ln(x)+ln(z). (3.5)Demonstração:Defina a função f(x) ≡ ln(xz), onde a variável z é mantida fixa e só x pode variar.Temosdf(x)dx = dln(xz)dx= dln(y)dy| d(xz)| y=xz dx = 1xz z = 1 x .Lembre que dln(x)/dx = 1/x, ou seja ln(x) e f(x) têm a mesma derivada. Duasfunções que têm a mesma derivada ou são iguais ou diferem apenas por umaconstante aditiva. Portanto,

3.7. ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 29Tabela 3.2: Algumas propriedadades das funções ln(x) e e xPara x,y,z > 0 e a,b reais quaisquerln(xz) = ln(x)+ln(z),ln(x a ) = a ln(x),ln(1/x) = −ln(x),ln(1) = 0e a+b = e a ·e b ,1/e a = e −a ,(e a ) b = e abe 0 = 1ln(e a ) = a,e ln(x) = x.f(x) ≡ ln(xz) = ln(x)+const. (3.6)Para descobrir o valor da constante basta lembrar que ln(1) = 0. Colocando x = 1na equação acima vemln(z) = ln(1)+const. = const. =⇒ const. = ln(z). (3.7)Substituindo a equação (3.7) na equação (3.6) completamos a demonstração.3.7 Algumas técnicas de integração3.7.1 Integral de uma derivadaDo “teorema fundamental do cálculo” decorre imediatamente que∫ badF(x)dxdx = F(x) |b| a= F(b)−F(a),uma vez que segundo este teorema o integrando é a derivada da primitiva.Esta é uma maneira ligeiramente diferente de escrever o TFC. É claro que o TFCgarante que o integrando é sempre a derivada de uma função. Porém, como já vimos,nem sempre esta função podeser escrita em termos de combinações de funções simples. Se

30CAPÍTULO 3. INTEGRAISconseguirmos escrever o integrando como uma derivada de uma função simples, a integralse torna trivial.Se a integral for indefinida temos simplesmente∫ dF(x)dx = F(x),dxonde omitimos, como de costume, a constante de integração.ExemploNo cálculo do potencial eletrostático sobre o eixo z devido a um disco de raio R,uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ, colocado sobre oplano xy e com centro na origem do sistema de coordenadas, a integral relevante éV(z) = σ ∫Rs√2ǫ 0 z2 +s ds. 2Neste caso o integrando é a derivada de uma função simples:V(z) = σ ∫R2ǫ 00d( √ z 2 +s 2 )ds0ds = σ2ǫ 0√z2 +s 2 | R| 0= σ2ǫ 0( √ z 2 +R 2 −|z|).3.7.2 Integração por partesVamos usar agora a fórmula da derivada de um produto de funções para obter mais umatécnica útil para o cálculo de integrais. Já mostramos queportanto∫ bad(f 1 (x)f 2 (x))dx∫df 1 (x)bdx f 2(x)dx =aa= df 1(x)dx f 2(x)+f 1 (x) df 2(x)dx ,d(f 1 (x)f 2 (x))dxdx−∫ baf 1 (x) df 2(x)dx dx.Note que o integrando da primeira integral do lado direito da equação é uma derivada.Assim∫ b∫df 1 (x)bdx f 2(x)dx = f 1 (x)f 2 (x) |b|− f 1 (x) df 2(x)a dx dx.Para que esta propriedade seja útil precisamos escrever o integrando como um produto(df 1 /dx)f 2 de tal forma que (1) a derivada de df 2 /dx seja mais simples do que f 2 e queconsigamos integrar facilmente df 1 /dx afim de obter f 1 , e (2) a integral do lado direito daequação acima seja mais simples do que a integral original.a

3.7. ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 31Apropriedadeacimatambémvaleparaintegraisindefinidas. Nestecasotemos(omitindoconstantes de integração)∫ ∫df1 (x)dx f 2(x)dx = f 1 (x)f 2 (x)−f 1 (x) df 2(x)dx dx.Exemplos(a) Calcule a integral∫x 3 ln(x)dx.Colocamos f 2 (x) = ln(x) e df 1 (x)/dx = x 3 =⇒ f 1 (x) = x 4 /4. Assim, lembrandoque dln(x)/dx = 1/x, obtemos∫∫x 3 ln(x)dx = x4 x44 ln(x)− 41 x4dx =x 4ln(x)−x416(b) Calcule a integral∫x sen(x)dx.Escolhemos f 2 (x) = x e df 1 (x)/dx = sen(x) =⇒ f 1 (x) = −cos(x) . Portanto,∫∫xsen(x)dx = −xcos(x)+ cos(x)dx = −xcos(x)+ sen(x).(c) Calcule a integralEscolhemos f 2 (x) = x 2 e df 1 (x)/dx =1/2.Portanto,∫∫x 3dx.(x 2 +4)3/2x 3(x 2 +4) 3/2 dx = − x 2(x 2 +4) 1/2 + ∫x(x 2 +4) =⇒ f 11(x) = −3/2 (x 2 +4)x 22xdx(x 2 +4)1/2= −(x 2 +4) 1/2 +2(x2 +4) 1/2 ,onde calculamos a integral no lado direito da equação acima percebendo que o seuintegrando (sem o fator 2) é a derivada de (x 2 +4) 1/2 .

32CAPÍTULO 3. INTEGRAIS(d) Considere a distribuição de probabilidadesP(x) = Axexp(−2x),definida para valores não negativos da variável aleatória x (isto é, para 0 ≤ x < ∞).Qual é o valor da constante A para que essa distribuição seja normalizada?Para a distribuição ser normalizada,∫ ∞P(x)dx = 1 ⇐⇒∫ ∞Axexp(−2x) dx = 1.00Escolhemos f 2 (x) = Ax e df 1 (x)/dx = exp(−2x) =⇒ f 1 (x) = − 1 exp(−2x). Portanto,2∫ ∞0Axexp(−2x) dx = 1 ⇐⇒ − Ax2exp(−2x)|∞| 0+∫ ∞0A2exp(−2x) dx = 1⇐⇒ − A 4exp(−2x)|∞| 0= 1 ⇐⇒ A 4= 1 =⇒ A = 4.3.7.3 Mudança de variável de integraçãoIntegrais definidasUma das técnicas mais versáteis para calcular integrais é a mudança de variável de integração.Ela é baseada na igualdade∫y(b)y(a)f(y)dy =∫ baf(y(x)) dy(x)dxDemonstração:Seja F(y) a primitiva de f(y). Isto significa quedx. (3.8)dF(y)dy= f(y). (3.9)Se conhecemos a primitiva de f(y), o TFC nos fornece imediatamente o valor daintegral do lado esquerdo da equação (3.8):∫y(b)y(a)f(y)dy = F(y) |y(b)| y(a)= F(y(b))−F(y(a)). (3.10)Para calcular a integral do lado direito da equação (3.8) precisamos achar a primitivada função f(y(x))dy(x)/dx. Vamos mostrar que esta primitiva é F(y(x)), onde F(y) é a

3.7. ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 33primitiva de f(y). De fato, usando a fórmula da derivada de função de função (regra dacadeia) obtemosdF(y(x))dxonde usamos a equação (3.9). Portanto,∫ baf(y(x)) dy(x)dx= dF(y) dy(x)dy dx = f(y)dy(x) dx ,dx = F(y(x))|b| a= F(y(b))−F(y(a)). (3.11)Comparando a equação (3.10) e a equação (3.11) vemos que as integrais na equação(3.8) são iguais, como queríamos demonstrar. ❚Observações:Obviamente a equação (3.8),∫y(b)y(a)f(y)dy =∫ baf(y(x)) dy(x)dx dx,pode ser usada tanto da direita para a esquerda como da esquerda para a direita.É conveniente usar a equação (3.8) da direita para a esquerda quando for fácil ver queo integrando tem a forma f(y)dy/dx e identificar y(x). Neste caso, após mudarmos oslimites de integração, fazemos as substituiçõesy(x) → y edy(x)dxdx → dy ,veja os exemplos (a) e (b) abaixo.Geralmente a equação (3.8) éusada da esquerda para adireita. Neste caso, precisamosescolher umafunção y(x)que leve aumaintegral maissimples. Alémdisto, precisamos sercapazes de inverter a função y(x) escolhida e expressar x em função de y para determinaros limites de integração da integral em x que aparece no lado direito da equação (3.8).Após mudarmos os limites de integração, fazemos as substituiçõesveja os exemplos (c) e (d) abaixo.Exemplosy → y(x) e dy → dy(x)dx dx ,(a) Calcule a integral∫ bsen 3 (x)cos(x)dx.aObserve que cos(x) = dsen(x)/dx. Isto sugere colocar y(x) = sen(x) e usar aequação (3.8) da direita para a esquerda fazendo sen(x) → y e cos(x)dx → dy.

34CAPÍTULO 3. INTEGRAIS∫ basen 3 (x)cos(x)dx =∫sen(b)sen(a)y 3 dy = y44| sen(b)|= sen 4 (b)sen(a) 4− sen 4 (a).4(b) Calcule a integral∫ 32ln(x)xNote que, dln(x)/dx = 1/x. Assim, uma boa escolha consiste em colocar y(x) =ln(x) e novamente usar a equação (3.8) da direita para a esquerda fazendo ln(x) → ye (1/x)dx → dy.dx.∫ 32ln(x)xdx =∫ln(3)ln(2)ydy = 1 2y2|ln(3)| ln(2)= 1 2 [ln2 (3)−ln 2 (2)].(c) Calcule a integral∫ 11√1−y2 dy.1/2Uma boa escolha é y(x) = sen(x) porque a igualdade 1 − sen 2 (x) = cos 2 (x) permitesimplificar o denominador. A função y(x) = sen(x) pode ser invertida: x =sen −1 (y) = arcsen(y) e os limites de integração da integral em x são arcsen(1/2) =π/6 e arcsen(1) = π/2. Fazemos y → sen(x) e dy → dy(x) dx = cos(x)dx. Portanto,dx∫ 11/2=∫π/2∫π/21√ dy = 1√1−y2 1− sen 2(x) cos(x)dx = 1cos(x) cos(x)dx∫π/2π/6π/6dx = x |π/2| π/6= π 3 ,π/6(d) Calcule a integral∫ 531y ln(y) dy.Escolhemos y(x) = e x =⇒ x = ln(y) e os limites de integração serão ln(3) e ln(5);fazemos y → e x e dy → dy(x)dxdx = e x dx. Assim,

3.7. ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 35∫ 53ln(5)∫1y ln(y) dy = 1e x x ex dx =ln(3)ln(5)∫ln(3)= ln(ln(5))−ln(ln(3)).1 |ln(5)dx = ln(x)x | ln(3)Note que neste exemplo também é fácil usar a equação (3.8) da direita da esquerda,como fizemos no exemplo (a). Deixaremos esta resolução como um exercício.Por razões didáticas, quando usamos a equação (3.8) da esquerda para a direitacolocamos a variável de integração da integral inicial igual a y. Quando trabalhamosda direita para a esquerda colocamos a variável de integração igual x. Obviamente, onome dado à variável de integração é irrelevante. Com a prática você vai usar a equação(3.8) sem se preocupar com estes detalhes.Integrais indefinidasPara terminar, apresentamos a fórmula de mudança de variável de integração para integraisindefinidas.Se você está usando a equação (3.8) da esquerda para a direita, você sai de umaintegral em y e deve chegar no final numa integral em y. Assim, é conveniente escrever∫ yf(y ′ )dy ′ =∫x(y)f(y(x ′ )) dy(x′ )dx ′ , (3.12)dx ′onde x(y) é a inversa de y(x), isto é y(x(y)) = y.Se você está usando a equação (3.8) da direita para a esquerda a integral de saída éem x e a integral de chegada também deve ser em x. É conveniente colocar∫ xf(y(x ′ )) dy(x′ )dx ′ dx ′ =∫y(x)f(y ′ )dy ′ . (3.13)Os limites superiores são os valores onde calculamos as primitivas. Note que nasequações (3.12) e(3.13) olimite superior na integral do lado direito éigual àvariável novaexpressa em termos da variável de saída. As linhas em x e y foram colocadas para deixarclara a diferença entre a variável de integração e o valor onde calculamos a primitiva. Naprática estas linhas podem ser omitidas, como fazemos nos exemplos abaixo.É possível usar as equações (3.12) e (3.13) sem os limites superiores. Neste caso, ficaimplícito que no final dos cálculos você deve voltar à variável de saída (veja o exemplo(e) abaixo). Preferimos escrever o limite superior nas integrais porque isto ajuda a seguiras mudanças de variável de integração, especialmente no caso em que várias mudanças devariável são feitas em seguida.

36CAPÍTULO 3. INTEGRAISDemonstrações:A demonstração da equação (3.12) é análoga à da equação (3.8). Já mostramos quese F(y) é a primitiva de f(y) então F(y(x)) é a primitiva de f(y(x)) dy(x) (veja a páginadx32). Portanto,∫ yf(y ′ )dy ′ = F(y ′ ) |y|= F(y),∫x(y)f(y(x ′ )) dy(x′ )dx ′ = F(y(x ′ )) |x(y)dx ′ |= F(y(x(y))) = F(y).Assim, os dois lados da equação (3.12) são iguais. ❚Para demonstrar a equação (3.13) basta verificar que a derivada em x da integral nolado direito é igual ao integrando da integral no lado esquerdo. Isto significa que a integraldo lado direito é a primitiva de f(y(x))dy(x)/dx. Usando o TFC e a “regra da cadeia”obtemosddx⎡∫⎣y(x)f(y ′ )dy ′ ⎤⎦ = d dz⎡⎣∫ z⎤f(y ′ )dy ′ ⎦dy(x)∣ dxz=y(x)= f(y(x))dy(x)dx .Esta derivada é igual ao integrando da integral do lado esquerdo da equação (3.13), comoqueríamos mostrar. ❚Exemplos(e) Calcule a integral∫1√1−y2 dy.Colocamos y(x) = sen(x) =⇒ x(y) = sen −1 (y) = arcsen(y); dy → dy(x) dx =dxdx = cos(x) dx. Portanto,dsen(x)dx∫ y=arcsen(y)∫1√ dy = 1√1−y2 1− sen 2(x) cos(x)dxarcsen(y)∫arcsen(y)∫1cos(x) cos(x)dx =dx = x |arcsen(y)|= arcsen(y).Se você tivesse omitido o limite de integração você teria obtido∫ ∫1√ dy = 1√1−y2 1− sen 2(x) cos(x)dx∫=∫1cos(x) cos(x)dx =dx = x,que só faz sentido se você substituir x por arcsen(y) no final.

3.8. O QUE FAZER QUANDO NADA FUNCIONA? 37(f) Calcule a integral∫sen 3 (x)cos(x)dx.Definimos y(x) = sen(x), portanto cos(x) dx = dy(x)dxdx → dy e∫ xsen 3 (x)cos(x)dx =sen(x)∫y 3 dy = y44| sen(x)|= sen 4 (x).4(g) Mostre queDefinimos x(y) = ay +b =⇒ y = x a − b a∫ y∫ay+b ∫1ay +b dy = 1x1ay +b dy = 1 ln(ay +b) .ae dy →dy(x)dx dx = 1 a dx1a dx = 1 |ay+bln(x)a |= 1 ln(ay +b).a3.8 O que fazer quando nada funciona?Apresentamos neste livro as principais técnicas de integração. Você irá aprender muitasoutrasnoscursosdeCálculo. Porém, muitasvezesvocênãoconseguirácalcularaprimitivade uma integral. Como já dissemos, a maioria das integrais não pode ser calculada emtermos de funções simples. Como ter certeza de que não existe um truque que permite ocálculo da integral? A rigor, é impossível ter esta certeza. Porém, quando tudo o maisfalha vale a pena consultar uma tabela de integrais, onde estão listadas as primitivas devárias funções e os valores de várias integrais definidas que aparecem com frequência. Astabelas variam muito em tamanho. Uma tabela que contém uma boa escolha de integraise que vai ser útil durante toda a graduação é a da Coleção Schaum [5]. Uma das tabelasmais completas é a de Gradshteyn e Ryzhik [6] cuja sexta edição tem mais de mil páginas!Se uma integral não puder ser encontrada no Gradshteyn e Ryzhik muito possivelmentenão existe uma expressão analítica para ela. Na internet, o excelente site da WolframAlpha [7] permite calcular interativamente integrais definidas e indefinidas.Mesmonãoachandosuaintegralnastabelas, aindaexisteumúltimorecurso—ocálculonumérico. Quase sempre queremos calcular uma integral definida. Neste caso podemosexplorar a idéia de que a integral é essencialmente a área entre o eixo das abscissas e ográfico da função. É o que fazem as técnicas numéricas. Elas são extremamente eficientese fornecem rapidamente o resultado da integral com precisão desejada.Apesardassoluçõesanalíticasseremmuitomaiselegantesdoqueassoluçõesnuméricas,você não deve ter preconceitos contra o cálculo numérico. À medida em que você foravançando em seus estudos você perceberá que os métodos computacionais desempenhampapel essencial na ciência e na tecnologia.

38CAPÍTULO 3. INTEGRAISExercícios(1) Calcule as integrais∫(2x+x 4 +e −x )dx;∫y √ 1+y 2 dy;∫1t 2 −a 2dt;∫∫∫cos(ωt+φ)dt;zz 2 +1 dz;∫x(x 2 +a 2 ) 3/2dx;∫1a+bx dx;∫1t 2 +a 2dt;ln(x)dx.(2) Calcule o trabalho da força F(x) = −kx para deslocar um corpo que se move apenasao longo do eixo x da posição x = x 0 até a posição x = x 1 .(3) Calcule a área delimitada pelas funções y 1 (x) = x 2 e y 2 (x) = −x entre x = 0 ex = 1.Sugestão: primeiramente esboce os gráficos de y 1 (x) e y 2 (x).(4) Um corpo que se desloca apenas sobre o eixo dos x tem aceleração que varia linearmentecom o tempo, a(t) = ct, onde c é uma constante. Sabendo-se que em t = 0 ocorpo está em x = x 0 com velocidade v = v 0 , determine a função x(t) que fornece aposição do corpo no instante t.Sugestão: primeiramente integre a aceleração para determinar a velocidade, imponhaa condição inicial e integre novamente para determinar x(t).(5) Calcule o trabalho necessário para levar uma partícula de massa m da superfície daTerra até o infinito (com velocidade zero no infinito).Dado: a força que a Terra exerce sobre a partícula é F(r) = GMm/r 2 , onde Mé a massa da Terra e G é a constante gravitacional; considere o raio da Terra R Tconhecido.(6) Considere uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x sujeita à açãode uma força F(t). Através de uma mudança de variável apropriada mostre que oimpulso da força F(t) é igual à variação do momento da partícula, isto é,∫ t 2t 1F(t)dt = mv(t 2 )−mv(t 1 ) ,onde v(t i ) é a velocidade no instante t = t i .Sugestão: lembre que a aceleração é a = dv/dt.

Capítulo 4Vetores4.1 Conceito de vetorExistem muitas grandezas físicas que não podem ser completamente descritas por umsimples número. Para descrever essas grandezas (como forças, deslocamentos, velocidades,etc) precisamos especificar um número (módulo), uma direção e um sentido. Essasgrandezas são denominadas vetoriais, em contraposição às grandezas escalares, que podemser caracterizadas por um número (como temperatura, energia, etc). O vetor é umaentidade matemática associada a um módulo, uma direção e um sentido. Na naturezaexistem também outras grandezas que são muito mais complexas, necessitando para suacaracterização de entidades matemáticas mais complicadas que os vetores (por exemplo,a tensão ou as deformações de um sólido anisotrópico são descritas por entidades denominadastensores).Vetores já devem ter sido vistos no ensino médio. Não vamos rever as idéias maisintuitivas. Também não vamos nos preocupar com um tratamento rigoroso ou detalhado(que deve ser apresentado numa disciplina específica). Vamos apenas rever os conceitosbásicos e introduzir uma notação mais prática a fim de facilitar as operações (soma,multiplicações, derivação) com vetores.4.2 Componentesemódulodeumvetor;versorApesardosvetores seremindependentes dossistemas decoordenadas, émuitointeressanteescrevê-los em termos de suas componentes num determinado sistema. A figura 4.1 indicaum vetor ⃗ F que tem uma componente ⃗ F x ao longo da direção x.⃗Fα⃗F xxFigura 4.139

40A notação ∣F⃗ ∣ designa o módulo de um vetor F. ⃗ Então, é claro que∣ ⃗ F x∣ ∣∣ =∣ ∣∣ ⃗ F∣ ∣∣cosα.CAPÍTULO 4. VETORESAdotando um sistema de eixos cartesianos (isto é, de eixos ortogonais, como mostradona figura 4.2), todo vetor planar pode ser decomposto em componentes ao longo dasdireções x e y.y⃗F y0 x ⃗F x⃗ FFigura 4.2Usando a “regra da soma do paralelogramo” temos⃗F = ⃗ F x + ⃗ F y ,ou seja, um vetor sempre pode ser escrito como a soma de suas componentes num sistemade eixos ortogonais. Pelo teorema de Pitágoras temos∣F⃗ ∣ 2 = ∣F ⃗ ∣ ∣∣2 ∣ ∣ ∣∣x + Fy ⃗ ∣∣2.Embora tenha sido apresentado um exemplo bidimensional, é claro que isto tudotambém funciona em três dimensões (para um sistema de eixos cartesianos x−y −z).Para tornar mais simples a representação de umvetor éinteressante introduzir a noçãode versor, que é um vetor de módulo unitário, funcionando como uma espécie de “unidadede direção”. Na figura 4.3 representamos os versores⃗ı e ⃗j, que são vetores unitários nasdireções x e y respectivamente (na direção z costuma-se usar o símbolo ⃗ k). Note que|⃗ı| = |⃗j| = 1.O vetor F ⃗ x pode então ser escrito como F ⃗ x = F x ⃗ı, onde F x é um escalar, cujo módulocorresponde ao módulo ∣F ⃗ ∣ ∣∣.x Da mesma forma temos⃗F y = F y ⃗j.Portanto,Em três dimensões teríamos⃗F = F x ⃗ı+F y ⃗j.⃗F = F x ⃗ı+F y ⃗j+F z⃗ k.

4.3.OPERAÇÕES COM VETORES 41y⃗j⃗ıxFigura 4.3ExemploEscrever em termos dos versores cartesianos os dois vetores ⃗v 1 e ⃗v 2 , indicados nafigura 4.4.yy21⃗v 11 2 3 41 2 3x-1⃗v 2x-2Figura 4.4é fácil perceber que⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j; ⃗v 2 = 4⃗ı−2⃗je que|⃗v 1 | 2 = 3 2 +2 2 = 13; |⃗v 2 | 2 = 4 2 +2 2 = 20.Então, |⃗v 1 | = √ 13 e |⃗v 2 | = √ 20 = 2 √ 5.4.3 Operações com vetores4.3.1 Soma ou subtraçãoDados os vetores⃗a = a x ⃗ı+a y ⃗j+a z⃗ ke⃗ b = bx ⃗ı+b y ⃗j+b z⃗ k,

42CAPÍTULO 4. VETORESo vetor soma ou subtração é definido como⃗a± ⃗ b = (a x ±b x )⃗ı+(a y ±b y )⃗j+(a z ±b z ) ⃗ k.ExemploVamos considerar os vetores⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j;⃗v 2 = 4⃗ı−2⃗j.A soma é dada por⃗v 1 +⃗v 2 = 7⃗ı.é fácil verificar que os mesmos resultados poderiam ter sido obtidos através da “regrado paralelogramo” (ou de qualquer outra regra geométrica desse tipo).4.3.2 Produto de vetoresHá pelo menos três tipos de produtos envolvendo vetores:(i) produto de um número escalar por um vetor, dando como resultado um vetor;(ii) produto de um vetor por outro vetor, dando como resultado um escalar (é ochamado produto escalar);(iii) produto de um vetor por outro vetor, dando como resultado um terceiro vetor (éo chamado produto vetorial).Vamos considerar cada um desses casos.(i) Produto de um vetor por um escalarDado o vetore o escalar A, temos⃗a = a x ⃗ı+a y ⃗j+a z⃗ kA⃗a = Aa x ⃗ı+Aa y ⃗j+Aa z⃗ k.Como exemplo, vamos considerar o vetor ⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j. Multiplicando por 5, temos15⃗ı+10⃗j; multiplicando por −6, obtemos −18⃗ı−12⃗j.(ii) Produto escalar entre dois vetoresDados os vetores⃗a = a x ⃗ı+a y ⃗j+a z⃗ ke⃗ b = bx ⃗ı+b y ⃗j+b z⃗ k,

4.3.OPERAÇÕES COM VETORES 43definimos o produto escalar,⃗a·⃗b = a x b x +a y b y +a z b z .Por exemplo, o produto escalar dos vetores ⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j e ⃗v 2 = 4⃗ı−2⃗j é dado por⃗v 1 ·⃗v 2 = 3×4+2×(−2) = 12−4 = 8.Há uma forma alternativa, muito conveniente, de escrever o produto escalar entredois vetores. Dados ⃗a e ⃗ b, formando um ângulo θ, é fácil mostrar que⃗a·⃗b = |⃗a| ∣ ⃗ ∣b∣cosθ.Como ⃗a e ⃗ b (para θ ≠ 0 ou π) definem um plano, que pode ser chamado plano xy,bastademonstrarestarelaçãonoespaçocartesianobidimensional. Vamosconsiderara figura 4.5.y⃗ bθ 1θ 2⃗axFigura 4.5O produto escalar entre ⃗a e ⃗ b é dado porMas⃗a·⃗b = a x b x +a y b y .a x = acosθ 1 ; a y = asenθ 1 ;b x = bcosθ 2 ; b y = bsenθ 2 ,com a = |⃗a| e b = ∣ ⃗ ∣b∣. Então⃗a·⃗b = abcosθ 1 cosθ 2 +absenθ 1 senθ 2 == ab[cosθ 1 cosθ 2 + senθ 1 senθ 2 ] == abcos(θ 1 −θ 2 ) = abcos(θ 2 −θ 1 ) = abcosθ.Por exemplo, vamos calcular o ângulo entre os vetores ⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j e ⃗v 2 = 4⃗ı−2⃗j.O produto escalar é dado por⃗v 1 ·⃗v 2 = 3×4+2×(−2) = 12−4 = 8.

44CAPÍTULO 4. VETORESOs módulos desse dois vetores são dados porEntãode onde vem θ ≈ 60,255 ◦ .|⃗v 1 | = (9+4) 1/2 = √ 13 e |⃗v 2 | = (16+4) 1/2 = 2 √ 5.cosθ = ⃗v 1 ·⃗v 2|⃗v 1 ||⃗v 2 | = 82 √ 13×5 = 0.496...,O produto escalar entre dois vetores tem uma série de propriedades facilmentedemonstráveis:( )(a) ⃗a· ⃗b+⃗c =⃗a·⃗b+⃗a·⃗c,conhecida como associatividade;(b) ⃗a·⃗b = ⃗ b·⃗a,que é conhecida como comutatividade;(c) ⃗a·⃗b = 0 =⇒⃗a ⊥ ⃗ b,indicando que o produto escalar é nulo quando os vetores forem perpendiculares;(d) ⃗a·⃗b = |⃗a| ∣ ⃗ b∣ =⇒⃗a ‖ b, ⃗mostrando quese oproduto escalar fordado pelo produtodosmódulos (cosθ =1) então os dois vetores são paralelos.(iii) Produto vetorial entre dois vetoresDados os vetores⃗a = a x ⃗ı+a y ⃗j+a z⃗ ke⃗ b = bx ⃗ı+b y ⃗j+b z⃗ k,o produto vetorial é um terceiro vetor definido como⃗a× ⃗ b = (a y b z −a z b y )⃗ı+(a z b x −a x b z )⃗j+(a x b y −a y b x ) ⃗ k.Há várias formas de se lembrar dessa definição. É fácil verificar que essa expressãodo produto vetorial pode ser obtida através de um determinante simbólico,⃗a× ⃗ b =∣⃗ı ⃗j ⃗ ka x a y a zb x b y b z∣ ∣∣∣∣∣.

4.3.OPERAÇÕES COM VETORES 45ExemploVamos considerar de novo os vetores ⃗v 1 = 3⃗ı+2⃗j e ⃗v 2 = 4⃗ı−2⃗j. O produto vetorialé dado por⃗ı ⃗j ⃗ k⃗v 1 ×⃗v 2 =3 2 0∣ 4 −2 0 ∣ = 0⃗ı+0⃗j+(−6−8)⃗ k = −14 ⃗ k.Nocasodoprodutovetorialtambémháumadefiniçãoalternativa,muitoconvenienteem aplicações físicas, mas um pouco mais complicada. O vetor produto ⃗a× ⃗ b deveser especificado por: (i) um módulo, que é dado por |⃗a| ∣ ⃗ b∣ senθ, onde θ é o ânguloentre⃗a e ⃗ b; (ii) uma direção, que é perpendicular ao plano definido por⃗a e ⃗ b; ou seja,⃗a e ⃗ (b são ambos perpendiculares ao produto vetorial ⃗a× ⃗ )b ; e (iii) um sentido, queé dado pela “regra do saca-rolhas” ou “regra da mão direita” (com a mão direitaacompanhamos o vetor⃗a e tentamos atingir a ”ponta”do vetor ⃗ b; o dedo polegar damão direita vai apontar no sentido do produto vetorial).Considerando o plano xy formado pelos vetores ⃗a e ⃗ b, é fácil verificar essa definiçãoalternativa. De fato, observando a figura 4.6, temosy⃗ bθ 1θ 2⃗axFigura 4.6⃗a× ⃗ b =de onde vem que∣⃗ı ⃗j ⃗ ka x a y 0b x b y 0∣ = (a xb y −a y b x ) ⃗ k= (abcosθ 1 senθ 2 −absenθ 1 cosθ 2 ) ⃗ k= ab(cosθ 1 senθ 2 − senθ 1 cosθ 2 ) ⃗ k = ab sen (θ 2 −θ 1 ) ⃗ k,⃗a× ⃗ b = |⃗a| ∣ ⃗ b∣ senθ ⃗ k.Como o eixo z é perpendicular aos eixos x e y, e deve estar orientado para “fora dopapel”, não há dúvidas de que os itens (i), (ii) e (iii) da definição alternativa vãoser devidamente satisfeitos.Há uma série de propriedades imediatas do produto vetorial:

46CAPÍTULO 4. VETORES(a) ⃗a× ⃗ b = − ⃗ b×⃗a.Cuidado: o produto vetorial não é uma operação comutativa;(b) ⃗a× ⃗ b = 0 =⇒⃗a ‖ ⃗ b,ou seja, dois vetores paralelos têm produto vetorial nulo;(c)∣∣⃗a× ⃗ b∣ = ab =⇒⃗a ⊥ ⃗ b,ou seja, nesse caso ⃗a e ⃗ b são dois vetores perpendiculares;( )(d) ⃗a× ⃗b+⃗c =⃗a× ⃗ b+⃗a×⃗c,continuando válida a propriedade associativa em relação à soma;( )(e) ⃗a× ⃗b×⃗c = ⃗ ( )b(⃗a·⃗c)−⃗c ⃗a·⃗b ,que é uma propriedade mais complicada, que está sendo dada apenas pararegistro, mas que não é difícil verificar (podemos usar um desses artifíciosmnemônicos para lembrar do resultado final: “bac” menos “cab”;( )(e) ⃗a· ⃗b×⃗c = ⃗ b·(⃗c×⃗a) =⃗c·(⃗a× ⃗ )b ,que se chama produto misto, e que também está sendo apenas registrado. Notea propriedade cíclica dessas espressões (em relação à ordem da letras a, b e c).Note também que aparece um sinal − associado a cada inversão de ordem doproduto vetorial.4.4 Funções vetoriaisUma função vetorial é um vetor que depende de uma ou mais variáveis. Por exemplo, ovetor posição ⃗r ou o vetor velocidade ⃗v são em geral funções do tempo t. Então temos asfunções vetoriais ⃗r =⃗r(t) e ⃗v =⃗v(t).Movimento circular uniforme (MCU) em coordenadas cartesianasNesse movimento a trajetória é um círculo, de raio constante R, e “ângulos iguais sãopercorridos em tempos iguais”, ou seja, a “taxa de variação do ângulo com o tempo”, ouderivada, dθ/dt, é constante.Utilizando a notação da figura 4.7, o MCU (movimento circular uniforme) é definidopor|⃗r| = R(constante)eθ = θ 0 +ωt, com dθdt = ω,onde a constante ω é a “velocidade angular”. O vetor posição em coordenadas cartesianasé dado por⃗r = Rcos(θ 0 +ωt)⃗ı+Rsen (θ 0 +ωt)⃗j.

4.4.FUNÇÕES VETORIAIS 47y⃗rP0θxFigura 4.7Note que apenas as componentes r x = r x (t) = Rcos(θ 0 +ωt) e r y = r y (t) = Rsen(θ 0 +ωt)dependem do tempo (os versores⃗ı e ⃗j são obviamente fixos, constantes).A derivada de uma função vetorial é definida como um vetor formado pela derivadade cada uma das suas componentes cartesianas. Assim temosque é o vetor velocidade, e⃗v = d⃗rdt = dr x(t)⃗ı+ dr y(t)⃗jdt dt= −Rω sen(θ 0 +ωt)⃗i+Rω cos(θ 0 +ωt)⃗j,⃗a = d⃗vdt = dv x(t)⃗ı+ dv y(t)⃗jdt dt= −Rω 2 cos(θ 0 +ωt)⃗i−Rω 2 sen (θ 0 +ωt)⃗j,que é o vetor aceleração.A partir das expressões de ⃗a e de ⃗r temos⃗a = −ω 2 ⃗r,queéafamosaaceleraçãocentrípeta,cujomóduloédadoporω 2 |⃗r|, masqueestáorientadana direção radial, contrariamente a ⃗r. Também é fácil calcular o módulo da velocidade.De fato, temosEntão|⃗v| 2 = [−Rω sen(θ 0 +ωt)] 2 +[Rω cos(θ 0 +ωt)] 2 = R 2 ω 2 .|⃗v| = v = ωR,que é outra expressão famosa do MCU (v é a velocidade tangencial e ω é a velocidadeangular).Vamos agora mostrar que ⃗v e ⃗r são perpendiculares, ou seja, que a velocidade ⃗v étangente à trajetória. Para isso, basta calcular o produto escalar,⃗r ·⃗v = r x v x +r y v y = [R cos(θ 0 +ωt)] [−Rω sen(θ 0 +ωt)]+ [R sen (θ 0 +ωt)] [Rω cos(θ 0 +ωt)] = 0.Como ⃗r ·⃗v = 0, o vetor velocidade é tangente à curva da trajetória.

48CAPÍTULO 4. VETORES4.5 Sistema de coordenadas polaresO sistema cartesiano é muito prático e simples, mas em determinadas situações pode sermais conveniente usar outros sistemas de referência. Vale a pena enfatizar que no sistemacartesiano os versores básicos ⃗ı, ⃗j e ⃗ k são constantes, em módulo, direção e sentido,facilitando as operações de derivação. Em outros sistemas a situação pode ser maiscomplicada.Nocasodomovimentocircularémuitoconvenienteconsiderarumsistemadecoordenadaspolares. De acordo com a figura 4.7, um ponto P pode ser representado pelo par (x,y)de coordenadas cartesianas ou, alternativamente, pelo par (r,θ) de coordenadas polares.y⃗e θ⃗jy0⃗ıθrθxP⃗e rxFigura 4.8Como está indicado nesse gráfico, r é a distância entre o ponto P e a origem O.Portanto, r é um número positivo, que varia de 0 até ∞. O ângulo θ, que o vetor posição⃗r, dado por OP, ⃗ faz com o eixo x, varia entre 0 e 2π.Nessa figuratambémestãorepresentados osversores⃗ıe⃗j(emcoordenadascartesianas)e ⃗e r e ⃗e θ (em coordenadas polares). Observe que ⃗e r tem a direção e o sentido do vetorposição ⃗r; ⃗e θ é normal a ⃗e r , orientado no sentido de θ crescente. Aqui há uma questão denotação. Nós estamos preferindo a notação ⃗e r e ⃗e θ para designar os vetores unitários emcoordenada polares, mas há quem prefira simplesmente ̂r e ̂θ. Convidamos o(a) leitor(a)a fazer a sua escolha.Em coordenadas cartesianas é muito simples obter os deslocamentos elementares:fixando x, variamos y e obtemos dy; fixando y, variamos x e obtemos dx. A área elementaré dxdy. Em coordenadas polares é um pouco mais complicado: fixando θ, variamosr e obtemos dr; fixando r, variamos θ e obtemos o deslocamento elementar rdθ. A áreaelementar é dada por rdrdθ.Considerando a figura 18, podemos projetar ⃗e r e ⃗e θ nos eixos x e y para escrever⃗e r = cosθ⃗ı+ senθ⃗j,⃗e θ = −senθ⃗ı+cosθ⃗j.Invertendo essas equações, também temos⃗ı = cosθ⃗e r − senθ⃗e θ ,⃗j = senθ⃗e r +cosθ⃗e θ .

4.5. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 49Movimento circular uniforme (MCU) em coordenadas polaresA posição ⃗r é dada por⃗r = R⃗e r .Só que o vetor unitário ⃗e r é uma função do tempo,Podemos agora calcular a velocidade,comPortanto, temos⃗e r = cos(θ 0 +ωt)⃗ı+ sen (θ 0 +ωt)⃗j.⃗v = d⃗rdt = Rd⃗e rdt ,d⃗e rdt = −ωsen (θ 0 +ωt)⃗ı+ωcos(θ 0 +ωt)⃗j = ω⃗e θ .⃗v = ωR⃗e θ ,que é uma expressão bem mais compacta do que em coordenadas cartesianas. Além disso,essa expressão mostra que a velocidade ⃗v é tangente à trajetória.A aceleração é dada por⃗a = d⃗vdt = ωRd⃗e θdt .MasEntãod⃗e θdt = −ωcos(θ 0 +ωt)⃗ı−ωsen (θ 0 +ωt)⃗j = −ω⃗e r .⃗a = −ω 2 R⃗e r ,que é a expressão da aceleração centrípeta, como nós já tínhamos obtido antes.Descrição de um movimento circular arbitrárioUm movimento circular arbitrário é descrito pelo vetor posição⃗r = R⃗e r ,onde |⃗r| = R é uma constante (o raio do círculo) e⃗e r = [cosθ(t)]⃗ı+[senθ(t)]⃗j,em que θ(t) é uma função qualquer do tempo.No movimento circular uniforme (MCU), θ(t) = θ 0 + ωt, onde ω é constante. Nomovimento circular uniformemente acelerado (MCUA),θ(t) = θ 0 +ω 0 t+ 1 2 αt2 ,onde ω 0 e α são constantes (α é a aceleração angular constante). No caso geral, dθ/dt =ω(t) e dω/dt = α(t) são funções arbitrárias do tempo.

50CAPÍTULO 4. VETORESondeA velocidade é dada por⃗v = d⃗rdt = Rd⃗e rdt ,d⃗e rdt= d dt [cosθ(t)]⃗ı+ d [senθ(t)]⃗j = −senθdθdt dt ⃗ı+cosθdθ dt ⃗j= −[ω(t)senθ(t)]⃗ı+[ω(t)cosθ(t)]⃗j = ω(t)⃗e θ .Então⃗v = Rω(t)⃗e θ ,mostrando que a velocidade permanece tangente à trajetória.A aceleração é dada pela derivada dessa última expressão,Mas⃗a = d⃗vdt = R dωdt ⃗e θ +Rω d⃗e θdt .Entãod⃗e θdt= d dt [−senθ(t)]⃗ı+ d [cosθ(t)]⃗j = −cosθdθ⃗ı− senθdθdt dt dt ⃗j= − dθ [cosθ⃗ı+ senθ⃗j] = −dθdt dt ⃗e r.⃗a = R dωdt ⃗e θ −Rω 2 ⃗e r .Portanto, quando dω/dt = α ≠ 0, além da componente centrípeta há também umacomponente tangencial da aceleração.

4.5. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 51Exercícios1. Desenhe, em um sistema cartesiano, os vetores ⃗u = 3⃗ı+2⃗j e ⃗v = −3⃗ı−⃗j .2. Dados os vetores ⃗a = 4⃗ı+8⃗j e ⃗ b = 3⃗ı−3⃗j− ⃗ k, calcule:(a) 1 8 ⃗a;(b) a componente y do vetor ⃗ b;(c) ⃗a+ ⃗ b e ⃗a− ⃗ b;(d) o módulo do vetor ⃗ b;(e) o produto escalar ⃗a. ⃗ b ;(f) o ângulo entre ⃗a e ⃗ b.3. Calcule a primeira e a segunda derivada dos vetores abaixo:(a) ⃗y(t) = (−3t 3 )⃗ı+(2t)⃗j;(b) ⃗r(t) = −2 ⃗ k;(c) ⃗u(t) = Acos(ωt)⃗ı.4. Calcule a integral∫ t0⃗v(t ′ )dt ′quando (a) ⃗v(t) = At 2 ⃗ı e (b)⃗v(t) = −ωsen(ωt)⃗ı+ωcos(ωt)⃗j.5. Mostrequese omódulodavelocidade éconstante, ouovetor velocidade éconstante,ou o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

52CAPÍTULO 4. VETORES

Capítulo 5Expansões em séries de potências.5.1 Definições, séries geométrica e de TaylorDesde a Antiguidade, muitos matemáticos, físicos e astrônomos se preocuparam comproblemas relacionados com sequências e séries. Talvez a primeira referência a essesproblemas seja o “paradoxo do movimento”, ou paradoxo de Aquiles que não conseguealcançar a tartaruga, proposto por Zenão de Eléia, que viveu na Grécia há cerca de450 anos AC. Essas questões já envolviam as idéias de limite, soma de séries infinitas equantidades infinitesimais. O desenvolvimento dos conceitos relacionados com sequênciase séries, em particular a soma de séries infinitas, ocupou inúmeros matemáticos desdeentão, confundindo-se com o desenvolvimento do conceito de limite e do próprio cálculodiferencial e integral.Uma sequência é um conjunto de números, em geral relacionados através de uma certaregra. Umexemplo famoso éa“sequência deFibonacci”, que éuma sequência denúmerosinteiros na qual cada número, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois números anteriores(1,1,2,3,5,8,...). Esta sequência, que tem muitas propriedades curiosas, continuasendo utilizada em várias áreas da matemática e da ciência.Uma série é um conjunto ordenado de infinitos termos, relacionados entre si por algumtipo de operação. Se a diferença entre as sucessivas parcelas de uma série for constante,temosumasériearitmética,ouPA(progressãoaritmética)ilimitada, queéumexemplo familiar,certamente estudado no ensino médio. Outroexemplo muito conhecido éuma sériena qual a razão entre dois termos consecutivos é constante. Essa é uma série geométricaou PG (progressão geométrica) infinita. Existem vários outros tipos de séries, importantestanto para matemáticos como para físicos ou engenheiros. Dizemos que uma sériea 1 ,a 2 ,a 3 ,... é convergente quando a sequência de somas parciais, S 1 = a 1 , S 2 = a 1 +a 2 ,S 3 = a 1 + a 2 + a 3 , ... converge para um valor definido S. À medida que n cresce, casoa sequência de somas parciais S n seja oscilante, ou se aproxime de ±∞, dizemos que asérie é divergente.No ensino médio aprende-se que a soma de todos os (infinitos) termos de uma PGinfinita é dada porS =∞∑n=1a n = a 11−q ,desde que a razão q = a n+1 /a n seja em módulo menor do que a unidade (−1 < q < +1).Quando |q| ≥ 1 a PG diverge.53

54CAPÍTULO 5. EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS.Uma expansão em série de potências de uma função f(x) é uma representação destafunção como umasoma, emgeral cominfinitasparcelas, ondecadaparcela éuma potênciada variável x. Em termos mais gerais, as parcelas de uma expansão em série podem seroutras funções de x, em geral elementares.No exemplo particular da soma da PG, lembrando quetemos a série de potênciasa n = a 1 q n−1 ,f(x) = 1∞1−x = ∑x n−1 = 1+x+x 2 +x 3 +....n=1A possibilidade de representar algumas funções (e não apenas números!) através deséries de potências ou de algumas outras séries infinitas foi reconhecida e trabalhada pelatradicão matemática indiana. No início do século XVIII, o matemático inglês Taylordesenvolveu um método geral para construir a expansão em série de potências de umafunção genérica bem comportada conhecida como série de Taylor. Em muitos casos umafunção f(x) infinitamente diferenciável e definida num intervalo aberto (a−∆, a+∆),centrado no ponto a, pode ser escrita como uma série de potências infinita, dada pelaexpressãof(x) =∞∑n=01n! f(n) (a)(x−a) n ,ondef (n) (a) = dn f(x)dx n ∣∣∣∣x=aé a n-ésima derivada de f(x) no ponto a, en! = n×(n−1)×(n−2)×···×1é o fatorial de n. Para a = 0, temos um caso especial conhecido como série de Maclaurin.Além de perceber que muitas funções podem ser representadas como um polinômio degrau infinito, A+Bx+Cx 2 +Dx 3 + ..., como os seus predecessores também sabiam,Taylordescobriu afórmulageralparaencontrarosinfinitoscoeficientes A, B, C, ..., dessepolinômio. As condições necessárias para que a série de Taylor convirja serão estudas noscursos de Cálculo.Exemplo: a função cos(x)Como exemplo concreto, vamos obter a expansão em série de Taylor da função f(x) =cosx, para a = 0. Precisamos então calcular as deridadas f (n) (0) para vários valores den. De acordo com essa notação, f (0) (0) é a própria função calculada para x = 0, ou seja,

5.1.DEFINIÇÕES, SÉRIES GEOMÉTRICA E DE TAYLOR 55f (0) (0) = 1. Além disso, temosf (1) (0) = dfdx∣ = −senx| x=0 = 0,x=0e assim por diante. Então temosf (2) (0) = d2 fdx 2 ∣∣∣∣x=0= −cosx| x=0 = −1,f (3) (0) = d3 fdx 3 ∣∣∣∣x=0= senx| x=0 = 0,f (4) (0) = d4 fdx 4 ∣∣∣∣x=0= cosx| x=0 = 1,f(x) = cosx = 1− 1 2! x2 + 1 4! x4 − ...Portanto, na vizinhança do ponto x = 0, a função f(x) = cosx pode ser aproximada porpolinômios de grau n, com uma precisão que aumenta com o valor de n. A figura 5.1mostra os gráficos da função f(x) = cosx e dos polinômios gerados pela série de potênciaspara diversos valores de n (n = 2, n = 4, n = 6, n = 10 e n = 20).21cosxn = 2n = 4n = 6n = 10n = 20−3π −2π −π 0 π 2π 3π−1−2Figura 5.1Uma expansão em série convergente pode ser usada para que se obtenha uma formaaproximada de uma função, eventualmente complicada, em termos de um polinômio degrau relativamente baixo. Quando dizemos, por exemplo, que para θ pequeno, senθ ≈ θ,estamos aproximando a função pelo primeiro termo da série de Taylor nas vizinhanças daorigem! Levando em conta os termos seguintes dessa série,senθ = θ− 1 6 θ3 + 1120 θ5 + ...,

56CAPÍTULO 5. EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS.podemos ir além dessa aproximação de primeira ordem. Quando θ for muito pequeno(θ

5.2. A EXPONENCIAL COMPLEXA 575.2 A exponencial complexaRepresentação polar dos números complexosUsando um sistema de coordenadas cartesianas num plano, podemos associar ao númerocomplexo z = x + iy, onde i = √ −1, o ponto de coordenadas (x,y), conforme a figura5.2.yz = x+iy|z| = √ x 2 +y 2θ0 xFigura 5.2Definindo a distância do número complexo z até a origem como |z| = √ x 2 +y 2 eo ângulo θ = arctan(y/x) (veja a figura 5.2) em analogia com as coordenadas polares,podemos escreverx = |z|cosθy = |z|senθ}=⇒ z = x+iy = |z|cosθ+i|z|senθ = |z|(cosθ+isenθ).É conveniente definir a exponencial complexa e iθ através da expansão de Taylor de e x ,que vimos na seção anterior, colocando x = iθ:e iθ ≡ 1+iθ + 1 2! (iθ)2 + 1 3! (iθ)3 + 1 4! (iθ)4 + 1 5! (iθ)5 ... =∞∑n=0(iθ) n.n!Note que i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 6 = −1, i 7 = −i, i 8 = 1, etc.O padrão 1, i, -1, −i se repete sempre nesta ordem. As potências pares de i produzem 1 e-1 alternadamente, enquanto que as potências ímpares produzem i e −i alternadamente.Separando os termos sem i dos termos com i obtemose iθ = 1− 1 2! (θ)2 + 1 (4! (θ)4 − ... +i θ− 1 3! (θ)3 + 1 )5! (θ)5 − ... .Os termos sem i representam a expansão do cosseno enquanto que os termos multiplicadospor i representam a expansão do seno. Portanto,e iθ = cosθ +isenθ . (5.1)

58CAPÍTULO 5. EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS.Esta última equação permite demonstrar que e iθ tem as propriedades da exponencialusual. Por exemplo,e iθ 1e iθ 2= (cosθ 1 +isenθ 1 )(cosθ 2 +isenθ 2 )= cosθ 1 cosθ 2 − senθ 1 senθ 2 +i(cosθ 1 senθ 2 + senθ 1 cosθ 2 )= cos(θ 1 +θ 2 )+isen(θ 1 +θ 2 ) = e i(θ 1+θ 2 ) .Finalmente, podemos escrever um número complexo na forma polar:5.3 O oscilador harmônicoz = x+iy = |z|cosθ+i|z|senθ = |z|e iθ . (5.2)A equação de movimento do oscilador harmônico é dada pela equaçãom dvdt = −kx.Definindo ω 2 = k/m e colocando v = dx/dt podemos reescrever a equação acima comod 2 xdt 2 = −ω2 x. (5.3)Observe que esta equação é linear, pois todos os termos dependem de x e não de x 2 , x 3ou potências mais altas de x; também não aparece nenhuma função de x. Além disto, aequação éhomogênea. Isto significa que todosos termossão proporcionaisauma derivadadexouaopróprioxenenhum termo contémapenasuma função det. Éimediato verificarque, graças à homogeneidade, se x(t) é uma solução da (5.3), então cx(t), onde c é umaconstante, também é solução.Vamos agora supor que a solução da equação (5.3) seja da formaSubstituindo a equação (5.4) na equação (5.3) obtemosx(t) = e pt . (5.4)p 2 e pt = −ω 2 e pt =⇒ p 2 = −ω 2 =⇒ p = ± √ −1 ω = ±iω. (5.5)Supor que a solução da equação (5.3) é da forma x(t) = e pt permitiu transformar aequação diferencial do oscilador harmônico em uma equação algébrica (p 2 = −ω 2 ). Estatécnicafuncionacomqualquerequaçãodiferencialordinária(semderivadasparciais)lineare homogênea.Encontramos soluções do tipo x(t) = e pt = e ±iωt . Apesar de termos visto na seçãoanterior o significado matemático de uma exponencial complexa, seu significado físicoainda precisa ser analisado. Como chegamos a uma solução complexa tendo partidoda equação diferencial (5.3) que só apresenta quantidades reais? É possível extrair umsignificado físico desta solução complexa?Ao transformarmos uma equação diferencial em uma equação algébrica podemos obtersoluções complexas, bastando lembrar que as raízes da equação do segundo grau ax 2 +bx+c = 0 com b 2 −4ac < 0 são complexas. Para que a técnica de transformar equações

5.3. O OSCILADOR HARMÔNICO 59diferenciais em equações álgébricas seja consistente precisamos resolver a equação diferenciallogo de saída no corpo dos números complexos. Desta forma, podemos aceitarsoluções complexas. Assim, substituimos a equação diferencial (5.3) pord 2 zdt = 2 −ω2 z onde z(t) = x(t)+iy(t). (5.6)Devido à linearidade da equação, x — a parte real de z — nunca se mistura com y— a parte imaginária de z — e ambas satisfazem a mesma equação diferencial. De fato,substituindo z por x+iy na (5.6) obtemosd 2 xdt 2 +ω2 x+i( d 2 ydt 2 +ω2 y)= 0. (5.7)Para que a equação (5.6) seja satisfeita é preciso que x(t) e y(t) satisfaçam simultaneamentea equação diferencial que queremos resolver (para que um número complexo sejazero é necessário que tanto a sua parte real como a sua parte imaginária sejam nulas).Portanto, se encontrarmos um z(t) que satisfaz a equação diferencial que queremosresolver então tanto sua parte real x(t), como sua parte imaginária y(t), satisfazem amesma equação diferencial e são soluções do problema. Em outras palavras, resolvemoso problema no corpo dos complexos e no final dos cálculos tomamos a parte real, ou aparte imaginária, do z encontrado.Para o oscilador harmônico, partimos da equação (5.6) e supomos que a solução sejado tipo z = e pt . Isto leva, como já mostramos, à equação algébrica p 2 = −ω 2 que produza solução z = e ±iωt . Tomando a parte real de z obtemosx(t) = Re(z(t)) = Re(e ±iωt ) = Re[cos(ωt)+isen(ωt)] = cos(ωt),onde usamos a equação (5.1). A solução obtida, cos(ωt), satisfaz a equação do osciladormas não é a solução mais geral. Para obter a solução geral lembramos que a equação (5.6)é uma equação homogênea. Isto significa que se z(t) é uma solução então Cz(t), onde Cé uma constante, também é solução. Como estamos resolvendo o problema no corpo doscomplexos a constante mais geral é complexa, C = Ae iφ , onde A e φ são constantes reais,e usamos a forma polar do número complexo C. Finalmente,x(t) = Re(Cz(t)) = Re(Ae iφ e iωt ) = Re(Ae i(ωt+φ) ) = Acos(ωt+φ).Esta técnica também é muito conveniente para resolver as equações do circuito RLCe do oscilador harmônico com amortecimento viscoso.Exercícios(1) Expanda até ordem x 5 a funçãof(x) = 1 ( ) 1+x2 ln .1−xSugestão: lembre que ln(a/b) = ln(a)−ln(b)(2) Escreva as expansões de senh(x) e de cosh(x) em torno de x = 0.Sugestão: lembre que dsenh(x)/dx = cosh(x), dcosh(x)/dx = senh(x), senh(0) = 0,

60CAPÍTULO 5. EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS.e cosh(0) = 1. Compare seus resultados com as expansões para sen(x) e cos(x), dadasneste capítulo.(3) Um dipolo elétrico é um sistema com carga total zero constituído por uma cargapositiva +q e uma carga negativa −q, separadas por uma distância 2a, conforme a figura5.3. O campo elétrico das duas cargas num ponto P do eixo x é dado por−qaya+qPxFigura 5.3⃗E = q [ ]14πǫ 0 (x−a) − 1⃗ı,2 (x+a) 2onde x é a coordenada do ponto P. Mostre que para x >> a o campo elétrico é proporcionala 1/x 3 .Sugestão: escreva1(x±a) = 1 12 x 2 (1±a/x) = 1 = 1 2 x 2(1±a/x)±2 x 2(1±δ)−2onde δ ≡ a xe em seguida expanda as funções (1±δ) −2 até primeira ordem em δ.(4) Um quadrupolo elétrico é um sistema com carga total zero e momento de dipoloelétrico também zero. Uma realização possível é mostrada na figura 5.4. O campo elétrico+q−2qaya+qPxFigura 5.4das três cargas num ponto P do eixo x é dado por⃗E = q [14πǫ 0 (x−a) − 2 ]2 x + 1⃗ı,2 (x+a) 2onde x é a coordenada do ponto P. Mostre que para x >> a o campo elétrico é proporcionala 1/x 4 .Sugestão: faça como no exercício anterior do dipolo, mas desta vez expanda as funções(1±δ) −2 , onde δ ≡ a/x, até segunda ordem em δ.

5.3. O OSCILADOR HARMÔNICO 61(5) Um capacitor e um resistor ligados em série são descritos pela equação diferencialR dQdt = −Q C ,onde Q é a carga na placa positiva do capacitor e −dQ/dt é a corrente no circuito.Suponha que em t = 0 a carga no capacitor seja Q(0) = Q 0 .Sugestão: suponha uma solução do tipo q(t) = exp(pt), onde p é uma constante. Apósdeterminar p, use o fato da equação ser homogênea para escrever a solução geral comoQ(t) = Aq(t) = Aexp(pt). Finalmente, determine a constante A usando Q(0) = Q 0 .Observe que como a equação diferencial é de primeira ordem no tempo podemos resolver oproblema diretamente no campo dosreais, nãosendo necessário usar númeroscomplexos.

62CAPÍTULO 5. EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS.

Capítulo 6Equações diferenciais simples6.1 Solução de equações diferenciais simplesEquações que envolvem derivadas de funções, denominadas equações diferenciais, estãopresentes em todos os ramos da física. Nós já vimos algumas equações diferenciais muitosimples. Por exemplo, a equação diferencial de um movimento retilíneo uniforme (MRU),com velocidade v constante, é dada pordxdt= v. (6.1)Se v é derivada de x o “teorema fundamental do cálculo” (TFC) garante que x é a integralde v,∫x = v dt =⇒ x = vt+c.Obtemos assim a equação horária do MRU, x = x(t), a menos de uma constante c.Essa equação diferencial é ordinária (não envolve derivadas parciais), linear (não envolvepotências, do tipo (dx/dt) 2 ou x 2 , ou de ordem superior) e de primeira ordem (porquesó envolve uma derivada primeira). Equações diferenciais de primeira ordem sempreproduzem uma solução que depende de uma “constante de integração” (mais adiantevamos ver que as soluções das equações de segunda ordem dependem de duas constantesde integração). Para determinar a constante c, podemos dar, por exemplo, uma condiçãoinicial, x(t = 0) = x 0 . Com essa condição inicial temos a equação horária usual do MRU,x = x 0 +vt.O movimento retilíneo uniformememente variado (MRUV), com aceleração constante,proporciona mais alguns exemplos de equações diferenciais muito simples. Por exemplo,no MRUV temosdvdt = a,em que a aceleração a é constante. Usando o TFC obtemos∫v(t) =a dt = at+c 1 = at+v 0 ,63

64CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLESonde a constante c 1 é igual à velocidade inicial v 0 . Para obter a equação horária x = x(t),usamos novamente o TFC,∫x(t) = (at+v 0 ) dt = 1 2 at2 +v 0 t+c 2 ,onde a constante c 2 deve ser escolhida como a posição inicial, c 2 = x 0 , resultando naequação horária usual x = x(t) do MRUV. É claro que poderíamos ter escrito umaequação diferencial de segunda ordem,d 2 x= a, (6.2)dt2 e integrado duas vezes em seguida 1 para obter a forma geral da equação horária,x(t) = 1 2 at2 +c 1 t+c 2 ,em que as constantes de integração c 1 e c 2 são identificadas como a velocidade e a posiçãoinicial, respectivamente, c 1 = v 0 e c 2 = x 0 .Infelizmente, bempoucasequaçõesdiferenciaispodemserintegradasdiretamentecomoas equações (6.1) e (6.2) usando o TFC. Além disto, não existe uma método capaz deresolver todosostiposdeequações diferenciais. Nestecapítulo vamosapresentar ométodode separação de variáveis que pode ser aplicado a uma classe de equações diferenciais queaparece com frequência na física.Vamosprimeiramente mostrarcomoaseparação devariáveis funcionacomasequaçõesdiferenciais do MRU e do MRUV que acabamos de resolver com o TFC. Depoisenunciaremosmais precisamente quais equações diferenciais podem ser resolvidas com esta técnicae finalmente mostraremos porque ela funciona.Começamos colocando toda a dependência em x de um lado da equação diferencial etoda a dependência em t do outro lado.MRU:MRUV:dx= v −→ dx = v dt,dtdxdt = at+v 0 −→ dx = (at+v 0 ) dt.Depois de separarmos as variáveis, integramos os dois membros da equaçãoMRU:MRUV:∫∫∫dx =∫dx =v dt =⇒ x = vt+c,(at+v 0 ) dt =⇒ x = at22 +v 0t+c 2 .OsresultadoscoincidemcomosobtidoscomoTFC.Evidentemente, esteprocedimentoprecisa ser justificado. Qual é o sentido de tratar o símbolo da derivada como umafração, deixar o numerador desta fração num lado da equação, o denominador no outroe em seguida integrar cada lado da equação em relação a variáveis diferentes? Antes de1 Para calcular a primeira integral colocamos d 2 x/dt 2 = dv/dt.

6.1.SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLES 65mostrarmos que isto pode ser feito, vamos ver para que tipos de equações diferenciais estemétodo funciona.O método de separação de variáveis pode ser aplicado a equações diferenciais do tipody(x)dx= F(x)G(y(x)). (6.3)Nesta equação y(x) é a função que queremos determinar, F(x) e G(y) são funções arbitráriasde x e y, respectivamente. Neste tipo de equação a dependência em x pode serseparada da dependência em y. Isto vai permitir integrar a equação diferencial diretamente.Esta técnica é muito simples na prática. Começamos por separar as dependênciasem x e em y na equação (6.3), jogando tudo que depende de y para o lado esquerdo daequação e tudo que depende de x para o lado direito:dy= F(x)dx. (6.4)G(y)Em seguida, integramos o lado esquerdo em y e o lado direito em x, obtendo∫ y(x)y 0dy ′G(y ′ ) = ∫ xx 0F(x ′ )dx ′ , y 0 ≡ y(x 0 ). (6.5)Através desta equação determinamos y em função de x. Note que a condição y(x 0 ) = y 0está automaticamente satisfeita (basta colocar x = x 0 na equação (6.5) para verificar queambos os membros da equação se anulam).Os limites inferiores na equação (6.5) produzem uma constante aditiva. Isto permiteescrever a equação (6.5) de uma maneira mais informal, como fizemos na discussão doMRU e do MRUV,∫∫dyG(y) =F(x)dx+const. (6.6)Aequação (6.6) émaissimples doque aequação (6.5)mas, aocontrário desta, nãosatisfaza condição y(x 0 ) = y 0 automaticamente. Énecessário usar aconstante deintegração paraimpor esta condição.Demonstração:Vamos começar reescrevendo a equação (3.8) de uma maneira ligeiramente diferente,∫ y(x)y(x 0 )f(y ′ )dy ′ =∫ xx 0f(y(x ′ )) dy(x′ )dx ′ dx ′ , (6.7)onde colocamos b = x, a = x 0 e mudamos os nomes das variáveis de integração (x → x ′ ey → y′).Usando a equação (6.7) com f = 1/G podemos escrever∫ y(x)y(x 0 )∫1 x1 dy(x ′ )G(y ′ ) dy′ = dx ′ . (6.8)x 0G(y(x ′ )) dx ′

66CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLESA equação diferencial (6.3) forneceSubstituindo a equação (6.9) na equação (6.8) obtemos1 dy(x ′ )= F(x ′ ). (6.9)G(y(x ′ )) dx ′∫ y(x)y(x 0 )∫1 xG(y ′ ) dy′ = F(x ′ )dx ′ . (6.10)x 0Do lado esquerdo da equação (6.10) temos uma função de y, do lado direito umafunção de x. Se conseguirmos resolver y como função de x o problema está resolvido.Se não conseguirmos, teremos y como uma função implícita de x e sempre podemos usartécnicas numéricas para obter y(x). ❚Note que é preciso conhecer a função y(x) em algum ponto x 0 . Caso contrário, oproblema fica determinado a menos de uma constante.Exemplos(a) Decaimento radiativo. Oprocessodedecaimentodeumnúcleoradiativo(carbono-14, por exemplo) pode ser representrado pela equação diferencialdNdt = −λN,em que N = N (t) é o número de átomos de carbono-14 no instante t e a “constantede decaimento” λ > 0 é intrepretada como o inverso da vida média do núcleo radiativo(a vida média do carbono-14 é de 8033 anos). Para estabelecer essa equaçãofizemos a hipótese (muito razoável) de que, em cada instante, a taxa de decaimento,∆N/∆t, é proporcional ao número de átomos radiativos N (t).De novo, fica muito simples separar as variáveis e calcular as integrais (indefinidas)de onde vemdNN= −λdt; (6.11)lnN = −λt+c,em que c é uma constante de integração. Agora é conveniente redefinir a constantee escrever a solução geral N (t) na formaN (t) = Cexp(−λt),emqueanovaconstanteC ≡ exp(c)deveser interpretada comoonúmerodeátomosradiativos no instante inicial,N (t) = N 0 exp(−λt).É claro que N (t) → 0 para t → ∞, quando não há mais núcleos de carbono-14.

6.1.SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLES 67Alternativamente, poderíamosterusadointegraisdefinidasnaintegraçãodaequação(6.11),∫ N∫ tdN ′= − λdt ′ =⇒ ln(N ′ ) |NN 0N ′ |= −λt ′ |t0N0 | 0( ) N=⇒ ln = −λt =⇒ N(t) = N 0 e −λt ,N 0que coincide com o resultado anterior. O uso de integrais definidas ou indefinidas éuma questão de preferência.(b) Atrito viscoso. Um corpo de massa m caindo em um meio fluido, com umavelocidade não muito alta, sofre uma força de atrito viscoso, contrária à velocidade,⃗F atrito = −γ⃗v,em que γ > 0 é a constante de atrito viscoso e ⃗v é a velocidade. Utilizando comosistema de referência um eixo vertical apontando para baixo, podemos escrever aequação diferencial de movimentom dv (dt = −γv +mg = −γ v − mgγ), (6.12)em que tanto a velocidade v quanto a força peso mg são escritas com sinal positivodevido à escolha do referencial. A constante mg/γ tem dimensão de velocidade 2 .Definindov l ≡ mgγ ,a equação diferencial (6.12) pode ser escrita na formaSeparando as variáveis obtemosm dvdt = −γ (v −v l),dvv −v l= − γ m dt.Integrando a equação (veja o exemplo (g) na página 37) e colocando v(t = 0) ≡ v 0chegamos a∫v(t)dv ′= − γ v ′ −v l mv 0=⇒ ln∫ t0dt ′ =⇒ ln(v ′ −v l ) |v(t)| v0= − γ m t[ ] v(t)−vl= − γ v 0 −v l m t =⇒ v(t)−v l= e −γt/m (6.13)v 0 −v l2 Veremos mais adiante que mg/γ é a velocidade limite do corpo. Ela é atingida quando a força viscosase torna igual à força peso.

68CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLESNote que tanto para a velocidade inicial menor do que a velocidade limite (v 0 ≤v(t) < v l ) como para a velocidade inicial maior do que a velocidade limite (v 0 ≥v(t) > v l ) a razão (v(t)−v l )/(v 0 −v l ) > 0 e o argumento do ln na equação (6.13) épositivo, como deveria ser. Finalmente,v(t) = v l +(v 0 −v l )e −γt/m , (6.14)onde vemos que para t → ∞ a exponencial se anula e a velocidade do corpo tendepara a velocidade limite v l , aumentando quando v 0 < v l , ou diminuindo quandov 0 > v l .(c) Força de arrasto. Sabe-se que um corpo caindo no ar, com uma velocidade suficientealta, sofre uma força de arrasto, dada porF = 1 2 CρAv2 ,em que A é a seção reta efetiva do corpo, ρ é a densidade do ar, v é a velocidadede queda e C é uma constante adimensional que depende da forma do objeto(tipicamente varia no intervalo 0,5—1,0).Utilizando o mesmo referencial do problema anterior em que o eixo vertical apontapara baixo, a equação de movimento é dada porm dvdt = −1 2 CρAv2 +mg = − 1 (2 CρA v 2 − 2mg ), (6.15)CρAonde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade.A grandeza 2mg/(CρA) tem dimensão de velocidade ao quadrado. Definindo aconstante√2mgv l ≡CρAquecorresponde, comoveremosmaisadiante, àvelocidadelimitepodemosreescrevera equação (6.15) comom dvdt = −1 2 CρA( )v 2 −vl2 .Estamos agora diante de uma equação diferencial ordinária, de primeiro grau, masque não é mais linear (devido à presença do termo dependente de v 2 ). Não hátécnicas de solução simples para equações não lineares, que em geral demandamenorme esforço. Nesse caso, devido ao fato das variáveis poderem ser separadas,não é muito difícil resolvê-la.Separando as variáveis, obtemosdvv 2 −v 2 l= − CρA2mdt. (6.16)Vamos agora usar a propriedade1v 2 −v 2 l= 12v l( 1v −v l− 1v +v l)

6.1.SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLES 69e introduzir uma constante de tempoτ ≡ mCρAv lpara reescrever a equação (6.16) como( 1v −v l− 1v +v l)Integrando os dois lados, temos∫ vv 0( 1v ′ −v l− 1v ′ +v l)dv = − 1 τ dt( ∫ 1 tdv ′ = − dtτ) ′0=⇒ ln(v ′ −v l ) |v|−ln(v ′ +v l ) |vv0 |= − tv0 τ( ) ( )v−vl v +vl=⇒ ln −ln = − t v 0 −v l v 0 +v l τ .Note que tanto para v,v 0 < v l como para v,v 0 > v l o argumento do primeirologaritmo na equação acima é positivo como deve ser.[( )( )]vl −v vl +v 0ln= − t v l +v v l −v 0 τ =⇒ v ( )l −vv l +v = vl −v 0e −t/τ .v l +v 0Após um pouco de álgebra isolamos v,⎡ ( ) ⎤vl −v 01− e −t/τv(t) = v l⎢v l +v 0 ⎣( ) ⎥vl −v 0⎦ ,1+ ev l +v −t/τ 0onde é fácil ver que v(t = 0) = v 0 e que para t → ∞, v(t) → v l exponencialmenterápido.(d) Oscilador harmônico. O método que apresentamos não se aplica diretamente aooscilador harmônico, cuja equação de movimento é dada porm dvdt= −kx, (6.17)onde k é a constante elástica da mola e x mede o quanto o corpo de massa m presona mola se afastou da posição de equilíbrio da mola (x = 0). O problema é queaparecem três variáveis: v, x e t. Porém, usando a conservação da energia é possívelintegrar a equação (6.17) em duas etapas.Primeiramente, vamos usar a equação (6.17) para mostrar que a energia se conserva.Multiplicando os dois membros da equação (6.17) por v = dx/dt obtemosmv dvdt= −kxv = −kxdxdt . (6.18)

70CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLESComo vdv/dt = (1/2)d(v 2 )/dt e xdx/dt = (1/2)d(x 2 )/dt, podemos reescrever aequação (6.18) comomdv 22 dt = −k dx 22 dt =⇒ d ( ) mv2dt 2 + kx2 = 0. (6.19)2A equação (6.19) mostra que a derivada em relação ao tempo da grandeza mv 2 /2+kx 2 /2 é nula. Em outras palavras, ela independe do tempo. Esta grandeza é aenergia, e podemos escrevermv 22 + kx22= E = const. (6.20)Éconveniente reescrever aenergiaE deoutraforma. Quandoamolaestá distendidaao máximo, x = x máx ≡ A, a velocidade da massa é nula e toda a energia está soba forma de energia potencial da mola, E = kA 2 /2.A equação (6.20) mostra que existe uma relação entre x e v. Esta relação pode serusada para reduzir o número de variáveis na equação (6.17). Temosmv 22 + kx22 = kA22 =⇒ v = ± √km (A2 −x 2 ). (6.21)A equação (6.21) está bem definida uma vez que A 2 ≥ x 2 . Vamos substituir asolução v ≥ 0 na equação (6.17) (a solução v ≤ 0 fornece o mesmo resultado e serádeixada como exercício),m dv√kdt = −m x dx√m A2 −x 2 dt= −kx. (6.22)√ ( )x dx k=⇒ √A2 −x 2 dt = m x =⇒ x 1 dx√A2 −x 2 dt −ω = 0 (6.23)√konde definimos ω ≡ . Desprezando a solução trivial x = 0, ficamos com amequação1 dx√ −ω = 0. (6.24)A2 −x 2 dtSeparando as variáveis e integrando os dois lados da equação obtemos∫ xFazendo a mudança de variável de integraçãona equação (6.25) obtem-sex 0∫dx t√A2 −x = ω dt. (6.25)2x = Asenθ =⇒ θ = arcsen(x/A) e dx → Acosθdθ0

6.1.SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLES 71∫ arcsen(x/A)arcsen(x 0 /A)∫cosθ dθ arcsen(x/A)√1− sen2θ = ωt =⇒ dθ = ωtarcsen(x 0 /A)=⇒ arcsen(x/A) = ωt+ arcsen(x 0 /A) =⇒ x = Asen(ωt+φ),onde definimos arcsen(x 0 /A) ≡ φ.É interessante observar que um indutor com indutância L ligado em série a umcapacitor com capacitância C obedece à equaçãoL dIdt = Ld2 Qdt 2 = −Q C .onde I = dQ/dtéacorrente no circuito e Q é a carga no capacitor. Esta é a equaçãodo oscilador harmônico que acabamos de resolver. A indutância L desempenha umpapel análogo ao da massa m no oscilador. Ela mede a resistência que o circuitooferece a mudanças na corrente, assim como a massa mede a resistência que o corpooferece a mudanças na velocidade. O inverso da capacitância C é o análogo daconstante elástica k da mola. Desta forma, usando estas analogias podemos escreverdiretamente a soluçãoQ(t) = Q 0 sen(ωt+φ), com ω = 1 √LC.Exercícios(1) Resolva a equação diferencialsabendo que y(0) = 0.(2) Resolva a equação diferencialsabendo que y(0) = 1.dydx= 2y +1,dydt = y2 sen(t),(3) Resolva a equação diferencialsabendo que v(0) = 0.Sugestão: use a propriedadedvdt = 1−v2 ,11−v = 1 ( 12 2 1−v + 1 ).1+v

72CAPÍTULO 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SIMPLES(4) A equação que descreve um circuito RC com um capacitor de capacitância C ligadoa um resistor com resistência R é dada porR dQ(t)dt= − Q(t)C ,onde Q(t) é a carga no capacitor e −dQ/dt é a corrente no circuito.(a) Resolva a equação diferencial acima sabendo que no instante t = 0 a carga nocapacitor é Q 0 .(b) Mostre que toda a energia U 0 = Q 2 0/2C armazenada no capacitor do problema(6) em t = 0 é dissipada como calor no resistor.Sugestão: a potência dissipada pelo resistor como calor é RI 2 = R(dQ/dt) 2 .Portanto, a energia total dissipada no resistor éE dis =∫ ∞0RI 2 dt.(5) Um circuito LR é constituído de um indutor com indutância L ligado em série aum resistor com resistência R. A corrente I(t) que passa neste circuito satisfaz aequação diferencialR dI(t) = −RI ,dtonde I(0) = I 0 . Determine I(t).

Apêndice ASoluções dos exercíciosA.1 Limites(1)x 2 −5x+6(a) limx→2 x−2(x−2)(x−3)= limx→2 x−2(b) Substituição direta de x por 2(c) Substituição direta de x por 0= limx→2(x−3) = −1y 2 −25(d) limy→5 y −5 = lim (y +5)(y −5)= lim(y +5) = 10y→5 y −5 y→5(2)(a) limx→5x−5x 2 −25 = limx→5(b) limx→1x 2 −x−2x 2 −1(c) limx→5x+5x 2 −25 = limx→5(e) limx→05x 3 +8x 23x 4 −16x 2 = limx→0x−5(x−5)(x+5) = limx→51x+5 = 110x−2(x−2)(x+1)= limx→1 (x+1)(x−1) = lim ⇒ o limite não existex→1 x−1x+5(x−5)(x+5) = lim 1⇒ o limite não existex→5 x−5x 2 (5x+8)x 2 (3x 2 −16) = lim 5x+8x→0 3x 2 −16 = −1 21(d) lim = ∞ (Compare com lim que não existe. Neste caso, se x → 0x2 x→0 xpor valores menores do que zero, 1/x → −∞, mas se x → 0 por valores maioresx→01do que zero, 1/x → ∞.)73

74APÊNDICE A. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOSA.2 Derivadasdy 1 (x)= ddx dx (x2 +5) 8 = 8(x 2 +5) 7 2x = 16x(x 2 +5) 7dy 2 (t)= d cos(ωt+φ) = −ωsen(ωt+φ)dt dtdy 3 (t)= d dt dt [cos(ωt)]2 = −2ωcos(ωt)sen(ωt)dy 4 (x)= ddx dx [sen(ax2 +bx)] = (2ax+b)cos(ax 2 +bx)dy 5 (t)= d exp(−ωt) = −ωexp(−ωt)dt dtdy 6 (x)= ddx dx exp(ax2 +bx) = (2ax+b)exp(ax 2 +bx)dy 7 (x)= ddx dx ln(ax2 +bx+c) = 2ax+bax 2 +bx+cdy 8 (x)= ddx dx (ax2 +bx+c) 1/2 = 1 2 (2ax+b)(ax2 +bx+c) −1/2 =dy 8 (x)dx= ddx (ax2 +c) −1/2 = − 1 2 (2ax)(ax2 +c) −3/2 =A.3 Integrais(1)∫∫(2x+x 4 +e −x ) dx = x 2 + x55 −e−x−ax(ax 2 +c) 3/2ax+b/2√ax2 +bx+ccos(ωt+φ) dt = 1 ω sen(ωt+φ)∫1a+bx dx = 1 b ln(a+bx)∫y √ 1+y 2 dy = 1 3 (1+y2 ) 3/2∫zz 2 +1 dz = ln(z2 +1)∫1t 2 +a dt = 1 2 a arctan(t ); fizemos a mudança de variável t = atanθ.a∫1t 2 −a dt = 1 ( ) t−a2 2a ln 1; usamost+a t 2 −a = 1 ( 12 2a t−a − 1 ).t+a∫x(x 2 +a 2 ) dx = − 1√ 3/2 x2 +a 2∫ln(x)dx = xln(x)−x; colocamos ln(x) = dx ln(x) e integramos por partes.dx(2)

A.3. INTEGRAIS 75O trabalho é dado porW =∫ x 1x 0F(x)dx = −∫ x 1kxdx = − kx22x 0| x 1|= − kx2 1x0 2 + kx2 02(3)A área entre as curvas éA =∫ 10(y 1 (x)−y 2 (x))dx =∫ 10( x(x 2 3+x)dx =3 + x22)|1| 0= 1 3 + 1 2 = 5 6(4)Cálculo da velocidade∫v(t) =∫a(t)dt =ctdt = ct22 +kA constante k é determinada com a condição inicial v(0) = v 0=⇒ k = v 0 e v(t) = v 0 + ct22.Alternativamente, podemos impor diretamente a condição inicial usando uma integraldefinida:Cálculo da posiçãov(t)−v 0 =∫x(t) =∫ t0v(t)dt =a(t ′ )dt ′ =Calculamos a constante ¯k impondo x(0) = x 0∫ t0ct ′ dt ′ = ct′22| t| 0= ct22 .∫ (v 0 +)dt ct2 = v 0 t+ ct32 6 + ¯k.=⇒ ¯k = x 0 e x(t) = x 0 +v 0 t+ ct36.Como fizemos para a velocidade, podemos impor a condição inicial diretamentex(t)−x 0 =∫ t0∫v(t ′ )dt ′ =(v 0 +)dt ct′2 ′ = v 0 t ′ + ct′32 6| t| 0= v 0 t+ ct36 .(5)

76APÊNDICE A. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOSO trabalho aplicado sobre a partícula é∫ ∞ ∫ ∞GMmW = − F(r)dr = − dr = GMm | ∞r 2 r |= GMmRT R TR T R T(6)O impulso I de F(t) éI =∫ t 2t 1F(t)dt =∫ t 2m dv(t)dtt 1dt =∫v(t 2 )v(t 1 )mdv = mv |v(t 2)| v(t1 )= mv(t 2 )−mv(t 1 ).A.4 Vetores(1)21y⃗u⃗v−3 −2 −1 0 1 2 3−1−2xFigura A.1(2)(a) 1 8 ⃗a = 1 2 ⃗ı+⃗j(b) b y = −3(c)⃗a+ ⃗ b = 7⃗ı+5⃗j− ⃗ k(d) | ⃗ √b| = b 2 x +b 2 y +b 2 z = √ 3 2 +(−3) 2 +(−1) 2 = √ 19(e)⃗a·⃗b = a x b x +a y b y +a z b z = 12−24 = −12(f) cos(θ) = ⃗a·⃗b|⃗a|| ⃗ b| = −124 √ 95 = −3 √95≈ −0,3078 =⇒ θ ≈ 107,9 ◦

A.5.EXPANSÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS 77(3)(a) d⃗y(t)dt(b) d⃗r(t)dt(c) d⃗u(t)dt(4)= −9t 2 d 2 ⃗y(t)⃗ı+2⃗j,dt 2d 2 ⃗r(t)=⃗0, =⃗0dt 2= −Aωsen(ωt),d 2 ⃗u(t)dt 2= −18t⃗ı= −Aω 2 cos(ωt)(a)∫ t⃗v(t)dt =∫ tAt 2 dt⃗ı = A 3 t3 ⃗ı(b)0 0∫ t ∫ t⃗v(t)dt = −ωsen(ωt)dt⃗ı+∫ tωcos(ωt)dt⃗j = cos(ωt)⃗ı+ sen(ωt)⃗j000(5)O módulo da velocidade é constante.|⃗v| = const. =⇒⃗v ·⃗v = (const.) 2 =⇒ d(⃗v·⃗v)dt=⃗0 =⇒ 2 d⃗vdt ·⃗v = ⃗0 =⇒⃗a·⃗v = 0.Se ⃗a ·⃗v = 0, ou ⃗a = 0 e o movimento é retilíneo uniforme, ou ⃗a ⊥ ⃗v e o movimento écircular uniforme.A.5 Expansões em séries de potências(1)f(x) = 1 ( ) 1+x2 ln = x+ x31−x 3 + x5+... −1 < x < 1.5(2)cosh(x) = 1+ x22! + x44! + x66! +...senh(x) = x+ x33! + x55! + x77! +...Comparando com as expansões de cos(x) e de sen(x) vemos que, ao contrário do queocorre nas expansões das funções trigonométricas, os sinais dos termos nas expansões dasfunções hiperbólicas são todos positivos.(3) e (4)(1±δ) −2 = 1∓2δ+3δ 2 ∓4δ 3 +5δ 4 +... −1 < δ ≡ a x < 1.

78APÊNDICE A. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOSPara o dipolo vamos usar as expansões acima até ordem δ.⃗E = q [ ]14πǫ 0 (x−a) − 1⃗ı =2 (x+a) 2≈q4πǫ 0 x 4δ⃗ı =⇒ E ⃗ ≈ qa2 πǫ 0 x 3⃗ı.q4πǫ 0 x 2 [(1−δ) −2 −(1+δ) −2] ⃗ıPara o quadrupolo vamos usar as expansões acima até ordem δ 2 .⃗E = q [14πǫ 0 (x−a) − 2 ]2 x + 1⃗ı =2 (x+a) 2≈q4πǫ 0 x 2 6δ2 ⃗ı =⇒ ⃗ E ≈ 3qa22πǫ 0 x 4⃗ı.q4πǫ 0 x 2 [(1−δ) −2 −2+(1+δ) −2] ⃗ı(5)Substituindo a solução q(t) = exp(pt) na equação do capacitor em série com umresistor obtemosR deptdt= − eptC =⇒ Rpept = − eptC =⇒ Rp = −1 C =⇒ p = − 1RC=⇒ q(t) = exp(− tRC )Como a equação é homogênea, a solução geral tem a formaQ(t) = Aq(t) = Aexp(− tRC ) mas Q(0) = Q 0 ⇒ A = Q 0=⇒ Q(t) = Q 0 exp(− tRC ) .A.6 Equações Diferenciais(1)Após separarmos as variáveis obtemosdy2y +1 = dx =⇒ 1 2 ln(2y +1) = x+c′ =⇒ y(x) = Ce 2x − 1 2 ; y(0) = 0 ⇒ C = 1 2 .(2)Após a separação de variáveisdyy = sen(t)dt =⇒ 1 2 y = cos(t)+C =⇒ y = 1cos(t)+C; y(0) = 1 ⇒ C = 0.(3)

A.6.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 79Após a separação de variáveis, colocando a condição inicial v(0) = 0 no limite deintegração obtemos∫v(t)[dv1−v = dt =⇒ 1 12 2 1+v + 1 ] ∫ tdv ′ = dt ′′ 1−v ′00( ) 1+v(t)=⇒ ln = 2t =⇒ v(t) = e2t −11−v(t) e 2t +1 = et −e −t= tanh(t).e t +e−t (4)(a) A equação do capacitor em série com o resistor pode ser integrada diretamente.Colocando a condição inicial no limite de integração obtemosR dQ(t) = − Q(t) ∫Q(t)dt C =⇒ dQ ′ ∫ t1= −Q ′ RC dt′Q 0 0( ) Q(t)=⇒ ln = − tQ 0 RC =⇒ Q(t) = Q 0 e −t/RC(b) A energia dissipada éO item (a) fornece∫ ∞E dis = RI 2 dt.0I = − dQ(t)dt= − d dt Q 0 e −t/RC = Q 0RC e−t/RCSubstituindo este resultado na equação para E dis obtemosE dis =∫ ∞0R Q2 0R 2 C 2 e−2t/RC dt = − Q2 0 RCRC 2 2e−2t/RC|∞| 0= Q2 02C .(5)A equação do indutor em série com o resistor éseparando as variáveis temosL dIdt = −RI,dII = −R L dt =⇒ ln(I) = −R L t+c′ =⇒ I = Cexp(− R L t) ; I(0) = I 0 ⇒ C = I 0 .

80APÊNDICE A. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS

Referências Bibliográficas[1] Hersch Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica - Vol. 1 – Mecânica, 4 a edição,2002, Editora Blucher, São Paulo.[2] Hamilton L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo - Vol. 1, Editora LTC, São Paulo,2001.[3] Paulo Boulos, Introdução aoCálculo -Vol. 1 –Cálculo Diferencial,1973 e Introduçãoao Cálculo - Vol. 2 – Cálculo Integral eSéries, 2 a edição, 1983, Editora Blucher, SãoPaulo.[4] Michael Spivak, Calculus, Editora W. A. Benjamin, Inc., London, 1973.[5] Murray R. Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda., 1973.[6] I.S.GradshteyneI.M.Ryzhik, TableofIntegrals, SeriesandProducts,SextaEdição,Editora Academic Press, 2000.[7] Wolfram Alpha em http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral81