Gabarito da Lista de Probabilidade

Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 242) a) Binomial, n = 18, p = 0,06 P(X = 0) = C 18,0 ×0,06 0 ×0,94 18 = 0,3283b) Binomial, novo p = 0,3283, novo n = 8P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C 8,0 ×0,3283 0 ×0,6717 8 + C 8,1 ×0,3283 1 ×0,6717 743) a) Binomial: ver motivos em 35 a). n = 12 p = 0,25b) P(X 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – C 12,0 ×0,25 0 ×0,75 12 - C 12,1 ×0,25 1 ×0,75 11c) P(X 4) = 1 – P(X< 4) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)= 1 - C 12,0 ×0,25 0 ×0,75 12 - C 12,1 ×0,25 1 ×0,75 11 - C 12,2 ×0,25 2 ×0,75 10 - C 12,3 ×0,25 3 ×0,75 9d) P(X 1) = 1- P(X < 1) = 1- P(X = 0) = 1 - C 12,0 ×0,25 0 ×0,75 12e) E(X) = n × p = 12 × 0,25 = 3 Desvio padrão n p ( 1 p) 12 0,25 0,75 1,544) Binomial n = 9 p = 0,8a) E(X) = n × p = 9 × 0,8 = 7,2 microsb) P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) = C 9,8 ×0,8 8 ×0,2 1 + C 9,9 ×0,8 9 ×0,2 0 = 0,4362c) Não, porque a probabilidade em b é menor do que 0,60 (60%).45) Binomial n = 15 p = 0,95a) P(X 10) = 1 – P(X > 10) = 1 – P(X = 11) – P(X = 12) – P(X = 13) – P(X = 14) – P(X = 15)= 1 - C 15,11 ×0,95 11 ×0,05 4 - C 15,12 ×0,95 12 ×0,05 3 - C 15,13 ×0,95 13 ×0,05 2 - C 15,14 ×0,95 14 ×0,05 1- C 15,15 ×0,95 15 ×0,05 0 = 0,0006146b) Não, a probabilidade é muito baixa.c) Novo n = 1200 p = 0,95E(X) = n × p = 1200 × 0,95 = 1140 Desvio padrão n p ( 1 p) 1200 0,95 0,05 7,5546) Poisson = 2,25 crianças/dia t = 1 dia × t = 2,25 × 1 = 2,25 criançasP(X > 2) = 1 – P(X 2) = 1- P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)2,250 2,251 2,252 e ( 2,25) e ( 2,25) e ( 2,25)= 1 = 1 – 0,60933 = 0,39067 0! 1! 2!O hospital não deve ser instalado: P(X > 2) < 0,5.47) Poisson = 0,5 carros/dia t = 2 dias × t = 0,5 × 2 = 1 carroa) P(pagar dívida) = P(X 3) = 1- P(X < 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)10 11 12 e ( 1) e ( 1) e ( 1)= 1 = 0,0803 Este valor é o correto, o indicado 0! 1! 2!como resposta na lista está errado. e1 ( 1)0 b) P(X = 0) = 0 36780! , c) E(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro V(X) = × t = 0,5 × 2 = 1 carro 2Desvio padrão V (X) 1 = 1 carro.48) Poisson = 4 chamadas/horaa) t = 0,5 horas × t = 4 × 0,5 = 2 chamadasP(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3)20 21 22 23 e (2) = e (2) e (2) e (2)1 = 1 – 0,85712 = 0,14288 0! 1! 2! 3! Há uma probabilidade relativamente pequena de que as 3 viaturas não seja suficientes.b) t = 1 hora ×t = 4 ×1 = 4 chamadas

40 e (4)P(X = 0)= = 0,0183156 0! c) t = 2 horas ×t = 4 × 2 = 8 chamadas80 e (8)P(X = 0) = = 0,000335462 0! A chance de não atender nenhuma chamada é muito pequena.Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 349) Poisson = 0,20 chamadas/minutoa) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadas23 e (2)P(X = 3) = = 0,1804 3! b) t = 10 minutos × t = 0,2 × 10 = 2 chamadasP(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4)20 21 22 23 24 e (2) = e (2) e (2) e (2) e (2)1 = 0,0526 0! 1! 2! 3! 4! c) t = 60 minutos × t = 0,2 × 60 = 12 chamadas1210 e (12)P(X = 10) = = 0,1048 10! d) t = 360 minutos × t = 0,2 × 360 = 72 chamadasP(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)720 721 722 723 724 725 e (72) = e (72) e (72) e (72) e (72) e (72) 0 0! 1! 2! 3! 4! 5! e) Meia hora t = 30 minutos E(X) = × t = 0,2 × 30 = 6 chamadas.Turno completo t = 360 minutos E(X) = × t = 0,2 × 360 = 72 chamadas.50) Poisson Impurezas => = 0,005/cm 3 Bolhas => = 0,15/cm 3 t = 10 cm 3 .a) A peça é considerada defeituosa se apresentar 2 ou mais defeitos, sejam eles por impurezas ou bolhasisoladamente, ou qualquer combinação possível deles. Como os defeitos são independentes podemossomar suas taxas de ocorrência e obter a taxa combinada de defeitos: = impurezas + bolhas =0,005 + 0,15 = 0,155 defeitos/cm 3 . Como t = 10 cm 3 , então × t = 0,155 × 10 = 1,55 defeitos.P(peça defeituosa) = P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)1,550 1,551 e (1,55) = e (1,55)1=1 – 0,5411 = 0,4589 0! 1! b) Binomial n = 3 p = 0,4589P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = C 3,0 ×0,4589 0 ×0,5411 3 + C 3,1 ×0,4589 1 ×0,5411 2 = 0,5615c) c.1 – P(Defeito) = 0,4589 => Lucro = -5 P(Sem defeito) = 0,5411 => Lucro = 10 – 5 = 5E(Lucro) = (-5 × 0,4589) + (5 ×0,5411) = 0,411c.2 – E(Lucro em 1500 peças) = 1500 × E(Lucro) = 1500 × 0,411 = 616,551) Poisson = 4 carros/ 15 minutos = 16 carros/horaa) t = 0,5 horas × t = 16 × 0,5 = 8 carrosP(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... = 1 – P(X 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)80 81 82 e (8) e (8) e (8)= 1 = 0,9862 0! 1! 2!b) t = 1 hora × t = 16 × 1 = 16 carrosP(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)160 161 162 e ( 16) e ( 16) e ( 16)= = 0,000016318 0! 1! 2!

-4-3,53032,53537,54042,5-4-3,5-3-2,5-3-2,5-2-2-1,5-1-1,54547,55052,55557,56062,56567,5-1-0,50-0,50,511,500,511,992,491,51,992,993,492,492,99703,993,493,99j) No gráfico abaixo P(-Z 1

-4-4-3,53032,5353032,53537,5-3,5-3-3-2,5-2,5-237,54042,545-2-1,54042,54547,55052,5-1,5-1-1-0,547,55052,55557,5-0,5000,50,5111,55557,56062,56567,51,51,996062,56567,51,992,492,492,992,993,493,4970703,993,99b) P(49

-43032,53032,53032,5-3,5-33537,53537,5403537,54042,5-2,5-24042,545-1,542,54547,54547,550-1-0,547,5505052,55500,552,55557,552,55557,560157,56062,51,51,996062,562,56567,52,492,996567,56567,53,497070703,99d) P(56

4304454604754905054304454604752000,002250,002500,002750,003000,004905055205355505653250,003500,005205355505655805956106256406553750,004000,004250,004500,005805956106256406554750,004995,005245,005495,005745,006706705995,00-4-3,5-4-3,5-4-3,5-3-2,5-3-2,5-3-2,5-2-1,5-2-1,5-1-2-1,5-1-0,5-1-0,5-0,5000,500,50,511,511,511,51,992,491,992,491,992,492,993,492,993,492,993,493,993,993,99Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 1359) Em ambos os casos é preciso encontrar os valores de Z correspondentes aos escores mínimos 575 e540. Como 575 é maior do que 550, o valor de Z associado será positivo, e como 540 é menor do que550, Z será negativo. Vamos apresentar os cálculos.Usando a equação Z = (x -)/ podemos encontrar os valores de Z correspondentes a 575 e 540:Z 1 = (575-550)/30 = 0,83 Z 2 = (540-550)/30 = - 0,33.Então P(X>575) = P(Z>0,83) e P(X>540) = P(Z>-0,33). Os gráficos respectivos são mostrados aseguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZ0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZP(Z>0,83) pode ser obtida diretamente da tabela: P(Z>0,83) = 0,2033. Como a distribuição normalpadrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedade da probabilidade do eventocomplementar: P(Z0,33) = 1 – 0,3707 = 0,6293.60) Suponha a variável X como sendo os ganhos mensais. Apenas será interessante mudar de emprego seX>3500, que são os ganhos atuais. Então, para escolher a melhor opção (letra b), ou para calcular aprobabilidade de ganhar mais em cada emprego, é preciso obter P(X>3500).a) No caso da indústria, = 4000 e = 500, P(X>3500) = P(Z>Z 1 ): Z 1 = (3500 – 4000)/500 = -1,0.Veja os gráficos a seguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZComo a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedadeda probabilidade do evento complementar, a probabilidade de ganhar mais na indústria: P(X>3500) =P(Z>-1) = 1 – P(Z>1) = 1 – 0,1587 = 0,8413.

-72003,02203,0220-5900-46003,02703,03203,02703,0320-3300-20003,03703,04203,03703,0420-7003,04703,05203,04703,052060019003,05703,06203,05703,0620320045003,06703,07203,06703,07205800710083743,07703,08193,07703,08199674109743,08693,09193,08693,0919122743,09693,0969135743,10193,1019-4-3,5-4-3,5-4-3,5-3-3-2,5-3-2,5-2,5-2-2-1,5-2-1,5-1,5-1-1-0,5-1-0,5-0,5000,500,50,5111,511,51,51,991,992,491,992,492,492,992,993,492,993,493,493,993,993,99Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 14No caso do Vendedor, = 3200 e = 2600, P(X>3500) = P(Z>Z 2 ): Z 2 = (3500 – 3200)/2600 = 0,11.Veja os gráficos a seguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZA probabilidade de ganhar mais como vendedor: P(X>3500) = P(Z>0,11) = 0,4562.b) Obviamente, o emprego na indústria deve ser o escolhido, pois tem uma probabilidade bem maior deproporcionar ganhos superiores ao salário atual do que o de vendedor.61)a) P(X>3,05). = 3,062 e = 0,01 , P(X>3,05) = P(Z>Z 1 ): Z 1 = (3,05 – 3,062)/0,01 = -1,2. Veja osgráficos a seguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZComo a distribuição normal padrão é simétrica em relação à média zero, e lembrando da propriedadeda probabilidade do evento complementar, P(X>3,05) = P(Z>-1,2) = 1- P(Z>1,2) = 1-0,1151 = 0,8849.b) A solução é encontrar a probabilidade dos eixos estarem dentro dos padrões: P(3,04

19,5019,5020,7522,0020,7522,0023,2524,5023,2524,5025,7527,0025,7527,0028,2529,5028,2529,5030,7532,0030,7532,0033,2534,4833,2534,4835,7336,9835,7336,9838,2338,2339,4839,48-4-3,5-4-3,5-3-2,5-3-2,5-2-1,5-2-1,5-1-0,5-1-0,500,500,511,511,51,992,491,992,492,993,492,993,493,993,99Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 15P(-2,22,2). Então: P(-2,2X 1 ) = 0,05. Com basena equivalência com a distribuição normal padrão: P(X>X 1 ) = P(Z>Z 1 ) = 0,05. Veja os gráficos aseguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZPodemos usar um raciocínio semelhante ao da letra a do Exercício 55. Procurar na tabela pelaprobabilidade 0,05. Esta probabilidade NÃO EXISTE na tabela, podemos encontrar os valores maispróximos. Na coluna da extrema esquerda vamos encontrar o valor 1,6, e na linha superior vamosencontrar a segunda decimal 0,04 e 0,05: P(Z>1,64) = 0,0505 e P(Z>1,645) = 0,0495. Como asprobabilidades estão à mesma distância de 0,05 fazemos a média dos 2 valores de Z, então Z 1 = 1,645.Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que = 29,5, = 2,5 e Z 1 = 1,645: x 1 = 29,5 + 1,645 ×2,5 = 33,6125 cm.b) P(X>32). = 29,5 e = 2,5, P(X>32) = P(Z>Z 2 ): Z 2 = (32 – 29,5)/2,5 = 1,0. Veja os gráficos aseguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZP(Z>1,0) = 0,1587. Como a probabilidade é menor do que 0,45 não é viável a instalação do sistema.

01,001,532,003,001,29001,37601,46204,564,005,001,54801,63407,56,007,00910,58,009,001,72001,80601213,510,0011,001,89201,97801516,51812,0012,982,06402,150019,52113,9814,982,23602,320322,515,982416,982,40632,49232,5783-4-4-3,52,6643-3,5-3-3-2,5-2,5-2-2-1,5-4-3,5-1,5-1-1-0,5-0,50-3-2,500,50,51-2-1,511,51,51,99-1-0,51,992,492,492,992,993,4900,53,493,993,9911,51,992,492,993,493,99Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 1663) Encontrar P(X

222,00225,50229,0010,0014,56232,50236,0015,0020,0019,1123,65239,43242,9325,0030,0028,2032,74246,43249,9335,0040,0037,2941,83253,43256,9345,0050,0046,3850,92260,43263,8655,0060,00267,36270,8655,4760,0165,0069,90274,36277,8664,5669,0174,9079,9073,5578,1084,90-4-3,589,9082,6487,19-3-2,5-2-1,5-4,00-3,50-3,0014,56-1-0,519,1123,65-2,50-2,00-00,490,9928,2032,74-1,50-1,00-0,501,491,9837,2941,832,482,980,000,5046,3850,923,483,981,0055,4760,011,501,9964,5669,012,492,9973,5578,103,4982,6487,193,990,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0X1X2X3X40,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 17Z3Z2Z1Z4XZP(Z>Z 4 ) = 0,1 P(Z>Z 3 ) = 0,3 P(Z>Z 2 ) = 0,7 P(Z>Z 1 ) = 0,9Procurando na tabela da distribuição normal padrão:Z 4 1,28, x 4 = 50 + 1,28 ×10 = 62,8 Z 3 0,53, x 3 = 50 + 0,53 ×10 = 55,3P(Z>Z 2 ) = 0,7 , P(Z>- Z 2 ) = 1 – 0,7 = 0,3 - Z 2 0,53 Z 2 -0,53, x 2 = 50 -0,53 ×10 = 44,7P(Z>Z 1 ) = 0,9, P(Z>- Z 1 ) = 1 – 0,9 = 0,1 - Z 1 1,28 Z 1 -1,28, x 1 = 50 -1,28 ×10 = 37,2As notas então serão 37,2, 44,7, 55,3 e 62,8.66) a) P(X>260). = 250 e = 7 , P(X>260) = P(Z>Z 1 ): Z 1 = (260 – 250)/7 = 1,43.0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0P(X1,43)= 0,0764XZb) P(Z50) = P(Z>Z1): Z1 = (50-50,92)/9,09 = -0,10.P(X>50) = P(Z>-0,10) = 1-P(Z>0,1) = 1-0,4602 = 0,5398 > 0,370 => candidato reprovado.P(X>60) = P(Z>Z2): Z2 = (60-50,92)/9,09 = 1,0. P(X>60) = P(Z>1) = 0,1587 < 0,370 => candidato aprovado.0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0P(X>50)XXP(X>60)

14,5619,1123,6528,2032,7437,2941,8346,3850,9255,4760,0164,5669,0173,5578,1082,6487,1922,226,330,534,638,742,846,95155,159,263,367,471,575,679,783,887,9b) Economia = 50,92, = 9,09P(X>55 = P(Z>Z1): Z1 = (5550,92)/9,09 = 0,44P(X>50) = P(Z>0,44) = 0,3300 < 0,370 => candidato aprovado.Administração = 55,11, = 8,22P(X>58) = P(Z>Z1): Z1 = (58-55,11)/8,22 = 0,35.P(X>58) = P(Z>0,35) = 0,3632 = < 0,370 => candidato aprovado.Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 180,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XXEconomia: P(X>55)Administração: P(X>58c) Basta encontrar x 1 tal que P(X>x 1 ) = 0,370 em economia e x 2 tal que P(X>x 2 ) = 0,412.P(X>x 1 ) = P(Z>Z 1 ) = 0,370; Z 1 0,33 P(X>x 2 ) = P(Z>Z 2 ) =0,412; Z 2 0,22Novamente devemos usar a equação Z = (x -)/, mas isolando o valor de x: x = + Z×, sabendo que: = 50,92, = 9,09 em economia e Z 1 = 0,33: x 1 = 50,92 +0,33 ×9,09= 54. = 55,11, = 8,22 em administração e Z 2 = 0,22: x 2 = 55,11 +0,22 ×8,22= 57.8 668) a) Pela binomial: P(X 8) C 0,50,50, 1833 . Como n ×p e n×(1-p) são maiores do que 514,8a aproximação pela normal é viável: = n×p = 7; = 1,87Binomial: P(X = 8) => Normal: P(7,5

Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 19P(2,267,5) = P(Z>Z 1 ) Z 1 =(7,5- 12)/1,55 =-2,91P(Z>-2,91) = 1-P(Z>2,91) = 0,9982. A aproximação parece não ter sido tão ruim, mas n ×(1- p) = 3, oque leva a problemas em outros valores. Veja o gráfico abaixo:0,30000000,25000000,2000000As probabilidades de 10, 11,13, 14 e 15 apresentamdiferenças, e o próprio“formato” da distribuiçãobinomial não é exatamentesimétrico.0,1500000BinomialNormal0,10000000,05000000,00000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15d) Pela binomial: P(X Normal: P(X

Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 200,25000000,20000000,15000000,1000000BinomialNormal0,05000000,00000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14e) Pela binomial P(X 2) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) =0,2061.Como n ×p é menor do que 5 a aproximação pela normal não é boa, mas vamos realizá-la mesmo assim,a título de exemplo: = n×p =4; = 1,79Binomial: P(X 2) => Normal: P(X 3,99) – P(Z > 5,40) = 0,00003304 – 0,00000003 = 0,00003301 (estaprobabilidade está INCORRETA na lista). Observe que houve diferença, provavelmente por se tratar devalores muito elevados de Z. Mesmo assim, veja o gráfico a seguir:

17,3720,2023,0325,8628,6931,5134,3437,1740,0042,8345,6648,4951,2654,0956,9159,7462,57-4,00-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,501,992,492,993,493,99Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 210,20000000,18000000,16000000,14000000,12000000,10000000,08000000,0600000BinomialNormalAs probabilidades de váriosvalores não coincidemexatamente, indicando queembora a condição mínimapara aproximação tenhasido satisfeita ela apresentaalgumas discrepâncias.0,04000000,02000000,00000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2069) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (usa ou não o produto), há 200elementos pesquisados (número máximo de realizações é conhecido), e podemos considerar aprobabilidade de sucesso (usar o produto) como constante, uma vez que não há nada indicando ocontrário: n = 200; p = 0,20; 1 – p = 0,80.Pela binomial: P(X > 30) = P(X = 31) + P(X = 32) + ... + P(X = 200). O procedimento seria tedioso,mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com = n × p = 200 × 0,20 = 40 n p(1 p) 2000,20,8 = 5,66Binomial: P(X > 30) => Normal: P(X > 30,5) = P(Z>Z 1 ) Z 1 =(30,5-40)/5,66 = -1,68Veja os gráficos a seguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZDevido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade daprobabilidade do evento complementar: P(Z > - 1,68) = 1 – P(Z > 1,68) = 1 – 0,0465 = 0,9535 (apropósito o valor exato pela binomial é 0,9570, bastante próximo).70) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (acertar ou errar a questão), há80 questões das quais ele não sabe nada (número máximo de realizações é conhecido), e podemosconsiderar a probabilidade de sucesso (acertar questão) como constante, uma vez que não há nadaindicando o contrário: n = 80; p = 0,25; 1 – p = 0,75.Pela binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) = P(X = 25) + P(X = 26) + ... + P(X = 30). O procedimento seria tedioso,mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por uma normal com = n × p = 80 × 0,25 = 20 n p(1 p) 800,250,75 = 3,87Binomial: P(25 ≤ X ≤ 30) => Normal: P(24,5 < X < 30,5) = P(Z 1 < Z < Z 2 )Z 1 = (24,5 – 20)/ 3,87 = 1,16 Z 2 = (30,5 – 20)/ 3,87 = 2,71Devido à simetria da distribuição normal padrão em relação à média zero e à propriedade daprobabilidade do evento complementar: P(1,16 < Z < 2,71) = P(Z>1,16) – P(Z>2,71) = 0,1196

0,501,764,513,625,491,006,448,381,507,359,2110,3212,252,0011,0812,9414,1916,132,5014,8016,6718,0620,003,0018,5320,3921,9423,873,5022,2624,084,0025,8127,714,5025,9527,8129,6431,585,0029,6733,5231,5435,45-4,00-3,50-4-3,5-3,00-2,50-3-2,5-2,00-1,50-2-1,5-1,00-0,50-1-0,50,000,5000,51,001,5011,51,992,491,992,492,993,492,993,493,993,99Veja os gráficos a seguir:Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 220,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZA propósito, o valor exato pela binomial é 0,1193 (bastante próximo).71) Trata-se de um problema de binomial: apenas 2 resultados possíveis (face 2 ou não 2 na letra a, eface par ou ímpar na letra b), o dado é lançado 100 vezes (número máximo de realizações é conhecido),e se o dado é honesto a probabilidade de sucesso pode ser considerada constante:a) n = 100; p = 1/6; 1 – p = 5/6. Pela binomial: P(X ≥ 18) = P(X = 18) + ... + P(X = 80). O processo decálculo seria tedioso, mas como n × p e n × (1 – p) são maiores do que 5 é possível aproximar por umanormal com = n × p = 100 × 1/6 = 16,67 n p(1 p) 1001/65/6 = 3,73Binomial: P(X ≥ 18) => Normal: P(X > 17,5) = P(Z > Z 1 ) Z 1 = (17,5 – 16,67)/ 3,73 = 0,22P(Z > 0,22) = 0,4129. Veja os gráficos a seguir:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,00,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0XZA propósito, o valor exato pela binomial é 0,400593.72) Foi declarado textualmente que a variável tempo de chamadas segue uma distribuição uniformeentre 0,5 e 5 minutos: parâmetros a = 0,5 e b = 5. Seja X a variável aleatória duração de uma chamada,e seja Y a variável aleatória duração total das 104 chamadas.Estamos procurando P(Y > 3,5h) = P(Y > 210 minutos). Se há 104 chamadas, a média por chamada é de210/104 = 2,02 minutos. Então isso significa que procuramos P(X > 2,02), veja o gráfico:0,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0P(X>2,02) é a área sombreada. Para calculartal área na uniforme devemos usar a expressão:(b-x) × (1/(b-a)) = (5 – x)/(1/(5 – 0,5)).P(X > 2,02) = (5 – 2,02) × (1/4,5) 0,6624X

0,0049,0099,00149,00199,00249,00299,00349,003,503,50399,003,553,55449,003,603,603,653,653,703,703,753,753,803,80Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 2373) Foi declarado textualmente que a variável diâmetro dos eixos segue uma distribuição uniformeentre 3,5 e 3,8 mm: parâmetros a = 3,5 e b = 3,8.a) P(X > 3,7) = (3,8 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,3333 (33,33%).3,53,02,52,01,51,00,50,0b) Para distribuição uniforme E(X) = (a + b)/2 = (3,5 + 3,8)/2 = 3,65 mmc) P(X < 3,72) = (3,72 – 3,7) × (1/(3,8 – 3,5)) = 0,7333 < 0,80. A exigência não está sendo satisfeita.3,53,02,52,01,51,00,50,0Xd) P(X < 3,75| X > 3,7) = P[(X < 3,75) (X > 3,7)]/P(X > 3,7) = [(3,75 – 3,7)×1/(3,8 – 3,5)]/0,3333 =0,5 (50%).74) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, mas o parâmetro é desconhecido. Contudo,sabe-se que P(X > 1h) = 0,22313 = e -×1 = e - . Aplicando logaritmo natural (cuja base vale e):ln 0,22313 = ln e - => -1,5 - => 1,5. Agora podemos calcular as probabilidades pedidas nasletras a e b.a) P(X > 3h) = e -×3 = e -1,5×3 0,0111b) P(X < 0,5 h) = 1 – e -×0,5 = 1 – e -1,5×0,5 = 1 – e -0,75 = 0,4723. Como esta probabilidade é obviamentediferente de 0,91 a afirmação não pode ser feita.75) Trata-se de um problema de distribuição exponencial, onde novamente o valor de é desconhecido.Mas, o valor esperado de uma distribuição exponencial é E(X) = 1/, e sabemos que E(X) = 120, logo = 1/120.a) P(X > 100) = e -×100 = e -(1/120)×100 = e -5/6 0,4346b) Sabe-se que P(X< X 1 ) = 0,05 => P(X > X 1 ) = 0,95 = e -×x) . Veja o gráfico a seguir:0,00900,00800,00700,00600,00500,00400,00300,00200,00100,0000X0,95 = e -(x1/120)Aplicando logaritmo natural:ln 0,95 = ln e -(x1/120)-0,051 = -x 1 /120 x 1 = 6,15 mesesEntão, a garantia máxima para repor até 5% daprodução deve ser de 6,15 meses.X