Lógica Combinacional Modular e Multi-Níveis - Vision at IME-USP

13 Lógica modular0dd01dd1MUX01I OUT23S1 0MUXb c 0 f(a,b,c,d)1MUX00a1I OUT23S1 0b c0dd01dd1010101MUX0cMUX010cMUX0cMUX0MUX01I OUT23S1 0a bcFigura 1.15: Realização de f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15) com (a) dois MUX 4 × 1 noprimeiro nível e um MUX 2 × 1 no segundo nível e (b) 4 MUX 2 × 1 no primeiro nível e 1 MUX 4 × 1no segundo nível.Outra abordagem para determinar a estrutura hierárquica dos MUXes na realizações de funções commúltiplos níveis de MUXes é baseada na aplicação sucessiva da expansão de Shannon. Dependendo daseqüência de variáveis em torno das quais a expansão é aplicada, pode-se chegar a diferentes estruturas.O teorema de Expansão de Shannon afirma que qualquer função f de n variáveis pode ser escritaem termos de funções de n − 1 variáveis da seguinte forma:f(x 1 , . . . , x k , . . . , x n ) = x i f(x 1 , . . . , 0, . . . , x n ) + x i f(x 1 , . . . , 1, . . . , x n )As funções f(x 1 , . . . , 0, . . . , x n ) e f(x 1 , . . . , 1, . . . , x n ) são funções de n − 1 variáveis. O teorema podeser aplicado recursivamente nessas duas funções.Exemplo: Consideremos novamente a função f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15). Sua realizaçãocom um MUX 8×1 está mostrada na figura 1.14 acima. Vamos mostrar agora que aplicando-sesucessivamente a expansão de Shannon é possível obter diferentes estruturas de realizações de f usandoMUX.f = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d= a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d (rearranjo)= a b c d + a b c d + a c d + a b d + a b c (algumas simplificações)= a (b c d + b c d) + a(c d + b d + b c) (expansão em torno de a)= a (b(c d) + b(c d)) + a (b(c d + d) + b (c d + c)) (expansão em torno de b)= a b(c d) + a b(c d)) + a b(c d + d) + a b (c d + c) (distribuição com respeito a a)= a b(c(0) + c (d)) + a b(c (d) + c(0)) + a b(c (1) + c(d)) + a b (c (d) + c(1)) (expansão em torno de c)