Topologia e elementos de análise funcional

5e.g. Toda isometria é um homeomorfismo, mas um homeomorfísmo pode não ser uma isometria.Por exemplo, x ↦→ log x é un homeomorfismo de ]0, ∞[ sobre R, mas não é uma isometria.ex. Sejam X um espaço métrico, x ′ ∈ X e S um subconjunto não vazio de X. A aplicação ϕ : X → Rdefinida por x ↦→ d(x, x ′ ) é contínua. A aplicação φ : X → R definida por x ↦→ d(x, S) é contínua. Aaplicação d : X × X → R definida por (x, x ′ ) ↦→ d(x, x ′ ) é contínua, se X × X é munido da métricaproduto.ex. Seja X um espaço métrico discreto e Y é um espaço métrico arbitrário. Toda função f : X → Yé contínua.ex. Uma aplicação linear L : R n → R n é contínua.ex. Uma função constante f : X → Y (i.e. tal que f(x) = y para todo x ∈ X) entre dois espaçosmétricos é contínua.ex. Se Y é um subconjunto do espaço métrico X, munido da métrica induzida, então a inclusãoi : Y → X, definida por i(y) = y, é contínua.ex. Imersões isométricas e isometrias são aplicações contínuas.ex. Uma aplicação f : X → Y entre os espaços métricos (X, d X ) e (Y, d Y ) é hölderiana se existemα > 0 e µ > 0 tais qued Y (f(x), f(x ′ )) ≤ µ · d X (x, x ′ ) αpara todos x, x ′ ∈ X. Uma aplicação hölderiana é contínua.ex. Existe um homeomorfismo entre Q e R?Métricas equivalentes. É possível que métricas distintas no espaço X definam os mesmos subconjuntosabertos, neste caso as métricas são ditas topologicamente equivalentes. As métricas d e d ′ em Xsão equivalentes sse, para todo x ∈ X, toda bola aberta B ε (x) para a métrica d contém uma bola abertaB ε ′ ′(x) para a métrica d′ e vice-versa.e.g. No espaço vectorial R n , as métricas euclideana, do maximo e da soma são topologicamenteequivalentes. Isto vem das desigualdadesd ∞ (x, x ′ ) ≤ d 2 (x, x ′ ) ≤ d 1 (x, x ′ ) ≤ n · d ∞ (x, x ′ )que implicampara todo x ∈ R n e todo ε > 0.B ∞ ε/n (x) ⊂ B1 ε(x) ⊂ B 2 ε(x) ⊂ B ∞ ε (x)ex. A métrica discreta e a métrica euclidiana em R não são equivalentes.ex. Se d é uma métrica em X e λ > 0, a métrica d λ definida por d λ (x, x ′ ) = λ · d(x, x ′ ) é equivalentea d (observe que as bolas de (X, d) são também bolas de (X, d λ ) e vice-versa).ex. Seja (X, d) um espaço métrico. Então d ′ , definida por d ′ (x, x ′ ) = d(x, x ′ )/(1 + d(x, x ′ )), é umamétrica em X, equivalente a d. O conjunto X é limitado no espaço métrico (X, d ′ ).ex. Sejam d e d ′ duas métricas equivalentes em X. A aplicação identidade id : X → X é umhomeomorfismo entre (X, d) e (X, d ′ ).2. Espaços topológicosEspaços topológicos. Seja X um conjunto não vazio. Uma topologia em X é uma família nãovazia τ de subconjuntos de X, ditos abertos (da topologia), tal quei) ∅ e X são abertos,ii) toda reunião de abertos é um aberto,iii) a interseção de dois abertos é um aberto.A última propriedade é equivalente a “toda interseção finita de abertos é um aberto”.Um espaço topológico é um par (X, τ), um conjunto não vazio X munido de uma topologia τ. Oselementos de X são ditos pontos do espaço topológico, os elementos de τ são ditos abertos do espaçotopológico.Topologias distintas em X definem espaços topológicos distintos. Por razões de economia é usualescrever “o espaço topológico X” em vez de “o espaço topológico (X, τ)”, quando a topologia particular

6não é importante, ou quando está implicita no contexto. É também usual dizer que um subconjunto A deX “é aberto” em vez de utilizar a expressão correcta “é um aberto do espaço topológico (X, τ)”, desdeque seja claro qual é o espaço ambiente X e qual é a topologia τ.e.g. (topologia trivial) A família {∅, X} é uma topologia no conjunto X, dita topologia trivial. Umconjunto X munido da topologia trivial é dito espaço (topológico) trivial.e.g. (espaços metrizáveis) Seja (X, d) um espaço métrico. A família formada pelas reuniões das bolasabertas de X é uma topologia, dita topologia induzida da métrica d. Portanto, todo espaço métrico é demaneira natural um espaço topológico. Métricas equivalentes induzem a mesma topologia.Um espaço topológico (X, τ) é dito metrizável se o conjunto X admite uma métrica d que induz atopologia τ. A seguir, portanto, as expressões “seja (X, τ) um espaço topológico metrizável” ou simplesmente“seja X um espaço metrizável” serão sinónimos de “seja (X, τ) um espaço topológico tal quea topologia τ é induzida por uma métrica d definida em X”. A razão desta definição está no facto damétrica particular d, que evidentemente não é única, não jogar nenhum papel nas propriedades de X emquanto espaço topológico.e.g. (topologia euclidiana) A topologia euclidiana em R n é a topologia induzida pela métrica euclidianad 2 , ou pelas métricas equivalentes d 1 e d ∞ . A seguir, a menos de indicação contrária, o espaçovectorial R n será implicitamente considerado munido da topologia euclidiana.e.g. (topologia discreta) A família P(X), as partes de X, é uma topologia em X, dita topologiadiscreta. É a topolgia induzida pela métrica discreta em X. Um conjunto X munido da topologiadiscreta é dito espaço (topológico) discreto.e.g. (topologia cofinita) A topologia cofinita em X é a família K formada pelo conjunto vazio e pelosconjuntos cujos complementares têm cardinalidade finita, i.e. K = {∅} ∪ {A ⊂ X t.q. X \ A é finito}.e.g. (topologia de Sierpinsky) Se X é um conjunto finito, toda métrica em X induz a topologiadiscreta. Portanto, uma topologia diferente da topologia discreta em um conjunto finito não é metrizável.Um exemplo é a topologia de Sierpinsky em X = {a, b}, definida por τ = {∅, {a} , X}.e.g. (topologia relativa) Sejam (X, τ) um espaço topológico e Y um subconjunto não vazio de X. Afamíliaτ Y = {A ∩ Y com A ∈ τ}é uma topolgia em Y , dita topologia relativa. O conjunto Y , munido da topologia relativa, é dito subespaço(topológico) do espaço topológico X. Portanto, os aberto de Y são os subconjuntos B ⊂ Y tais que existeum aberto A de X tal que B = A ∩ Y .Se d é uma métrica em X e Y ⊂ X é munido da métrica induzida d Y , então as bolas abertas de(Y, d Y ) são da forma B r (x) ∩ Y onde B r (x) é uma bola aberta de (X, d) e x ∈ Y . Portanto, se τ é atopologia induzida pela métrica d, a topologia relativa τ Y coincide com a topologia induzida pela métricad Y em Y .ex. Determine todas as possíveis topologias de X = {a, b, c}.ex. (metrizável e finito ⇒ discreto) A topologia de um espaço metrizável finito é a topologia discreta.ex. (metrizável ⇒ Hausdorff) Seja X um espaço topológico metrizável. Prove que, dados dois pontosdistintos x e x ′ de X, existem dois abertos disjuntos A e B de X tais que x ∈ A e x ′ ∈ B.ex. Seja X um conjunto não vazio, e x ∈ X. Prove que τ = {∅} ∪ {A ⊂ X t.q. x ∈ A} é umatopologia em X. Prove que, se X ≠ {x}, a topologia τ não é metrizável.Sejam τ e τ ′ duas topologias no conjunto X. A topologia τ ′ é mais fina do que a topologia τ (ou, atopologia τ é menos fina do que a topologia τ ′ ) se τ ⊂ τ ′ , i.e. se todo aberto de (X, τ) é também umaberto de (X, τ ′ ).ex. A topologia discreta em X é mais fina do que toda topologia em X.ex. Toda topologia em X é mais fina do que a topologia trivial em X.Bases. Seja (X, τ) um espaço topológico. Uma base da topologia τ é uma família B de abertos talque todo aberto de X é uma reunião de elementos de B. Isto é equivalente a dizer que para todo A ∈ τe todo x ∈ A existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A.

7Evidentemente, τ é uma base da topologia τ. A importância desta definição consiste na possibilidadede definir uma topologia à custa de uma família particular de abertos.e.g. As bolas abertas de um espaço métrico são uma base da topologia induzida pela métrica, porquetodo aberto é uma reunião de bolas abertas. .e.g. A família {{x} com x ∈ X} é uma base da topologia discreta em X.Teorema. (caracterização das bases) Seja X um conjunto não vazio, e B uma família de subconjuntosde X tal quei) B é uma cobertura de X, i.e. ∪ B∈B B = Xii) se B, C ∈ B então B ∩ C é uma reunião de elementos de BEntão existe uma (única) topolgia τ B em X tal que B é uma sua base.dem. A unicidade é evidente, uma vez provada a existência. Pois, τ B tem que conter todas as reuniõesde elementos de B, e, vice-versa, todo elemento de τ B tem que ser uma reunião de elementos de B.Seja τ B a família formada pelas reuniões de elementos de B. Os subconjuntos ∅ e X pertencem a τ B ,o conjunto vazio porque é a reunião da família vazia de elementos de B, e X porque B é uma coberturade X, a condição i).Sejam V α = ∪ β∈Iα B β , com B β ∈ B e α ∈ J, uns elementos arbitrários de τ B . Então a reunião∪ α∈J V α = ∪ α∈J (∪ β∈Iα B β ) = ∪ α∈J ∪ β∈Iα B βtambém pertence a τ B , porque é reunião de elementos de B. Por outro lado, uma interseção de doiselementosV α ∩ V α ′ = (∪ β∈Iα B β ) ∩ ( ∪ β′ ∈I α ′ B β ′)= ∪β∈Iα,β∈I α ′ (B β ∩ B β ′)também pertence a τ B pela condição ii). □ex. A família {B r (x) = ]x − r, x + r[ com x ∈ Q e r ∈ Q + } é uma base, enumerável, da topologiaeuclidiana de R.ex. {[a, b] com a, b ∈ R e a < b} não é base de nenhuma topologia na recta real.ex. ( R n admite uma base enumerável) A família B = {B r (x) com x ∈ Q n e r ∈ Q + } é uma base,enumerável, da topologia euclidiana de R n . Portanto, o espaço euclidiano R n admite uma base enumerável(satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade).ex. Um espaço topológico discreto não enumerável não admite uma base enumerável.ex. A família τ e = {]−∞, x[ com x ∈ R}∪{∅, R} é uma topologia em R, menos fina do que a topologiaeuclidiana. A subfamília B = {]−∞, r[ com r ∈ Q} é uma base desta topologia.e.g.família(produtos finitos de espaços topológicos) Sejam (X, τ X ) e (Y, τ Y ) dois espaços topológicos. AB = {A × B com A ∈ τ X e B ∈ τ Y }é uma base de uma topologia no produto cartesiano X × Y (porque é uma cobertura, e a interseção dedois elementos de B é ainda um elemento de B), dita topologia produto. O espaço X × Y , munido destatopologia, é dito produto topológico dos espaços X e Y .Se (X, d X ) e (Y, d Y ) são espaços métricos munidos da topologia induzida, então a topologia productoem X × Y é a topologia induzida pela métrica produto, por exemplo max {d X , d Y }, em X × Y .De maneira análoga é possivel definir produtos topológicos de uma família finita de espaços topológicos.e.g. (topologia produto) Sejam (X α , τ α ) espaços topológicos, com α ∈ A, eX = ∏ α∈AX α = {x : A → ∪ α∈A X α t.q. x α ∈ X α para todos α ∈ A}o produto cartesiano dos X α (onde utilizamos a notação x(α) = x α para a “coordenada” α-ésima doponto x). Um cilindro aberto C de X é um conjunto formado da seguinte maneira: existe um conjuntofinito de índices α 1 , α 2 , ..., α n ∈ A e uns abertos C αi ⊂ X αi para i = 1, 2, ..., n tais queC = {x = (x α ) α∈A ∈ X tais que x αi ∈ C αi para todo i = 1, 2, ..., n}A família C formada pelos cilindros abertos de X satisfaz as condições do teorema acima, portanto é basede uma topologia em X, dita topologia produto.

93. Noções topológicasInterior, exterior e fronteira. Sejam X um espaço topológico e S um subconjunto de X.Um ponto x ∈ X é interior a S se existe uma vizinhança N de x tal que N ⊂ S. O interior de S é oconjunto int(S) dos pontos interiores a S.Um ponto x ∈ X é exterior a S se existe uma vizinhança N de x tal que N ⊂ X\S, ou seja se éinterior ao complementar de S. O exterior de S é o conjunto ext(S) dos pontos interiores a S.A fronteira de S é o conjuntos fr(S) dos pontos que não são nem interiores nem exteriores a S, ouseja o conjunto dos pontos x ∈ X tais que toda vizinhança N de x intersecta quer S quer X\S.Sendo estas três condições mutuamente exclusivas, temos que X é a reunião disjuntaDas definições segue queX = int(S) ∪ ext(S) ∪ fr(S)int(S) ⊂ S ext(S) = int(X\S) ext(S) ∩ S = ∅ fr(S) = fr(X\S)Proposição. (o interior de S é o “maior” aberto contido em S) Seja S um subconjunto do espaçotopológico X. Então int(S) é a reunião dos abertos contidos em S.dem. Seja A um aberto contido em S. Se x ∈ A então x ∈ int(S), porque A é uma vizinhança de x.Isto prova que todo aberto contido em S está contido em int(S).Para todo x ∈ int(S) existe uma vizinhança N x de x tal que x ∈ N x ⊂ S, e portanto existe um abertoA x tal que x ∈ A x ⊂ S. Pela observação acima A x ⊂ int(S), e portanto int(S) = ∪ x∈int(S) A x é umaberto, por ser uma reunião de abertos. □Proposição. (caracterização dos abertos) Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Asseguintes propriedades são equivalentes:a) S é abertob) S = int(S)c) S ∩ fr(S) = ∅.dem. a⇒b Se A é aberto, contém todos os abertos contidos em A, e portanto A = int(S).b⇒c Se S = int(S) então S ∩ fr(S) = ∅, porque a fronteira de S é disjunta do interior de S.c⇒a Se S ∩ fr(S) = ∅ então todo ponto x ∈ S tem uma vizinhança N tal que N ⊂ S, e portanto S éaberto. □Subconjuntos fechados. Um subconjunto S do espaço topológico X é fechado se o seu complementarX\S é aberto.A família dos subconjuntos fechados de um espaço topológico satisfaz propriedades duais aos axiomasde uma topologia, ou sejai) ∅ e X são fechados,ii) toda interseção de fechados é um fechado,iii) a reunião de dois fechados é um fechado.Definir uma topologia, ou seja a família dos subconjuntos abertos, em X é equivalente a definir a famíliados subconjuntos fechados, i.e. uma família de subconjuntos de X que satisfaz as três propriedades acima.Proposição. (caracterização dos fechados) Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Asseguintes propriedades são equivalentes:a) S é fechadob) S = int(S) ∪ fr(S)c) fr(S) ⊂ S.dem. É a proposição acima para o conjunto X\S. □Seja S subconjunto do espaço topológico X . O fecho S, ou aderência, de S é a interseção dossubconjuntos fechados de X que contêm S, i.e. o “menor” conjunto fechado que contém S. Em particular,S ⊂ S. Sendo ext(S) a reunião dos abertos contidos em X\S, é imediato ver quee portanto S é fechado sse S = S.S = X\ext(S) = int(S) ∪ fr(S)

10Os pontos de S são ditos pontos de aderência de S. Do facto de ser S = X\ext(S) segue que x ∈ Xé um ponto de aderência de S sse N ∩ S ≠ ∅ para toda vizinhança N de x.Proposição. (pontos de aderência em espaços metrizáveis) Seja S subconjunto do espaço metrizávelX. Então x ∈ S sse existe uma sucessão (x n ) de elementos de S que converge para x.dem. ⇐ Seja (x n ) uma sucessão de elementos de S que converge para x. Para toda vizinhança Nde x existe um elemento x n da sucessão tal que x n ∈ N, e portanto N ∩ S ≠ ∅ (esta parte da prova nãodepende do facto de X ser metrizável).⇒ Sejam d uma métrica que induz a topologia em X, e x ∈ S. As bolas abertas centradas em x sãovizinhanças de x, portanto para todo n ∈ N existe um ponto x n ∈ S tal que x n ∈ B 1/n (x). Isto implicaque a sucessão (x n ) converge para x, porque a família das bolas abertas de centro x e raios 1/n com nnatural é uma base local da topologia em x. □ex. Sejam S e T subconjuntos do espaço topológico X. Entãoint(S) ∩ int(T ) = int(S ∩ T ) int(S) ∪ int(T ) ⊂ int(S ∪ T ) fr(S ∪ T ) ⊂ fr(S) ∪ fr(T )S ∪ T = S ∪ TS ∩ T ⊂ S ∩ TDê exemplos tais que as inclusões acima são estrictas.ex. Sejam S e T subconjuntos do espaço topológico X tais que S ⊂ T . Então S ⊂ T . Dê um exemplotal que fr(S) não esteja contido em fr(T ).ex. A fronteira de um subconjunto arbitrário de um espaço topológico é um conjunto fechado.ex. A fronteira de um subconjunto aberto ou fechado de um espaço topológico tem interior vazio.ex. Se (X, d) é um espaço métrico e S ⊂ X, então S = {x ∈ X t.q. d(x, S) = 0}.ex. Seja X um espaço topológico discreto. Todo subconjunto S ⊂ X tem fronteira vazia.ex. Se (X, d) é um espaço métrico, x ∈ X e r > 0, a bola fechada B r [x] = {x ′ ∈ X t.q. d(x, x ′ ) ≤ r}é um conjunto fechado.ex. Dê um exemplo de um espaço métrico (X, d) tal que o fecho da bola aberta B r (x) não é a bolafechada B r [x] = {x ′ ∈ X t.q. d(x, x ′ ) ≤ r}.ex. Dê um exemplo de uma família de subconjuntos fechados de um espaço topológico tal que areunião deles não é um conjunto fechado.ex. Seja R munido da topologia cofinita. Prove que os subconjuntos fechados são os conjuntos finitose R. Prove que, se S = ]a, b[ com a, b ∈ R e a < b, então int(S) = ∅, S = R e fr(S) = R.Pontos limites e pontos isolados. Seja S um subconjunto do espaço topológico X . Um pontox ∈ X é ponto de acumulação, ou ponto limite, de S se toda vizinhança N de x contém pelo menos umponto de S diferente de x, i.e. se(N\ {x}) ∩ S ≠ ∅ para toda vizinhança N de xO conjunto derivado de S é o conjunto S ′ dos pontos de acumulação de S.Um conjunto S é dito perfeito se S = S ′ , i.e. se todo seu ponto é um ponto de acumulação.Proposição. Seja S um subconjunto do espaço topológico X. Então S = S ∪ S ′ .dem. Da definição conclui-se que S ′ ∩ ext(S) = ∅, logo S ∪ S ′ ⊂ S. Por outro lado, se x ∈ S ex /∈ S, então x ∈ fr(S), e portanto toda vizinhança N de x tem interseção não vazia com S\ {x}. LogoS ⊂ S ∪ S ′ . □Seja S um subconjunto do espaço topológico X . Um ponto x ∈ S é dito ponto isolado de S se x /∈ S ′ ,i.e. se existe uma vizinhança N de x tal que N ∩ S = {x}. O conjunto S é dito discreto se todo seuponto é um ponto isolado.Da proposição acima segue que o fecho de um subconjunto S do espaço topológico X é a reuniãodisjunta do conjunto dos pontos isolados de S e do conjunto dos pontos de acumulação de S.ex. (discreto ⊂ R n ⇒ enumerável) Seja S um subconjuntos discreto do espaço R n euclidiano. EntãoS é enumerável (lembre-se que a topologia euclidiana de R n admite uma base enumerável).ex. (finito ⊂ metrizável ⇒ discreto) Um subconjunto finito de um espaço metrizável é discreto.

11Proposição. (pontos limites em espaços metrizáveis) Seja S subconjunto do espaço metrizável X.Então x ∈ S ′ sse existe uma sucessão (x n ) de elementos de S\ {x} que converge para x. Em particular,se x ∈ S ′ toda vizinhança de x contém infinitos pontos distintos de S.dem. Seja d uma métrica que induz a topologia em X. Sejam x ∈ S ′ e B 1 = B 1 (x). Sendo B 1uma vizinhança de x, existe um ponto x 1 ∈ (B 1 \ {x}) ∩ S. Dados B n e x n ∈ (B n \ {x}) ∩ S, sejamB n+1 = B d(x,xn)/2(x) e x n+1 um ponto da interseção (B n+1 \ {x}) ∩ S. É imediato verificar que os pontosx n são distintos, a sucessão (x n ) é convergente e lim n→∞ x n = x. □ex. Seja (x n ) uma sucessão de pontos de X, e S = {x n } n∈Na sua imagem. Se x ∈ S ′ então (x n )admite uma subsucessão convergente para x.eg. (conjunto de Cantor) Seja ϕ : {0, 1, 2} N → [0, 1] a aplicação sobrejetiva definida por(x n ) ↦→(a representação em base 3 dos reais entre 0 e 1). O conjunto de Cantor standard (o “middle-third Cantorset”) é{(K = ϕ {0, 2} N) ∞}∑ x n=3 n com x n ∈ {0, 2}n=1i.e. o conjuntos dos reais entre 0 e 1 cujas representações em base 3 não contêm a letra “1”. É imediatoverificar que ϕ ∣ {0,2} N é uma bijecção de {0, 2} N sobre K.Outra definição é K = [0, 1] \ ∪ ∞ k=1 I k , onde os intervalos abertos I k são definidos iterativamente daseguinte maneira: I 1 é o terço central ]1/3, 2/3[ de [0, 1], I 2 e I 3 são os terços centrais dos intervalos de[0, 1] \ I 1 , a saber ]1/9, 2/9[ e ]7/9, 8/9[, ...etc.Mais uma definição do conjunto de Cantor é K = ∩ ∞ n=1K n , onde K n = [0, 1] \ ∪ 1+2+22 +...+2 n−1k=1I k . Osfechados K n são formados por 2 n intervalos fechados e disjuntos, cada um de diâmetro 3 −n .O conjunto de Cantor é fechado em [0, 1], sendo uma interseção de conjuntos fechados.O conjunto de Cantor tem interior vazio, porque nenhum intervalo aberto de diâmetro ε > 0 está∞∑n=1x n3 ncontido em K n se 3 −n < ε.O conjunto de Cantor é perfeito. De facto, se x = ∑ ∞de K definida porx (k) =k−1∑n=1converge para x, sendo ∣ ∣ x − x(k)∣ ∣ = 2/3 k .A aplicação ψ : {0, 1} N → [0, 1], definida porn=1x n3 n + x k + 2 (mod 4)3 k +(y n ) ↦→∞∑n=1y n2 nx n3 n ∈ K, então a sucessão ( x (k))de pontos∞∑n=k+1é sobrejetiva (é a representação binária dos números reais entre 0 e 1). Por outro lado, a aplicaçãoφ : {0, 2} N → {0, 1} N , definida por (x n ) ↦→ (x n /2), é bijetiva, e portanto ψ ◦ φ ◦ ϕ −1 : K → [0, 1] ésobrejetiva. Isto mostra que o conjunto de Cantor tem a cardinalidade da recta real, em particular nãoé enumerável.Subconjuntos densos. Seja S um subconjunto do espaço topológico X . O conjunto S é denso emX se S = X.Proposição. (caracterização dos subconjuntos densos) Seja S um subconjunto do espaço topológicoX. As seguintes propriedades são equivalentes:a) S é denso em Xb) int(X\S) = ∅.c) todo aberto não vazio de X tem interseção não vazia com S.d) existe uma base B da topologia de X tal que todo elemento não vazio de B tem interseção nãovazia com S.x n3 n

2. STRATEGIC FIT: THE STRATEGIC CASE FOR THE PROJECTThis aspect of the business case explains how the scope of the proposed project fitswithin the existing business strategy of RBWM and the compelling case for change in lightof the existing and future operational needs of the organisation. As context an analysis ofthe overall organisation and social care provision, including definitions of each type ofcare, is included within Appendix A of this document.2.1 THE NATIONAL POLICY AGENDAAs reported by the Audit Commission, England’s population is aging. In 2009 close to33% of the total population was aged 50 or over. By 2029 this proportion is predicted toincrease to around 39%, meaning an increase in numbers of people aged over 50 from17.7 million to 22.9 million. Clearly this increase will create a comparable rise in thenumbers of older people requiring social care services. In addition there is concern thatnumbers of learning disability clients is rising, largely as a result of improvements in healthcare.A radical policy agenda is in play looking to deliver better preventative services with earlierIntervention, “more choice and a louder voice”; reduced inequalities and improved accessto Community Services and more support for people with long-term needs. This isunderpinned by a need to work more closely with health colleagues through local strategicpartnership, joint strategic needs assessments and the pooling and integration of funding.It is also underpinned by a continual and increasing strong push towards delivering areduction in spend as below inflation funding agreements begin to bite.At the heart of this agenda is the concept of personalisation:“Personalisation means thinking about care and support services in an entirely differentway. This means starting with the person as an individual with strengths, preferences andaspirations and putting them at the centre of the process of identifying their needs andmaking choices about how and when they are supported to live their lives. It requires asignificant transformation of adult social care so that all systems, processes, staff andservices are geared up to put people first.” 2Direct payments, personal budgets and, individual budgets are at the core of thegovernment's aim of personalising adult social care services around the needs of users.Through the Putting People First initiative, councils will be expected to significantlyincrease the number of people receiving direct payments and roll out a system of personalbudgets for all users of adult social care, from 2008-11. In the long-term all users shouldhave a personal budget from which to pay for their social care services, apart from inemergencies.Self-directed support is the mechanism and framework through which personal budgetsare being delivered. The Department of Health along with key local authority social carestakeholders have worked on defining what self-directed support is and how it is to beimplemented. They say:“Self-directed support involves finding out what is important to people with social careneeds and their families and friends, and helping them to plan how to use the available2 Social Care Institute of Excellence, Personalisation: A Rough Guide2-1

14R n2ex. Seja M n (R) o conjunto das matrizes n × n com entradas reais, identificado ao espaço euclidianopor meio da bijeçãoM n (R) ∋ A = (a ij ) ↦→ (a 11 , a 12 , ..., a 1n , a 21 , ..., a 2n , ..., a nn ) ∈ R n2Prove que a aplicação det : M n (R) → R, definida por A ↦→ det(A), é contínua. Deduza que o conjuntoGL n (R) das matrizes n × n invertíveis é um aberto em M n (R).e.g. (conjuntos de nível) Sejam f : X → R uma aplicação contínua e a ∈ R. Então {x ∈ X t.q. f(x) < a}é aberto em X, pois é a imagem inversa do aberto ]a, ∞[ da recta real, e {x ∈ X t.q. f(x) ≤ a} éfechado em X, pois é a imagem inversa do fechado [a, ∞[ da recta real. O conjunto de nível f −1 {a} ={x ∈ X t.q. f(x) = a} é fechado em X, pois é a imagem inversa do fechado {a} da recta real.Em geral, se f : X → Y é contínua, e se os pontos de Y são fechados em Y , os conjuntos de nívelf −1 {y} são fechados em X para todo y ∈ Y .e.g. (subespaços afins) Seja L : R n → R uma aplicação linear diferente da aplicação nula. Os conjuntosde nível L −1 {a}, com a ∈ R, são hiperplanos afins de R n . Dois hiperplanos L −1 {a} e L −1 {b} definidospela mesma aplicação linear são paralelos.Em geral, se L : R n → R m é uma aplicação linear e a ∈ R m , o conjunto de nível L −1 {a} é umsubespaço afim se R n , o conjunto das soluções da equação linear L(x) = a. O conjunto de nível L −1 {0} =ker(L) é um subespaço vectorial de R n , o conjunto das soluções da equação linear homogénea L(x) = 0.Portanto,L −1 {a} = L −1 {0} + a = { x + a com x ∈ L −1 {0} }Os subespaços afins de R n são subconjuntos fechados de R n .e.g. (gráficos) Seja f : X → Y uma aplicação contínua entre os espaços métricos X e Y , e seja X ×Ymunido da métrica produto max {d X , d Y }. O gráfico de f, definido porgraph(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y com x ∈ X}é fechado em X × Y , pois é igual ao conjunto ϕ −1 {0}, onde ϕ : X × Y → R é a função contínua definidapor (x, y) ↦→ d Y (f(x), y).e.g. (aplicações abertas) Sejam X e Y dois espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é abertase f(A) é aberto em Y para todo A aberto em X.As projeções π i : R n → R são abertas.A função x ↦→ x 2 definida na recta real não é aberta, mesmo sendo contínua, pois f(R) = [0, ∞[.e.g. (aplicações fechadas) Sejam X e Y dois espaços topológicos. Uma aplicação f : X → Y é fechadase f(F ) é fechado em Y para todo F fechado em X.As inclusões i : R n → R m , definidas por i((x 1 , x 2 , ..., x n )) = (x 1 , x 2 , ..., x n , 0, 0, ..., 0) para n ≤ m, sãoaplicações fechadas.As projeções π i : R n → R não são fechadas, desde que n > 1. Por exemplo, o conjunto G =graph (arctan x), onde arctan : R → R, é fechado em R 2 , mas π 2 (G) = ]−π/2, π/2[ não é fechado narecta real.ex. A composição de duas funções abertas é aberta. A composição de duas funções fechadas éfechada.e.g. (continuidade uniforme) Sejam (X, d X ) e (Y, d Y ) dois espaços métricos. A aplicação f : X → Yé uniformemente contínua se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d Y (f(x), f(x ′ )) < ε se d X (x, x ′ ) < δ.Uma aplicação uniformemente contínua é contínua.ex. (Lipschitz ⇒ uniformemente contínua) Uma aplicação lipschitziana é uniformemente contínua.ex. A aplicação x ↦→ √ x, definida nos reais não negativos, é uniformemente contínua mas não élipschitziana.ex. A aplicação x ↦→ x 2 é uniformemente contínua em intervalos limitados da recta real, mas não éuniformemente contínua na recta.ex. A aplicação x ↦→ 1/x, definida nos reais diferentes de 0, é contínua mas não é uniformementecontínua.

15Homeomorfismos. Sejam X e Y dois espaços topológicos. A aplicação f : X → Y é um homeomorfismo,ou uma equivalência topológica, se é contínua, bijetiva, e se a inversa f −1 : Y → X é contínua.Os espaços topológicos X e Y são ditos homeomorfos, ou topologicamente equivalentes, se existe umhomeomorfismo f : X → Y . É imediato ver que:a identidade id : X → X é um homeomorfismo,se f : X → Y é um homeomorfismo então f −1 : Y → X também é um homeomorfismo,se f : X → Y e g : Y → Z são homeomorfismos, então g ◦ f : X → Z é um homeomorfismo.Portanto, a equivalência topológica é uma relação de equivalência entre espaços topológicos. Uma notaçãopara indicar que os espaços X e Y são homeomorfos é X ≃ Y . As propriedades comuns às classes deespaços homeomorfos são ditas propriedades topológicas.e.g. Ser um espaço discreto, ser um espaço trivial, ter um subconjunto denso enumerável, admitiruma base enumerável, são propriedades topológicas.e.g. (projeções) Seja X × Y o produto topológico dos espaços topológicos X e Y . A projeçãoπ X : X × Y → Xdefinida por (x, y) ↦→ x, é uma aplicação contínua, aberta e sobrejetiva. Em particular, se y ∈ Y , aaplicaçãoπ X∣∣X×{y} : X × {y} → Xé um homeomorfismo.e.g. (gráficos) Seja f : X → Y uma aplicação contínua entre os espaços topológicos X e Y . Aaplicação x ↦→ (x, f(x)) é um homeomorfismo de X sobre graph(f), cuja inversa é a restrição π X∣∣graph(f)da projeção π X : X × Y → X. Portanto, o gráfico de uma aplicação contínua é homeomorfo ao domínio.e.g. (grupos de homeomorfismos) Seja X um espaço topológico. O conjunto Hom(X) dos homeomorfismosg : X → X é um grupo, dito grupo dos homeomorfismos de X, com respeito à lei de composição.e.g. (homeomorfismos de R n ) Os grupos Aff(R n ) e Isom(R n ) são subgrupos de Hom(R n ). Emparticular, o espaço euclidiano R n é um espaço topológico homogéneo: dados dois pontos arbitrários x ex ′ existe um homeomorfísmo g ∈Hom(R n ) tal que g(x) = x ′ .e.g. (projeção estereográfica) Sejam S n = { x ∈ R n+1 t.q. |x| = 1 } e p = (0, .., 0, 1) ∈ S n o seu “pólonorte”. Dado x ∈ S n \ {p}, a recta que passa por x e p intersecta o hiperplano {x n+1 = 0}, homeomorfo aR n , num único ponto g(x). A aplicação g : S n \ {p} → R n , definida por x ↦→ g(x), é um homeomorfismo.Em geral, se x ∈ S n , o espaço S n \ {x} é homeomorfo a R n .ex. Uma aplicação f : X → Y contínua e bijetiva é um homeomorfismo sse é aberta ou fechada.ex. Determine um homeomorfismo entre as bolas B r (x) e B r ′(x ′ ) do espaço euclidiano R n (porexemplo uma transformação afim).ex. Determine um homeomorfismo entre a recta real e o intervalo ]0, 1[.ex. Prove que a aplicação x ↦→ x/ |x| 2 é um homeomorfismo de R n \ {0}.ex. Prove que a aplicaçãoxx ↦→ √1 + |x| 2define um homeomorfismo de R n sobre D n = {x ∈ R n t.q. |x| < 1}.ex. Determine uns homeomorfismos entre as “esferas” {x ∈ R n t.q. |x| 2= 1}, {x ∈ R n t.q. |x| 1= 1}e {x ∈ R n t.q. |x| ∞= 1}.ex. Determine um homeomorfismo entre R 2 \ {0} e o cilindro C = { x ∈ R 3 t.q. x 2 1 + x 2 2 = 1 } . Deduzaque, se x e x ′ são dois pontos distintos da esfera S 2 , então S 2 \ {x, x ′ } é homeomorfo ao cilindro C.ex. Diga se os seguintes subconjuntos de R n são fechados, abertos, e determine as suas fronteiras:S n−1 = {x ∈ R n t.q. |x| = 1}D n = {x ∈ R n t.q. |x| < 1}H n = {x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ R n t.q. x n > 0}{(x, y) ∈ R 2 t.q. x − y 2 > 0 }{(x, y) ∈ R 2 t.q. x 2 − y 2 = 1 }{(x, y) ∈ R 2 t.q. xy < 0 }{(x, y, z) ∈ R 3 t.q. z − x 2 − y 2 = 0 }

165. Espaços compactosEspaços compactos. Sejam X um espaço topológico e S um subconjunto de X. Uma coberturaaberta de S é uma família {A α } α∈Ade abertos de X tal que ∪ α∈A A α ⊃ S. Uma subfamília {A β } β∈B,com B ⊂ A, de {A α } α∈A é dita subcobertura se é ainda é uma cobertura de S.O espaço topológico X é compacto se toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita,i.e. composta por um número finito de elementos.Um subconjunto S do espaço topológico X é compacto se toda cobertura aberta de S admite umasubcobertura finita, ou seja se, munido da topologia relativa, é um espaço topológico compacto.ex. Um espaço topológico trivial é compacto.ex. Um espaço topológico discreto é compacto sse é finito.ex. A recta real R não é compacta (a cobertura aberta {]−n, n[ com n ∈ N} não admite subcoberturasfinitas).ex. A bola aberta B r (x) ⊂ R n não é compacta (a cobertura aberta {B r ′(x) com r ′ < r} não admitesubcoberturas finitas).ex. Prove que o subconjunto S = [0, 1] ∩ Q da recta real não é compacto (se N ∋n ↦→ r n ∈ S é umaenumeração dos pontos de S, considere a cobertura aberta {B n } n∈Nonde B n = B εn/2(r n ) e os númerospositivos ε n satisfazem ∑ n≥1 ε n < 1 ...).ex. Seja X um espaço topológico e B uma base da topologia. Prove que X é compacto sse todacobertura aberta de X composta por elementos da base admite uma subcobertura finitae.g. (Heine-Borel-Lebesgue) Um intervalo fechado e limitado [a, b] da recta real é compacto.De facto, seja {A α } uma cobertura de [a, b] composta por abertos da recta real, eX = {x ∈ [a, b] t.q. [a, x] é coberto por um número finito dos A α }Não é difícil ver que: X não é vazio, é um intervalo, é aberto e é fechado em [a, b]. Mas o único subconjuntonão vazio, aberto e fechado de [a, b] é o próprio intervalo [a, b].Teorema. (fechado ⊂ compacto ⇒ compacto) Um subconjunto fechado de um espaço topológicocompacto é compacto.dem. Sejam X um espaço topológico compacto e F um subconjunto fechado de X. Seja {A α } α∈Auma cobertura aberta de F . A família {A α } α∈A∪ {X\F } é uma cobertura aberta de X, e portantoadmite uma subcobertura finita {A αi } i=1,...,n∪ {X\F }. Então {A αi } i=1,...,n é uma subcobertura finitade F . □Teorema. (compacto ⊂ metrizável ⇒ fechado) Um subconjunto compacto de um espaço metrizávelé fechado.dem. Sejam (X, d) um espaço métrico, K ⊂ X um subconjunto compacto e x ′ ∈ X\K . Para todox ∈ K existem abertos disjuntos A x e B x tais que x ∈ A x e x ′ ∈ B x . A família {A x com x ∈ K} éuma cobertura aberta de K, logo admite uma subcobertura finita {A x1 , A x2 , ..., A xn }. Isto implica queo aberto B = B x1 ∩ B x2 ∩ ... ∩ B xn é uma vizinhança de x ′ tal que B ⊂ X\K, e portanto x ′ ∈ ext(K).Isto mostra que X\K é aberto. □e.g. (Heine-Borel-Lebesgue) Um subconjunto da recta real é compacto sse é fechado e limitado.De facto, seja K ⊂ R compacto. Então K é fechado, por ser um subconjunto compacto de um espaçométrico. A família {]−n, n[ com n ∈ N} é uma cobertura aberta de K, e toda reunião de um númerofinito dos seus elementos é um conjunto limitado.Por outro lado, seja K ⊂ R fechado e limitado. Então K está contido num intervalo compacto[−M, M], e é fechado em [−M, M]. Mas um subconjunto fechado de um compacto é compacto.ex. (compacto ⊂ métrico ⇒ fechado e limitado) Um subconjunto compacto de um espaço métricoé fechado e limitado.ex. (discreto e fechado ⊂ compacto ⇒ finito) Um subconjunto discreto e fechado de um espaçocompacto é finito.ex. A reunião de dois subconjuntos compactos de um espaço topológico é compacta. Dê um exemplode uma reunião de subconjuntos compactos de R que não seja compacta.ex. Sejam K α subconjuntos compactos do espaço metrizável X. Prove que ∩ α K α é compacto.ex. O conjunto de Cantor K ⊂ [0, 1] é compacto. Se k ∈ K, o espaço K\ {k} é compacto?

17Teorema. ( f contínua ⇒ f(compacto)=compacto) A imagem de um espaço compacto por umaaplicação contínua é compacta.dem. Sejam f : X → Y uma aplicação contínua e {A α } α∈Auma cobertura aberta de f(X) ⊂ Y .Então { f −1 (A α ) } é uma cobertura aberta de X. Se X é compacto, existe uma subcobertura finitaα∈A{f −1 (A αi ) } i=1,...,n de X. Logo f(X) = f ( ∪ n i=1f −1 (A αi ) ) ⊂ ∪ n i=1A αii.e. {A αi } i=1,...,n é uma subcobertura finita de f(X). □Em particular, “ser compacto” é uma propriedade topológica: se f : X → Y é um homeomorfismo eX é compacto então Y é compacto.e.g. A esfera S 1 = { x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 t.q. |x| = 1 } é compacta. De facto, é a imagem ϕ ([0, 2π]) dointervalo compacto [0, 2π] pela função contínua ϕ : R → R 2 definida por t ↦→ (cos t, sin t).ex. Seja f : X → Y uma aplicação contínua do espaço compacto X no espaço métrico Y . Prove quef é limitada, i.e. f(X) é um subconjunto limitado de Y .ex. (Weierstrass) Seja f : X → R uma função contínua definida no espaço compacto X. Então f élimitada e atinge seus valores máximos e mínimos em X.ex. Seja (X, d) um espaço métrico e K ⊂ X um subconjunto compacto. Mostre que existem x, x ′ ∈ Ktais que d(x, x ′ ) = diam(K).ex. Sejam (X, d) um espaço métrico, K um subconjunto compacto de X e F um subconjunto fechadode X. Prove qued(K, F ) = 0 sse K ∩ F ≠ ∅Dê um exemplo de dois subconjuntos fechados e disjuntos F e G de um espaço métrico, tais que d(F, G) =0.ex. Seja f : X → Y uma aplicação contínua do espaço compacto X no espaço metrizável Y . Proveque f é uma aplicação fechada.ex. Seja f : X → Y uma aplicação bijectiva e contínua do espaço compacto X no espaço metrizávelY . Prove que f é um homeomorfismo.ex. Uma aplicação contínua f : X → Y é dita própria se a imagem inversa f −1 (K) de todo compactoK ⊂ Y é um subconjunto compacto de X. Prove que toda aplicação contínua de um espaço compactoX num espaço metrizável Y é própria.Uma família de subconjuntos de um conjunto não vazio tem a propriedade da interseção finita se todasubfamília finita tem interseção não vazia.Teorema. Um espaço topológico é compacto sse toda família de subconjuntos fechados com a propriedadeda interseção finita tem interseção não vazia.dem. Uma família de subconjuntos abertos é uma cobertura aberta sse a família dos complementares(que são subconjuntos fechados) tem interseção vazia. □Teorema (compacto × compacto = compacto) O produto topológico de uma família finita de espaçoscompactos é compacto.dem. (no caso do produto de dois espaços topológicos) Sejam X e Y espaços compactos, e seja{A α × B α } α∈Auma cobertura aberta de X × Y , onde os A α são abertos de X e os B α são abertos de Y .Dado x ∈ X, o espaço {x} × Y é homeomorfo a Y , portanto é compacto. Logo existe um subconjuntofinito A x ⊂ A tal que{x} × Y ⊂ ∪ α∈Ax A α × B α e x ∈ A α se α ∈ A xCada aberto N x = ∩ α∈Ax A α é uma vizinhança de x, logo {N x com x ∈ X} é uma cobertura aberta deX. Sendo X compacto, existe um subconjunto finito {x 1 , x 2 , ..., x n } ⊂ X tal que X ⊂ ∪ n i=1 N x i. Podemosescolher, para cada i = 1, 2, ..., n, um elemento α i ∈ A xi . EntãoX × Y ⊂ ∪ n i=1 ∪ α∈Axi A αi × B αIsto prova que a cobertura aberta {A α × B α } α∈Aadmite uma subcobertura finita. □

18Teorema. (Heine-Borel-Lebesgue) Um subconjunto do espaço euclidiano R n é compacto sse é fechadoe limitado.dem. ⇒ Um subconjunto compacto de um espaço métrico é fechado e limitado.⇐ Se K é um subconjunto limitado de R n , então K ⊂ I n onde I = [−R, R] com R suficientementegrande. Pelo teorema anterior I n é compacto. Se K é fechado em R n , é também fechado em I n , eportanto é compacto. □ex. Diga se os seguintes subconjuntos de R n são compactos:S n−1 D n D n D n \ {0}S n−1 \ {(1, 0, ..., 0)} [0, 1] n R n \S n−1O espaço topológico X é enumeravelmente compacto (ou satisfaz a propriedade de Bolzano-Weierstrass)se todo subconjunto infinito S de X tem um ponto de acumulação em X.O espaço topológico X é seqüencialmente compacto se toda sucessão em X admite uma subsucessãoconvergente.ex. (compacto ⇒ enumeravelmente compacto) Um espaço topologico compacto é enumeravelmentecompacto.ex. (seqüencialmente compacto ⇒ enumeravelmente compacto) Um espaço topológico seqüencialmentecompacto é enumeravelmente compacto.Seja {A α } uma cobertura do espaço métrico X. Um número λ > 0 é dito número de Lebesgue dacobertura {A α } se todo subconjunto S de X tal que diam(S) < λ está contido num dos A α da cobertura.Teorema. Seja X um espaço métrico seqüencialmente compacto. Então toda cobertura aberta de Xpossui um número de Lebesgue.dem. Seja {A α } uma cobertura aberta de X. Para todo x ∈ X, seja ε(x) > 0 o supremo dos r > 0tais que a bola aberta B r (x) está contida num dos A α . Seja ε = inf x∈X ε(x). Se ε > 0, então λ = ε/2 éum número de Lebesgue da cobertura. Por absurdo, assumimos que ε = 0. Então existe uma sucessão(x ′ n) tal que lim n→∞ ε(x ′ n) = 0. Sendo X seqüencialmente compacto, existe uma subsucessão convergente(x n ) tal que ainda lim n→∞ ε(x n ) = 0. Seja x = lim n→∞ x n . Existe n ∈ N tal que d(x n , x) < ε(x)/2 sen > n. Isto implica que ε(x n ) > ε(x)/2 para todo n > n (porque, se existe um elemento A α da coberturaque contém B ε(x) (x), ele também contém B ε(x)/2 (x n )), o que contradiz o facto de ser lim n→∞ ε(x n ) = 0.□Teorema. (caracterização dos espaços metrizáveis compactos) Seja X um espaço metrizável. Asseguintes propriedades são equivalentes:a) X é compacto,b) X é enumeravelmente compacto,c) X é seqüencialmente compacto.dem. a⇒b Seja S um subconjunto infinito do espaço compacto X. Se S não tem pontos limitesem X então é fechado, e portanto é compacto. Por outro lado, a topologia relativa em S é a topologiadiscreta, portanto S é um espaço discreto infinito, logo não é compacto.b⇒c Seja (X, d) um espaço métrico enumeravelmente compacto. Seja (x n ) uma sucessão em X. Sea imagem {x n } n∈N é finita, então (x n ) admite uma subsucessão constante, portanto convergente. Se aimagem {x n } n∈Nnão é finita, então admite um ponto de acumulação x em X. Isto implica que, para todok ∈ N existe n k ∈ N tal que n k+1 > n k e d(x nk , x) < 1/k. Portanto, a subsucessão (x nk ) é convergente.c⇒a Seja (X, d) um espaço métrico. Se X não é compacto, existe uma cobertura aberta {A α } deX que não admite subcoberturas finitas. Seja λ > 0 um seu número de Lebesgue, e seja 0 < ε < λ/2.A família das bolas abertas {B ε (x) com x ∈ X} é uma cobertura aberta de X tal que todo B ε (x) estácontido num dos A α , portanto ela também não admite subcoberturas finitas. Isto implica que é possívelescolher uma sucessão (x n ) de pontos de X tal que x n+1 ∈ X\ (∪ n i=1 B ε(x i )) para todo n ∈ N. A sucessão(x n ) não admite subsucessões convergentes, porque d(x n , x m ) > ε para todos n ≠ m. Portanto, X não éseqüencialmente compacto. □ex. (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito e limitado de R n tem um ponto de acumulaçãoem R n .

20Teorema. (compacto ⇔ completo e totalmente limitado) Um espaço métrico é compacto sse é completoe totalmente limitado.dem. ⇒ Seja (X, d) um espaço métrico compacto. Para todo ε > 0, a cobertura aberta {B ε (x)} x∈Xadmite uma subcobertura finita. Isto prova que X é totalmente limitado. Seja (x n ) uma sucessão deCauchy em X. Como X é seqüencialmente compacto, (x n ) admite uma subsucessão convergente. Masuma sucessão de Cauchy que admite uma subsucessão convergente é convergente, logo X é completo.⇐ Seja (X, d) um espaço métrico completo e totalmente limitado. Seja (x n ) uma sucessão de pontosde X. Dado k ∈ N, o espaço X admite uma cobertura finita composta por bolas abertas de raio 1/k.Portanto, é possível encontrar, para todo k ∈ N, um subconjunto infinito N k dos naturais e uma bolaaberta B k de raio 1/k tais que... ⊂ N k+1 ⊂ N k ⊂ ... ⊂ N e x n ∈ B k se n ∈ N kEscolhendo um natural n k para cada k, de forma tal que n k+1 > n k , as propriedades acima implicam quea subsucessão (x nk ) é de Cauchy, logo convergente porque X é completo. Portanto, X é seqüencialmentecompacto. □Teorema. (da interseção de Cantor) Seja X um espaço métrico completo, e seja {F n com n ∈ N}uma família de subconjuntos fechados e não vazios de X tais queF n+1 ⊂ F n para todo n ∈ N e limn→∞ diam(F n) = 0Então existe um ponto x ∈ X tal que ∩ n∈N F n = {x}.dem. Para cada n ∈ N existe um ponto x n ∈ F n . É imediato ver que a sucessão (x n) é uma sucessãode Cauchy. Seja x = lim n→∞ x n . O ponto x é um ponto de aderência de {x n com n ∈ N}, e também umponto aderência de {x n com n ≥ k}. Mas F k contém {x n com n ≥ k}, e, sendo fechado, contém os seuspontos de aderência. Logo x pertence a todos os F k . Por outro lado, o diâmetro de ∩ n∈N F n não pode serpositivo, porque lim n→∞ diam(F n ) = 0, logo a interseção dos F n não pode conter dois pontos distintos.□ex. Retire, uma de cada vez, as hipóteses no teorema da interseção de Cantor e dê contraexemplos.Teorema. (Baire) Seja X um espaço métrico completo. A interseção de uma família enumerável desubconjuntos abertos e densos em X é densa em X.dem. Sejam A n , com n ∈ N, subconjuntos abertos e densos no espaço métrico completo X. Seja Aum subconjunto aberto e não vazio de X. Como A 1 é denso, existem um ponto x 1 ∈ X e um númeropositivo ε 1 < 1 tais queB ε1 (x 1 ) ⊂ A 1 ∩ AIndutivamente, utilizando a densidade dos A n , dados x n e ε n , podemos encontrar um ponto x n+1 ∈ X eum número positivo ε n+1 < 1/(n + 1) tais queB εn+1 (x n+1 ) ⊂ A n+1 ∩ B εn (x n )Pelo teorema da interseção de Cantor, existe um ponto x na interseção dos B εn (x n ), e por construção xpertence a A e a todos os A n . □ex. (completo + perfeito ⇒ não enumerável) Um espaço métrico completo sem pontos isolados nãoé enumerável (observe que, se X é um espaço métrico completo tal que X ′ = X, e x ∈ X, então X\ {x}é aberto e denso em X).ex. Seja X um espaço enumerável infinito munido da métrica discreta. Prove que X é completo, élimitado, mas não é compacto.e.g. (o espaço de Hilbert l 2 ) Seja l 2 = l 2 (R) o espaço das sucessões x : N → R tais que ∑ ∞n=1 x2 n < ∞munido do produto interno 〈·, ·〉 definido por 〈x, y〉 = ∑ ∞n=1 x n · y n . O espaço l 2 , munido da métricainduzida d, é completo. A esfera unitária S = { x ∈ l 2 t.q. d(0, x) = 1 } é um subespaço fechado elimitado de l 2 , mas não é compacto. Por exemplo, a sucessão e (1) = (1, 0, 0, 0, ...), e (2) = (0, 1, 0, 0, ...),e (3) = (0, 0, 1, 0, ...) ... é composta de pontos à distância √ 2 uns dos outros, e portanto não admitesubsucessões convergentes. Aliás, a esfera unitária em l 2 não é totalmente limitada.

25e.g. As componentes conexas de um espaço topológico podem não ser abertas. Por exemplo, acomponente conexa de r ∈ Q em Q é {r}, que não é um subconjunto aberto de Q.ex. Um espaço discreto é totalmente desconexo (se o espaço só contém um ponto, é também conexo!).ex. Um espaço métrico enumeravel é totalmente desconexo.ex. O subconjunto Q da recta real é totalmente desconexo.ex. O conjunto de Cantor K ⊂ [0, 1] é totalmente desconexo.Teorema. (conexo×conexo=conexo) O produto topológico de uma família finita de espaços conexosé conexo.dem. (no caso do produto de dois espaços topológicos) Sejam X e Y espaços topológicos conexos.Sejam (x, y) e (x ′ , y ′ ) dois pontos arbitrários do produto X ×Y . O subespaço C = {x}×Y é homeomorfoa Y , e portanto é conexo. O subespaço D = X × {y ′ } é homeomorfo a X, e portanto é conexo. Ainterseção C ∩ D = {(x, y ′ )} não é vazia, logo (x, y) e (x ′ , y ′ ) pertencem à mesma componente conexa. □ex. Prove que se o produto topológico X × Y é conexo então X e Y são conexos.ex. R n e [0, 1] n são conexos.ex. (subconjuntos convexos de R n ) Um subconjunto S do espaço euclidiano R n é convexo se, dadosx, x ′ ∈ S, o segmentoxx ′ = {(1 − t)x + tx ′ com t ∈ [0, 1]}está contido em S.Prove que um subconjunto de R é convexo sse é conexo.Prove que um subconjunto convexo de R n é conexo.Dê um exemplo de um subconjunto conexo de R 2 que não seja convexo.ex. Prove que, se n ≥ 2, o espaço R n \ {x n = 0} não é conexo, e que o espaço R n \ {x n−1 = x n = 0}é conexo. Utilize a transitividade do grupo afim Aff(R n ) no espaço dos subespaços afins de R n paradeduzir que, se V é um subespaço afim de R n , o espaço R n \V é conexo sse n − dim(V ) > 1.e.g. O grupo linear GL n (R) é um subconjunto desconexo de R n2 . De facto, a função contínuaA ↦→ det A|det A|envia GL n (R) sobre o espaço discreto {−1, 1}. O mesmo argumento prova que o grupo ortogonal O(n)é desconexo.e.g. (curvas) Sejam X um espaço topológico, e I um intervalo da recta real. A imagem ϕ(I) de umafunção contínua ϕ : I → X é um subconjunto conexo de X.Por exemplo, a esfera S 1 é um subconjunto conexo de R 2 . Se x ∈ S 1 , então também S 1 \ {x} é conexo.e.g. (gráficos) Seja f : X → Y uma aplicação contínua do espaço conexo X no espaço topológico Y .O gráfico de f,graph(f) = {(x, y) ∈ X × Y t.q. f(x) = y}é um subconjunto conexo do produto topológico X ×Y . De facto, é a imagem da aplicação x ↦→ (x, f(x)),que é um homeomorfismo de X sobre graph(f).ex. (teorema do valor intermédio) A imagem f(X) de uma função contínua f : X → R definida noespaço conexo X é um intervalo.ex. (teorema do ponto fixo) Seja I um intervalo compacto da recta real, e f : I → R uma funçãocontínua tal que f(I) ⊂ I. Então f tem um ponto fixo.ex. Seja f : S 1 → R uma função contínua, onde S 1 = { x ∈ R 2 t.q. |x| = 1 } . Prove que existe umponto x ∈ S 1 tal que f(x) = f(−x).e.g. (as esferas de dimensão ≥ 1 são conexas) Seja S n = { x ∈ R n+1 t.q. |x| = 1 } a esfera unitáriade dimensão n ≥ 1. A aplicação f : R n+1 \ {0} → S n , definida por x ↦→ x/ |x|, é contínua e sobrejectiva.Portanto, a esfera S n é conexa se n ≥ 1.Uma demonstração alternativa é a seguinte. Dado x ∈ S n , o espaço S n \ {x} é homeomorfo a R n , queé conexo. Portanto S n , a aderência de S n \ {x} em S n , é conexo.A esfera S 0 = {x ∈ R t.q. |x| = 1} = {−1, 1} não é conexa.

26e.g. (os espaços projetivos são conexos) O espaço projetivo real RP n é conexo. De facto, é a imagemda esfera S n pela aplicação quociente π : S n → RP n definida por x ↦→ π(x) =“recta passante por 0 e xem R n+1 ”.e.g. (intervalos homeomorfos) Um intervalo não trivial da recta real é homeomorfo a um, e só um,dos três “modelos” seguintes:]0, 1[ ≃ R [0, 1] ]0, 1] ≃ R ≥0Os intervalos abertos da recta real são homeomorfos a recta real. Por exemplo, x ↦→ arctan x éum homeomorfismo da recta sobre ]−1, 1[, x ↦→ exp x é um homeomorfismo da recta sobre ]0, ∞[, et ↦→ (1 − t)a + tb é um homeomorfismo de ]0, 1[ sobre ]a, b[.Um intervalo compacto, ou seja fechado e limitado, da recta é um intervalo trivial, i.e. um ponto, oué homeomorfo a [0, 1] (o homeomorfismo pode ser uma aplicação afim).Um intervalo não aberto (em R) e não compacto da recta real é homeomorfo a ]0, 1]. De facto,x ↦→ log x é um homeomorfismo de ]0, 1] sobre ]−∞, 0], e as outras possibilidades podem ser verificadaspor meio de homeomorfismos afins.Falta provar que os três modelos são distintos.R e ]0, 1] não são homeomorfos a [0, 1], porque não são compactos. Por outro lado, se f : ]0, 1] → Rfosse um homeomorfismo, a restrição f ∣ ]0,1]\{1} seria um homeomorfismo do espaço conexo ]0, 1[ sobre oespaço desconexo ]−∞, f(1)[ ∪ ]f(1), ∞[.e.g. (o problema do homeomorfismo) Um dos problemas da topologia é decidir se dois espaçostopológico são homeomorfos. Propriedades e invariantes topológicos, como a compacidade, a conexidadee o número das componentes conexas, permitem, por vezes, provar que dois espaços não são homeomorfos.O intervalo I = [0, 1] não é homeomorfo a esfera S 1 , embora os dois espaços sejam conexos e compactos.Pois, se ϕ : I → S 1 fosse um homeomorfismo, a restrição ϕ ∣ I\{0.5} : I\ {0.5} → S 1 \ {ϕ(0.5)} seria umhomeomorfismo de um espaço desconexo sobre um espaço conexo.A recta real R não é homeomorfa ao espaço euclidiano R n se n > 1. De facto, ao retirar um ponto, arecta real fica desconexa, e isto não acontece aos espaços euclidianos de dimensão superior.ex. Seja H λ a hipérbole { x ∈ R 2 t.q. x 1 x 2 = λ } . Diga para que valores de λ é conexa e para quevalores de λ é homeomorfa a R.ex. Diga se os seguinte subconjuntos do plano euclidiano R 2 são conexos:X = B 1 ((−1, 0)) ∪ B 1 ((1, 0)) X ∪ {(0, 0)} XY = R 2 \ { x ∈ R 2 t.q. x 2 = 0 } Y ∪ {(0, 0)}Q × R R 2 \S 1ex. A recta real R não é homeomorfa ao espaço euclidiano R n se n > 1.ex. A esfera S 1 não é homeomorfa a esfera S n se n > 1 (observe que, se x ∈ S n , então S n \ {x} éhomeomorfo a R n ).ex. Se f : R n → R n é uma aplicação contínua e bijectiva tal que f ( S n−1) = S n−1 , então f (B 1 (0)) =B 1 (0).ex. Seja X a reunião das esferas de raio 1 e centros (−1, 0) e (0, 1) no plano euclidiano. Prove queX não é homeomorfo a S 1 nem a [0, 1].ex. Prove que o cilindro X = { x ∈ R 3 t.q. x 2 1 + x 2 2 = 1 } e o cone Y = { x ∈ R 3 t.q. x 2 1 + x 2 2 − x 2 3 = 0 }em R 3 não são homeomorfos.ex. Seja F n a “flor com n pétalas”, o subespaço do plano euclidiano definido por F n = ϕ ([0, π]) ondeϕ : R → R 2 é a funçãot ↦→ (|sin(nt)| cos 2t , |sin(nt)| sin 2t)Prove que F n não é homeomorfo a F m se n ≠ m.Conexidade local. O espaço topológico X é localmente conexo em x ∈ X se toda vizinhança de xcontém uma vizinhança conexa de x. O espaço topológico X é localmente conexo se é localmente conexoem todos os seus pontos.ex. Um espaço discreto é localmente conexo, mas não é conexo se contém mais do que um ponto.

27ex. Seja X o subespaço da recta real definido porX = {1/n com n ∈ N} ∪ {0}Prove que X é totalmente desconexo. Prove que X não é localmente conexo, e que X\ {0} é localmenteconexo.e.g. (um espaço conexo que não é localmente conexo) Existem espaços conexos que não são localmenteconexos. O exemplo standard é o subconjunto X = A ∪ B do plano euclidiano, ondeA = { x ∈ R 2 t.q. x 1 > 0 e x 2 = sin(1/x 1 ) } e B = { x ∈ R 2 t.q. x 1 = 0 e − 1 ≤ x 2 ≤ 1 }O espaço X é conexo, porque é igual ao fecho de A, e A é o gráfico da função contínua t ↦→ sin(1/t)definida no intervalo ]0, ∞[. Toda bola aberta suficientemente pequena centrada, por exemplo, em 0 ∈ Xé desconexa, portanto X não é localmente conexo em 0.Conexidade por arcos. Seja X um espaço topológico. Um arco (ou caminho) entre os pontos x ex ′ de X é uma aplicação contínua ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = x e ϕ(1) = x ′ .O espaço topológico X é conexo por arcos se para todos x, x ′ ∈ X existe um arco entre x e x ′ .Proposição. (conexo por arcos ⇒ conexo) Um espaço topológico conexo por arcos é conexo.dem. A imagem ϕ ([0, 1]) do arco ϕ : [0, 1] → X é um subconjunto conexo de X que contém ϕ(0) eϕ(1). Portanto, todos os pontos de um espaço conexo por arcos pertencem à mesma componente conexa.□Teorema. ( f contínua ⇒ f(conexo por arcos)=conexo por arcos) Seja f : X → Y uma aplicaçãocontínua. Se X é conexo por arcos, então f(X) é conexo por arcos.dem. Sejam y e y ′ dois pontos de f(X), e sejam x ∈ f −1 {y} e x ′ ∈ f −1 {y ′ }. Se ϕ : [0, 1] → X é umarco entre x = ϕ(0) e x ′ = ϕ(1), então f ◦ ϕ : [0, 1] → Y é um arco entre y = f ◦ ϕ(0) e y ′ = f ◦ ϕ(1). □Em particular, “ser conexo por arcos” é uma propriedade topológica: se f : X → Y é um homeomorfismoe X é conexo por arcos então Y é conexo por arcos.Se ϕ : [0, 1] → X é um arco entre os pontos x e x ′ , e φ : [0, 1] → X é um arco entre os pontos x ′ ex ′′ , então é possível definir um arco entre os pontos x e x ′′ , por exemplo a aplicação φ ∗ ϕ : [0, 1] → X,definida por{ ϕ(2t) se t ∈ [0, 1/2]t ↦→φ(2t − 1) se t ∈ [1/2, 1]Por outro lado, se ϕ : [0, 1] → X é um arco entre os pontos x e x ′ , então ϕ : [0, 1] → X, definido port ↦→ ϕ (1 − t), é um arco entre os pontos x ′ e x. Evidentemente, um arco entre x e x existe, por exemploum arco constante. Portanto, a existência de um arco entre x e x ′ é uma relação de equivalência em X.Em particular, a reunião de uma família de subconjuntos de X conexos por arcos é conexo por arcos sea interseção não é vazia.As classes de equivalência definem uma partição de X em subconjuntos conexos por arcos, ditascomponentes conexas por arcos. A componente conexa por arcos do ponto x ∈ X, o conjuntoC a (x) = {x ′ ∈ X t.q. existe um arco entre x e x ′ em X} ,é o “maior” subconjunto de X conexo por arcos que contém o ponto x. O espaço topológico X é conexopor arcos sse possui uma única componente conexa por arcos.ex. (conexo por arcos×conexo por arcos=conexo por arcos) Prove que o produto topológico X × Yé conexo por arcos sse X e Y são conexos por arcos.ex. (convexo ⇒ conexo por arcos) Um subconjunto convexo do espaço euclidiano R n é conexo porarcos. Em particular, R n e as bolas de R n são conexos por arcos.Dê um exemplo de um subconjunto de R n conexo por arcos que não seja convexo.ex. Um subconjunto aberto e conexo do espaço euclidiano R n é conexo por arcos. (se A é um subconjuntoaberto de R n , e x ∈ A, considere o conjunto B = {x ′ ∈ A t.q. existe um arco entre x e x ′ em A},e utilize a convexidade das bolas abertas para provar que B e A\B são abertos em A).ex. A esfera S n é conexa por arcos se n ≥ 1.

28ex. O espaço projetivo real RP n é conexo por arcos.ex. Seja X = ∪ α∈Z 2 \{0}L α a reunião das rectasL α = { x ∈ R 2 t.q. α 1 x 1 + α 2 x 2 = 0 }no plano euclidiano. Diga se X é conexo, conexo por arcos, localmente conexo. Diga se X\ {x 2 = 0} éconexo, conexo por arcos, localmente conexo.e.g. (um espaço conexos por arcos que não é localmente conexo) O “pente” é o subconjunto do planoeuclidiano definido por X = Y ∪ (∪ n∈N Z n ), ondeY = { x ∈ R 2 t.q. 0 ≤ x 1 ≤ 1 e x 2 = 0 } e Z n = { x ∈ R 2 t.q. x 1 = 1/n e 0 ≤ x 2 ≤ 1 }O espaço X é conexo por arcos, logo conexo, e é localmente conexo. O fecho de X no plano, o conjuntoX ∪ { x ∈ R 2 t.q. x 1 = 0 e 0 ≤ x 2 ≤ 1 } , é conexo por arcos mas não é localmente conexo.e.g. (um espaço conexo que não é conexo por arcos) A reunião X ∪ {x} do pente X com o “piolho”{x = (0, 1)} é conexo, porque contém X e está contida em X, mas não é conexo por arcos. De facto, nãoexiste nenhum arco entre x e um ponto de X, pois toda função contínua ϕ : [0, 1] → X ∪ {x} tal queϕ(0) = x é constante (todo ponto x ′ ∈ X numa vizinhança V suficentemente pequena de x em X ∪ {x}é desconexo de x em V ).BibliografiaR. Courant and H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, London 1948.E.L. Lima, Espaços métricos, Projeto Euclides, Rio de Janeiro 1993.J.R. Munkres, Topology, A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliff, N.Y. 1975.E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 1994.G.F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, Singapore 1963.I.M. Singer and J.A. Thorpe, Lecture notes on elementary topology and geometry, Springer-Verlag,New York, 1967.Braga, 13 de Dezembro de 2002.sal.