UFRJ - IM - Departamento de Métodos Estatısticos Quarta lista de ...

UFRJ - IM - Departamento de Métodos EstatísticosQuarta lista de exercícios de processos estocásticosQuestão 1: Suponha que 2 bolas brancas e 2 bolas pretas são distribuidas em duas urnas, cadauma com 2 bolas cada. Dizemos que o sistema está no estado i se a primeira urna contém i bolasbrancas, i = 0,1,2. A cada passo, uma bola é retirada de cada urna aleatoriamente e colocada naoutra urna (é feita uma troca). Seja X n o estado do sistema apoós o n-ésimo estágio.(A) Qual é a matriz de transição dessa cadeia de Markov?(B) Se no estágio inicial (X 0 ) nenhuma bola branca está na primeira urna, qual a probabilidadeda cadeia estar no estado 1 pelos próximos 3 passos seguintes (X 1 , X 2 e X 3 )?(C) Se a probabilidade inicial (X 0 ) dos estados é dada pelo vetor π 0 = (0.2,0.3,0.5), qual aprobabilidade de cada estado no tempo X 2 ?Questão 2: Considere a cadeia de Ehrenfest com d = 3.(A) Encontre P x (T 0 = n) para x ∈ ϕ e 1 ≤ n ≤ 3.(B) Encontre P, P 2 , e P 3 .(C) Seja π 0 = (1/4,1/4,1/4,1/4). Encontre π 1 , π 2 e π 3 .Questão 3: Considere uma Cadeia de Markov nos inteiros não negativos tal que, começandode x, a cadeia vai do estado x + 1 com probabilidade p,0 < p < 1, e vai para o estado 0 comprobabilidade 1 − p.(A) Mostre que essa cadeia é irredutível.(B) Encontre P 0 (T 0 = n),n ≥ 1.(C) Mostre que a cadeia é recorrente.Questão 4: Especifique as classes das Cadeias de Markov com função de transição P 1 e P 2(dadas abaixo) e determine se elas são recorrentes ou transientes. Em ambos os casos calcule aprobabilidade de absorção por cada conjunto fechado recorrente que você identificou, saindo decada x = 0,...,4.⎡P 1 =⎢⎣1/2 0 1/2 0 01/4 1/2 0 1/4 01/2 0 1/2 0 00 0 0 1/2 1/20 0 0 1/2 1/2⎤⎥⎦⎡P 2 =⎢⎣⎤1/4 3/4 0 0 01/2 1/2 0 0 00 0 1 0 00 0 1/3 2/3 0⎥⎦1 0 0 0 0

Questão 5: Considere uma cadeia de ruína do apostados nos estados ϕ = {0,...,d}. EncontreP x (T 0 < T d ), x ∈ ϕ.Questão 6: Considere uma cadeia de nascimento e morte nos inteiros não negativos tal quep x > 0 e q x > 0 para x ≥ 1.(A) Mostre que se ∑ ∞y=0 γ y = ∞, então ρ x0 = 1,x ≥ 1.(b) Mostre que se ∑ ∞y=0 γ y < ∞, entãoρ x0 =∑ ∞y=xγ y∑ ∞y=0γ y,x ≥ 1.Questão 7: Considere uma ruína do apostador em ϕ = {0,1,2,...}.(A) Mostre que se q ≥ p, então ρ x0 = 1,x ≥ 1.(B) Mostre que se q < p, então ρ x0 = (q/p) x ,x ≥ 1.