Modelo Binomial - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio
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Opções ReaisAproximação <strong>Binomial</strong>Prof. Luiz Brandãobran<strong>da</strong>o@iag.puc-rio.br<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong>-<strong>Rio</strong>Utilizando <strong>Mo<strong>de</strong>lo</strong>s Discretos<strong>Mo<strong>de</strong>lo</strong> <strong>Binomial</strong> (CRR, 1979)Os mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> tempo contínuo exigem uma matemáticarelativamente avança<strong>da</strong> para manipular as equações diferenciais<strong>de</strong> valor.Po<strong>de</strong>mos, no entanto, mo<strong>de</strong>lar estes processos mais facilmentedividindo o tempo em períodos discretos.À medi<strong>da</strong> que adotamos períodos ca<strong>da</strong> vez menores, os valoresobtidos convergem para os valores contínuos.CRR mostraram que a distribuição <strong>de</strong> probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> lognormalcontínua po<strong>de</strong> ser mo<strong>de</strong>la<strong>da</strong> através <strong>de</strong> uma árvore binomialdiscreta, on<strong>de</strong> dS = µ S dt + σ S dzNeste mo<strong>de</strong>lo, a ca<strong>da</strong> passo o preço (S) é multiplicado por umavariável aleatória que po<strong>de</strong> tomar dois valores, u ou d.pSuIsso é semelhante ao que é feito com o método do FCD, on<strong>de</strong>fluxos contínuos são mo<strong>de</strong>lados como períodos discretos mensaisou anuais.S1 - pSdEm 1979, Cox, Ross e Rubinstein <strong>de</strong>senvolveram um métododiscreto que permite <strong>de</strong>senvolver uma aproximação para omovimento geométrico browniano.Para que essa representação emule uma distribuição lognormal, énecessário escolher valores apropriados para u, d e aprobabili<strong>da</strong><strong>de</strong> p, <strong>de</strong> forma que a média (µ) e a variância (σ2) dosretornos <strong>de</strong> S sejam os mesmos que os parâmetros do MovimentoGeométrico Browniano (MGB) <strong>de</strong> S.<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão3<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão4
<strong>Mo<strong>de</strong>lo</strong> <strong>Binomial</strong>Exemplo: ( )1 01 0vt Definindo S = S e ∆temos v∆ t = ln S./S Assumimos que S 0= 1 e ficamos comv t E⎡S⎤∆ = ⎣ln1 ⎦ Após um período, S 1assumirá o valor Su ou Sd. Da mesma forma, o retorno nesse período será:( ) ( )ln Su / S = ln u ou ln Sd / S = ln dcom probabili<strong>da</strong><strong>de</strong> p e (1-p) respectivamenteSuυ + = ln (Su/S) = ln uppO Valor Esperado e a Variância <strong>de</strong>stes retornos serãorespectivamenteE ⎡ln S ⎣⎤1⎦= pln u+ (1 − p)lnd Var ⎡ln S( ) 2⎣⎤1⎦= p(1 − p) ln u −lndSabemos que os retornos <strong>de</strong> uma distribuição lognormal têmdistribuição normal. Então:dlnS = dv = vdt+σdzE ⎡lnS⎤⎣ 1⎦= v∆t2Var ⎡lnS⎣⎤1⎦= σ ∆tIgualando esses valores às fórmulas anteriores:S1 - pSd1 - pυ - = ln (Sd/S) = ln dv∆ t = pln u+ (1 − p)lnd( ) 22σ ∆ = − −t p(1 p) ln u ln d(1)(2)<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão5<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão6Exemplo:Exemplo:Temos um grau <strong>de</strong> liber<strong>da</strong><strong>de</strong> uma vez que temos três incógnitas eapenas duas equações.Fazendo ln u = - ln d, ou seja, u = 1/d ficamos com:v∆ t = (2p−1)lnu(3)2σ ∆ =( ) 2t p(1 − p)4 ln u(4)( ) 2 2 2 2 Fazendo (3) 2 + (4) obtemos ln u = v ∆ t + σ ∆t Substituindo em (3) chegamos a: Substituindo o valor <strong>de</strong> p em (3) obtemos o valor <strong>de</strong> ln u e ln d:lnln2 2 2u = v ∆ t + σ ∆t2 2 2d =− v ∆ t + σ ∆t Ficamos então com:u = ed = e2 2 2v ∆ t + σ ∆t2 2 2− v ∆ t + σ ∆t1 1 1p = +2 22σ+ 12v ∆tOn<strong>de</strong>2σv = µ −2<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão7<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão8
Exemplo:Exemplo:Mo<strong>de</strong>lamos inicialmenteapenas dois períodos.A partir do valor atual doativo, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>terminaros seus possíveis valoresfuturos e respectivasprobabili<strong>da</strong><strong>de</strong>s.Para isso, utilizamos osparâmetros <strong>de</strong>finidos paraos movimentos para cima epara baixoDado que o processo doativo é um MGB, adistribuição dos valores emum tempo futuro élognormal.<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão100q1-q116,286,1135,010074,113100q1-qPo<strong>de</strong>mos esten<strong>de</strong>r este exemplo para três ou maisperíodos utilizando a mesma metodologia116,286,1<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong> – <strong>Rio</strong> Brandão135,010074,1156,8116,286,163,8100q1-q116,286,1135,010074,1156,8116,286,163,8182,2135,010074,154,9211,7156,8116,286,163,847,2246,0182,2135,010074,154,940,7285,8211,7156,8116,286,163,847,235,0332,0246,6182,2135,010074,154,940,730,114Opções ReaisProf. Luiz Brandãobran<strong>da</strong>o@iag.puc-rio.br<strong>IAG</strong> <strong>PUC</strong>-<strong>Rio</strong>2007