Modelo Binomial - IAG - A Escola de Negócios da PUC-Rio

Opções ReaisAproximação BinomialProf. Luiz Brandãobrandao@iag.puc-rio.brIAG PUC-RioUtilizando Modelos DiscretosModelo Binomial (CRR, 1979)Os modelos de tempo contínuo exigem uma matemáticarelativamente avançada para manipular as equações diferenciaisde valor.Podemos, no entanto, modelar estes processos mais facilmentedividindo o tempo em períodos discretos.À medida que adotamos períodos cada vez menores, os valoresobtidos convergem para os valores contínuos.CRR mostraram que a distribuição de probabilidade lognormalcontínua pode ser modelada através de uma árvore binomialdiscreta, onde dS = µ S dt + σ S dzNeste modelo, a cada passo o preço (S) é multiplicado por umavariável aleatória que pode tomar dois valores, u ou d.pSuIsso é semelhante ao que é feito com o método do FCD, ondefluxos contínuos são modelados como períodos discretos mensaisou anuais.S1 - pSdEm 1979, Cox, Ross e Rubinstein desenvolveram um métododiscreto que permite desenvolver uma aproximação para omovimento geométrico browniano.Para que essa representação emule uma distribuição lognormal, énecessário escolher valores apropriados para u, d e aprobabilidade p, de forma que a média (µ) e a variância (σ2) dosretornos de S sejam os mesmos que os parâmetros do MovimentoGeométrico Browniano (MGB) de S.IAG PUC – Rio Brandão3IAG PUC – Rio Brandão4

Modelo BinomialExemplo: ( )1 01 0vt Definindo S = S e ∆temos v∆ t = ln S./S Assumimos que S 0= 1 e ficamos comv t E⎡S⎤∆ = ⎣ln1 ⎦ Após um período, S 1assumirá o valor Su ou Sd. Da mesma forma, o retorno nesse período será:( ) ( )ln Su / S = ln u ou ln Sd / S = ln dcom probabilidade p e (1-p) respectivamenteSuυ + = ln (Su/S) = ln uppO Valor Esperado e a Variância destes retornos serãorespectivamenteE ⎡ln S ⎣⎤1⎦= pln u+ (1 − p)lnd Var ⎡ln S( ) 2⎣⎤1⎦= p(1 − p) ln u −lndSabemos que os retornos de uma distribuição lognormal têmdistribuição normal. Então:dlnS = dv = vdt+σdzE ⎡lnS⎤⎣ 1⎦= v∆t2Var ⎡lnS⎣⎤1⎦= σ ∆tIgualando esses valores às fórmulas anteriores:S1 - pSd1 - pυ - = ln (Sd/S) = ln dv∆ t = pln u+ (1 − p)lnd( ) 22σ ∆ = − −t p(1 p) ln u ln d(1)(2)IAG PUC – Rio Brandão5IAG PUC – Rio Brandão6Exemplo:Exemplo:Temos um grau de liberdade uma vez que temos três incógnitas eapenas duas equações.Fazendo ln u = - ln d, ou seja, u = 1/d ficamos com:v∆ t = (2p−1)lnu(3)2σ ∆ =( ) 2t p(1 − p)4 ln u(4)( ) 2 2 2 2 Fazendo (3) 2 + (4) obtemos ln u = v ∆ t + σ ∆t Substituindo em (3) chegamos a: Substituindo o valor de p em (3) obtemos o valor de ln u e ln d:lnln2 2 2u = v ∆ t + σ ∆t2 2 2d =− v ∆ t + σ ∆t Ficamos então com:u = ed = e2 2 2v ∆ t + σ ∆t2 2 2− v ∆ t + σ ∆t1 1 1p = +2 22σ+ 12v ∆tOnde2σv = µ −2IAG PUC – Rio Brandão7IAG PUC – Rio Brandão8

Exemplo:Exemplo:Modelamos inicialmenteapenas dois períodos.A partir do valor atual doativo, podemos determinaros seus possíveis valoresfuturos e respectivasprobabilidades.Para isso, utilizamos osparâmetros definidos paraos movimentos para cima epara baixoDado que o processo doativo é um MGB, adistribuição dos valores emum tempo futuro élognormal.IAG PUC – Rio Brandão100q1-q116,286,1135,010074,113100q1-qPodemos estender este exemplo para três ou maisperíodos utilizando a mesma metodologia116,286,1IAG PUC – Rio Brandão135,010074,1156,8116,286,163,8100q1-q116,286,1135,010074,1156,8116,286,163,8182,2135,010074,154,9211,7156,8116,286,163,847,2246,0182,2135,010074,154,940,7285,8211,7156,8116,286,163,847,235,0332,0246,6182,2135,010074,154,940,730,114Opções ReaisProf. Luiz Brandãobrandao@iag.puc-rio.brIAG PUC-Rio2007