T - Unesp

●Equação de Difusão de Calor(Revisão)Balanço de Energia na seção do Cubo:˙E A⋅A⋅dx⋅c p ⋅ ∂T∂t˙=qxE e Ė s−q x dq x ˙ E G˙q A⋅dxTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonsendo dq x=− ∂∂ x k A ∂T∂ x ⋅dxq x⋅A⋅dx⋅c p⋅ ∂T∂t = ∂∂ x k ∂T∂ x A⋅dx ˙q A⋅dx⋅c p⋅ ∂T∂t = ∂∂ x k ∂T∂ x ˙qdxq x dq xÁreaA

●Equação de Difusão de Calorcom Variação de ÁreaBalanço de Energia na seção do abaixo:˙E A⋅A⋅dx⋅c p ⋅ ∂T∂t˙=qxE e Ė s−q x dq x ˙ E G˙q A⋅dxdxÁreaA(x)Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonsendo dq x=− ∂∂Tk A x∂ x ∂ x ⋅dxq xq x dq x⋅A x⋅dx⋅c p⋅ ∂T∂t = ∂ k⋅A x⋅∂T∂ x ∂ x dx ˙q A x⋅dx⋅c p⋅ ∂T∂t = 1A x∂∂Tk⋅A x∂ x ∂ x ˙q

Equação geralCondução de CalorUnidimensionalTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz ScalonĖAc⋅c p ⋅ ∂T = 1 ∂t r●●●Ė e −Ė s∂∂Tk⋅r∂r ∂r 1 ∂ r 2 ∂ k ∂T ∂ ∂ ∂ z k ∂T ∂ zRegime EstacionárioSem geração de EnergiaFluxo de Calor unidimensional(radial)Ė G ˙q(2.20)dd r k⋅r d Td r =0

Solução geral da Equação Unidimensionalcom Temperaturas de Parede ConhecidasConsiderando k constante:Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalond d r r d T d r =0∫ d d r r d Td r dr= ∫ 0 drC 1d Td r = C 1r∫ d Td r dr=C 1⋅∫ 1 r drC 2 T r=C 1 ⋅lnrC 2Condução de Calor em Geometrias Cilíndricasresulta em perfil logarítmico de temperaturas

Solução para o caso de Parede deTubo com Temperaturas ConhecidasT 2T 1r=r i T r i=T 1r i T r i=C 1⋅ln r iC 2C 2 =T 1 −C 1 ⋅ln r i (I)Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonrr eC 2 =T 1 − T 2−T 1ln r e / r i lnr iT r=T 1 T 2−T 1lnr e /r i lnr /r ir=r e T r e=T 2 T r e=C 1⋅lnr eC 2 T 2=C 1⋅ln r eT 1−C 1⋅ln r iC 2(I) T 2−T 1=C 1⋅ln r e−ln r iC 1 = T 2−T 1ln r e / r i ln r e / r i

Cálculo do Fluxo de CalorTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz ScalonCom base na Lei de Fourier :q = −k A ∂T∂ r = −k A d[ d r T 1 T 2−T 12⋅⋅r⋅Lq = −k⋅ A ⋅ T 2−T 1lnr e /r i lnr e /r i lnr /r i]T rdd r lnr =−k⋅2⋅⋅r⋅L⋅ T 2−T 1lnr e / r i q=− 2⋅⋅k⋅Llnr e/r i ⋅T 2−T 1 = 2⋅⋅k⋅L Tln r e/r i ⋅T 1−T 2 1r

Definição de ResistênciaTérmica em Cascas CilíndricasDo apresentado anteriormente é fundamental pode-sedefinir o conceito de resistência térmica:q= T RR term = Tterm qTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz ScalonPara o caso de Cascas Cilíndricas:R term = Tq = T2⋅⋅k⋅Lln r e/r i ⋅ TR term= lnr e/r i2⋅⋅k⋅L

Coeficiente Global deTransmissão de Calorh 2, T ∞,2R Cond R Conv,1T 2T 1Coeficiente Global é útil emtrocadores de calor!Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonr ir eT ∞ ,2 −T ∞,1q= TR eqT ∞ ,2 −T ∞,1h 1, T ∞ ,1rq=U r⋅A r⋅ TR Conv,2∧U i⋅A i=U e⋅A e= 1R eqIMPORTANTE: Para sistemas radiais é é necessário escolher uma área de dereferência (Ai (Ai ou ou Ae) para definir o o coeficiente global U

Coeficiente Global deTransmissão de Calorh 2, T ∞,2R Cond R Conv,1T 2T 1Coeficiente Global é útil emtrocadores de calor!Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonr ir eT ∞ ,2 −T ∞,1q= TR eqT ∞,2 −T ∞ ,1h 1, T ∞ ,1rq=U⋅A⋅ TR Conv,2∧U⋅A= 1R eq

Observações importante sobregeometrias cilíndricas●Não existe condução pura na direção radialem geometrias cilíndricas não vazadas.Transferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalon●●●caso exista condução na direção axial, nãoexiste variação de área e o problema étratado como geometria plana.soluções envolvendo condições de contornode 2ª e 3ª espécies são resolvidos através decircuitos térmicos.apenas condições de 2ª espécie nãopermitem a solução do problema

Espessura Crítica de Isolamentoh ,T ∞R eq =R isol R convTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalonr eR isolrR convR eq = lnr e/r i 2⋅⋅k⋅L 1h⋅2⋅⋅r e ⋅L A convAnalisando a dependência deR eqcom o r e:●●A resistência de convecção é inversamenteproporcional a área (r e)A resistência de condução é diretamenteproporcional a área (r e)

Análise de R eqpor suasderivadasAnalisando a dependência de R eqcom a derivada emrelação a r e:∂ R eq∂ r e=12⋅⋅k⋅L ⋅∂ln r e−ln r i ∂ r e1h⋅2⋅⋅L∂1/r e ∂ r eTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalon∂ R eq∂ r e=12⋅⋅k⋅L ⋅1 r eBuscando o ponto crítico:∂ R eq∂ r e=01 h⋅2⋅⋅L − 1 2r e12⋅⋅r c k⋅L = 1h⋅2⋅⋅r 2 c ⋅Lr c = k isolh conv

Análise do Resultado∂ 2 R eq∂ r e2= ∂( 1 ∂ r e k − 1) h⋅r = 22e h⋅r e>0 → Ponto de MínimoTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz ScalonAssim para um determinado dispositivo:●●●se R eq< R eq,c, um aumento de espessura r eprovocaaumento da dissipação de calor (diminuição daresistência térmica)se R eq= R eq,c, tem-se a máxima dissipação de calorse R eq> R eq,c,um aumento de espessura r eprovocaefeito isolante (aumento da resistência térmica)

Comportamento da R eqemSistemas CilíndricosTransferência de Calor e Massa IProf. Dr. Vicente Luiz Scalon