LÃ³gica Combinacional Modular e Multi-NÃveis - Vision at IME-USP

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Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2003∼2010) 12respectivamente, D 1 , D 2 e D 3 . Em todos os casos, a terceira saída é a mesma de um MUX 4 × 1 comAB como entrada para seletores.Pergunta: E se trocarmos as entradas para os seletores na figura acima? Se colocarmos A no seletordos MUX 1 e 2 e B na do MUX 3, ainda é possível realizar um MUX 4 × 1 com AB como entradapara seletores ?1.4.3 Realização multi-níveis de funções com MUXUma função pode ser realizada com múltiplos níveis de multiplexadores. Para cada nível deve-se definiras variáveis que alimentarão os seletores. Em função disso fica definida as variáveis que alimentarãoas entradas dos multiplexadores no primeiro nível.Considere a função f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15). Se for utilizado um MUX 8 × 1, entãoserão necessários três variáveis para alimentar os seletores. A quarta variável pode ser diretamentealimentada nas entradas, conforme mostrado na figura 1.14.0dd01dd10123456MUX8−172 1 0f.a b cFigura 1.14: Realização de f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15) com um MUX 8 × 1.Se pensarmos em utilizar MUX 4×1 e MUX 2×1 na realização de f, duas possíveis soluções, mostradasna figura 1.15, são:1. dois MUX 4 × 1 no primeiro nível, alimentando um MUX 2 × 1 no segundo nível2. 4 MUX 2 × 1 no primeiro nível e 1 MUX 4 × 1 no segundo nível.Estas estruturas podem ser obtidas a partir da análise dos mintermos arranjados em forma tabular,conforme mostrado a seguir. A tabela da esquerda considera o uso das entradas b e c como seletoresdos MUXes 4 × 1 no primeiro nível e o uso da varíável a como seletor do MUX 2 × 1 do segundo nível.A tabela da direita faz o análogo para a implementação com 4 MUX 2 × 1 no primeiro nível e 1 MUX4 × 1 no segundo nível.abcd a bc d input0010 0 01 0 d0101 0 10 1 d1000 1 00 01001 1 00 1d + d = 11100 1 10 0 d1110 1 11 01111 1 11 1d + d = 1abcd ab c d input0010 00 1 0 d0101 01 0 1 d1000 10 0 01001 10 0 1d + d = 11100 11 0 0 d1110 11 1 01111 11 1 1d + d = 1
13 Lógica modular0dd01dd1MUX01I OUT23S1 0MUXb c 0 f(a,b,c,d)1MUX00a1I OUT23S1 0b c0dd01dd1010101MUX0cMUX010cMUX0cMUX0MUX01I OUT23S1 0a bcFigura 1.15: Realização de f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15) com (a) dois MUX 4 × 1 noprimeiro nível e um MUX 2 × 1 no segundo nível e (b) 4 MUX 2 × 1 no primeiro nível e 1 MUX 4 × 1no segundo nível.Outra abordagem para determinar a estrutura hierárquica dos MUXes na realizações de funções commúltiplos níveis de MUXes é baseada na aplicação sucessiva da expansão de Shannon. Dependendo daseqüência de variáveis em torno das quais a expansão é aplicada, pode-se chegar a diferentes estruturas.O teorema de Expansão de Shannon afirma que qualquer função f de n variáveis pode ser escritaem termos de funções de n − 1 variáveis da seguinte forma:f(x 1 , . . . , x k , . . . , x n ) = x i f(x 1 , . . . , 0, . . . , x n ) + x i f(x 1 , . . . , 1, . . . , x n )As funções f(x 1 , . . . , 0, . . . , x n ) e f(x 1 , . . . , 1, . . . , x n ) são funções de n − 1 variáveis. O teorema podeser aplicado recursivamente nessas duas funções.Exemplo: Consideremos novamente a função f(a, b, c, d) = ∑ m(2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 15). Sua realizaçãocom um MUX 8×1 está mostrada na figura 1.14 acima. Vamos mostrar agora que aplicando-sesucessivamente a expansão de Shannon é possível obter diferentes estruturas de realizações de f usandoMUX.f = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d= a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d (rearranjo)= a b c d + a b c d + a c d + a b d + a b c (algumas simplificações)= a (b c d + b c d) + a(c d + b d + b c) (expansão em torno de a)= a (b(c d) + b(c d)) + a (b(c d + d) + b (c d + c)) (expansão em torno de b)= a b(c d) + a b(c d)) + a b(c d + d) + a b (c d + c) (distribuição com respeito a a)= a b(c(0) + c (d)) + a b(c (d) + c(0)) + a b(c (1) + c(d)) + a b (c (d) + c(1)) (expansão em torno de c)
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